【解析】江蘇省淮安市淮陰中學(xué)泰州市姜堰中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

江蘇省淮陰中學(xué)20192020學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘本卷滿分：150分）注意事項：考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上．2．作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚．一、單項選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．，則復(fù)數(shù)的模為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】直接求復(fù)數(shù)的模.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.2.一物體做直線運動，其位移(單位:)與時間(單位:)的關(guān)系是，則該物體在時的瞬時速度是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先對求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在時的瞬時速度．【詳解】對求導(dǎo)，得，，因此，該物體在時的瞬時速度為，故選A．【點睛】本題考查瞬時速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用輔助角公式以及兩角和與差的正弦公式進行化簡，即可求得答案.詳解】解：.故選：C.【點睛】本題考查利用輔助角公式以及兩角和與差的正弦公式進行化簡求值，考查運算能力.的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】雙曲線的漸近線方程為.【詳解】雙曲線的漸近線方程是.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.5.若a,b∈R，則a＞b＞0是a2＞b2的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)，由a＞b＞0可推出a2＞b2；但，由a2＞b2無法推出a＞b＞0，如a=2,b=1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要條件，故選A.6.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．即：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）．A148斤 B.152斤 C.176斤 D.184斤．【答案】D【解析】【分析】設(shè)第一個孩子分配到斤棉，利用等差數(shù)列前項和公式得，從而得到，根據(jù)等數(shù)列的通項公式，即可求出第八個孩子分得斤數(shù)．【詳解】設(shè)第一個孩子分配到斤棉花，則由題意得：，解得，所以第八個孩子分得斤數(shù)為．故選：D．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．的上頂點為，右頂點為，若過原點作的垂線交橢圓的右準線于點，點到軸的距離為，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的方程和性質(zhì)可得出，根據(jù)斜率的公式可求出，由橢圓的右準線得出點的坐標，進而得出，再根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系，得出和的關(guān)系，再結(jié)合和離心率的公式，即可得出橢圓的離心率.【詳解】解：由題可知，橢圓的焦點在軸上，則，所以，由于點在橢圓的右準線上，且到軸的距離為，則，所以，由題得，，則，即，則有，即，而，所以，整理得：，則，即，解得：，即橢圓的離心率為.故選：C.【點睛】本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的方程、準線和簡單幾何性質(zhì)，以及直線的斜率和兩直線垂直的斜率關(guān)系，考查運算能力.的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除C，取特殊值排除AD得到答案.【詳解】當，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除C；，排除A；，，故，排除D.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，意在考查學(xué)生的計算能力和識圖能力，取特殊值排除是解題的關(guān)鍵.沿對角線折疊使得垂直于底面，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點，連接和，由等腰三角形的性質(zhì)得出，可求出和的長，再由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進而得到，利用勾股定理即可求出，最后利用等體積法得出，進而求出點到平面的距離.【詳解】解：取的中點，連接和，則，，由于四邊形是邊長為2的正方形，，則，，由題知，平面平面，且交線為，而平面，則平面，又平面，所以，在中，，是等邊三角形，則，則在中，，設(shè)點到平面的距離為，則，即，即：，解得：，即點到平面的距離為.故選：A.【點睛】本題考查利用等體積法求點到面的距離，還涉及面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式，考查推理證明和運算能力.，，且，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件可得，令，，可得，，，進一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】，，配湊得：，兩邊同時除以4得：，即，令，，則，，，所以（當且僅當即時，等號成立）.故選：C.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于難題.二、多項選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．11.下列命題正確的是（）A.已知直線平面，直線，則直線；B.已知直線a垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則直線a垂直于平面；C.平行于同一直線的兩條直線平行；D.已知a為直線，，為平面，若且，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系逐項判斷.【詳解】A選項，若直線平面，直線，則直線a與直線b平行或異面；B選項，由直線與平面垂直的概念可知B正確；C選項，平行于同一直線的兩條直線平行，C正確；D選項，若，則在平面內(nèi)必存在一條直線b使得，因為，所以，又因為平面，所以，D正確.故選：BCD【點睛】本題考查直線與平面之間的位置關(guān)系、線面平行的性質(zhì)、面面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題.12.中，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有（）A.為定值 B.C. D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A利用向量的加減法及向量的數(shù)量積公式運算即可，B根據(jù)余弦定理及角的互補運算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范圍即可，D根據(jù)余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.【詳解】對于A，，為定值，A正確；對于B，，故B正確；對于C，由余弦定理及基本不等式得（當且僅當時，等號成立）,由A選項知，，解得，故C錯誤；對于D，（當且僅當時，等號成立），因為，所以，又，所以的最大值，D選項正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計算：__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的運算法則，直接求解即可．【詳解】解：.故答案為：.【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式化簡求值，涉及指數(shù)冪和對數(shù)的運算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.14.為了進一步做好社區(qū)抗疫服務(wù)工作，從6名醫(yī)護人員中任意選出2人分別擔任組長和副組長，則有__________種不同選法．（用數(shù)字作答）【答案】30【解析】【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理進行計算.種選法.故答案為：30【點睛】本題考查分步計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.，直線．（1）當時，直線被圓截得的弦長為__________；（2）若在圓上存在一點，在直線上存在一點，使得的中點恰為坐標原點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】(1).；(2)..