2024年中考數(shù)學訓練-中線四大模型在三角形中的應用（能力提升）（原卷版+解析）

02中線四大模型在三角形中的應用（能力提升）

1.直角三角形中有兩條邊的長分別為4,8,則此直角三角形斜邊上的中線長等于（）

A.4B.475C.4或4旄D.4或2麻

2.如圖，點。是RtZ\ABC的斜邊BC的中點，點、E、尸分別在邊AB、AC上，J.BE=BD

=CF,連接DE、DF,若DE=7叵,DF=IO,則線段BE的長為.

3.如圖所示，已知四邊形ABC。，R、尸分別是。C、BC上的點，點E、/分別是AP、RP

的中點，當點尸在邊BC上從點2向點C移動，且點R從點。向點C移動時，那么下列

結論成立的是（）

A.線段所的長逐漸增大

B.線段EF的長逐漸減少

C.線段所的長不變

D.ZVIB尸和△CRP的面積和不變

4.求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：如圖，在△ABC中，ZABC=9Q°,點。是AC的中點.

求證：OB=—AC.

2

證明：延長BO到。，使00=08,連接A。、CD,

中間的證明過程排亂了：

①：/ABC=90°,

②.：0B=0D,0A=0C,

③/?四邊形ABCD是平行四邊形，

④.??四邊形A2C。是矩形.

：.AC=BD,：.OB=^BD=^AC.

22

則中間證明過程正確的順序是（）

A.①④②③B.①③②④C.②④①③D.②③①④

5.如圖，為。。的直徑，CA與。。相切于點A,2C交于點D,￡是標的中點，連

接0E并延長交AC于點R若AB=5,則AF的長為（）

3

D.4

6.如圖，將△ABC沿。E折疊，使點A與BC邊的中點尸重合，下列結論中：①EF〃AB

M2EF=AB-,?ZBAF=ZCAF；?S四邊形?ZBDF+ZFEC=2ZBAC,

一2

正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.矩形ABC。與CE/G,如圖放置，點8、C、E共線，點C、。、G共線，連接AF,取

AF的中點X,連接G//,若BC=EP=4,CD=CE=2,貝l]G8=.

c,

8.如圖，在△ABC中，延長CA到點。，使AO=AC,點E是AB的中點，連接。E,并延

9.如圖，ZVIBC中，AB=AC,點。在AC上，連接2D,△ABD的中線AE的延長線交2C

于點凡ZMC=60°,若AD=5,AB=1,則EF的長為.

10.如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

己知：如圖，E是3c的中點，點A在DE上，且/BAE=/CDE.求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性

質，觀察本題中要證必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形.請

根據(jù)上述分析寫出詳細的證明過程（只需寫一種思路）.

11.如圖所示，D是△ABC邊BC的中點，E是4。上一點，滿足AE=BO=OC,FA=FE.求

ZADC的度數(shù).

A

12.(1)如圖1,在△ABC中，ZB=60°,ZC=80°,AO平分/BAC.求證：AD=AC；

(2)如圖2,在△ABC中，點E在BC邊上，中線與AE相交于點尸，AP=BC.求

證：PE=BE.

13.數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在△ABC中，4B=8,AC

=6,。是BC的中點，求BC邊上的中線的取值范圍.

E

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,使。E=AD,再證明

“△ADC會AEDB”.

(1)探究得出AD的取值范圍是；

(2)【問題解決】如圖2,AABC中，N2=90°,AB=2,AD是△ABC的中線，CE

LBC,CE=4,且NAOE=90°,求AE的長.

14.如圖，BC為。。直徑，AB切OO于8點，AC交。。于。點，E為AB中點.

(1)求證：DE是。。的切線;

(2)若/A=30°,BC=4,求陰影部分的面積.

15.(1)方法回顧證明：三角形中位線定理.

已知：如圖1,DE是△ABC的中位線.求證：

證明：

(2)問題解決：如圖2,在正方形ABC。中，E為的中點，G、尸分別為AB、CD

邊上的點，若AG=3,DF=4,ZGEF=90°,求GF的長.

圖2

16.如圖1,在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O,AO=CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)如圖2,E,F,G分別是BO,CO,AO的中點，連接EF,GE,GF,若BO=2AB,

BC=15,AC=16,求△￡打?的周長.

