2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)培優(yōu) 一線三等角模型（學(xué)生版）

【壓軸必刷專(zhuān)題】

一線三等角模型專(zhuān)練

1.在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線CB上（不與點(diǎn)B,C重合），連接DE,過(guò)點(diǎn)E1作并截

^LEF=DE（點(diǎn)￡）,F在3C同側(cè)），連接3戶(hù).

（1）如圖1,點(diǎn)E在BC邊上.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②用等式表示線段8。，BE,8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2,點(diǎn)石在CB邊的延長(zhǎng)線上，其他條件均不變，直接寫(xiě)出線段3。，BE,3尸之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

2.如圖，在△ACB中，AB=AC,點(diǎn)E在邊8C上移動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)8,C重合），滿(mǎn)足且

點(diǎn)。，廠分別在邊AB,AC上.

(1)求證：ABDEs^CEF；

DE

⑵當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到2C的中點(diǎn)時(shí)，且33,CF=2,則而的值為

3.（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知：在.ABC中,

1

NB4c=90。，AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,直線/,CEL直線/,垂足分別為點(diǎn)D,E.求證：DE=BD+CE.

(2)組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2,將(1)中的條件改為：在ABC

中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線/上，WZBDA=ZAEC=ABAC=a,其中a為任意銳角或鈍

角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論上=9+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3,過(guò)ABC的邊

AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高.延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)/.若=7,則S=

4.(1)模型探究：如圖1,D、E、尸分別為△ABC三邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，且/B=NC=/EDF=a.△

8DE與△(?5￡)相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)模型應(yīng)用：△ABC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為8,E為AB邊上一點(diǎn),尸為射線AC上一點(diǎn)，將△AEP

沿所翻折，使A點(diǎn)落在射線CB上的點(diǎn)。處，且80=2.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，求而的值；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求△2DE與△CFZ)的周長(zhǎng)之比.

5.如圖，已知等邊△A8C的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。是邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，折疊△ABC,使得點(diǎn)4恰好與邊8c上

的點(diǎn)。重合，折痕為￡尸(點(diǎn)E、尸分別在邊48、AC上).

(/)當(dāng)AE：AP=5：4時(shí)，求20的長(zhǎng)；

2

(2)當(dāng)￡D_LBC時(shí)，求匹的值；

(3)當(dāng)以3、E、。為頂點(diǎn)的三角形與△。跖相似時(shí)，求8E的長(zhǎng).

6.在△ABC中，NABC=90°.

(1)如圖1,分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)2的直線的垂線，垂足分別為M、N,求證：AABMsLBCN；

(2)如圖2,P是邊BC上一點(diǎn),/BAP=/C,tan/B4C=等，求tanC的值；

oa。2

⑶如圖3,。是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=AB,ZDEB^90°,sinZBAC=j,—=直接寫(xiě)出tan

ACEB的值.

圖1圖2圖3

7.如圖1,A3=12,ACLAB,BDLAB,AC=3D=8.點(diǎn)P在線段AB上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)

B運(yùn)動(dòng),同時(shí)，點(diǎn)。在線段8。上由B點(diǎn)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

3

(1)若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)f=2時(shí)，與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，

并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)如圖2,將圖1中的“ACJ_A8,BD±ABV改為“/CAB=NDBA=60°”,其他條件不變.設(shè)點(diǎn)Q

的運(yùn)動(dòng)速度為每秒x個(gè)單位，是否存在實(shí)數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x,f的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.如圖，TXABC和△。所是兩個(gè)全等的三角形，NBAC=/EDF=120°,AB=AC=舊.現(xiàn)將△42。和4

。跖按如圖所示的方式疊放在一起，△ABC保持不動(dòng)，ADEF運(yùn)動(dòng),且滿(mǎn)足：點(diǎn)E在邊8c上運(yùn)動(dòng)(不

與點(diǎn)8,C重合)，且邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,跖與AC交于點(diǎn)

(1)求證：NBAE=/MEC；

(2)當(dāng)E在8C中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出ME：MF的值；

(3)在△。跖的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的BE的

長(zhǎng)；若不能，則請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.已知：8是經(jīng)過(guò)NBG4的頂點(diǎn)C的一條直線，G4=CB.E、尸是直線8上兩點(diǎn)，ZBEC=ZCFA=Za.

(1)若直線8經(jīng)過(guò)NBC4的內(nèi)部，ZBCD>ZACD.

①如圖1,NBCA=90°,乙a=90°,直接寫(xiě)出BE,EF,AF間的等量關(guān)系：.

②如圖2,Ne與NBC4具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出Na與NBC4的數(shù)量關(guān)系,

4

并對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明;

(2)如圖3,若直線8經(jīng)過(guò)NBC4的外部，Aa=ZBCA,①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若

不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明.

10在「.ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且于。點(diǎn)，BE1MN于E點(diǎn)、.

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問(wèn)。E、AD.8E具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)

出這個(gè)等量關(guān)系.

11.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,RtAABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到RtZkA'

B'C,A'C與AB交于點(diǎn)D

(1)如圖1,當(dāng)A'B'〃AC時(shí)，過(guò)點(diǎn)2作BELA'C,垂足為E,連接AE.

①求證：AD=BD；

②求容

的值;

5

⑵如圖2,當(dāng)A，CUB時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作所“宜,交皮C于點(diǎn)M交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)相求赤

的值.

B

ACM

AC

圖1圖2

12.將等邊三角形紙片ABC折疊使點(diǎn)A落在對(duì)邊8。上的點(diǎn)。處，折痕交A8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)？

(1)如圖1,當(dāng)時(shí)，求證：AE=AF；

BD1堞的值；

⑵如圖2,當(dāng)而