2024年銀川高三高考一模理科數(shù)學(xué)合試卷（含答案）

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

那中2.作答時(shí);務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合力={xeN|x2-2x-340},B={^eR|log2023x<0},則力=

A.（0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

Z1

毅M2.已知用=1一『則|N|=

A.V2B.yC.2D.1

3.若直線/的一個(gè)方向向量>=（1,0,1）,平面a的一個(gè)法向量7=（0,-1,1）,則/與a所成角為

K°兀-兀2兀-7T,、57t

A.—B.—C.彳或.D.7■或二

633366

4.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)

成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

甲班10b

乙班C30

合計(jì)

附:

Pg/0.050.0250.0100.005

Ao3.8415.0246.6357.879

數(shù)學(xué)（理科）試卷第1頁(yè)（共6頁(yè)）

已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為4,則下列說法正確的是

7

A.列聯(lián)表中c的值為30,6的值為35

B.列聯(lián)表中c的值為15,6的值為50

C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”

D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”

5.已知向量2=(1,2),b=(-4,t),則

A.若則1=8B.若則f=2

C.若|￡+昨5,貝卜=2D.若￡與3的夾角為鈍角，則，＜2

6.將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸的銳角二的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過;后，交單位圓

4

于點(diǎn)尸(-1/),那么cosa的值為

A.也B.巫C.逑D.逑

1051010

7.賀蘭山巖畫公園不僅擁有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，還聚焦生態(tài)的發(fā)展.下圖1是巖畫公園

C.y=yf-x2+2\x\D.y=-J-x2+2x

8.已知/(-2,0),8(2,0),點(diǎn)尸滿足方程nx土卯=0("?>0,〃>0),且有以|一|尸邳=2,

則巴的取值范圍是

m

A.(0,1)B.。百)C.(l,x/3)D.(6,2)

9.若數(shù)列｛可｝滿足q=-1,貝心V*%+“=4%''是"｛?！埃秊榈缺葦?shù)歹『'的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

數(shù)學(xué)(理科)試卷第2頁(yè)(共6頁(yè))

10.若經(jīng)過點(diǎn)(db)可以且僅可以作曲線y=lnx的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是

A.a<0B.b=\naC.a=\nbD.a<0或b=lna

11.多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選

錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.若選項(xiàng)中有4其中，=2,3,4)個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,

隨機(jī)作答該題時(shí)(至少選擇一個(gè)選項(xiàng))所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量6(其中〃=2,3,4),則

有

A.E(&)+2E(&)<3E(&)B.E(&)+2E(8)>3￡(品)

C.2E(&)+E(&)<3E(&)D.2E(S)+E(&)〉3E(&)

12.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終

保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)(如圖甲)，利用這一原理，科技

人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的

棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體力BCD的棱長(zhǎng)

為2,則下列說法正確的是

A.勒洛四面體力BCD被平面ZBC截得的截面面積是8(兀-6)

B.勒洛四面體ZBCO內(nèi)切球的半徑是4-痛

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為27t-2出

D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-邁

3

二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記c^ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為Ac,若asinC=y/iccosA?則角A.

14.甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動(dòng)技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、

乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對(duì)乙說:

“你當(dāng)然不會(huì)是最差的“，從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共可能有種不同的

情況.(用數(shù)字作答)

數(shù)學(xué)(理科)試卷第3頁(yè)(共6頁(yè))

15.斜率為左的直線/與拋物線產(chǎn)4x相交于4B兩點(diǎn),與圓G-5）耳必=9相切于點(diǎn)”，

且“為線段48的中點(diǎn)，則后.

4Q

16.已知函數(shù)/（、）=公mX+反05、（而00）的圖象關(guān)于工=—對(duì)稱，且/（玉））二一4,

65

則sin（2%+看）的值是.

三、解答題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分

17.（12分）

已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)ai=2,且（n+l）an_I-nan=0（〃22）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

23

（2）若數(shù)列下》的前〃項(xiàng)和為小證明：Tn<~.

I*2

18.（12分）

已知菱形438邊長(zhǎng)為1,

AC=5以8。為折痕把

和△C5D折起，使點(diǎn)

A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到

達(dá)點(diǎn)R的位置，E,尸不重合.