【解析】【分析】（1）由題可知，寫出圓的圓心和半徑以及時的直線方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長公式，求出直線被圓截得的弦長；（2）設(shè)直線關(guān)于原點對稱的直線為，根據(jù)對稱的性質(zhì)求出直線的方程，由直線與圓的位置關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離小于等于，進而可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）圓，可知圓心為，半徑為，當時，直線，則圓心到直線的距離為：，所以直線被圓截得的弦長為：；（2）設(shè)直線關(guān)于原點對稱的直線為，設(shè)直線上任意一點，則在直線上，即，即直線的方程為：，依題意，直線與圓有交點，則，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：；.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式和圓的弦長公式，以及直線關(guān)于點對稱問題，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力.16.中，，，E為AB中點，點D在邊BC上，且，CE與AD交于點O．設(shè)，則__________．【答案】【解析】【分析】過作于點，通過比例關(guān)系可得，結(jié)合平面向量的線性運算可得，進而可求出的值，即可求出的值.【詳解】解：因為，所以，過作于點，則，設(shè)，則，所以，所以，則，所以，則.故答案為:.表示出.四、解答題：本大題共6小題．請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．，若．（1）求實數(shù)m的值；（2）求值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令代入求值即可；（2）根據(jù)乘法分配律，結(jié)合二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】解：（1）令得到，所以，（2）因為,二項式的通項公式為：，所以中含的項為中含的項為所以.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了代入法的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.的各項均為正數(shù)，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，再利用等比數(shù)列的通項公式求解基本量即可.（2）由（1）可得，代入再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解可得，再裂項求和求解的前n項和即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為q．由得，所以．由條件可知，故由得，所以故數(shù)列的通項公式為．（2）故，所以所以數(shù)列的前n項和為．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解、等差數(shù)列求和、裂項相消求和等，屬于中檔題.中，是邊長為2的正三角形，側(cè)面為菱形，且，，點O為AC中點．（1）求證：平面ABC；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接BO，由于側(cè)面為菱形，，得，，由勾股定理得，，再由線面垂直的判定定理可得證；（2）分別以為x軸，y軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．由線面角的向量求解方法可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）連接BO，因為側(cè)面為菱形，，所以，因為點O為AC中點，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為，是正三角形，所以，且因為，所以，又因為，，平面ABC，平面ABC所以平面ABC，（2）分別以為x軸，y軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系．則，則，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查空間里的線面垂直關(guān)系的證明，線面角的向量求解方法，屬于中檔題.20.隨著我國綜合國力的不斷增強，不少綜合性娛樂場所都引進了“摩天輪”這一娛樂設(shè)施．（如圖1）有一半徑為40m的摩天輪，軸心距地面50m，摩天輪按逆時針方向做勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要3min．點與點都在摩天輪上，且點相對于點落后1min，當點在摩天輪的最低點處時開始計時，以軸心為坐標原點，平行于地面且在摩天輪所在平面內(nèi)的直線為軸，建立圖2所示的平面直角坐標系．（1）若，求點的縱坐標關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若，求點距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，并求時，點離地面的高度（結(jié)果精確到0.1，計算所用數(shù)據(jù)：）（3）若，當，兩點距離地面的高度差不超過時，求時間的取值范圍．【答案】（1）；（2）；40.2m；（3）.【解析】【分析】（1）由題可知，當時，以為終邊的角與的角終邊重合，且轉(zhuǎn)動的角速度為，即可得出時終邊所在的角度為，從而得出的關(guān)系式；（2）由于軸心距地面50m，得出，即可得出點距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，從而可求出，即得出點離地面的高度；（3）設(shè)Q點離地面的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式為，則，，進而得出，兩點距離地面的高度差不超過的不等式，即，解不等式從而求出的取值范圍．【詳解】解：（1）當時，以為終邊的角與的角終邊重合，且轉(zhuǎn)動的角速度為，所以時，終邊所在角度為，所以.（2）由題知，點距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，則，，當時，則．（3）設(shè)Q點離地面的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式為，則，，，所以，即，因為，所以，因為在上遞減，在遞增，又因為，，所以，即，或，即，所以時P，Q兩點的高度差不超過.【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分析解題能力和函數(shù)與方程的思想.（1）若函數(shù)在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在區(qū)間上恒成立等價于當時，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性求出最大值即可得解；（2）求出導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上有兩個不同零點，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求a的取值范圍，取，，判斷函數(shù)單調(diào)性驗證，分別為極大值與極小值即可；（3）題意等價于函數(shù)有兩個零點，分析函數(shù)單調(diào)性知，再根據(jù)為函數(shù)的極值點即可代入不等式求出的范圍從而求出a的范圍，再驗證函數(shù)的兩個零點.【詳解】（1）即當時，恒成立，設(shè)，因為，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以，．（2）因為，所以在區(qū)間上有兩個極值點的必要條件為在區(qū)間上有兩個不同零點，則，當時，在上遞減，在上遞增，，所以存在唯一的，使得，因為在區(qū)間大于零，在區(qū)間小于零，在區(qū)間上大于零，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在上遞增，所以，分別為極大值與極小值，所以當時函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點；（3）因為所以，令，，令，解得（舍去），.0＋↓極小值↑因為有兩個零點，所以，①又因為，所以②代入①得到，令，所以在上遞減，因為，所以，因為在區(qū)間上遞增，所以．i）因為，所以，，令，，所以所以在上遞增，，所以所以在區(qū)間上存在唯一一個零點．ⅱ）又因為，且，所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，綜上時，的圖像與圖像有兩個不同的交點．解法二：由得令，令，．，所以當時，，當時，，即當時，，當時，，所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以即，i）當時，因為所以取，則所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，ii）當時，令，因為，，所以，所以在上遞增，，所以，即所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，綜上時