2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-分式方程 (二)

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題12分式方程

一、選擇題

1.數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯?5、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：T2-T5=TQ-T2.因此就將具有這樣性質(zhì)

的三個(gè)數(shù)稱之為調(diào)和數(shù)，如6、3、2也是一組調(diào)和數(shù).現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：X、5、3(x>5),則x的值

是()

A.6B.7.5C.12D.15

二'填空題

2.數(shù)學(xué)的美學(xué)無(wú)處不在，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低取決于弦的長(zhǎng)度，繃得

一樣緊的幾根弦，如果長(zhǎng)度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧.例如，三根弦長(zhǎng)度之比

是15：12：10,把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出調(diào)和的樂(lè)聲do、mi、so.研究

15、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：告—齊=存—?jiǎng)?wù).我們稱15、12、10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù).

現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x、6、4(x>6),則x的值是.

(-+-=3

3.整體思想就是通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式從面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法.如彳［《，此

\x+y~7

題設(shè)“工=a,：=b”，得方程3,解得￡=".??產(chǎn)：°f.利用整體思想解決問(wèn)

題：采采家準(zhǔn)備裝修-廚房，若甲，乙兩個(gè)裝修公司，合做6需周完成，甲公司單獨(dú)做4周后，剩下

的由乙公司來(lái)做，還需9周才能完成，設(shè)甲公司單獨(dú)完成需%周，乙公司單獨(dú)完成需y周，則得

到方程,利用整體思想，解得.

三、理論探究題

4.(探索發(fā)現(xiàn))

先觀察下面給出的等式，探究其隱含的規(guī)律，然后回答問(wèn)題：C=1-J/=1=

J.XZZZX□/3J)XT1

1_1

3-4；…

ill1

(1)若n為正整數(shù)，直接寫出結(jié)果：1^2+2x3+3x4+-"+n(n+l)=--------------

(2)(拓展延伸)

根據(jù)上面探索的規(guī)律，解決下面的問(wèn)題：

解關(guān)于%的分式方程：(%—I：%—2)一(久一2立比-3)一(x-1|久-3)=冷?

5.探索發(fā)現(xiàn)：6=1-),=I-I>1-I…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答

1XZZZXoZ33X4,34

下列問(wèn)題:

⑴516]

71X(71+1)

---+---+---++----------?

（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算:1x22x33x4…2018x2019'

-1111

（3）靈活利用規(guī)律解方程：不+3）+（久+3）（x+6）+…+（久+96）（比+99）

x+99,

6.閱讀下列材料:

在學(xué)習(xí)“分式方程及其解法”過(guò)程中，老師提出一個(gè)問(wèn)題：若關(guān)于x的分式方程號(hào)+總=1的

解為正數(shù)，求a的取值范圍？

經(jīng)過(guò)小組交流討論后，同學(xué)們逐漸形成了兩種意見(jiàn)：

小明說(shuō)：解這個(gè)關(guān)于x的分式方程，得到方程的解為乂=2-2.由題意可得a-2>0,所以a>2,

問(wèn)題解決.

小強(qiáng)說(shuō)：你考慮的不全面.還必須保證存3才行.

老師說(shuō)：小強(qiáng)所說(shuō)完全正確.

請(qǐng)回答：小明考慮問(wèn)題不全面，主要體現(xiàn)在哪里？請(qǐng)你簡(jiǎn)要說(shuō)明：.

完成下列問(wèn)題：

（1）已知關(guān)于x的方程筆>=1的解為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍；

x+2

（2）若關(guān)于x的分式方程2字+4衛(wèi)=-1無(wú)解.直接寫出n的取值范圍.

x—33—x

7.閱讀：分式等^可進(jìn)行如下變形：3^23（%+1）-55

x+1x+1=x+1=%+1

（1）探索：如果皇U=5+$，則m=________；

x+zx+z

（2）總結(jié)：如果智=a+普（其中a,b,c為常數(shù)），則切=；

x+cx+c

（3）應(yīng)用：利用上述結(jié)論解決：若代數(shù)式寫的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值.

X—1

8.

（1）探究1：m為何值時(shí)，關(guān)于x方程當(dāng)+5=養(yǎng)-有增根？

（2）探究2：m為何值時(shí)，關(guān)于x方程當(dāng)+5=養(yǎng)-的根是x=-l?

