老教材數(shù)學人教a版必修5學案1.2.1解三角形的實際應用舉例-距離問題

1.2應用舉例第1課時解三角形的實際應用舉例——距離問題必備知識·自主學習1.基線(1)定義和選取原則.定義在測量上,根據(jù)測量需要適當確定的線段選取原則在測量過程中,要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度,使測量具有較高的精確度,一般來說,基線越長,測量的精確度越高.(2)本質:解三角形必須知道三角形的一條邊長,這恰是基線的意義所在.(3)作用:基線的選擇決定了測量方案的設計.2.方位角和方向角(1)方位角:從指北方向順時針轉到目標方向線所成的角.如圖(1)目標A的方位角為135°.(2)方向角:從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角.如圖(2),北偏東30°,南偏東45°.方位角與方向角有什么共同點?提示:方位角與方向角其實質是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關系.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)基線選擇不同,同一個量的測量結果可能不同. ()(2)東偏北45°的方向就是東北方向. ()(3)兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解. ()(4)如圖所示,為了測量隧道AB的長度,可測量數(shù)據(jù)a,b,γ進行計算. ()提示:(1)√.(2)√.由方向角的定義可知.(3)√.可由正弦定理解三角形求解.(4)√.由余弦定理可求出AB.2.某次測量中,A在B的北偏東55°,則B在A的 ()A.北偏西35° B.北偏東55°C.南偏西35° D.南偏西55°【解析】選D.根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖,如圖所示α=55°,則β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.3.(教材二次開發(fā):習題改編)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為 ()A.akm B.QUOTEakmC.QUOTEakm D.2akm【解析】選B.由題意得∠ACB=120°,AB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,所以AB=QUOTEa.關鍵能力·合作學習類型一用正弦定理或余弦定理求距離(數(shù)學建模)角度1用正弦定理求距離

【典例】如圖所示,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則BC為m.

【思路導引】在△ABC中,知兩角和一邊,可以用正弦定理解三角形,求BC的長.【解析】由題意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,由正弦定理得,BC=QUOTE·sin∠CAB=QUOTE·sin30°=QUOTE×QUOTE=60(QUOTE-QUOTE).答案:60(QUOTE-QUOTE)角度2用余弦定理求距離

