2024屆上海閔行區(qū)數(shù)學高三第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆上海閔行區(qū)數(shù)學高三第一學期期末監(jiān)測模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2

1.已知集合乂=｛丫Iy=2'，x>0｝,N=｛xIy=lg(2x-x)｝，則MCN為()

A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+s)D.[1,+oo)

2.在正方體ABC。-A4G。中，球。|同時與以A為公共頂點的三個面相切，球Q同時與以。為公共頂點的三個

面相切，且兩球相切于點尸.若以F為焦點，為準線的拋物線經(jīng)過a，o,，設球。，u的半徑分別為a勺則工=

A.告1B.&叵C.TD.2-V3

3,已知數(shù)列｛《,｝的通項公式為q=2"+2,將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記么為數(shù)陣從左至右的〃列,

從上到下的“行共〃F個數(shù)的和，則數(shù)列，;的前2020項和為()

1011201920201010

2020,20202021?2021

4.等差數(shù)列｛《,｝中，4+%=10，4=7,則數(shù)列｛4｝前6項和為。

A.18B.24C.36D.72

5.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，

無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高

2丈，問：它的體積是多少?”已知1丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔

體的體積為()

日

TmMiiIii

A.10000立方尺B.11000立方尺

C.12000立方尺D.13000立方尺

22

6.已知A、尸2分別是雙曲線c：9—點■=l（a>0]>0）的左、右焦點，過尸2作雙曲線c的一條漸近線的垂線，分

別交兩條漸近線于點A、B,過點8作％軸的垂線，垂足恰為則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.V3C.26D.#）

7.若非零實數(shù)。、匕滿足2“=3"，則下列式子一定正確的是（）

A.b>aB.b<a

C.同<同D.例>|《

8.波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲

線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k>0,

22

且導1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓5+4=1（a>b>0）,A,B為橢圓的長軸端

a2b2

|MA|

點，C,D為橢圓的短軸端點，動點M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢

|MB|

圓的離心率為（）

A&Rg「近V3

A.-----B.-----C.nD.

3322

9.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）

10.已知正方體ABC。—A4GA的棱長為2,E,F,G分別是棱AO,CC,,G。的中點，給出下列四個命題:

①Enqc；

②直線FG與直線A。所成角為60°；

③過E，F(xiàn),G三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形；

④三棱錐B-EFG的體積為*.

6

其中，正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.設M是AABC邊BC上任意一點，N為AM的中點，若AN=/IA8+"AC,則2+〃的值為（）

111

A.1B.-C.-D.-

234

12.已知函數(shù)/'（幻=5"二工一，^山石村05M了,則〃1）+〃2）+...+/（2020）的值等于（）

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知二項式,）6的展開式中的常數(shù)項為_/60,則。=.

14.從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有

一名參加，則不同的選法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

15.已知X，y均為非負實數(shù)，且x+y<l,則4_?+分2+（1一%一?。?的取值范圍為.

16.正三棱柱ABC-A4G的底面邊長為2,側(cè)棱長為G，D為BC中點,則三棱錐A-gOG的體積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐尸-A3CD中，底面ABC。為直角梯形，AB1BC,AB//CD,AB=4,BC=CD=2,

PA^PD,點F、。分別為AO,8c的中點，且平面平面A3CD.

P

（1）求證：

⑵若PF=5求直線與平面P8C所成角的正弦值.

18.（12分）在平面直角坐標系X。），中，直線/的參數(shù)方程為｛_（/為參數(shù)），直線/與曲線C:（x-1）一+丁=1交于

y=t

A3兩點.

⑴求|明的長;

⑵在以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點P的極坐標為(2夜，與］，求點P到線段A3中點M

的距離.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=In九+QX?-3x(GR)

(1)函數(shù)/(%)在點(L/⑴)處的切線方程為丁=-2,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)當4=1時，對于任意石,々當工2>尤|時，不等式_一%)恒成立,求出實數(shù)〃，的

取值范圍.

20.(12分)如圖，A6C為等腰直角三角形，AB=AC=3,。為AC上一點，將△ABD沿8。折起，得到三棱

錐4-BCD,且使得4在底面8C。的投影E在線段BC上，連接AE.

(1)證明：BD±AEt

(2)若tan/AB￡>=；,求二面角。一84,-。的余弦值.

