四川省瀘州老窖天府中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題

四川省瀘州老窖天府中學(xué)2022—2023學(xué)年第二學(xué)期第一次質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)理科時間：120分鐘滿分：150分一單項選擇題（每題5分，共12道小題，共計60分）1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則它的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）．A. B.1 C. D.i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算得到，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，即可判斷其虛部.【詳解】解：由復(fù)數(shù)z滿足，可得，則，所以它的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A.2.橢圓的短軸的長是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程確定其焦點位置，再根據(jù)短軸長的定義確定其短軸長.【詳解】橢圓的，，且焦點在軸上，所以橢圓的短軸長為，故選：C.3.“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，根據(jù)與其解集的關(guān)系即可求出.【詳解】由解得：或，當(dāng)時，能推出或成立，反之，不能由或推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選A.【點睛】本題主要考查了二次不等式解法，充分必要條件的判定，屬于中檔題.4.如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列描述中不正確的是A.與去年同期相比2018年第一季度五個省的GDP總量均實現(xiàn)了增長B.2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C.2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)柱型圖與折線圖的性質(zhì)，對選項中的結(jié)論逐一判斷即可，判斷過程注意增長量與增長率的區(qū)別與聯(lián)系.詳解】由2018年第一季度五省情況圖，知：在中,與去年同期相比，2018年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長，正確；在中，2018年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省，故正確；在中，2018年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，共2個,故不正確；在中，去年同期河南省的總量增長百分之六點六后達(dá)到2018年的億元，可得去年同期河南省的總量不超過4000億元,故正確，故選C.【點睛】本題主要考查命題真假的判斷，考查折線圖、柱形圖等基礎(chǔ)知識，意在考查閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.5.如表是某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：34563m若根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可求得對的回歸直線方程是，則表中的值為A.4 B. C.3 D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得，故樣本中心為．因為回歸直線過樣本中心，所以，解得．選A．6.在區(qū)間[－2,2]內(nèi)隨機取一個數(shù)x，使得不等式成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得,再根據(jù)幾何概型的計算方法求解即可.【詳解】解：由可得，由幾何概型的定義可得使不等式成立的概率為：.故選：B.7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A.35 B.56 C.84 D.120【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，模擬程序運行即可得出結(jié)果.【詳解】第一次執(zhí)行程序，，第二次執(zhí)行程序，，以此類推，第六次執(zhí)行程序，，，不滿足，輸出.故選：B8.設(shè)實數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對于A，B，D可以取特殊值驗證，對于C，根據(jù)題意得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】對于A：當(dāng)，時不成立，故A錯誤；對于B：當(dāng)，，所以，，即，故B錯誤；對于C：因為，所以，又，所以（等號成立的條件是），故C正確.對于D：當(dāng)，時不成立，故D錯誤；故選：C.9.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，并利用點斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為1，又，故曲線在點處的切線方程為.故選：D.10.已知函數(shù)有兩個極值點求的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題化為有兩個實根，即在上有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，即有兩個左右異號的實根，所以在上有兩個交點，令，記在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)趨向于時趨向；當(dāng)趨向于時趨向，綜上，當(dāng)，即時在上有兩個交點.故選：A11.如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接,設(shè),設(shè)，由題意推得，可得，根據(jù),可得，在中，由余弦定理推得，從而求得，可得，進而求得雙曲線離心率.【詳解】由題意知，連接,設(shè),設(shè)，由雙曲線的定義可得，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，可得，則，即，在中，，由,則，由雙曲線的定義可得,因為，故，所以，在中，，由余弦定理可得：,即，所以，結(jié)合，可得，所以，故所以雙曲線的離心率為，則，故選；D【點睛】方法點睛：求解雙曲線的離心率問題，一般是要推出之間的關(guān)系式，即可求得離心率，本題中，結(jié)合題意連接,設(shè),設(shè)，利用圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，逐步求得，則問題得解.12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性和最值可比較得，再構(gòu)造函數(shù)可比較得.【詳解】設(shè)，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，所以，即.設(shè)，所以，即當(dāng)時，，所以，綜上所述，，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)與最值之間的關(guān)系證明不等式和當(dāng)時，，根據(jù)不等式賦值即可比較大小.二填空題（每題5分，共4道小題，共計20分）13.如圖的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次體育測試中的成績（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖和題中所說的平均數(shù)和中位數(shù)計算未知量即可.【詳解】由莖葉圖得甲組數(shù)據(jù)為：9，12，，24，27，因為甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，所以，解得;由莖葉圖可知乙組數(shù)據(jù)為：9，15，，18，24，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，所以，解得，所以．故答案為：214.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，進而利用直線的截距即可確定最優(yōu)解，進而可求最值.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，聯(lián)立，解得，當(dāng)直線經(jīng)過點A（1，2）時，縱截距-z最大，則z取最小值，此時.故答案為：15.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設(shè)過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.