（3）探究3：任意寫出三個(gè)m的值，使對(duì)應(yīng)的關(guān)于x方程當(dāng)+5=養(yǎng)-的三個(gè)根中兩個(gè)根之和

X—33—%

等于第三個(gè)根？

（4）探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3"條件的mi,m2,iw的關(guān)系是.

9.小明邀請(qǐng)你參與數(shù)學(xué)接龍游戲:

【問(wèn)題】解分式方程：當(dāng)+夏=2

x—13%

【小明解答的部分】解：設(shè)若=3則耍=”故原方程可化為t+5=2,去分母并移項(xiàng)，得t2-

x—13xtt

2t+l=0

【接龍】

10.閱讀材料，并完成下列問(wèn)題：

不難求得方程x+*=2+*的解是XI=2,K2=

*I=3+4的解是*1=3,X2=4；

x33

x+工=4+J的解是X1=4,X2=J；

x44

（1）觀察上述方程及其解，可猜想關(guān)于x的方程x+]=a+：（aH0）的解

是.

（2）試用“求出關(guān)于x的方程x+]=a+｝（aH0）的解”的方法證明你的猜想；

（3）利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程包二洋1=。+二二

11.閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,若關(guān)于x的分式（A號(hào)久-6）的值為零,則解得/=心久?又

因?yàn)椋āa(chǎn)-切=避-"）[+防=久+孚_（0+b），所以關(guān)于x的方程x+學(xué)=a+b的解為巧=

a,x2=b.

（1）[理解應(yīng)用】解方程苧=5+1；

（2）【知識(shí)遷移】若關(guān)于x的方程無(wú)+|=7的解為久i=a,X2=b,求。2+按的值.

12.閱讀下列材料，解決后面問(wèn)題：①%+—=C+工的解為：=C,%2=7;②X――—C—即久+

XCCXC

工=c+」的解為：汽1=-C,%2=-J；③、+2=C+2的解為：=c,%2=7；@x+-=c+-

XccXccXc

的解為：%1=C,X2=|；...

（1）請(qǐng)觀察上述方程與解的特征，猜想方程x+^=c+3的解，并驗(yàn)證你的結(jié)論；

（2）利用你驗(yàn)證的結(jié)論解關(guān)于x的方程：^-=^-.

x+x—1a+a—1

13.閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,若關(guān)于x的分式（*—a）（久-6）的值為零,則解得刈=2,X2=b.又

X

因?yàn)椋ň靡籥）（x—b）=久2—（a+b）x+ab=久她-（a+b）,所以關(guān)于x的方程x+^=a+b的解為xi=a,

XXXX

X2=b.

(l)理解應(yīng)用：方程紅=3+看的解為：XI=,X2=；

(2)知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程x+1=5的解為xi=a,X2=b,求a?+b2的值；

2

(3)拓展提升：若關(guān)于x的方程當(dāng)=k-x的解為xi=t+l,x2=t+2,求k2-4k+2t3的值.

x—1

14.閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)m,n,若關(guān)于x的分式。一㈤(久—)的值為零，則*=111或*=11.又因

X

為(』)(『)="一…)x+E=x+等_(m+n),所以關(guān)于X的方程X+與=m+n的解為

XXxx

xi=m,X2=n.

(1)理解應(yīng)用：方程x+-=2+1的解為：XI=，X2=;

xZ

(2)拓展提升：若關(guān)于X的方程x+[=k-1的解滿足X1=X2,求k的值.

15.閱讀理解，并解決問(wèn)題.

分式方程的增根：解分式方程時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生增根，原因是什么呢？事實(shí)上，解分式方程時(shí)產(chǎn)生增根,

主要是在去分母這一步造成的.根據(jù)等式的基本性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的

數(shù)，結(jié)果仍相等.但是，當(dāng)?shù)仁絻蛇呁?時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)0=0的特殊情況.因此，解方程時(shí)，方程左

右兩邊不能同乘0.而去分母時(shí)會(huì)在方程左右兩邊同乘公分母，此時(shí)無(wú)法知道所乘的公分母的值是否為

0,于是，未知數(shù)的取值范圍可能就擴(kuò)大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值為0,

此根即為增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必須驗(yàn)根.請(qǐng)根據(jù)閱讀

材料解決問(wèn)題：

(1)若解分式方程^+2=^-時(shí)產(chǎn)生了增根，這個(gè)增根是________;

x—zZ-X

(2)小明認(rèn)為解分式方程焉-五劫=0時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生增根，請(qǐng)你直接寫出原因；

(3)解方程高+擊=且看

16.閱讀材料：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)“『%”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：『b,\

caca

—ad-be.