【典例】如圖,甲船以每小時30QUOTE海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時兩船相距10QUOTE海里,問乙船每小時航行多少海里?【思路導引】連接A1B2,先解△A1A2B2,再解△A1B2B1【解析】如圖連接A1B2,A2B2=10QUOTE,A1A2=QUOTE×30QUOTE=10QUOTE,△A1A2B2是等邊三角形,∠B1A1B2=105°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,B1B2=10QUOTE.因此乙船的速度的大小為QUOTE×60=30QUOTE(海里/時).答:乙船每小時航行30QUOTE海里.1.用正弦定理求距離問題的策略(1)找基線.根據(jù)題意找出哪些線段的長度可以求出,這樣的線段在哪些三角形中.(2)測基線長及視角.注意根據(jù)平面幾何知識推出有關角的大小.(3)用正弦定理求解兩點間的距離.特別提醒:求距離問題要注意的兩點:(1)基線的選取要準確恰當.(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定.2.用余弦定理求距離問題的策略(1)總體思路.實際問題經抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(或兩個以上)三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.(2)方程思想的應用.設出未知量,從幾個三角形中用余弦定理列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.1.如圖,貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角)為140°的方向航行,為了確定貨輪的位置,貨輪在B點觀測燈塔A的方位角為110°,航行QUOTEh到達C點,觀測燈塔A的方位角是65°,則貨輪到達C點時,與燈塔A的距離是 ()A.10kmB.10QUOTEkmC.15kmD.15QUOTEkm【解析】選B.在△ABC中,BC=40×QUOTE=20(km),∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,所以A=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理,得AC=QUOTE=QUOTE=10QUOTE(km).2.某觀察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300m和500m,測得燈塔A在觀察站C的北偏東30°方向上,燈塔B在觀察站C正西方向,則兩燈塔A,B間的距離為 ()A.500m B.600m C.700m D.800m【解析】選C.根據(jù)題意畫出圖形如圖.在△ABC中,BC=500,AC=300,∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=3002+5002-2×300×500×QUOTE=490000,所以AB=700m.【補償訓練】一貨輪在海上由西向東航行,在A處望見燈塔C在貨輪的東北方向,半小時后在B處望見燈塔C在貨輪的北偏東30°方向.若貨輪的速度為30nmile/h,當貨輪航行到D處望見燈塔C在貨輪的西北方向時,求A,D兩處的距離.【解析】如圖所示,在△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=90°+30°=120°,所以∠ACB=180°-45°-120°=15°,AB=30×0.5=15(nmile),則由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,又因為sin15°=QUOTE,sin120°=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE×15(nmile).在△ACD中,因為∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD=QUOTEAC=15(3+QUOTE)(nmile).答:A,D兩處的距離為15(3+QUOTE)nmile.類型二綜合應用正弦定理和余弦定理求距離(數(shù)學建模)【典例】(2020·唐山高二檢測)如圖,為了測量河對岸A,B兩點的距離,觀察者找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C.并測量得到以下數(shù)據(jù),∠DCA=105°,∠ADC=30°,∠BCE=90°,∠ACB=∠CEB=60°,DC=200QUOTE米,CE=100QUOTE米.求A,B兩點的距離.【解析】由題意可知,在△ACD中,∠DAC=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=200米,在Rt△BCE中,BC=100QUOTE×QUOTE=300米,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=2002+3002-2×200×300×QUOTE=70000,所以AB=100QUOTE米.正弦定理與余弦定理交匯求距離的兩個關鍵點(1)畫示意圖,弄清題目條件.根據(jù)題意畫圖研究問題中所涉及的三角形,它的哪些元素是已知的,哪些元素是未知的.(2)選準入手點.找出已知邊長的三角形,結合已知條件選準“可解三角形”,并判斷是選用正弦定理,還是選用余弦定理求解.某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處,觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時,汽車到A的距離為31千米,汽車前進20千米后,到A的距離縮短了10千米.則汽車到達M汽車站還需行駛千米.

【解析】由題設,畫出示意圖,設汽車前進20千米后到達B處.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=QUOTE=QUOTE,則sin2C=1-cos2C=QUOTE,sinC=QUOTE,所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=QUOTE.在△MAC中,由正弦定理,得MC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=35.從而有MB=MC-BC=15.故汽車到達M汽車站還需行駛15千米.答案:15【補償訓練】1.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+QUOTE)海里的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20QUOTE海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里每小時,該救援船到達D點至少需要小時.

