【解析】江蘇省淮安市淮陰中學(xué)泰州市姜堰中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
【解析】江蘇省淮安市淮陰中學(xué)泰州市姜堰中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題_第2頁(yè)
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江蘇省淮陰中學(xué)20192020學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷(考試時(shí)間:120分鐘本卷滿分:150分)注意事項(xiàng):考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.答題前,請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)等用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫(xiě)在答題卡上.2.作答試題必須用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫(xiě)在答題卡上的指定位置,在其它位置作答一律無(wú)效.如有作圖需要,可用2B鉛筆作答,并請(qǐng)加黑、加粗,描寫(xiě)清楚.一、單項(xiàng)選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.,則復(fù)數(shù)的模為()A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】直接求復(fù)數(shù)的模.【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.2.一物體做直線運(yùn)動(dòng),其位移(單位:)與時(shí)間(單位:)的關(guān)系是,則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先對(duì)求導(dǎo),然后將代入導(dǎo)數(shù)式,可得出該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度.【詳解】對(duì)求導(dǎo),得,,因此,該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查瞬時(shí)速度的概念,考查導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.的值為()A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用輔助角公式以及兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn),即可求得答案.詳解】解:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用輔助角公式以及兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,考查運(yùn)算能力.的漸近線方程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】雙曲線的漸近線方程為.【詳解】雙曲線的漸近線方程是.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.5.若a,b∈R,則a>b>0是a2>b2的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì),由a>b>0可推出a2>b2;但,由a2>b2無(wú)法推出a>b>0,如a=2,b=1,即a>b>0是a2>b2的充分不必要條件,故選A.6.中國(guó)古代詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈(zèng)分八子做盤(pán)纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來(lái)言”.即:把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤(pán)纏,按照年齡從大到小的順序依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個(gè)兒子分到的綿是().A148斤 B.152斤 C.176斤 D.184斤.【答案】D【解析】【分析】設(shè)第一個(gè)孩子分配到斤棉,利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得,從而得到,根據(jù)等數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求出第八個(gè)孩子分得斤數(shù).【詳解】設(shè)第一個(gè)孩子分配到斤棉花,則由題意得:,解得,所以第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.的上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,若過(guò)原點(diǎn)作的垂線交橢圓的右準(zhǔn)線于點(diǎn),點(diǎn)到軸的距離為,則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,由橢圓的方程和性質(zhì)可得出,根據(jù)斜率的公式可求出,由橢圓的右準(zhǔn)線得出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出,再根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系,得出和的關(guān)系,再結(jié)合和離心率的公式,即可得出橢圓的離心率.【詳解】解:由題可知,橢圓的焦點(diǎn)在軸上,則,所以,由于點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上,且到軸的距離為,則,所以,由題得,,則,即,則有,即,而,所以,整理得:,則,即,解得:,即橢圓的離心率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求法,考查橢圓的方程、準(zhǔn)線和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及直線的斜率和兩直線垂直的斜率關(guān)系,考查運(yùn)算能力.的大致圖象為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除C,取特殊值排除AD得到答案.【詳解】當(dāng),,函數(shù)為奇函數(shù),排除C;,排除A;,,故,排除D.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和識(shí)圖能力,取特殊值排除是解題的關(guān)鍵.沿對(duì)角線折疊使得垂直于底面,則點(diǎn)到平面的距離為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn),連接和,由等腰三角形的性質(zhì)得出,可求出和的長(zhǎng),再由平面平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面,進(jìn)而得到,利用勾股定理即可求出,最后利用等體積法得出,進(jìn)而求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解:取的中點(diǎn),連接和,則,,由于四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形,,則,,由題知,平面平面,且交線為,而平面,則平面,又平面,所以,在中,,是等邊三角形,則,則在中,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,即,即:,解得:,即點(diǎn)到平面的距離為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離,還涉及面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式,考查推理證明和運(yùn)算能力.,,且,則的最大值為()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件可得,令,,可得,,,進(jìn)一步可得,最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】,,配湊得:,兩邊同時(shí)除以4得:,即,令,,則,,,所以(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值,考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想,屬于難題.