(1)按照這個(gè)規(guī)定請(qǐng)你計(jì)算A6J的值；

/-o

21

(2)請(qǐng)你根據(jù)上述規(guī)定求出等式I,二J=1中％的值.

1—xx—1

17.我們把形如x+勺=a+b(ab。0),且兩個(gè)解分別為：x1=a,x2=b的方程稱為十字分式方程.

例如：若x+1=4為十字分式方程，則可將它化為x+苧=1+3,得XI=1,X2=3.

再如：若x+g=—6為十字分式方程，則可將它化為x+匕犯匕也=（—2）+（-4）,得尤1=一

XX

2,%2=-4.

應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：

（1）若X=-5為十字分式方程，貝1JX1=_________,X2=_________.

X

（2）若十字分式方程x—1=—2的兩個(gè)解分別為久i=m,初/，求強(qiáng)+號(hào)的值.

（3）若關(guān)于x的十字分式方程尤—與羅=一1—1的兩個(gè)解分別為久1，久2&>0,/>久2），

求沿的值.

x2+1

18.觀察下列方程的特征及其解的特點(diǎn)；

①x+,=-3的解為X1=-1,X2=-2.

②x+1=-5的解為xi=-2,X2=-3.

③x+芋二-7的解為xi=-3,x2=-4；

解答下列問(wèn)題；

（1）請(qǐng)你寫出一個(gè)符合上述特征的方程為,其解為

（2）根據(jù)這類方程特征，寫出第n個(gè)方程為,其解

為.

（3）請(qǐng)利用（2）的結(jié)論，求關(guān)于x的方程x+於掙=-2（n+2）（其中n為正整數(shù)）的解.

%+3

19.先閱讀下面的材料，然后回答問(wèn)題：

方程x+1=2+*的解為xi=2,X2吊；

方程x+N=3+J的角星為xi=3,X24；

x33

方程x+94+J的角星為xi=4,X2~

（1）觀察上述方程的解，猜想關(guān)于X的方程X+二5+*的解是________________.

x5

（2）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+二a+工的解是

xa-----------------

（3）猜想關(guān)于x的方程x[=l*的解并驗(yàn)證你的結(jié)論

（4）在解方程y嗡灣時(shí)，可將方程變形轉(zhuǎn)化為（2）的形式求解，按要求寫出你的變形求解過(guò)程.

20.如果兩個(gè)分式/與N的和為常數(shù)孔且左為正整數(shù)，則稱M與N互為“和整分式常數(shù)上稱為“和

整值”如分式M=-^,N=M+N=^1=l,則〃與N互為“和整分式”，“和整值"k=l.

x+1x+1%+1

（1）已知分式2=口，B=尊半，判斷”與8是否互為“和整分式”，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

x-2X2-2X

若是，請(qǐng)求出“和整值”后

（2）已知分式。=簽7，。=竽4，C與?；椤昂驼质健保摇昂驼?k=3,若x為正整數(shù),

分式D的值為正整數(shù)t.

①求G所代表的代數(shù)式：

②求x的值：

（3）在（2）的條件下，已知分式p=0溶，Q=竽至，且P+Q=3若該關(guān)于x的方程無(wú)解,

x—373—x

求實(shí)數(shù)打的值.

21.蘇科版九上數(shù)學(xué)p31閱讀洛類方程的解法》中提到：各類方程的解法不盡相同，但是它們有一

個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想―轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程必+支2一2久=0,可以

通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為%（%2+久一2）=0,解方程%=0和/+%-2=0,可得方程爐+%2-2%=

0的解.

（1）問(wèn)題：方程爐+%2-2%=0的解是=0,%2=，久3=；

（2）用“轉(zhuǎn)化”思想求方程J2尤+3=%的解；

（3）拓展：若實(shí)數(shù)久滿足/+七一3尤一言=2,求久+工的值.

X乙XX

22.閱讀材料，并完成下列問(wèn)題：

已知分式方程：①為+|=3，②x+1=5,③x+竽=7.