【解析】由題意知AB=5(3+QUOTE),∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,所以∠ADB=105°,所以sin105°=sin45°cos60°+sin60°cos45°=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=QUOTE=5(3+QUOTE)×QUOTE=QUOTE=10QUOTE.又∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=20QUOTE,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BCcos60°=300+1200-2×10QUOTE×20QUOTE×QUOTE=900.所以CD=30(海里),則至少需要的時間t=QUOTE=1(小時).答案:12.一條河自西向東流淌,某人在河南岸A處看到河北岸兩個目標C,D分別在東偏北45°和東偏北60°方向,此人向東走300米到達B處之后,再看C,D,則分別在西偏北75°和西偏北30°方向,求目標C,D之間的距離.【解析】由題意得,在△ABD中,因為∠DAB=60°,∠DBA=30°,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,因為AB=300,所有BD=300·sin60°=150QUOTE.在△ABC中,因為∠CAB=45°,∠ABC=75°,所以∠ACB=60°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE×QUOTE=100QUOTE.在△BCD中,因為BC=100QUOTE,BD=150QUOTE,∠CBD=45°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=37500,所以CD=50QUOTE.答:目標C,D之間的距離為50QUOTE米.類型三函數(shù)與方程思想在距離問題中的應用(數(shù)學建模)【典例】已知海島B在海島A北偏東45°,且與A相距20海里,物體甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動,同時物體乙從海島A以4海里/小時的速度沿直線向北偏西15°方向移動.(1)求經過多長時間,物體甲在物體乙的正東方向;(2)求甲從海島B到達海島A的過程中,甲乙兩物體的最短距離.【思路導引】(1)畫出物體甲在物體乙的正東方向時的示意圖,由正弦定理可解得;(2)由余弦定理及配方法可求得最小值.【解析】(1)設經過t(0<t<10)小時,物體甲移動到E的位置,物體乙移動到F的位置,如圖所示:物體甲與海島A的距離為AE=(20-2t)海里,物體乙與海島A距離為AF=4t海里,當甲在乙正東方時,∠AFE=75°,∠AEF=45°,在△AEF中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,則t=20-10QUOTE.答:經過(20-10QUOTE)小時,物體甲在物體乙的正東方向.(2)由(1)題設,AE=20-2t,AF=4t,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=(20-2t)2+(4t)2-2×(20-2t)×4t×QUOTE=28QUOTE+QUOTE,由0<t<10,得當t=QUOTE時EFmin=QUOTE海里.答:甲乙兩物體之間的距離最短為QUOTE海里.函數(shù)與方程思想在距離問題中的應用(1)函數(shù)思想的應用.將三角形中邊角之間的關系問題借助正弦定理和余弦定理建立函數(shù)關系,結合有關函數(shù)的圖象和性質,加以分析、轉化、解決有關求取值范圍、最大(小)值問題.(2)方程思想的應用.正弦定理和余弦定理涉及三個邊和三個角共六個量,只要知道其中三個獨立的量(必須有邊)就能求出其余三個量.因此,解三角形的實際應用問題中,直接求相關量較難時,通常將問題的數(shù)量關系運用這兩個定理轉化為數(shù)學模型(方程、方程組)加以解決.一次機器人足球比賽中,甲隊1號機器人由A點開始做勻速直線運動,到達點B時,發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動,如圖所示,已知AB=4QUOTEdm,AD=17dm,∠BAD=45°,若忽略機器人原地旋轉所需的時間,則該機器人最快可在何處截住足球?【解析】設機器人最快可在點C處截住足球,點C在線段AD上,連接BC,如圖所示,設BC=xdm,由題意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即x2=(4QUOTE)2+(17-2x)2-8QUOTE(17-2x)cos45°,解得x1=5,x2=QUOTE.所以AC=17-2x=7或AC=-QUOTE(舍去).所以該機器人最快可在線段AD上離A點7dm的點C處截住足球.【補償訓練】甲船在A處,乙船在A的南偏東45°方向,距A有9海里的B處,并以20海里/時的速度沿南偏西15°方向行駛,若甲船以28海里/時的速度行駛,用多少小時能最快追上乙船?【解析】如圖所示,設用t小時甲船能追上乙船,且在C處相遇.在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=92+(20t)2-2×9×20t×QUOTE,128t2-60t-27=0,所以t=QUOTE或t=-QUOTE(舍去).答:甲船用QUOTE小時能最快追上乙船.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.為了測量B,C之間的距離,在河岸A,C處測量,如圖:測得下面四組數(shù)據(jù),較合理的是 ()A.c與α B.c與bC.b,c與β D.b,α與γ【解析】選D.因為A,C在河岸的同一側,所以可以測量AC的長度和∠BAC,∠BCA的大小,并用正弦定理求BC.2.學校體育館的人字形屋架為等腰三角形,如圖所示,測得AC的長度為4米,A=30°,則其跨度AB的長為 ()A.12米 B.8米 C.3QUOTE米 D.4QUOTE米【解析】選D.△ABC為等腰三角形,A=30°,AC=4,所以B=30°,C=120°,BC=4,所以由余弦