（1）求證：BD1EF；

3

（2）若EF==求點(diǎn)8到平面。跖的距離.

2

19.（12分）

某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓

它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶

寶想聽的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以

持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司

研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制

頻率分布直方圖（如圖1）：

數(shù)學(xué)（理科）試卷第4頁(yè)（共6頁(yè)）

產(chǎn)品的性能指數(shù)在［50,70）的適合小小班幼兒使用（簡(jiǎn)稱4類產(chǎn)品），在［70,90）的適合

小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱5類產(chǎn)品），在［90,110］的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品）,

A,B,C,三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5,3.5,5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的

性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；

（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：萬件）的影響,

對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用玉，和年銷售量匕。=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖

（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

5

§(%—磯q叫S(w/-?)2

/=!/=1

16.3024.870.411.64

表中%=ln%,vlny,,”=二吃,

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=可以作為年銷售量y（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用X（萬元）的

回歸方程.

（7）建立y關(guān)于X的回歸方程；

5）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)

到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，取e4E=64）.

參考公式對(duì)于一組數(shù)據(jù)他刈）,（孫巧），其回歸直線。=。+的的斜率和截

U5

距的最小二乘估計(jì)分別為B=~——-2---，a-v-pu.

決一可

數(shù)學(xué)（理科）試卷第5頁(yè)（共6頁(yè)）

20.（12分）

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：5■+￡■=l(a>b>0)的上焦點(diǎn)廠是拋物線i=4。

|W|_V6

的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)廠與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線交橢圓。于〃,N兩點(diǎn)，且]OF\=~

過點(diǎn)尸(2從,0)的直線/交橢圓C于48兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)E(-1,0),記的面積為SiABPE的面積為$2,求何瓦的取值范

圍.

21.（12分）

已知函數(shù)/'（x）=1e'-3x,其中awO.

(1)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍;

(2)若/(x)Na(l-2sinx),求。的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的

第一題記分.

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為^^°s。，(e為參數(shù))，以原點(diǎn)

為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。2=石短花.

(1)求曲線Q的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線切=質(zhì)與曲線的、曲線C2在第一象限交于P,Q,且|OQ|=|PQ|,點(diǎn)M的直角

坐標(biāo)為(1,0),求APM。的面積.

23.［選修4-5：不等式選講］

已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=|x-4a|+|x+叫+c的最小值為4.

(1)求證：ab+bc+ca>9abc；

(2)求證：6y［ab+3y［bc+2y［ca<4.

數(shù)學(xué)(理科)試卷第6頁(yè)(共6頁(yè))

2024屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)(理科)參考答案

1.【答案】C由X2-2X-340,解得—14x43,

又因?yàn)閤eN,所以/={0,1,2,3},

又由1限023、40,可得唾2023*4唾20231，解得0<工41,

所以8={XGR|0<X41},所以408={1},

2.由石=l-：=l+i,得z=(1+i)2=2i,貝際=-2i,所以閉=2.故選：C.

3.A

4.【答案】C【解析】由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30,成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75,所以c

105x(10x30—20x45)2

=20,6=45,選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到*!=~~一———-

55x50x30x75

~6.109>5.024,因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.

5.【答案】B

1解析】對(duì)于A,若￡〃加貝(J有l(wèi)x/=-4x2,所以，=-8,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若足,貝!!有一4+2/=0,所以f=2,B正確;

對(duì)于C,a+b^(-3,t+2),所以|Z+B|=j9+(/+2)2=5,解得f=2或/=-6,C錯(cuò)誤；

若公與5的夾角為鈍角，則7否=-4+2?<0,即/<2,且公與5不能共線且反向，

由A選項(xiàng)可知，當(dāng)f=-8時(shí)，b=-4a,此時(shí)￡與5共線且反向，

所以若￡與在的夾角為鈍角，貝卜<2且，/-8,D錯(cuò)誤，故選:B.