其中，方程①的解有2個(gè)：x=l或x=2；方程②的解有2個(gè)：x=2或x=3；方程③的解有2個(gè):

x=3或x=4,

（1）觀察上述方程的特點(diǎn)，再觀察方程的2個(gè)解與方程左邊分式的分子、右邊常數(shù)的關(guān)系，猜想

方程X+乎=11的解是.

（2）關(guān)于x的方程x+2020=ioi+100有2個(gè)解，它們是％=101或》=出，根據(jù)所猜想的

xmm

規(guī)律，求加的值.

23.閱讀材料：

關(guān)于x的方程：%+工=。+工的解是％i=c,冷=工；

XCZC

X――=C――(即％H—-=c—-)的角星是=C%2=——；

XCXCzC

X+-^=C+-|的解是=C,%2=搟；

X+—=C+—的解是X\—C,%2="■?...

Xczc

(1)請(qǐng)觀察上述方程與解的特征，比較關(guān)于x的方程％+?=c+?(7HW0)與它們的關(guān)系，猜

想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念進(jìn)行驗(yàn)證。

(2)由上述的觀察、比較、猜想、驗(yàn)證，可以得出結(jié)論：

如果方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的倍數(shù)的和，方程的右邊的形式與左邊完全相同，只是把其中的

未知數(shù)換成了某個(gè)常數(shù)，那么這樣的方程可以直接得解，請(qǐng)用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于X的方程：％+鄉(xiāng)=

X—1

,2

CLH----ro

a-i

四、數(shù)形結(jié)合探究題

24.綜合與探究

如圖，點(diǎn)/、點(diǎn)8分別在了軸、軸的正半軸上，OA,(95=3：4,且。4是方程)匕=七的

根.將ACMB沿直線/C折疊，使點(diǎn)。落在線段AB上的點(diǎn)。處.

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)①若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0,-2)且平行于x軸，在直線I上找一點(diǎn)G,使/GCG最短，請(qǐng)

你直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)/、C、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在,

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

五'實(shí)踐探究題

25.

（1）問(wèn)題背景：兩個(gè)小組同時(shí)開始攀登一座450nl高的山，第一組的攀登速度是第二組的L2倍,

他們比第二組早15min到達(dá)頂峰，求這兩個(gè)小組的攀登速度各是多少？

（2）嘗試應(yīng)用：如果山高為hm,第一組的攀登速度是第二組的a倍（其中a＞l）,并且比第二組

早tmin到達(dá)頂峰，設(shè)第一組的速度為匕，第二組的速度為七.

①請(qǐng)直接寫出力=▲,%=▲.（結(jié)果用含h、a、t的式子表示）

②化簡(jiǎn)：馬弓一舟？（結(jié)果用含h、a、t的式子表示）

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，設(shè)U=%+%,a/i=1,分解因式:/如+%苧乃=

aaz

（直接寫出結(jié)果）

26.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)獎(jiǎng)品購(gòu)買及兌換方案？

素

某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價(jià)是筆記本的2倍，用120元購(gòu)買筆記本

材

的數(shù)量比用160元購(gòu)買鋼筆的數(shù)量多8件.

1

素

某學(xué)?；ㄙM(fèi)400元購(gòu)買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎(jiǎng)品頒發(fā)給“優(yōu)秀學(xué)生”，購(gòu)買鋼筆和

材

筆記本的數(shù)量之比為3：2.

2

素學(xué)?；ㄙM(fèi)元后，文具店贈(zèng)送張（＜血＜

400m17

憑此卷可兌換鋼筆

材）兌換券（如右）用于商品兌換.兌換后，筆兌換券

1010支或筆記本20本

S

3記本與鋼筆數(shù)量相同.

問(wèn)題解決

任

請(qǐng)運(yùn)用適當(dāng)方法，求出鋼筆與筆記本的單

務(wù)探求商品單價(jià)

價(jià).

1

任

務(wù)探究購(gòu)買方案探究購(gòu)買鋼筆和筆記本的數(shù)量.

2

任

務(wù)確定兌換方式運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，確定兌換方式.