二、多項(xiàng)選擇題:本題共2小題,每小題5分,共10分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.11.下列命題正確的是()A.已知直線平面,直線,則直線;B.已知直線a垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,則直線a垂直于平面;C.平行于同一直線的兩條直線平行;D.已知a為直線,,為平面,若且,則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷.【詳解】A選項(xiàng),若直線平面,直線,則直線a與直線b平行或異面;B選項(xiàng),由直線與平面垂直的概念可知B正確;C選項(xiàng),平行于同一直線的兩條直線平行,C正確;D選項(xiàng),若,則在平面內(nèi)必存在一條直線b使得,因?yàn)椋?,又因?yàn)槠矫妫?,D正確.故選:BCD【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面之間的位置關(guān)系、線面平行的性質(zhì)、面面垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.12.中,,BC邊上的中線,則下列說(shuō)法正確的有()A.為定值 B.C. D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A利用向量的加減法及向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可,B根據(jù)余弦定理及角的互補(bǔ)運(yùn)算即可求值,C利用余弦定理及基本不等式求出范圍即可,D根據(jù)余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.【詳解】對(duì)于A,,為定值,A正確;對(duì)于B,,故B正確;對(duì)于C,由余弦定理及基本不等式得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),由A選項(xiàng)知,,解得,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),因?yàn)椋?,又,所以的最大值,D選項(xiàng)正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,余弦定理,基本不等式,考查了推理能力,屬于難題.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.計(jì)算:__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算法則,直接求解即可.【詳解】解:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)求值,涉及指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.14.為了進(jìn)一步做好社區(qū)抗疫服務(wù)工作,從6名醫(yī)護(hù)人員中任意選出2人分別擔(dān)任組長(zhǎng)和副組長(zhǎng),則有__________種不同選法.(用數(shù)字作答)【答案】30【解析】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.種選法.故答案為:30【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題.,直線.(1)當(dāng)時(shí),直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________;(2)若在圓上存在一點(diǎn),在直線上存在一點(diǎn),使得的中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】(1).;(2)..【解析】【分析】(1)由題可知,寫(xiě)出圓的圓心和半徑以及時(shí)的直線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離,再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式,求出直線被圓截得的弦長(zhǎng);(2)設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線為,根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求出直線的方程,由直線與圓的位置關(guān)系,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離小于等于,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)圓,可知圓心為,半徑為,當(dāng)時(shí),直線,則圓心到直線的距離為:,所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為:;(2)設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線為,設(shè)直線上任意一點(diǎn),則在直線上,即,即直線的方程為:,依題意,直線與圓有交點(diǎn),則,解得:或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式,以及直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.16.中,,,E為AB中點(diǎn),點(diǎn)D在邊BC上,且,CE與AD交于點(diǎn)O.設(shè),則__________.【答案】【解析】【分析】過(guò)作于點(diǎn),通過(guò)比例關(guān)系可得,結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得,進(jìn)而可求出的值,即可求出的值.【詳解】解:因?yàn)?,所以,過(guò)作于點(diǎn),則,設(shè),則,所以,所以,則,所以,則.故答案為:.表示出.四、解答題:本大題共6小題.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定的區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.,若.(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)求值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)令代入求值即可;(2)根據(jù)乘法分配律,結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:(1)令得到,所以,(2)因?yàn)?二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為:,所以中含的項(xiàng)為中含的項(xiàng)為所以.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了代入法的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.的各項(xiàng)均為正數(shù),且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)設(shè)數(shù)列的公比為q,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解基本量即可.(2)由(1)可得,代入再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解可得,再裂項(xiàng)求和求解的前n項(xiàng)和即可.【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公比為q.由得,所以.由條件可知,故由得,所以故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)故,所以所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解、等差數(shù)列求和、裂項(xiàng)相消求和等,屬于中檔題.中,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)面為菱形,且,,點(diǎn)O為AC中點(diǎn).