21.(12分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系直打中，直線/的參數(shù)方程為《廣a為參數(shù)).以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建

尸1+烏

I2

立極坐標系，且曲線C的極坐標方程為。=20cos(e-

(1)寫出直線/的普通方程與曲線。的直角坐標方程；

(2)設直線/上的定點P在曲線C外且其到C上的點的最短距離為后-夜，試求點P的坐標.

22.(10分)已知橢圓(7:￡+營=1(0<6<0的離心率為暫.且經(jīng)過點(1,當)

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(0,2)的直線/與橢圓C交于不同兩點A、B,以。4、08為鄰邊的平行四邊形04M5的頂點M在橢圓C

上，求直線/的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

M={卅=>0)={y\y>1],

N=Lely=lg(2x-x2)]=tc|2x-x2>0)

=/-2x<Oi=&|0<x<2),

；.MC\N=(1,2).

故選B.

2、D

【解題分析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點。2到點尸的距離即半徑弓，也即

點02到面CDDG的距離，點02到直線AB,的距離即點3到面的距離因此球。2內(nèi)切于正方體，設4=1，

兩球球心和公切點都在體對角線AG上，通過幾何關系可轉(zhuǎn)化出/；,進而求解

【題目詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點。2到點F的距離與到直線A4的距離相等，其中點儀到點尸的距離即半徑巴，也即點。2到

面CORG的距離，點2到直線A4的距離即點Q到面ABgA的距離，因此球儀內(nèi)切于正方體，不妨設4=1，兩

個球心O?和兩球的切點尸均在體對角線上，兩個球在平面AgC；。處的截面如圖所示，則

O2F=r2=l,AO2=苧=百，所以AF=AQ—G—1.又因為AF=AO|+qF=64+4，因此+1)4=G-1,

得12-6,所以4=2-6.

故選：D

【題目點撥】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)

學運算的核心素養(yǎng)

3、D

【解題分析】

由題意，設每一行的和為q,可得。=@+。川+…+a〃+|T=〃(〃+2i+l),繼而可求解

,n1

d=j+c,+...+*=2〃2(〃+l),表示廠=7^_裂項相消即可求解.

【題目詳解】

由題意，設每一行的和為q

故q=%+ai+i+...+4+1=〃=n(n+2i+1)

因此：bn=q+c2+…+q,=+3)+(〃+5)+...+(/?+2〃+1)]=2〃~(〃+1)

bn2〃(〃+l)2nn+l

…111111、1八1、1010

故*^2020=-(]---1-----F...H----------)=—(1-----)=---

2020222320202021220212021

故選：D

【題目點撥】

本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

4、C

【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%=5,根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式￡=&愛x6=幺愛x6可得結果.

【題目詳解】

???等差數(shù)列｛q｝中，4+4=10，，2%=10,即/=5,

.4+a6K%+4,5+7_.

..Sc=———-x6=———-x6=---x6=36,

f6t222

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前〃項和公式的應用，屬于基礎題.

5、A

【解題分析】

由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示:

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體刎=；X3X2X2=6,

四棱錐的體積/2=gx/x3x2=2,

由三視圖可知兩個四棱錐大小相等，-V=VI+2V2=10立方丈=/0000立方尺.

故選A.

【題目點撥】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關鍵.

6、B

【解題分析】

bh~

設點3位于第二象限，可求得點8的坐標，再由直線與直線y=垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為-1可得出冬

aa-

的值，進而可求得雙曲線。的離心率.

【題目詳解】

設點3位于第二象限，由于軸，則點8的橫坐標為％B=-C，縱坐標為為=-即點8(-c,

aaya)

b一如方

由題意可知，直線8E與直線y=—x垂直，._q_b_a,=

a=一五=一1"

因此，雙曲線的離心率為e=￡=歸理"1+與=6.

故選：B.

【題目點撥】

本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出。、b,。的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.

7、C

【解題分析】

令2“=3"=，，貝！h>0,將指數(shù)式化成對數(shù)式得“、b后,然后取絕對值作差比較可得.

【題目詳解】

令2"=3"=f，則f>0,，a=log2f=黑，b=log31=^-,

lg2lg3

，向第二畫-旭=旭他3二館2)>0,因此，|4>瓦

11111g21g3Ig21g31111

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題.