16.關(guān)于函數(shù)頭有如下四個命題：①函數(shù)的圖象是軸對稱圖象；②當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；③函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱；④過點且與曲線相切的直線有兩條．其中所有真命題序號是______（填上所有正確的序號）．【答案】①③④．【解析】【分析】對①求出導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，可直接判斷；對②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象與性質(zhì)即可判斷與軸的交點個數(shù)；對③根據(jù)對稱中心的概念即可判斷；對④根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有兩個解，即可求解.【詳解】因為，所以對稱軸是，故①正確；因時，所以在上單調(diào)遞減；時或，所以在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，因為，則函數(shù)有1個零點，故②錯誤；，，所以函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故③正確；設(shè)切點為，所以，所以切線方程為，因為經(jīng)過點，所以，即，解得或，此時方程有兩個解，過點且與曲線相切的直線有兩條，故④正確；故答案為：①③④．三解答題（共6道小題，共計70分，寫清楚必要演算步驟和解題過程）17.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求的最值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為和；遞減區(qū)間為.（Ⅱ）最大值為11；最小值為-16.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間上的符號，可得的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，分析當(dāng)時，函數(shù)的極值和區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值，比照后可得的最大值與最小值．【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，由，得和.∴當(dāng)或時，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù).∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；遞減區(qū)間為.（Ⅱ）∵，由（Ⅰ）知當(dāng)，，當(dāng)時，，∴在處取得極大值也是最大值，∵，，，∴.∴時函數(shù)的最大值為11；時函數(shù)的最小值為-16.【點睛】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，是導(dǎo)數(shù)的簡單綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18.某電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為體育迷.若抽取100人中有女性55人，其中女體育迷有10人，完成答題卡中的列聯(lián)表并判斷能否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為體育迷與性別有關(guān)系？非體育迷體育迷合計男女1055合計附表及公式：，.【答案】表格見解析；不能【解析】【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖求體育迷觀眾人數(shù)，進而得到男體育迷人數(shù)、男非體育迷人數(shù)、女非體育迷人數(shù)、填入表格；再根據(jù)卡方公式求卡方，對照數(shù)據(jù)作出判斷.【詳解】由直方圖可知，100名觀眾中體育迷觀眾有名，所以男體育迷有，男非體育迷有名.所以列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男女合計.故不能在犯錯概率不超過的前提下認(rèn)為體育迷與性別有關(guān)系.【點睛】本題考查頻率分布直方圖以及卡方公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點分別為.（1）求外接圓的方程；（2）若直線經(jīng)過點，且與圓相交所得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）先設(shè)圓的方程為，根據(jù)圓過，，三點，列出方程組，即可求出結(jié)果；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況，分別用代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合弦長公式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，因為圓過三點，所以有，解得，，∴外接圓的方程為，即.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，聯(lián)立，得或，此時弦長為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由于圓心到該直線的距離為，故，解得，∴直線的方程為，即.綜上可得，直線的方程為或.【點睛】本題主要考查求圓的方程，以及已知弦長求直線方程的問題，通常需要聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合弦長公式求解，屬于常考題型.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分情況求解不等式和即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】，當(dāng)，令得，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)，令得，當(dāng)時，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，由得或，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.21.已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，求的最大值．【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）【解析】【分析】（1），討論或判斷的單調(diào)性；（2）由題意可得：對任意恒成立，即，通過導(dǎo)數(shù)求的最小值．【小問1詳解】，當(dāng)時，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】依題意得對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故的最大值為．22.已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如