(1)求證:平面ABC;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】【分析】(1)連接BO,由于側(cè)面為菱形,,得,,由勾股定理得,,再由線面垂直的判定定理可得證;(2)分別以為x軸,y軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由線面角的向量求解方法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)連接BO,因?yàn)閭?cè)面為菱形,,所以,因?yàn)辄c(diǎn)O為AC中點(diǎn),所以,又因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,是正三角形,所以,且因?yàn)椋?,又因?yàn)?,,平面ABC,平面ABC所以平面ABC,(2)分別以為x軸,y軸,軸的正方向,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,則,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,即,令,則,,,設(shè)直線與平面所成角為,,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間里的線面垂直關(guān)系的證明,線面角的向量求解方法,屬于中檔題.20.隨著我國(guó)綜合國(guó)力的不斷增強(qiáng),不少綜合性?shī)蕵?lè)場(chǎng)所都引進(jìn)了“摩天輪”這一娛樂(lè)設(shè)施.(如圖1)有一半徑為40m的摩天輪,軸心距地面50m,摩天輪按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩傩D(zhuǎn),轉(zhuǎn)一周需要3min.點(diǎn)與點(diǎn)都在摩天輪上,且點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)落后1min,當(dāng)點(diǎn)在摩天輪的最低點(diǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),以軸心為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于地面且在摩天輪所在平面內(nèi)的直線為軸,建立圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)若,求點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;(2)若,求點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,并求時(shí),點(diǎn)離地面的高度(結(jié)果精確到0.1,計(jì)算所用數(shù)據(jù):)(3)若,當(dāng),兩點(diǎn)距離地面的高度差不超過(guò)時(shí),求時(shí)間的取值范圍.【答案】(1);(2);40.2m;(3).【解析】【分析】(1)由題可知,當(dāng)時(shí),以為終邊的角與的角終邊重合,且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為,即可得出時(shí)終邊所在的角度為,從而得出的關(guān)系式;(2)由于軸心距地面50m,得出,即可得出點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,從而可求出,即得出點(diǎn)離地面的高度;(3)設(shè)Q點(diǎn)離地面的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為,則,,進(jìn)而得出,兩點(diǎn)距離地面的高度差不超過(guò)的不等式,即,解不等式從而求出的取值范圍.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),以為終邊的角與的角終邊重合,且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為,所以時(shí),終邊所在角度為,所以.(2)由題知,點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,則,,當(dāng)時(shí),則.(3)設(shè)Q點(diǎn)離地面的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為,則,,,所以,即,因?yàn)椋?,因?yàn)樵谏线f減,在遞增,又因?yàn)?,,所以,即,或,即,所以時(shí)P,Q兩點(diǎn)的高度差不超過(guò).【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,涉及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查分析解題能力和函數(shù)與方程的思想.(1)若函數(shù)在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)在區(qū)間上恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí),恒成立,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性求出最大值即可得解;(2)求出導(dǎo)數(shù),則在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn),根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求a的取值范圍,取,,判斷函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證,分別為極大值與極小值即可;(3)題意等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),分析函數(shù)單調(diào)性知,再根據(jù)為函數(shù)的極值點(diǎn)即可代入不等式求出的范圍從而求出a的范圍,再驗(yàn)證函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).【詳解】(1)即當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè),因?yàn)椋?,在上單調(diào)遞增,所以,所以,.(2)因?yàn)?,所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件為在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增,,所以存在唯一的,使得,因?yàn)樵趨^(qū)間大于零,在區(qū)間小于零,在區(qū)間上大于零,所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,在上遞增,所以,分別為極大值與極小值,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn);(3)因?yàn)樗?,令,,令,解得(舍去)?0+↓極小值↑因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,①又因?yàn)?,所以②代入①得到,令,所以在上遞減,因?yàn)?,所以,因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增,所以.i)因?yàn)椋?,,令,,所以所以在上遞增,,所以所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn).ⅱ)又因?yàn)椋?,所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),綜上時(shí),的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).解法二:由得令,令,.,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,所以即,i)當(dāng)時(shí),因?yàn)樗匀。瑒t所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),ii)當(dāng)時(shí),令,因?yàn)?,,所以,所以在上遞增,,所以,即所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),綜上時(shí)

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