浙江省嘉興市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)1月第一次模擬測(cè)試試卷

浙江省嘉興市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)1月第一次模擬測(cè)試試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知復(fù)數(shù)z=1+i+i2+?+A．0 B．1 C．2 D．32．已知集合A={sinkπ4|k∈NA．2 B．3 C．4 D．53．已知向量a=(2，0)，b=(0，3)，若實(shí)數(shù)λ滿足(λbA．49 B．94 C．?14．已知a=x+1x，b=eA．?x∈[?1，1]，a>cC．?x∈[?1，1]，a<c5．已知某物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足函數(shù)模型：y=k0?e1.4e?0.125t（k0>0A．16 B．17 C．18 D．196．已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=A．22024?47 B．22024+377．正四面體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，P為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段MN最長(zhǎng)時(shí)，PM?A．2 B．94 C．3 D．8．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．13 B．12 C．32二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列說法正確的是（）A．正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為πB．正切函數(shù)的圖象是不連續(xù)的C．直線x=kπ+πD．把y=tanx，x∈(?π2，10．下列說法正確的是（）A．事件A與事件B互斥，則它們的對(duì)立事件也互斥．B．若P(A)=13，C．若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則P(D．從2個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取兩個(gè)球，記事件A={取出的兩個(gè)球均為紅色}，B={取出的兩個(gè)球顏色不同}，則A與B互斥而不對(duì)立．11．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(12，0)，經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P，A．點(diǎn)P在直線x?y+1=0上 B．E是PD的中點(diǎn)C．|FA|?|FB|=|FP|2 D．12．已知函數(shù)f(x)=1?|2x+1|，x<0A．當(dāng)a=0時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)a=C．存在a∈R，使得g(x)有3個(gè)零點(diǎn) D．存在a∈R三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(x+ax)(2x?14．若數(shù)列{an}滿足a215．半徑為R的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積（各側(cè)面面積之和）的最大值為．16．對(duì)任意x∈(1，+∞)，函數(shù)f四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。17．已知在等差數(shù)列{an}中，a2=3，a8=3a3（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=anbn(n∈18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=32，a（1）求角A；（2）作角A的平分線與BC交于點(diǎn)D，且AD=3，求b+c19．如圖所示，已知△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊BC上，且BN=3NC．以MN為折痕將△BMN折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D的位置，且平面DMC⊥平面ABC，連接DA，（1）若E是線段DM的中點(diǎn)，求證：NE//平面DAC；（2）求二面角D?AC?B的余弦值．20．為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?3；如果他第1天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?3.已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?）求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學(xué)第n(n∈N?)（i）證明：{P（ii）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Pn21．已知P為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）連接PF1，交雙曲線于另一點(diǎn)A，連接PF2，交雙曲線于另一點(diǎn)①求證：λ+μ為定值；②若直線AB的斜率為?1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．函數(shù)f(x)=alnx+1（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)a=1時(shí)，若f(x1)+f(（3）求證：對(duì)于任意n∈N?都有

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】A,B,C10．【答案】B,D12．【答案】B,C,D13．【答案】214．【答案】1015．【答案】316．【答案】[17．【答案】（1）解：設(shè){an}的公差為∴a1當(dāng)n=1時(shí)，則2S1=2當(dāng)n≥2時(shí)，則2Sn?1=3b∴{b∴b（2）解：由（1）得cn∴Tn∴3Tn①－②得?2Tn=1+2×(3+∴T18．【答案】（1）解：因asinB=bsin即sinB(因B∈(0，π)，故sin因A∈(0，（2）解：因?yàn)锳D為角平分線，所以S△DAB所以12因∠BAC=π3，∠DAB=∠DAC=π6，即AB+AC=AB?AC，所以b+c=cb.又由余弦定理可得：a2把a(bǔ)=32，b+c=cb分別代入化簡(jiǎn)得：(解得：b+c=6或b+c=?3（舍去），所以b+c=6.19．【答案】（1）證明：過點(diǎn)E作AM的平行線交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作AB的平行線交AC于點(diǎn)G，連接FG．因?yàn)辄c(diǎn)E是線段DM的中點(diǎn)，BN=3NC，所以EF//AB且EF=12AB，GN//AB且GN=14∴EF=NG=12AM，且EF//NG所以NE//FG，NE?平面DAC，F(xiàn)G?平面DAC，∴NE//平面DAC.（2）解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AC所在的直線為x軸、y軸，過點(diǎn)A垂直于平面ABC的直線為設(shè)AB=AC=2，則A(0，0，因?yàn)槠矫鍰MC⊥平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC上的射影落在直線CM上，∴x+y2由題意可知，DM=1，DN=(x?12由①②③解得x=87y=?所以AD=(87設(shè)平面ACD的法向量為n=(x則AD?n=0CD?n=0取平面ABC的法向量m=(0設(shè)二面角D?AC?B的平面角為θ，顯然二面角D?AC?B為銳角，則cosθ=|cosm即二面角D?AC?B的余弦值為4320．【答案】（1）解：設(shè)Ai=“第i天選擇米飯?zhí)撞汀?i=1，2根據(jù)題意P(A1)=23，P(由全概率公式，得P(=（2）證明：（i）設(shè)An=“第n天選擇米飯?zhí)撞汀眲tPn=P(An)，P(由全概率公式，得P(A即Pn+1=?1∵P1?12=1（ii）由（i）可得Pn當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，Pn當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，Pn21．【答案】（1）解：由雙曲線的定義知，|PF由題意可得∠PF1F在△PF1F解得a=3，因?yàn)閍2+所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：①設(shè)P(x0，y0)，由PF即?3?x0同理，由PF2=μ將A的坐標(biāo)代入曲線C得，2?2x將B的坐標(biāo)代入曲線C得，2?2x所以λ+μ=?4為定值；②由①知λ+μ=?4，λ?μ=?2xkAB因?yàn)镻點(diǎn)在雙曲線上，所以2x02即P(6，622．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)的定義域是(0，由已知得，f'①當(dāng)0<a<1時(shí)，由f(x)>0得，0<x<a或x>1，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，a)，②當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)≥0，所以f(x)單調(diào)增區(qū)間為③當(dāng)a>1時(shí)，由f'(x)>0得：0<x<1或∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，1)綜上，①當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，②當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，③當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+1由（1）知，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增且令g(x)=f(x)+f(2?x)=lnx+=ln[x(2?x)]+x2?2x+1=ln[1?令F(x)=lnx?x+1(x>0)，F(xiàn)令F'(x)>0，解得0<x<1；令F'所以F(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在所以F(x)≤F(1)=0，所以lnx≤x?1，令(x?1)