押湖南省卷 3題、8題、12題、14題、25題（圖形的對(duì)稱(chēng)、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的相似、銳角三角函數(shù)、投影與視圖）（解析版）

押湖南省通用卷3題、8題、12題、14題、25題（圖形的對(duì)稱(chēng)、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的相似、銳角三角函數(shù)、投影與視圖）押題方向一：圖形的對(duì)稱(chēng)1．（2023?湘潭中考）中國(guó)的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻．觀察下列漢字，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．愛(ài) B．我 C．中 D．華解：A、漢字“愛(ài)”不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、漢字“我”不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、漢字“中”是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、漢字“華”不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；答案：C．2．（2023?懷化中考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）解：點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（2，3）．答案：D．3．（2023?邵陽(yáng)中考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將△ABP沿AP對(duì)折，得到△AB′P，連接CB'，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段CB′的最小值為11?解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7∴BC＝AD=7，AC=如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，∵AB'＝AB＝2，.∴B'在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A，B'，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CB'最短，此時(shí)CB'＝AC﹣AB'=11當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB'＞11當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB'＞11綜上所述，CB'的最小值為11?答案：11?4．（2023?湘西州中考）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線(xiàn)段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，∴∠ABE=∠CBE=1∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4，∴OA＝OB＝4，CF⊥AB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∴∠OAE=∠OAB=1∵BE⊥AC，∴OE=1∴BE＝BO+EO＝6，∵PD⊥AB，∠ABE＝30°，∴PD=1∴CP+12BP＝CP+PD∴CP+12BP∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，CF⊥AB，∴CF＝BE＝6，∴CP+1答案：6．5．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．解：選項(xiàng)A、B、C不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形，答案：D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，4），答案：A．7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AC、AB兩邊上，將△AMN沿直線(xiàn)MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線(xiàn)段BC上，當(dāng)△DCM是直角三角形時(shí)，則tan∠AMN的值為1或2．解：分兩種情況：①如圖1中，當(dāng)∠CDM＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形，作NH⊥AM于H．易證四邊形AMDN是菱形，設(shè)AN＝AM＝a，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=3由△AHN∽△ABC，∴ANAC∴a5∴AH=35a，NH=∴MH＝a?35a=∴tan∠AMN=HN②如圖2中，當(dāng)∠CMD＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形，此時(shí)∠AMN＝45°，∴tan∠AMN＝1，綜上所述，滿(mǎn)足條件的tan∠AMN的值為1或2．8．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+12DC解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接AA'，A'D，過(guò)D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=3，AA'＝23，∠C∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝∵A與A'關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴當(dāng)A'，D，E在同一直線(xiàn)上時(shí)，AD+DE的最小值等于A'E的長(zhǎng)，此時(shí)，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=32×∴AD+DE的最小值為3，即AD+12答案：3．押題方向二：圖形的旋轉(zhuǎn)9．（2023?張家界中考）如圖，AO為∠BAC的平分線(xiàn)，且∠BAC＝50°，將四邊形ABOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，則四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)的角度是75°．解：∵AO為∠BAC的平分線(xiàn)，∠BAC＝50°，∴∠BAO＝∠CAO=12∠依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋轉(zhuǎn)角為∠OAO′，∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°．答案：75°．10．（2022?衡陽(yáng)中考）下列選項(xiàng)中的垃圾分類(lèi)圖標(biāo)，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．廚余垃圾解：A．既不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．既不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；答案：C．11．（2023?岳陽(yáng)中考）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)M，N分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接MN．