17.(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,點D為3c邊的中點，求

BC邊上的中線的取值范圍.解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使?！?

AD,再連接BE,可證△ACO04E8D,從而把A3、AC,2A。集中在△ABE中，利用三

角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是(直接寫出范圍即可).這種解決問題

的方法我們稱為倍長中線法；

(2)探究應用：

如圖②，在△ABC中，點。是BC的中點，DELDF于點D,DE交AB于點E,DF交

AC于點R連接ER判斷BE+CP與跖的大小關系并證明；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABC。中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點A點E是BC的中

點，若AE是/胡/的角平分線.試探究線段AB,AF,CT之間的數(shù)量關系，并加以證

明.

18.我們定義：如圖1,在AABC中，把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA,把BC繞

點C逆時針旋轉90°得至UCB',連接MB'.我們稱B'C是△ABC的“旋補交

差三角形"，連接AB'、A'B,我們將AB'、A'8所在直線的相交而成的角稱之為△

ABC”旋補交差角”，C點到A'B'中點E間的距離成為“旋轉中距”.如圖1,AB'

08即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△A2C“旋補中距”.

(1)若已知圖1中的長度等于4,當NACB=90°,則△ABC“旋補交差角"NB'

OB=90°,“旋補中距"CE長度=2；

(2)若圖1中NACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△A2C“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請

證明你的結論，并直接判斷AABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；

(3)已知圖2中△?!'B'C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4,A'B'

長度等于6,問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明

理由.

19.在四邊形4BCD中，ZABC=90°,AB=BC,對角線AC、8。相交于點E,過點C作

CP垂直于BD垂足為R

且CF=DF.

(1)求證：AACDS/XBCF；

(2)如圖2,連接AR點尸、M、N分別為線段A3、AF,DP的中點，連接尸M、MN、

PN.

①求證：ZPMN=135°；

②若AD=2加,求△〃新的面積.

02中線四大模型在三角形中的應用（能力提升）

1.直角三角形中有兩條邊的長分別為4,8,則此直角三角形斜邊上的中線長等于（）

A.4B.4泥C.4或4旄D.4或2如

【答案】D

【解答】解：①當4和8均為直角邊時，斜邊=4泥，則斜邊上的中線=2灰；

②當4為直角邊，8為斜邊時，則斜邊上的中線=4.

故選：D.

2.如圖，點。是Rt^ABC的斜邊的中點，點E、歹分別在邊A3、AC上，且BE=BD

=CF,連接DE、DF,若DE=7.歷,DF=IO,則線段BE的長為.

【解答】解：如圖，延長ED至點尸，使得DP=DF,連接2尸，EP,過點E作EQLED

于點Q,

在ABDP和△CO/中，

：.ABDP^ACDF(SAS),

：.BP=CF,ZPBD=ZC,

VZC+ZABC=90°,

AZPBD+ZABC=90°,

即NAB尸=90°,

?：BE=CF,

：.BE=BP,

???4BEP為等腰直角三角形,

:?EP=MBE,

VZABC+ZC=90°,BD=BE,CD=CF,

ZBDE+ZCDF=135°,

AZEDQ=45°,

?；ED=7&,

：.EQ=DQ=7,

EP=ylIQ2+PQ2=I3V2，

：.BE=13.

故答案為：13.

3.如圖所示，已知四邊形ABC。，R、P分別是DC、BC上的點，點E、P分別是AP、RP

的中點，當點尸在邊BC上從點2向點C移動，且點R從點。向點C移動時，那么下列

結論成立的是（）

B.線段EF的長逐漸減少

C.線段E尸的長不變

D.ZVIBP和△CRP的面積和不變

【答案】A

【解答】解：連接AR,

,:E,尸分別是AP,RP的中點，

：.EF=^-AR,

2

:當點P在BC上從點C向點8移動，點R從點。向點C移動時,AR的長度逐漸增大,

.?.線段跖的長逐漸增大.

SAABP+SACRP=LB。CAB+CR）.

2

；CR隨著點R的運動而減小，

AABP和的面積和逐漸減小.

觀察選項，只有選項A符合題意.

故選：A.