3

27.【綜合與實(shí)踐】

學(xué)校在某商場(chǎng)購(gòu)買甲、乙兩種不同類型的足球，相關(guān)信息如下：購(gòu)買甲種足球共用2000元，購(gòu)買

乙種足球共花費(fèi)1400元.已知購(gòu)買一個(gè)乙種足球比購(gòu)買一個(gè)甲種足球多花20元.設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲種足球

的單價(jià)是%元。

(1)請(qǐng)用含無(wú)的代數(shù)式分別表示購(gòu)買甲、乙兩種足球的數(shù)量；

(2)若本次購(gòu)買甲種足球的數(shù)量是購(gòu)買乙種足球數(shù)量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場(chǎng)的銷售

單價(jià)；

(3)為滿足學(xué)生需求，這所學(xué)校決定再次購(gòu)買甲、乙兩種足球共50個(gè).恰逢該商場(chǎng)對(duì)兩種足球的

銷售單價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球的銷售單價(jià)比上次購(gòu)買時(shí)提高了10%,乙種足球的銷售單價(jià)比上次購(gòu)買

時(shí)降低了10%.如果此次購(gòu)買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)2950元，求這所學(xué)校最多可以購(gòu)買乙種

足球的數(shù)量.

28.下面是小亮學(xué)習(xí)了“分式方程的應(yīng)用”后所作的課堂學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

題目：某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多20元，

用2000元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用1200元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同.求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)

各是多少元.

方法分析問(wèn)題列出方程

設(shè)……

解法一等量關(guān)系：甲商品數(shù)量=乙商品2000_1200

%x—20

數(shù)量

設(shè)……

解法二等量關(guān)系：甲商品進(jìn)價(jià)一乙商品20001200

----X-------------X----=20

進(jìn)價(jià)=20

任務(wù)：

(1)解法一所列方程中的x表示,解法二所列方程中的x表示.

A.甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元

B.乙種商品每件進(jìn)價(jià)x元

C.甲種商品購(gòu)進(jìn)x件

(2)根據(jù)以上解法可求出甲種商品的進(jìn)價(jià)為元/件，乙種商品的進(jìn)價(jià)為元/件.

(3)若商店將甲種商品每件的售價(jià)定為80元，乙種商品每件的售價(jià)定為45元.商店計(jì)劃用不超

過(guò)1440元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共40件，當(dāng)購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部售出后，請(qǐng)求出該商店

獲得最大的利潤(rùn)彳.（利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）

29.醴陵市委市政府順應(yīng)百萬(wàn)醴陵人民夙愿，全方位推進(jìn)“瓷城古韻?一江兩岸”老城改造，并將其列入

十大民生工程項(xiàng)目.目前，該項(xiàng)目已完成深江古橋、狀元芳洲I、泳江廣場(chǎng)、南岸風(fēng)光帶、南街酒吧等建

設(shè)并投入使用.即將啟動(dòng)泗州寺、清代文廟、千年縣衙、百年學(xué)府門樓、深水人家等子項(xiàng)目建設(shè).醴陵

市招投標(biāo)中心接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)關(guān)于清代文廟的投標(biāo)書，甲、乙工程隊(duì)施工一天的工程費(fèi)用分別

為21萬(wàn)元和16萬(wàn)元，市招投標(biāo)中心根據(jù)甲、乙兩工程隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，應(yīng)有三種施工方案：

方案一：甲隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程剛好如期完成；

方案二：乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程，要比規(guī)定日期多5天；

方案三：若甲、乙兩隊(duì)合做4天后，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完成.

根據(jù)以上方案提供的信息，在確保工期不耽誤的情況下，你認(rèn)為哪種方案最節(jié)省工程費(fèi)用，通過(guò)計(jì)

算說(shuō)明理由.

30.【綜合與實(shí)踐】生活中，我們所見(jiàn)到的地面、墻面、服裝面料等，上面的圖案常常是由一種或幾

種形狀相同的圖形拼接而成的用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留

空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌.

（1）如圖1,在口43々）中，AB=2,AD=3,^BAD=60°,圖2右側(cè)的陰影部分可以看成是左

側(cè)陰影部分沿射線方向平移而成，其中，平移的距離是.同理，再進(jìn)行一次切割平移，

可得圖3,即圖4可以看成由平行四邊形經(jīng)過(guò)兩次切割平移而成.我們可以用若干個(gè)如圖4所示的圖形,

平面鑲嵌成如圖5的圖形，則圖5的面積是.