6.【答案】A

【詳解】由點(diǎn)尸在單位圓上，則［-1)+/=1,解得歹=±1,

由銳角即a+［下TJ，則fecosla+-l=--,sinla+-1=~,

(717l\(7U^Tt.(兀、九3拒4板J5

cosa=cosa+----=cosa+—cos—+sina+—cos—=一一x—+—x—=二.故選A.

k44jI4j4I4j4525210

7.【答案】C_____

【分析】利用基本不等式可求得y=|x|67<2,知A錯(cuò)誤由xe(-2,0)時(shí)，y=Xy/^<()

可知B錯(cuò)誤；根據(jù)y=尸而41、圖象中的特殊點(diǎn)及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根

據(jù)函數(shù)定義域可知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,...尸國(guó)0=正正可4=2(當(dāng)且僅當(dāng)X2=4-V,即

x=±五時(shí)取等號(hào))，

■在(-2,2)上的最大值為2,與圖象不符，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，y=小/匚7<0,與圖象不符，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,...y=J一X：+2|x［=(國(guó)-+1,當(dāng)、=±1時(shí)，Jmax=1；

又尸尸不［過點(diǎn)(-2,0),(2,0),(0,0)；

由--+2卜性0得：H(H-2)<0,解得：-24x42,即函數(shù)定義域?yàn)椋?2,2］；

又J-(-x)2+2卜司=yj-x2+2\x\>

.?.7*+2區(qū)為定義在卜2,2］上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱；

當(dāng)xe［0,2］時(shí)，蚱J—X2+2X=J-(x-lp+1,則函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減;

綜上所述：與圖象相符，C正確；

對(duì)于D,由-/+2xN0得：04x42,y=J—f+2r不存在xe(-2,0)部分的圖象,D錯(cuò)誤.故

選：C.

8［答案JB

【詳解】由題意，點(diǎn)4(-2,0),3(2,0)且滿足悶|一閥|=2,

根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)尸的軌跡表示以±￡為焦點(diǎn)的雙曲線C的右支，

其中2a=2,2c=4,可得a=1,c=2,則6=Jc：-a?=VJ，

可得雙曲線c的漸近線方程為歹=±2x=±心,

a

又因?yàn)辄c(diǎn)P滿足方程〃X土叩=0(/7?>Q,n>0),即y=±'x,

m

結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得0<二<6,即2的取值范圍是(0,6).故選：B.

mm

9.【答案】A

a=aa

解：“Vm,〃eN,，m+nm?取m=1,則a“+i=Ta“，

??.MJ為等比數(shù)列.

反之不成立，｛可｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為人9。0),則-

44,=(-產(chǎn))x(-尸)=尸-2,只有g(shù)=-1時(shí)才能成立滿足勺+“=%4.

,數(shù)列SI滿足〃=-1,則“Vm,WeN*,金+“=44,”是為等比數(shù)列”的充分不必要條

件.

10.【答案】D

設(shè)切點(diǎn)P(Xo，lnx。).因?yàn)閥=ku,所以/=,，所以點(diǎn)尸處的切線方程為V-1叫)=’(x-x。)，

X

又因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)(db),所以人1叫=’(。-x°),即Hl=lnx°+?.

令/(x)=lnx+?(x>0),則了=6+1與/(x)=lnx+￡(x>0)有且僅有1個(gè)交點(diǎn),

x-a

/,W=--T=

XXX

當(dāng)。<0時(shí)，>5x)>0恒成立，所以/(X)單調(diào)遞增，顯然X->+00時(shí)，〃X)f+8,于是符合題意;

當(dāng)。>0時(shí)，當(dāng)0<x<a時(shí)，/'(x)<0,/(x)遞減，當(dāng)X>。時(shí)，、x)>0,/⑶遞增，所以

/('焉=/(")=lna+1,貝必+l=lna+l,即b=Ina.綜上，a?0或b=lna.故選：D

11.【答案】B次

12.【答案】C/7\\

對(duì)A選項(xiàng)結(jié)合勒洛三角形得到其截面圖，利用扇形面積和三角形面積公//\\

式即可得到答案，而A選項(xiàng)的截面積為C選項(xiàng)的最大截面積，對(duì)B選項(xiàng)//\\

需要利用正四面體的高以及外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，得到外接球半徑/\\

為手，再根據(jù)圖形得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，而此半徑即為該勒洛乂\c

四面體的能夠容納的最大球的半徑，即可判斷D選項(xiàng).-----J

【詳解】對(duì)于AS破=(%膈客-￡，~).3+5“8c=(；x**22-乎x21x3+中x2?=27t-26

故A錯(cuò)誤，截面示意圖如下：

對(duì)于B,由對(duì)稱性知，勒洛四面體Z8C。內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心。，