8、D

【解題分析】

求得定點M的軌跡方程(X—也］+,2=幽可得_Lx2axda=8,』x28x』a=l,解得a,b即可.

L3J792323

【題目詳解】

\MA\

設A(-a,0),B(a,0),M(x,y)..??動點M滿足網(wǎng)=2

則+=2d(x-a)2+y?=2,化簡得(x-事)，+y2=.

,.,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

/?-x2ax-a=8,-x2bx-a=l,解得a=b=,

23232

...橢圓的離心率為Jl—4?二且.

\a22

故選D.

【題目點撥】

本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題.

9、C

【解題分析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.

【題目詳解】

由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.

故選：C

【題目點撥】

本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.

10、C

【解題分析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.

【題目詳解】

如圖；

連接相關點的線段，。為8。的中點，連接ER9,因為尸是中點，可知qc，OF,EOLBC，可知4C_L平面ER9,

即可證明4CLEF,所以①正確;

直線FG與直線4。所成角就是直線A0與直線4。所成角為60°；正確;

過E,尸，G三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖:

是五邊形EHFGI.所以③不正確;

如圖：

G

三棱錐8-EFG的體積為:

由條件易知尸是GM中點,

所以VB-EFG=VR-KFM=*F-BEM，

而SBEM=S梯形A8M￡>_SgBE_S&EDM=~乂2-5X2X1—QX3X1=j,

v?=1xIxl=j.所以三棱錐B-瓦G的體積為?,④正確；

3266

故選：C.

【題目點撥】

本題考查命題的真假的判斷與應用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關系的應用，平面的基本性質(zhì)，是中

檔題.

11、B

【解題分析】

11-/t

設8W=SC，通過AN=5AM,再利用向量的加減運算可得AN=—廠AB+5AC,結合條件即可得解.

【題目詳解】

設

則有A7V=，AM=，（AB+BM）=，AB+，fBC=，AB+，（AC—AB）=UAB+，AC.

22V>2222V722

又AN=4AB+〃AC,

*I

A---

2..1-tt

所以有4+〃=---+-

222

故選B.

【題目點撥】

本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向

量表示法唯一來解決問題.

12、C

【解題分析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4,然后借助于三角函

數(shù)的周期性確定其值即可.

【題目詳解】

解：/(X)=sin2—x--73sin—xcos—x.

444

1兀、6.兀

=—(1-cos—x)-----sin-x

2222

二f(x)=—sinC|x+令+g,

2"

r__4

???/(X)的周期為=一三=,

2

〃1)=臂，"2)=1，〃3)=￥，〃4)=0,

〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=2.

.??/(1)+/(2)++7(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=1010.

故選：C

【題目點撥】

本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關鍵，屬于

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解題分析】

在二項展開式的通項公式中，令x的嘉指數(shù)等于°,求出，的值，即可求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于一16便得實數(shù)。的

值.

【題目詳解】

???二項式()6的展開式中的通項公式為7；+/=&

令6-2r=0,求得r=3，可得常數(shù)項為-d,5=-76(?%=2，

故答案為：2,

【題目點撥】

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.

14、1

【解題分析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設甲參加，乙不參加，②設乙參加，甲不參加，③設甲，乙都不參加，可得

不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,得解.

【題目詳解】

①設甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為仁-9,

②設乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為仁-C；=9,

③設甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為C；=5,

綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,

故答案為：L

【題目點撥】

本題考查了排列組合及分類討論思想，準確分類及計算是關鍵，屬中檔題.

「2J

15、一，4

.3_

【解題分析】

設，=x+y,可得/的取值范圍,分別利用基本不等式(x+y)22d+產(chǎn)和V+,22(x+>')"，把f+丁用代換，結合

t的取值范圍求關于t的二次函數(shù)的最值即可求解.

【題目詳解】

因為x,y之O,x+y=l,令，=%+y，則0W/W1,

因為(x+y)22Y,當且僅當何=o時等號成立，

所以f=尸，(]_》_),『

即4萬2+4尸+(1—x—?<4/+(1T)2=5/2-2/+1,

令〃。)=5--2f+l,04r4l,則函數(shù)〃⑺的對稱軸為r=1，

所以當f=l時函數(shù)/??)有最大值為4,

即4x2+4y2+(l-%-y)2<4r+(l-r)2=5/-2/+1K4.