（2）小明家浴室裝修，在墻中央留下了如圖6所示的空白，經(jīng)測(cè)量可以按圖7所示，全部用邊長(zhǎng)

為1的正三角形瓷磚鑲嵌.小明調(diào)查后發(fā)現(xiàn):一塊邊長(zhǎng)為1的正三角形瓷磚比一塊邊長(zhǎng)為1的正六邊形

瓷磚便宜40元；用500元購(gòu)買正三角形瓷磚與用2500元購(gòu)買正六邊形瓷磚的數(shù)量相等。

①請(qǐng)問(wèn)兩種瓷磚每塊各多少元？

②小明對(duì)比兩種瓷磚的價(jià)格后發(fā)現(xiàn)：用若干塊邊長(zhǎng)為1的正三角形瓷磚和邊長(zhǎng)為1的正六邊形瓷

磚一起鑲嵌總費(fèi)用會(huì)更少.按小明的想法，將空白處全部鑲嵌完，購(gòu)買瓷磚最少需要元.

圖6圖7

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】12

X=10

y=15

4.【答案】(1)三

11,11、11x_%—5

(2)變形得%—2%—1（%—3%—2）（%—3%—1）-%—3

2_____2=——5

%—2%—3-%—3

2_x—5+2

x—2x—3

2=%—3

x—2-%—3’

芻=1

解得：x=4,經(jīng)檢驗(yàn)，%=4是原方程的根.

5.【答案】⑴1-土工-仝

56nn+1

(2)解：原式=1-1+|-1+…+W8-W9=1-W9=wl

(3)解：方程變形得：!(1-+^3-%T6+…+XT96-記篇)=x^99

整理得：IT一』)=，即冠褊=熹，

解得：x=33,

經(jīng)檢驗(yàn)x=33是分式方程的解.

6.【答案】(1)解：解關(guān)于x的分式方程得，x=于沁，

zm—1

???方程有解，且解為負(fù)數(shù)，

(2m—1<0

,2，

<2m—1

解得：m<稱且m^-i

(2)解：分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3,即(n-1)x=2,

由分式方程無(wú)解，得到x-3=0,即x=3,

代入整式方程得：n=|；

當(dāng)n-l=0時(shí)，整式方程無(wú)解，此時(shí)n=l,

綜上，n=l或n="I

7.【答案】(1)-13

(2)b-ac

(解:..4%-3_4(%-1)+1_1

3)*——口——4+X^l

又.??代數(shù)式卦的值為整數(shù),

，為整數(shù)，

x—1

.??*-1=1或*-1=-1,

/.x=2或0.

8.【答案】(1)解：當(dāng)+5=<-

3%+5(%—3)=-7H/

8%—15=—771/

??,原方程有增根，

=3,

Am=-9.

(2)解：?原方程根為-1,

??X=-1/

/.m=23.

(3)解：由(1)知：x=I，771,

O

設(shè)方程的三個(gè)根為a,b,c,且a+b=c.

二?對(duì)應(yīng)的m的值為：7711=15—8a,m2=15—8b,m3=15—8c.

(4)m3=mx+m2—15

9.【答案】解：t2-2t+l=0

原式可化為：(t-I)2=0

t—1=0

At=1

3%

-------3-=t

???--------3-=1

x—1

去分母并解得：

經(jīng)檢驗(yàn)，久=-｝是原分式方程的解

10.【答案】(1)xi=a,X2=—；

乙a

(2)解：Vx+-=a+-(aRO),

xa

22

???x--+-=l--a--+-,l

xa

/.ax2+a=(a2+l)x,

ax2-(a2+l)x+a=0,

??(ax-1)(x-a)——0f

/.ax-1=0或x-a=0,

解得x-，x2=i

⑶解「?令l=a+言

?%(%—1)+1=。+言

x—1

.??x+'a+吃

x—1a—1

.11

??x--1H---r=a-1H------r-

x—1a—1

...x-l=a-l或x-l=言

解得xi=a,x2.