如圖：

正△BCD外接圓半徑a8=2.2.cos3(r=述，正四面體NBC。的

33

22

高/?=y]AB-OtB=手，令正四面體ABCD的外接球半徑為R,

在用ABOQ中,R2=[半一]+j半],解得R=如，

此時(shí)我們?cè)俅瓮暾爻槿〔糠掷章逅拿骟w如圖所示：

圖中取正四面體ABCD中心為。，連接BO交平面ACD于氤E,交：

于點(diǎn)F,其中々與△力8。共面，其中8。即為正四面體外接球半徑/?=4，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切

球半徑為r,則由圖得尸=0尸=8/-8。=2-巫，故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C,顯然勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體

某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，由對(duì)A的分析知(S彼)儂=2萬-26，故

C正確；

對(duì)于D；勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)

弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，所以勒洛四面體ABCD能B

夠容納的最大球的半徑為2-誣，故D錯(cuò)誤.故選：C.

2

嗚

14.54

由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3種情況，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，

其他三名同學(xué)排在三位置全排列有A；種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有3x3xA：=54種，故答案為：54.

15.【詳解】設(shè)/5,力),B力),M5,yo),則產(chǎn)又『再'兩式相

[y]+y2=2y0.[只=4々，

減得(必+%)(y-％)=4(%-X2),則Z=-——=---=Z.設(shè)圓心為C6,0),則kOM=-^-7

X一々yt+y2%x0-5

2

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以——三=一1，解得飛=3,代入(x-5)2+/=9得

%Xo-5

,r,22,25/5

Jo=±V5^=—=-7==±-—

y0±J55

16.先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后由題意可得卜閨卜行石，求得6=再由/(不)=|。

可得sin[x°=*,再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)?(x)=asinx+bcosx=+〃sin(x+0),abfO

b

其中sin。=/，COS(p=—j=-

Va2+b2\la2+b2

由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=g對(duì)稱，所以=正誼,

616J

即上4+也6=，化簡(jiǎn)得6=氐，

22

8即sin|\+工]=,，

所以/(*0)=45而飛+7§'。85》=245111X。-a

5I°3)5

所以

.八n.f_2乃乃7

sin2XQ4—=sin2xnH----------------9

k6yl°3225

故選：c.

17.(i)叫=(〃+i)，,i，

二占=也，且g=i,

??數(shù)列[占]是以每一項(xiàng)均為1的常數(shù)列，貝！)4=1,即%=〃+l(〃e“)；

[〃+lJZ7+1')

22211

②由⑴得。，,=〃+1，

,,7；(<1_l+l_l+l_l+...+l__L=1+l_J_一_L<3.

32435n〃+22n+\n+22

18.(1)證明：菱形力BCD中，AC1BD,設(shè)ZC,BD交于點(diǎn)0,連接E。，F(xiàn)O,

則E0_L3。，F(xiàn)O1BD,又EO1FO=O,EOu平面EOF,FOu平面EOF,

所以8。J■平面EOF；又EFu平面EOF,所以BO-LE/7；

(2)因?yàn)榱庑螢锽CD邊長(zhǎng)為1,AC=日所以O(shè)E=OF=OA=OC=LAC=叵,則

_________22

BD=2y/AB2-OA2=\>

又EF=W，所以cosNE0P=-!，則NEOF=120°，

22OE-OF2

所以S.OEF=」OE?。尸?sinl20°=—

216

則cos/功/=ED-+DF]EF?=

2DE-DF

所以sin/EDb=￡Z,

8

所以SDEF=1QE??sin/E。尸=

△￡/cr2

設(shè)點(diǎn)B到平面DEF的距離為力，由題意，—B-DEF=KB-OEF+°D-OEF

即*—3S64DE匕Fk,卜=3—ASCZAZ^OIEF,OBH—3SOEF"OD=3—S△Cz°C/E^F'BD,

S&OEF?BD_3x]=

則為=

SGEFH7

19.【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為4元，則4的所有可能取值為1.5,3.5,5.5,

由直方圖可得，A,B,。三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4,

所以，P（舁1.5）=0.15,尸質(zhì)=3.5）=0.45,P體=5.5）=0.4,所以隨機(jī)變量J的分布列為:

41.53.55.5

P0.150.450.4

所以，^=1.5x0.15+3.5x0.45+5.5x0.4=4,故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元;

(2)(z)由y=得，Iny=ln(a,x")=lna+blnx,

令〃=lnx,v=\ny,c=\na,貝!|u=c+6〃，

“，叫0.41

由表中數(shù)據(jù)可得，1=0.25,

21.61

—A—741X/I0SiI

貝丘=。—加=^-0.25x^i=4.159,所以，i)=4.159+0.25M,

即Iny=4.159+0.251nx=lng」59.xrj,因?yàn)椤?/59=64,所以夕=64,，

故所求的回歸方程為y=64x：；

5）設(shè)年收益為二萬兀，則z=（EJ）.y-x=256x，-x，設(shè)/=/，/0=256f-/,

則/（）=256-4/=4（64-打，當(dāng)/40,4）時(shí)，廣（7）＞0,/（，）在（0,4）單調(diào)遞增，

當(dāng)/《4,+沖時(shí)，/'（/）＜0,/（，）在（4,+?）單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)/=4,即x=256時(shí)，二有最大值為768,

即該廠應(yīng)投入256萬元營(yíng)銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬元.

20.【小問1詳解】

因?yàn)闋t=4回的焦點(diǎn)坐標(biāo)為伍,虎），所以川0,、?,

所以=2-,|。可=c=虛.因?yàn)?所以a巫,化簡(jiǎn)可得匕=

11?11|明3~^2=~a3

2

又/一62=。2=2,解得/=3,/=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+Y=1.

3

【小問2詳解】由（D可知P（2,0）,可知過點(diǎn)P的直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為》=%(x—2),

y=k^x-i)

由“22,化簡(jiǎn)可得僅2+3)/一4心+4/一3=0,

,T+x=

設(shè)，(X”弘)，8(工2，%)，則X]+々=UX62=W

由△=(—4*)2—402+3)(4*一3)>0,解得0<二<1.

根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得\AP\-\BP\=Jl+公|2-*J1+公|2-X2|

=(1+/)R-不卜口一X21=(1+*,一2(X]+電)+j]X2|

4(A:2+3)-8A:2+(4A:2-3)9(1+公)

=(1+用.

一+3/+3?

因?yàn)閂APE的面積為尸石的面積為$2,

J-34

設(shè)點(diǎn)E到直線/的距離為4,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得

“2+1

所以用=；,耳a52=；怛尸|3,

9(公+1)(|-3fe|V—肛公_8不3、

因此S/S2，研陽(yáng)?/=:標(biāo)+31^77)一丁丁+3二了1公+3,

0j/3

因?yàn)椤?<],所以3<公+3<4,則。。1-百

9

從而0<<—,

料」屋4

_____(a

所以5瓦的取值范圍是[o，I

13x

21.【解析】(1)由/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，得方程一=可有兩個(gè)解,

ae

設(shè)r(x)=1^，貝！l/(x)=*0,

由/(x)>0,可得x<l,r(x)單調(diào)遞增，由/(x)<0,可得x>l,r(x)單調(diào)遞減,

3

所以r(x)的最大值為/，(1)=一，當(dāng)x->+oo時(shí)r(x)fO,當(dāng)XT?-8時(shí)，r(x)^-oo,

所以可得函數(shù)r(x)的大致圖象，

13e

所以0〈一<2,解得。>三，

ae3

所以，/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。的取值

(Q\

范圍是-,+°0；

"7

(2)設(shè)g(x)=/(x)-a(l-2sinx),

(3)即g(x)=；e，-3x-a(l-2sinx),則g(x)20恒成立，

1(1三-

由g(0)=一一?>0,g-=-e6-3x->0,可得0<aWl,

a\6Ja6

113

下面證明當(dāng)OcaWl時(shí)，一e"-3x-a(l-2sinx)20(*),即證——x+2siirc-l20,

令6=一,則證<e*-36x+2sinx-1NO,b€[h+°°)?

令h(b)=b2ex-3bx+2sinx-1為開口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為b=卷,

由(D可知6=?。骸稄S<1,故6(6)在641,+8)時(shí)單調(diào)遞增，

貝||6(b)N}⑴=e*-3x+2sinx-1,

3x-2