4.求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：如圖，在△ABC中，ZABC=90°,點。是AC的中點.

求證：08=aAC.

2

證明：延長3。到。，使?！?gt;=。2,連接AO、CD,

中間的證明過程排亂了：

①：/ABC=90°,

?'：OB=OD,OA=OC,

③...四邊形ABCD是平行四邊形，

④...四邊形ABC。是矩形.

：.AC=BD,：.OB=^BD=^-AC.

22

則中間證明過程正確的順序是（）

A.①④②③B.①③②④C.②④①③D.②③①④

【答案】D

【解答】解：延長BO到D,使。。=OB,連接A。、CD,

'：OB=OD,OA=OC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

VZABC=90°,

平行四邊形ABCD是矩形.

：.AC=BD,

：.OB=^BD=^-AC.

22

則中間證明過程正確的順序是②③①④，

故選：D.

5.如圖，為O。的直徑，CA與。。相切于點A,BC交。0于點、D,E是第的中點，連

接OE并延長交AC于點尸，若AB=5,則AF的長為（

3

蜒1610

A.RrD.4

233

【答案】A

【解答】解：連接交OF于點G,

是第的中點，

：.OE±AD,

：.ZAGO=90°,

為O。的直徑，

AZADB=90°,

：.ZADB=ZAGO=90°,

：.BC//OF,

"：OA=OB,

：.AF=CF,

...OP是aABC的中位線，

：.OF=^BC,

2

\-BD=^CD,

3

：.BD=^BC,

4

：C4與。。相切于點A,

AZCAB=90",

：.ZCAB=ZADB=90°,

'：NB=NB,

:.ABDASABAC,

.BA=BD

"BCBA"

.".BA2=BD-BC,

/.25=ABC2,

4

：.BC=10,

：.OF=^BC=5,

2

,：OA=^AB=2.5,

2

■,?^=VOF2-OA2=VS2-2.52=2.5?，

故選：A.

6.如圖，將△ABC沿OE折疊，使點A與BC邊的中點尸重合，下列結論中：①EF〃AB

且2EF=AB；②/BAF=/CAF；③S四邊形ADEF=2AE;@ZBDF+ZFEC=2ZBAC,

2

正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：設AF與。E相交于點G,

由折疊得：

ZDAE=ZDFE,DE是AF的垂直平分線，AE=EF,

?..點尸是2C的中點，點E不是AC的中點，

EF不是ZvlBC的中位線，

尸不平行于AB,2EF乎AB,

故①不正確；

'JAB^AC,點尸是BC的中點,

ZBAF^ZCAF,

故②不正確；

9：AF±DE,

?*?5四邊形產(chǎn)

=^AF^DG+^AF-EG

22

=AAF(DG+EG)

2

=XAF*DE,

2

故③正確；

,/ZBDF是△ADP的一個外角，

ZBDF=ZDAF+ZAFD,

,/NCEF是AAEF的一個外角，

ZCEF=ZEAF+ZEFA,

：.ZBDF+ZFEC=ZDAF+ZAFD+ZEAF+ZEFA

=NDAE+/DFE

=2/DAE,

故④正確；

上列結論中，正確的個數(shù)是2,

故選：B.

7.矩形ABCD與CEFG,如圖放置，點B、C、E共線，點C、D、G共線，連接AE取

AF的中點H,連接GH,若BC=EF=4,CD=CE=2,則GH=.

【答案】V2

【解答】解：如圖，延長GH交A。于點P,

,/四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形,

AZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=4、GF=CE=2,

J.AD//GF,

：.ZGFH=ZPAH,

又?..”是AF的中點，

：.AH=FH,

在△AP”和△FG”中，

2PAH=NGFH

AH=FH，

ZAHP=ZFHG

￡\APH^/XFGH(ASA),

：.AP=GF=2,PH=HG=、PG,

2

"：PD=AD-AP=2,GD=GC-CD=4-2=2

:,GP=VGD2+PD2=2近

:.GH=LGP=M

2

故答案為：V2

8.如圖，在△ABC中，延長C4到點D,使AD=AC,點E是AB的中點，連接。E,并延

長DE交BC于點、F,已知BC=4,則3廣=.