當k=0且t=l,即x=0,y=l或x=l,y=0時取等號；

因為x2+/>(*丁=y，當且僅當x=)'時等號成立，

所以4%2+4y2+(]—%—y)>+(1—=3廠一2f+l,

令s(f)=3/-2r+1,0?/<1,則函數(shù)s(f)的對稱軸為r=g,

i2

所以當f=§時，函數(shù)s(t)有最小值為

992

即4x2+4/+(l-%-y)->2t2+(1-/)-=3r2-2z+l>-,

當x=y=',且r時取等號，

63

2「2-

所以4?+4/2+。-x-y)-eJ4.

故答案為：§，4

【題目點撥】

本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結合求代數(shù)式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不

等式:(x+y)22Y+y2和/+,2?(x+?的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于綜合型、難度大型試題.

16、1

【解題分析】

試題分析：因為正三棱柱ABC-A4G的底面邊長為2,側(cè)棱長為百，。為8c中點，所以底面的的面積為

|x2xV3=V3,A到平面"g的距離為就是底面正三角形的高出,所以三棱錐的體積為:xV5x6=l.

考點：幾何體的體積的計算.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析(2)述

5

【解題分析】

(1)首先可得W_LAD,再面面垂直的性質(zhì)可得PEL平面ABC。，即可得到PE_L3C,再由。尸，8C,即可

得到線面垂直；

(2)過點。做平面ABC。的垂線0Z,以。為原點，分別以。尸，OB,0Z為x,y,z軸建立空間直角坐標系

O-xyz,利用空間向量法求出線面角；

【題目詳解】

解：(D,:PA=PD,點F為AO的中點，,PFLAD,又,??平面240,平面ABC。，平面PAD,平面

ABCD=AD,Pbu平面Q4D,

；.PF上平面ABCD,又BCu平面ABC。，PE_L3C,

又,；F,。分別為A￡>,8c的中點，

AFO//AB,：.OF±BC,

又R?u平面POP,PEu平面P。/7,FOPF=F,

:.8CJ■平面P0尸.

(2)過點。做平面ABC。的垂線0Z,以。為原點，分別以OF,OB,0Z為x,J,z軸建立空間直角坐標系

O-xyz,"：PF=6：?A(4,l,0),8(0,1,0),

C(0,-l,0),1(3,0,6),

AP=(-1,-1,6)，3P=(3,-1,拘，CB=(0,2,0),

設平面PBC的法向量為〃=(x,%z),

BPn=0,鼠+岳=0,令z=3,得L,3),

由<,得

CB.〃二0

肉362逐

cos(n,AP

\n\-\AP\~2G.石―5

二直線PA與平面PBC所成角的正弦值為—.

5

【題目點撥】

本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應用，利用空間向量法求線面角，屬于中檔題.

18、（1）V2；（2）叵.

2

【解題分析】

（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結合垂徑定理即可求得|A4

的長；

（2）將P的極坐標化為直角坐標，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求得直線與圓的兩個交點坐標，由中點坐標公式求得

”的坐標，再根據(jù)兩點間距離公式即可求得1PMi.

【題目詳解】

[x=t

（1）直線/的參數(shù)方程為a為參數(shù)），

[y=t

化為直角坐標方程為y=x,即x-y=O

直線/與曲線。:（%—1）2+丁=1交于48兩點.

則圓心坐標為（1,0）,半徑為1,

則由點到直線距離公式可知=g=*，

（

所以|Aq=2x「一*=及.

（2）點P的極坐標為[20,子），化為直角坐標可得（-2,2）,

y=x

直線/的方程與曲線。的方程聯(lián)立,八22，化簡可得/-1=0,

[（尤-1）+丁=1

解得X=0,X=1,所以A8兩點坐標為（0,0）＞（1,1）,

f11A

所以M|不,

(22)

由兩點間距離公式可得|PM|=

【題目點撥】

本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化，極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化，點到直線距離公式應用，兩點間距離公式的應用,

直線與圓交點坐標求法，屬于基礎題.

19、(1)極小值為-2,極大值為——(2)(F,-171()］

【解題分析】

(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù)。，再對函數(shù)求導，即可求得函數(shù)的極值；

(2)根據(jù)題意，對目標式進行變形，構造函數(shù)/?(x)=/(x)-根據(jù)〃(x)是單調(diào)減函數(shù)，分離參數(shù)，求函數(shù)的最

值即可求得結果.