初步嘗試：（1）MN與AC的數(shù)量關(guān)系是MN=12AC，MN與AC的位置關(guān)系是MN∥AC特例研討：（2）如圖2，若∠BAC＝90°，BC＝42，先將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角），得到△BEF，當(dāng)點(diǎn)A，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，AE與BC相交于點(diǎn)D，連接CF．①求∠BCF的度數(shù)；②求CD的長(zhǎng)．深入探究：（3）若∠BAC＜90°，將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△BEF，連接AE，CF．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿(mǎn)足0°＜α＜360°，點(diǎn)C，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，利用所提供的備用圖探究∠BAE與∠ABF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：（1）∵AB＝AC，點(diǎn)M，N分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線(xiàn)，∴MN=12AC，MN答案：MN=12AC，MN∥（2）特例研討：①如圖所示，連接EM，MN，NF，∵M(jìn)N是△BAC的中位線(xiàn)，∴MN∥AC，∴∠BMN＝∠BAC＝90°，∵將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角），得到△BEF，∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°，∵點(diǎn)A，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，在Rt△ABE中，M是斜邊AB的中點(diǎn)，∴ME=1∴BM＝ME＝BE，∴△BME是等邊三角形，∴∠ABE＝60°，即旋轉(zhuǎn)角α＝60°，∴∠NBF＝60°，BN＝BF，∴△BNF是等邊三角形，又∵BN＝NC，BN＝NF，∴NF＝NC，∴∠NCF＝∠NFC，∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°，∴∠FCB＝30°；（2）如圖所示，連接AN，∵AB＝AC，∠BAC＝90°BC=42∴AB=22BC=4，∠ACB∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°，∴△ADN∽△BDE，∴DNDE設(shè)DE＝x，則DN=2在Rt△ABE中，BE=2，AE=23，則AD=2在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，∴(23解得：x=4?23或x=?2∴CD=DN+CN=2（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)E在FC上時(shí)，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，設(shè)∠ABC＝∠ACB＝θ，則∠BAC＝180°﹣2θ，∵M(jìn)N是△ABC的中位線(xiàn)，∴MN∥AC，∴∠MNB＝∠MBN＝θ，∵將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α，∴∠EBF＝∠EFB＝θ，∴∠BEF＝180°﹣2θ，∵點(diǎn)C，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上，∴∠BEC＝2θ，∴∠BEC+∠BAC＝180°，∴A，B，E，C在同一個(gè)圓上，∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ，∵∠ABF＝α+θ，∴∠BAE+∠ABF＝180°，如圖所示，當(dāng)F在EC上時(shí)，∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC，∴A，B，E，C在同一個(gè)圓上，設(shè)∠ABC＝∠ACB＝θ，則∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△BEF，設(shè)∠NBF＝β，則∠EBM＝β，則α+β＝360°，∴∠ABF＝θ﹣β，∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB，∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β，∵EB=∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β，∴∠BAE＝∠ABF，綜上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°．12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上時(shí)，連接AD，若∠ACB＝30°，則∠DAC的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°解：由題意知△ABC≌△DEC，則∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC=180°?∠DCA答案：D．13．中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．解：A．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故B選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D選項(xiàng)合題意；答案：D．14．在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CDE＝90°，AC＝BC，CD＝DE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接AE，DF，將△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，試判斷AE和DF的關(guān)系；【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，AE和DF的數(shù)量關(guān)系為AE=2DF，直線(xiàn)AE和直線(xiàn)DF相交所成的銳角的度數(shù)為45°【驗(yàn)證猜想】如圖②，當(dāng)點(diǎn)E不在AC上時(shí)，（1）中的關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】CD＝5，BC＝13，將△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)D，E，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出DF的長(zhǎng)．解：【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，作EG⊥AB于G，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，∴CF⊥AB，∠A＝∠B＝45°，∠ACF＝∠BCF=1∴四邊形DEFG是矩形，AE=2EG∴EG＝DF，∴AE=2DF答案：AE=2DF【驗(yàn)證猜想】【探索發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論仍然成立，理由如下：連接CF，延長(zhǎng)AE，F(xiàn)D，交于點(diǎn)W，F(xiàn)W，AC交于點(diǎn)V，由【探索發(fā)現(xiàn)】知：△ACF是等腰直角三角形，△EDC是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠ACF＝45°，CECD∴∠ACE＝∠DCF，∴△ACE∽△FCD，∴AEDF=CECD=∴AE=2DF∵∠AVW＝∠CVF，∴∠W＝∠ACF＝45°；【探究應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線(xiàn)交CE于G，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴點(diǎn)C、B、F、D共圓，BD=B∴∠CDG＝∠ABC＝45°，∠CBD＝∠CFD，∵∠ECD＝45°，∴∠CGF＝90°，∴CG＝DG=22CD∵tan∠CFD＝tan∠CBD，∴CGFG∴52∴FG＝62，∴DF＝FG﹣DG＝62?