3

【解答】解：過點8作BG〃CQ,交。尸的延長線于點G,

G

：.ZD=ZG,ZDAE=ZEBG,

...點E是AB的中點，

：.AE=BE,

：.AADE^ABGE(AAS),

：.AD=BG,

\9AD=AC,

：.AD=AC=BG,

：.DC=2BG,

?：CD〃BG,

：.ZC=ZFBGf

,:/D=/G,

:.△DCFs^GBF,

?DC-CF-o

BGBF

.-.BF=ABC=A,

33

故答案為：A.

3

9.如圖，△ABC中，AB=AC,點。在AC上，連接BD,△ABO的中線AE的延長線交BC

于點/，ZMC=60°,若AD=5,AB=1,則EF的長為.

2

【答案】百

【解答】解：延長AE至點G,使得AE=EG,

G

；E是BD的中點，

；.BE=DE,

在AADE和AGBE中，

.".△ADE^AGBE(SAS),

；.AD=GB=5,ZG=ZFAC=60°,

過點B作BH1GE于點H,

在Rt^BGH中，ZGBH=180°-90°-60°=30°,

.?.GH=1BG=2,BH

在RtAABH中，AH2,

；.AG=AH+GH=8,

；.AE=GE=4,

過點D作DM〃EF,交BC于點M.

設EF=x,則DM=2x,

VDM//EF,

DM二CD二2

AF=CA"2^5,

；.AF=7x,

，AE=7x-x=6x=4,

2

.*.x=3,

2

；.EF=3,

2

故答案為：3.

10.如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

己知：如圖，E是BC的中點，點A在。E上，且求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性

質，觀察本題中要證AB=CD,必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形.請

根據(jù)上述分析寫出詳細的證明過程（只需寫一種思路）.

【解答】證明：方法一：如圖1中，作8尸，DE于點RCGLDE于點G.

(1)

AZF=ZCGE=90°,

在和ACGE中，

'/BEF=/GEC

-BE=CE，

ZBFE=ZCGE

ABFE出ACGE.

：.BF=CG.

在△ABP和△DCG中，

，ZF=ZDGC=90°

<ZBAE=ZCDE，

BF=CG

，AABF絲4DCG.

：.AB=CD.

或方法二：如圖2中，作Cr〃AB,交。E的延長線于點尸.

XVZABE=ZD,

：.ZF=ZD.

：.CF=CD.

在△ABE和△n?￡■中，

AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

11.如圖所示，D是△ABC邊BC的中點，E是AD上一點，滿足AE=BD=r>C,FA=FE.求

ZADC的度數(shù).

A

【解答】解：延長至G,使AD=0G,連接5G,在。G上截取

在△ADC和△GOB中，，

AAADC^AGDB(SAS),

：.AC=BG,ZG=ZCAD9

*：FA=FE,

：.ZCAD=ZAEF,

：.ZG=ZCAD=ZAEF=/BED,

J.BG^BE^AC,

?：AE=DC=BD,

：?AE+ED=DH+ED,

：.AD=EH,

在△D4C和中，

:.△DACmAHEB(SAS),

：.CD=BH,

：.BD=BH=DH,

：.ABDH為等邊三角形,

：.ZC=ZBDH=60°=AADC.

故答案為：60°.

12.(1)如圖1,在△ABC中，ZB=60°,ZC=80°,AO平分/BAC.求證：AD=AC；

(2)如圖2,在△ABC中，點E在8c邊上，中線8。與AE相交于點P,AP=BC.求

證：PE=BE.

A

D

P,

-D1cBE-----"C

圖1圖2

【解答】證明：(1)在△A5C中，ZB=60°,NC=80°,

AZBAC=1SO°-60°-80°=40°,

VA￡)平分N84C,

???N84O=L/3AC=20°,

2乙

AZADC=ZB+ZBAD=600+20°=80°,

VZC=80°,

：.ZC=ZADCf

：.AD=AC；

(2)過點A作A/〃BC交的延長線于點R

:?/F=/DBC,ZFAD=ZC,

9：AD=CD.

：.AADF^ACDB(A4S),

:?AF=BC,

?：AP=BC,

：.AP=AFf

：.ZAPF=ZF,

VZAPF=ZBPEf/F=/DBC,

：.ZBPE=/PBE,

:?PE=BE.