0【答案】⑴解「?苧=5+|，

2

即無(wú)+|=5+

*_l_4

??％1=5,%2=5

(2)解：二,關(guān)于x的方程久+,=7的解為％1=a,冷=從

?*-a+&=7,ab=

a2+h2=(a+bp-2ab=49-6=43

12.【答案】(1)解：,.?％+/=c+｝的解為%i=c,%2=

x+2=c+2的解為=C,%2=-;

Xc乙c

x+-=c+3的解為久1=C,X2=-；

Xc乙c

關(guān)于x的方程久+*=C+?的解為=c,%2=7;

檢驗(yàn)：當(dāng)尤=c或％=/時(shí)，分母都不為0,

.?.5=c,x2=號(hào)都是原方程的解,

(2)解：久+冒萬(wàn)=。+等變形得：為—1+高=。-1+言

、2

?二%—1=。-1或第一1=----,

a—T1

解得：5=?；蛐?若，

經(jīng)檢驗(yàn)：=a,久2=?=都是原方程的解?

X1乙a—1

13.【答案】(1)3；|

(2)解：Vx+^5,

x

a+b=5,ab=3,

a2+b2=(a+b)2-2ab=25-6=19；

(3)解：一4二k-x可化為x-1+—^f^k-1,

x—1x—1

方程4(=k-x的解為xi=t+1,X2=t2+2,

x—1

則有x-l=t或x-l=t2+l,

/.t(t2+l)=4,t+t2+l=k-l,

.\k=t+t2+2,t3+t=4,

k2-4k+2t3

=k(k-4)+2t3

=(t+t2+2)(t+t2-2)+2t3

=t4+4t3+t2-4

=tCt3+t)+4t3-4

=4t+4t3-4

=4(t3+t)-4

=4x4-4

=12.

14.【答案】(1)2；1

(2)解：由題意得，

設(shè)Xl=X2=t,

/.XI*X2=4,即t2=4,

解得t=±2,

k-1=XI+X2=4或k-1=XI+X2=-4,

解得k=5或k=-3.

15.【答案】(1)x=2

(2)，.,原分式方程的最簡(jiǎn)公分母為2(%2+1),而2(x2+1)>0

???解這個(gè)分式方程不會(huì)產(chǎn)生增根

(3)方程兩邊同乘(%-1)(%+1),得2(%+1)+(%-1)=4

解得：%=1

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)％=1時(shí)，(第-1)(%+1)=0

所以，原分式方程無(wú)解.

16.【答案】⑴解：56\=5x(-8)-7x6=-82

7—o

21

(2)解：由|工工|=1得

1—xx—1

2x工―曾-=1,即-2--^-=1.

x—11-xx—11-x

解得;x=4.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，x—1加，

，x=4為原方程的解.

Ax的值為4.

17.【答案】(1)-2；-3

(2)解：’.?十字方程x2的兩個(gè)解分別為xi=m,X2=n,

X

/.mn=-5,m+n=-2,

.?.二％_*+7n2_(?n+?2)2—2"血_(2)22義(~5)__14.

mn-mn~mn~—5-5

(3)解：原方程變形為久一2-生畢=—k一3，

X—2

.,.%-2+m菖當(dāng)；,)=K+(-2k-3),

xi-2=k,X2-2=-2k-3,

?%1_2_k__1

,"%7+T=^2fc=-2,

18.【答案】(1)x+—=-9；xi=-4,X2=-5

x

(2)x+42+C=-2n-1；xi=-n,X2=-n-1

x

(3)xi=-n-3,X2=-n-4

19.【答案】(1)xi=5,X2=^-

(2)xi=a,X2—

a

(3)解：猜想，關(guān)于x的方程乂二=11"的解為：xi=2,X2=-，

理由如下：將方程x[=l±變形為久+(0=2+(-。

依據(jù)閱讀材料提供的方法可得：Xl=2,X2=-1；

(4)解：將方程y號(hào)箸等變形為y+端壯=竽，

11

"+1+訶=3+彳

、1

??y+1—3或y+1=不，

解得：yi=2,丫2=一'|.

20.【答案】(1)解：?.?4+B=2

???力與B是互為“和整分式”，"和整值*=2；

⑵解:①"=號(hào)D=—,

(31)(%+2)G

(%-2)(%+2)0—2)(%+2)

3/+2%—8+G

一(%—2)(%+2)