【題目詳解】

(1)函數(shù)/(%)=1。)+以2-3%的定義域為(0,+8),

//(x)=—+2ox-3,尸⑴=1+2々-3=0,a=l,

x

19r2-r4-1

可知/(x)=lnx+x2-3x,f'(x)=-+2x-3=~―^^=0,

XX

解得玉=1,%=77，

一2

可知在(1,”)時，f'(x)>Q,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

在時，尸(幻<0,函數(shù)/*)單調(diào)遞減，

可知函數(shù)fM的極小值為/(I)=lnl+l-3=-2,

極大值為=+=

(2)/(%)_/(%)〉-(％2―石)可以變形為/(王)一/(々)〉'_2，

工2工1玉%2

可得/(王)一'>/(々)—%,

X\X2

可知函數(shù)f(x)-絲在［1,10］上單調(diào)遞減

X

7/、￡/、m12o加

h(x)=j(%)---=lnx+x-3x---,

xx

IIT!

/(元)=±+2x—3+彳<0,

xx

可得m4-2x3+3x2-x,

設F(x)=-2x3+3x2-x,

(i\2]

F(X)=-6X2+6X-1=-6x一一+—<0，

\2)2

可知函數(shù)/(幻在[l』0]單調(diào)遞減，

F(x)min=F(10)=-2xlO3+3X102-10=-1710,

可知m<—1710,

可知參數(shù)m的取值范圍為(為,T710].

【題目點撥】

本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值，以及對具體函數(shù)極值的求解，涉及構造函數(shù)法，以及利用導數(shù)求函數(shù)的值域；第

二問的難點在于對目標式的變形，屬綜合性中檔題.

20、(1)見解析；(2)立

2

【解題分析】

(1)由折疊過程知4E與平面BCD垂直，得4E1.8。，再取AA中點/，可證與平面上歷。垂直，得

AA^BD,從而可得線面垂直，再得線線垂直；

(2)由已知得。為AC中點，以￡為原點，E3,EA所在直線為x，z軸，在平面8CD內(nèi)過E作BC的垂線為軸建

立空間直角坐標系，由已知求出線段長，得出各點坐標，用平面的法向量計算二面角的余弦.

【題目詳解】

(1)易知AE與平面8C。垂直，.??4七，8。，

連接A4一取A4中點“，連接

由￡>4=。4,84=84得朋，加。，叫-1用3,MBMD^M,

A4,_L平面AffiO,BOu平面MB。，...44,，B。，

又「4E=4,3。，平面A41E,M_L他；

(2)由tanNAB￡>=',知。是AC中點，

2

令BE=ABCf則AE=A3+BE=(1—A)AB+AAC,

由BD=AD-AB=—AC-AB,BDJ_AE，

i2

((1-A)AB+AAC)(-AC-AB)=O,解得力=一，故BE=2瓜CE=E.

23

以E為原點，￡8,￡4,所在直線為x,z軸，在平面BCD內(nèi)過E作8C的垂線為)'軸建立空間直角坐標系，如圖,

則BQ叵,0,0),C(-V2,0,0),A(0,0,1),D(-—,述,0)，

44

BA,=(-272,0,1),(—逑，逑,0),設平面AR。的法向量為機=(x,y,z),

44

m-BA}=-2^2x4-z=0

則；9^235/2，取x=l,則m=(1,3,2頂).

m-BD=-----x+----y=0

44

又易知平面\BC的一個法向量為〃=(0,1,0),

m-n3

cos<m,n〉=,；-.I1=----尸

MMl,3v22,

二面角C-B\-D的余弦值為也.

2

【題目點撥】

本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂

直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空

間角.

21、(1)/的普通方程為x-y+l=0.C的直角坐標方程為(x—+(y-1尸=2(2)(-1,0)或(2,3)

【解題分析】

［凡

x=——t

2

(1)對直線/的參數(shù)方程2「消參數(shù)/即可求得直線I的普通方程，對。=2&cose-?整理并兩邊乘以

.+與

I2

P,結合X=QCOS。，y=psin。即可求得曲線c的直角坐標方程。

(2