13.數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在△A5C中，AB=S,AC

=6,。是3c的中點，求3C邊上的中線AO的取值范圍.

E

圖1D

圖2

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,^DE=AD,再證明

“△ADC"AEDB”.

(1)探究得出AD的取值范圍是；

(2)【問題解決】如圖2,△ABC中，ZB=90°,AB=2,AD是△ABC的中線，CE

1.BC,CE=4,且/AOE=90°,求AE的長.

【解答】解：(1)4。的取值范圍是1<AD<7；

故答案為：1<AO<7

(2)延長AO交EC的延長線于尸，

'：AB±BC,EFLBC,

：.ZABD=ZFCD,

在△42。和△/CD中,

，ZABD=ZFCD

?BD=CD，

ZADB=ZFDC

AABD^AFCD(ASA)

：.CF=AB=2,AD=DF,

VZADE=90°,

：.AE=EF,

,/EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

：.AE=6

14.如圖，BC為。O直徑，AB切。。于B點，AC交。。于。點，E為AB中點.

(1)求證：DE是<30的切線；

(2)若NA=30°,BC=4,求陰影部分的面積.

c

BEA

【解答】(1)證明：連接OD,OE,

：.ZOBE=9Q°,

為AB中點，。為BC的中點，

是△ABC的中位線，

：.OE//AC,

：.ZBOE=ZC,ZDOE=ZCDO,

"：OC=OD,

：.ZC=ZCDO,

：.ZBOE=ZDOE,

?：OB=OD,OE=OE,

.,.△BOE出4DOE(SAS),

：./ODE=/OBE=90°,

???OD是。。的半徑，

是OO的切線；

(2)解：過點。作OFLCD,垂足為尸，過點E作EG_LA。，垂足為G,

VZABC=90°,ZA=30°,BC=4,

，AB=F8C=4我，AC=2BC=8,ZC=90°-ZA=60°,

OC=OD,

.?.△COD是等邊三角形，

：.ZCOD=ZCDO=6Q°,OC=OD=CD^^BC=2,

2

Z.ZBOD=180°-ZC<9Z)=120°,AD=AC-DC=8-2=6,

OF=OC-sin60°=2X」I_=y,

2

,/ZODE=90°,

Z.ZADE=180°-/ODE-/CDO=30°,

：.ZA=ZADE=30°,

：.AE=DE,

：.AG=DG=^AD=3,

2

；.GE=AG?tan30°=3義返=?,

3

陰影部分的面積=442。的面積-4COD的面積-扇形BOD的面積-XDEA的面積

兀義

=XAB-BC-工CD，OF-1202：_±AD.EG

223602

=AX4X4A/3--X2XJ3-—TT-AX6XJ3

2232

=4V3-—Tt,

3

A陰影部分的面積為4a-叔

15.(1)方法回顧證明：三角形中位線定理.

己知：如圖1,OE是△ABC的中位線.求證：.

證明：

(2)問題解決：如圖2,在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、尸分別為AB、CD

邊上的點，若AG=3,DF=4,ZGEF=90°,求GF的長.

【解答】（1）已知：如圖1,OE是△ABC的中位線.求證：DE//BC,DE=^.BC,

2

證明：過點C作CF//BA交DE的延長線于點F,

：.ZA=ZACF,ZF=ZADF,

?.?點E是AC的中點，

：.AE=EC,

：.AADE^ACFE(44S),

：.DE=EF=—DF,AD=CF,

2

?..點。是AB的中點，

:.AD=DB,

：.DB=CF,

二四邊形DBCF是平行四邊形，

J.DF//BC,DF=BC,

J.DE//BC,DE=LBC,

2

故答案為：DE//BC,DE=LBC；

2

(2)延長GE,CD交于點

?..四邊形ABC。是正方形，

：.AB//CD,

：.ZA=ZADH,ZAGE=ZH,

?.?點E是A￡＞的中點，

：.AE=DE,

:.叢AGE”叢DHE(A4S),

：.AG=DH=3,GE=EH,

"：DF=4,

：.FH=DH+DF=1,

'：ZGEF=90°,

.?.FE是GH的垂直平分線,

：.GF=FH=1,

16.如圖1,在四邊形ABC。中，AC和2。相交于點。，AO^CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)如圖2,E,F,G分別是80,CO,AD的中點，連接EF,GE,GF,若BD=2AB,

BC=15,AC=16,求△EFG的周長.