如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，設(shè)DF和CE交于點(diǎn)G，∵∠BFC+∠BDC＝180°，∴點(diǎn)C、D、B、F共圓，∴∠CDF＝∠ABC＝45°，∵∠DCF＝45°，∴∠DGC＝90°，由上可知：FG＝62，DG=5∴DF＝FG+DG=17綜上所述：DF=722押題方向三：圖形的相似15．（2023?懷化中考）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1邊長(zhǎng)的2倍，得到△A2OB2，…．依次類(lèi)推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（22022，﹣22022×3）解：由題意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023與A1都在第四象限，坐標(biāo)為（22022，﹣22022×3答案：22023，（22022，﹣22022×316．（2023?湘西州中考）如圖，點(diǎn)D，E在以AC為直徑的⊙O上，∠ADC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)B，連接BA，EC，EA，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為H，交AD于點(diǎn)F．（1）求證：AE2＝AF?AD；（2）若sin∠ABD=255，AB（1）證明：∵EH⊥AC于點(diǎn)H，AC是⊙O的直徑，∴∠AHE＝∠AEC＝90°，∵∠HAE＝∠EAC，∴△HAE∽△EAC，∴AHAE∴AE2＝AH?AC，∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°，∴△AHF∽△ADC，∴AHAD∴AH?AC＝AF?AD，∴AE2＝AF?AD．（2）解：連接BC，∵∠ADC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)B，∴∠ADB＝∠CDB，∴AB=∴AB＝BC＝5，∵∠ABC＝90°，∴AC=AB2∵∠ACD＝∠ABD，∴ADAC=sin∠ACD＝sin∠ABD∴AD=255AC=25∴AD的長(zhǎng)是210．17．（2023?婁底中考）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線(xiàn)交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長(zhǎng)；（3）求S正五邊形ABCDE（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE=12∠∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴AEEF∴AE2＝EF?EM；（2）解：設(shè)AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF?EM，∴x2＝1?（1﹣x），解得：x=5?12或∴AE=5∴AE的長(zhǎng)為5?1（3）連接BE，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，∴△FAE≌△EBC（ASA），由（2）得：AEAF∴ABAF∴S△ABE∴設(shè)△ABE的面積為（5?1）k，則△AEF的面積為2k∴△ABE的面積＝△DEC的面積＝（5?1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k∴五邊形ABCDE的面積＝△ABE的面積+△DCE的面積+△BCE的面積＝25k，∴S正五邊形ABCDE∴S正五邊形ABCDES△AEF18．（2023?益陽(yáng)中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，點(diǎn)D在邊AC上，將線(xiàn)段DA繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到DA′，線(xiàn)段DA′交AB于點(diǎn)E，作A′F⊥AB于點(diǎn)F，與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)G，連接FC，GB．（1）求證：△ADE≌△A′DG；（2）求證：AF?GB＝AG?FC；（3）若AC＝8，tanA=12，當(dāng)A′G平分四邊形DCBE的面積時(shí)，求（1）證明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°，∴∠A＝∠A'，∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°，∴△ADE≌△A′DG（ASA）；（2）證明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB，∴△AFG∽△ACB，∴AGAB∴ACAB∵∠FAC＝∠GAB，∴△FAC∽△GAB，∴AFAG∴AF?GB＝AG?FC；（3）解：∵tanA=DEAD=∴BC＝4，∴S△ACB＝16，設(shè)DE＝DG＝x，則AD＝A'D＝2x，AE＝A'G=5x∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x，∴S△ADE＝S△A′DG＝x2，∵△A'FE∽△A'DG，∴A′EA′G∴S△A'FE：S△A'DG＝1：5，∴S四邊形DGFE=45S△A'DG=4∵S△ACB＝S△ADE+S四邊形DCBE，A′G平分四邊形DCBE的面積，∴S△ACB＝S△ADE+2S四邊形DGFE，∴16＝x2+85xx2=∴x1=46513，x∴AD=819．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5．點(diǎn)P在AB上，且滿(mǎn)足PA：PB＝1：2，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM交AC于點(diǎn)M，若△APM與△ABC相似，則AM的長(zhǎng)為53或35解：∵PA：PB＝1：2，PA+PB＝AB＝3，∴PA=13AB＝1，PB＝2若△APM與△ABC相似，則可分兩種情況：①如果∠APM＝∠B，那么△APM∽△ABC，∴AMAC∴AM=13AC=1②如果∠APM＝∠C，那么△APM∽△ACB，∴AMAB∴AM=15AB=1綜上所述，AM的長(zhǎng)為53或3答案：53或320．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P、Q分別為直線(xiàn)AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且PD⊥PQ，當(dāng)△PDQ為等腰三角形時(shí)，則AP的長(zhǎng)為1或7．解：當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上，如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝3，∠A＝∠B＝90°，∵PD⊥PQ，∴∠DPQ＝90°，∵∠APD+∠ADP＝90°，∠APD+∠BPQ＝90°，∴∠ADP＝∠BPQ，∴Rt△ADP∽R(shí)t△BPQ，∴ADBP∴PB＝AD＝3，∴AP＝AB﹣PB＝4﹣3＝1．