???C與D互為"和整分式”，且"和整值*=3,

???3%2+2%—8+G=3(%—2)(%+2)=3%2—12,

???G=3%2—12—3x2—2%+8=-2x—4；

②:。=—=(盤維3)=-芻,且分式D的值為正整數(shù)t.x為正整數(shù),

???1—2=—1或%—2=—2,

x=1(%=0舍去)；

(3)解：由題意可得：t=D=—1=2,

，P+Q=^+~=2,

<x—33—x

3%—5—mx+3

"x—3一

???(3—rn)x—2=2%—6,

整理得：(1-m)x——4,

???方程無(wú)解，

1-m=0或方程有增根x=3,

解得：m=1,

當(dāng)l-znWO,方程有增根％=3,

-4

1-----=3o,

1—m

解得：m—^>

綜上：m的值為：1或g

21.【答案】(1)-2；1

(2)解：兩邊平方得2%+3=/,

整理得工2—2%—3=0,

解得％1=3,x2=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=3為原方程的解；

(3)解：+-^2—3%—^=2f

(%+目-3(%+1)-4=0>

11

(x+--4)(x+-+1)=0,

x+-=4或％+-=—1,

XX

久+工=—1化為/+久+1=0,此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

X

所以尤+工的值為4.

X

22.【答案】(1)x=5或x=6

100

(2)解：I?方程x+2020101+竺￡的解是I。1或%

x=mm

根據(jù)規(guī)律%+幾（吐1]=2幾+1的解有2個(gè)：%=八或%=n+1,

x

???可得101X—=2020，

m

解這個(gè)方程，得m=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=5是所列方程的根.

，m的值為5.

23.【答案】（1）猜想該方程的解是xi=c,X24;

驗(yàn)證：當(dāng)xi=c時(shí)，方程的左邊=。+詈，方程的右邊=c+1,左邊等于右邊

,.?。尸?是該方程的解;

當(dāng)X2=?時(shí)，方程的左邊=￡+矍=￡+c,方程的右邊=c+?,左邊等于右邊,

cCC

???X2丹是該方程的解；

22

(2)將方程工+占=。+冷變形為

%—x—1iH-----=cz-a1—H1--------

...x-l=a-l或x-lEy,

解得xi=a,X2=

a：—了1

24.【答案】（1）解：是廠冷，

方程兩邊都乘以（%+2）（%—2）得：4=x—2,

解得x=6,

當(dāng)尤=6時(shí)，（龍+2）（久-2）=8x4=3270,是原方程的根,

/.OA=6,

VOA：OB=3：4,

，OB=8,

(2)解：在RtZSAOB中,

由勾股定理AB=y/0A2+OB2=J62+82=10，

?.?將AOAB沿直線AC折疊，使點(diǎn)O落在線段AB上的點(diǎn)D處.

，AD=AO=6,OC=DC,

設(shè)OC=a,則CB=8-a,DB=AB-AD=10-6=4,

在RtACDB中，由勾股定理CB2=CD2+BD2,

即(8—a)2—a2+42,

解得a=3,

AC(3,0)；

(3)解：①作點(diǎn)C關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)C：當(dāng)點(diǎn)A,G,C三點(diǎn)在一直線上時(shí)，使AG+CG=AG+GC,>AC,

最短，

二點(diǎn)C'(3,-4),點(diǎn)A(0,6),

設(shè)AC解析式為y=kx+b,代入坐標(biāo)得，

(3k+b=—4

tb=6'

(j_10

解得/=一手,

(b=6

.,.AC解析式為y=—竽％+6,

當(dāng)y=-2時(shí)，一學(xué)％+6=-2，

解得x=2.4,

???點(diǎn)G(2.4,-2)；

②點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為Mi(-3,0)4MiCA為等腰三角形，AC=AM,

作AC的中垂線角x軸于點(diǎn)M2,AC中點(diǎn)為F,點(diǎn)F(與3,竽)即(|,3),

設(shè)AC解析式為：y=的久+/，

解得收二?

(=6

.?.AC解析式為：y=-2久+6,

過(guò)點(diǎn)F與AC垂直的直線解析式為：y=mx+n,

當(dāng)y=0時(shí)，上+*=0,

解得x=-4.5,

所以M2(-4.5,0),

以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑，截取x軸上M3,與M4兩點(diǎn),

在RtAAOC中，

由勾股定理AC=y/OA2+OC2=,62+32=3V5，

.,.點(diǎn)M3(3-3V5,0),M4(3+3A/5，0),

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3,0)或(-4.5,0)或(3—3逐，0)或(3+3而，0).

25.【答案】(1)解：設(shè)第二小組的速度為xm/min,則第一小組的速度為1.2xm/min,

依題意得方程：出=轡+15,