【解答】（1）證明：?.?NBCA=NCAD,

J.AD//BC,

在△AQD與△COB中，

:AAOD空ACOB(ASA),

：.AD=BC,

四邊形ABC。是平行四邊形;

(2)解：連接DR

V四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC=15,AB=CD,AD//BC,BD=2OD,O4=OC=Lc=8,

2

?:BD=2AB,

：.AB=OD,

：.DO=DC,

,點廠是。C的中點,

.?.OF=_1OC=4,DF±OC,

2

：.AF=OA+OF=n,

在RtAAFD中，^=VAD2-AF2=V152-122=%

...點G是AD的中點，ZAFD=90a,

：.DG=FG=—AD=1.5,

2

?.?點E,點廠分別是02,0C的中點，

是△OBC的中位線，

：.EF=^BC=1.5,EF//BC,

2

：.EF=DG,EF//AD,

四邊形GEFD是平行四邊形，

：.GE=DF=9,

：.4EFG的周長=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,

17.(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,點。為BC邊的中點，求

BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=

AD,再連接BE,可證△ACD也從而把A3、AC,2AD集中在△ABE中，利用三

角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是(直接寫出范圍即可).這種解決問題

的方法我們稱為倍長中線法；

(2)探究應用：

如圖②，在△ABC中，點。是BC的中點，DE，。尸于點。，DE交AB于點、E,DF交

AC于點尸，連接EF判斷8E+CF與EF的大小關系并證明；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形A8CD中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點只點E是BC的中

點，若AE是/BAF的角平分線.試探究線段AB,AF,C尸之間的數(shù)量關系，并加以證

明.

【解答】解：（1）1<AO<5.

"：AD^BC邊上的中線，

：.BD=CD,

:.ABDEgACDA（SAS）,

：.BE=AC=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：.6-4<AE<6+4,

.,.2<A￡<10,

.?.1<AD<5.

證明：（2）延長㈤至點M,使DM=DF,連接BM、EM,如圖②所示.

同（1）得：LBMDWACFD（.SAS）,

：.BM=CF,

'：DE±DF,DM=DF,

：.EM=EF,

在ABME中,由三角形的三邊關系得：

BE+BM>EM,

：.BE+CF>EF.

A

(3)如圖③，延長AE,DF交于點G,

,JAB//CD,

：./BAG=NG,

在△4BE和△GCE中，

CE=BE,ZBAG=ZG,ZAEB=ZGEC,

：.AABE^AGEC(AAS),

CG=AB,

是/BAF的平分線，

ZBAG=ZGAF,

：.ZFAG=NG,

：.AF=GF,

；FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

18.我們定義：如圖1,在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CAI把3c繞

點C逆時針旋轉90°得至UCB',連接A，B'.我們稱△A'B'C是△ABC的“旋補交

差三角形"，連接AB'、A'B,我們將AB'、A'8所在直線的相交而成的角稱之為△

A2C“旋補交差角”，C點到A'B'中點￡間的距離成為“旋轉中距”.如圖1,ZB'

08即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”.

(1)若已知圖1中AB的長度等于4,當/ACB=90°,則△ABC“旋補交差角"ZB'

OB=90°,“旋補中距"CE長度=2；

(2)若圖1中/ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則AABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請

證明你的結論，并直接判斷△A2C“旋補中距”是否也發(fā)生改變；

(3)已知圖2中aA'B'C是△ABC“旋補交差三角形”，的長度等于4,A'B'

長度等于6,問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明

理由.

【解答】解：(1)如圖1,

圖1

:把AC點繞點C順時針旋轉90°得到。V,把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB',

/.ZACA'=90°=ZBCB',AC=A'C,BC=B'C,

VZACB=90°,

/.ZA'CB'=ZACB=90°,ZACB+ZACA'=180°,ZACB+ZBCB'=180°,

.?.點A,點C,點8共線，點,B,點C,點A共線，

：.AB'>A'2的交點。與點C重合，

...△ABC“旋補交差角"ZB'08=90°,

"：AC=A'C,Z