當(dāng)P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，同樣方法得到Rt△ADP∽R(shí)t△BPQ，∴ADBP∴PB＝AD＝3，∴AP＝AB+PB＝4+3＝7．綜上所述，AP的長(zhǎng)度為1或7．答案：1或7．21．“創(chuàng)新實(shí)踐”小組想利用鏡子與皮尺測(cè)量大樹(shù)AB的高度，因大樹(shù)底部有障礙物，無(wú)法直接測(cè)量到大樹(shù)底部的距離．聰明的小穎借鑒《海島算經(jīng)》的測(cè)量方法設(shè)計(jì)出如圖所示的測(cè)量方案：測(cè)量者站在點(diǎn)F處，將鏡子放在點(diǎn)M處時(shí)，剛好看到大樹(shù)的頂端，沿大樹(shù)方向向前走2.8米，到達(dá)點(diǎn)D處，將鏡子放在點(diǎn)N處時(shí)，剛好看到大樹(shù)的頂端（點(diǎn)F，M，D，N，B在同一條直線(xiàn)上）．若測(cè)得FM＝1.5米，DN＝1.1米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米，求大樹(shù)AB的高度．解：設(shè)NB的長(zhǎng)為x米，則MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由題意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB∵EF＝CD，∴DNBN=FM解得x＝6.6，∵CDAB∴1.6AB解得AB＝9.6．答：大樹(shù)AB的高度為9.6米．22．如圖點(diǎn)E是正方形ABCD中BC邊上一點(diǎn)．將△ABE沿AE翻折得到△AGE．使點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，延長(zhǎng)AG與CD邊交于點(diǎn)H，直線(xiàn)EG與CD交于點(diǎn)F．（1）如圖①，求證：DF＝GF；（2）如圖②，若直線(xiàn)EG與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N．求證：AD?FN＝AN?DF；（3）如圖③，若直線(xiàn)EG與AB、AD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)M、N，AG交BD于點(diǎn)P．求證：BPDP證明：（1）如圖，連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵將△ABE沿AE翻折得到△AGE，∴AB＝AG，∠B＝∠AGE＝90°，∴AD＝AG，∠D＝∠AGF＝90°，又∵AF＝AF，∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF；（2）由（1）可得：Rt△ADF≌Rt△AGF，∴AD＝AG，∵∠N+∠DFN＝90°＝∠N+∠NAG，∴∠NAG＝∠DFN，又∵∠NDF＝∠AGN＝90°，∴△NAG∽△NFD，∴ANNF∴AD?NF＝AN?DF；（3）∵AB∥CD，∴△ABP∽△HDP，∴ABDH∵∠AHD+∠NAG＝90°＝∠N+∠NAG，∴∠N＝∠AHD，又∵∠ADH＝∠BAD＝90°，∴△MAN∽△ADH，∴AMAN∴BPDP押題方向四：銳角三角函數(shù)23．（2023?益陽(yáng)中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A．12 B．135 C．22解：過(guò)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝52，∴sin∠BAC=CD答案：C．24．（2023?衡陽(yáng)中考）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度，圓圓要測(cè)量教學(xué)樓AB的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部243米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長(zhǎng)為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學(xué)樓AB的高度．（2）若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)圓圓的視線(xiàn)EB．解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝243米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM?tan∠DBM＝243×∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米；（2）延長(zhǎng)EB交DN于點(diǎn)G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝243米，EM＝CM﹣CE＝24米，∴tan∠MBE=EM∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米，∴DG＝ED?tan60°＝483（米），∴483÷43∴經(jīng)過(guò)12秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)了圓圓的視線(xiàn)．25．（2023?株洲中考）如圖所示，在某交叉路口，一貨車(chē)在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”，一輛轎車(chē)從被山峰POQ遮擋的道路②的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，線(xiàn)段AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D．（1）求∠COD的大??；（2）若在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD＝12米．問(wèn)該轎車(chē)至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車(chē)？（當(dāng)該轎車(chē)行駛至點(diǎn)D處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)解：（1）∵AO⊥OP，∴∠POD＝90°，∵∠POQ＝30°，∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，∵OC⊥OQ，∴∠COQ＝90°，∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°，即∠COD的大小為30°；（2）∵BC∥OQ，∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，∴CD=1∴OC=OD2∵tanα=tan∠OBC=3∴BC=OC∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米），即轎車(chē)至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車(chē)．26．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)處，則sin∠ABC的值等于45解：過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線(xiàn)，垂足為M，由勾股定理得，AB=1AC=2BC=2設(shè)BM＝x，則CM=25在Rt△ABM中，AM2=(5在Rt△ACM中，AM2=(13則(5解得x=3所以AM=(在Rt△ABM中，sin∠ABC=AM答案：4527．2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