2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（原卷版）

專題14二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)

——題型一：(a-b)n化解問題3、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了二項(xiàng)式中的負(fù)號而致錯(cuò)

——題型二：三項(xiàng)展開式的問題0、易借點(diǎn)：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算麻煩失誤

二項(xiàng)式定理、復(fù)教——題型三：系數(shù)與一項(xiàng)式系數(shù)問題又易丁點(diǎn)：混淆項(xiàng)的系數(shù)與一項(xiàng)式系數(shù)致謖

——題型四：求復(fù)數(shù)虛部e、易錯(cuò)點(diǎn)：混淆虛部定義致錯(cuò)

——題型五：復(fù)數(shù)有關(guān)模長的求算巳、易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用錯(cuò)誤

-：忽略了二項(xiàng)式中的負(fù)號而致錯(cuò)((a.b)n化解問題)

I:二項(xiàng)式定理

一般地，對于任意正整數(shù)"，都有：(a+by=C°an+C\an-'b++W++C》"(〃eN*),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a+6)"的二項(xiàng)展開式.

,rr

式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：Tr+1=C；a'b,

其中的系數(shù)C：(r=0,1,2,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

II：二項(xiàng)式(。+力”的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有〃+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1;

②二項(xiàng)式系數(shù)：第廠+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的幕指數(shù)字母。降幕排列，次數(shù)由〃到0；字母6升幕排列，次

數(shù)從0到,，每一項(xiàng)中，a,6次數(shù)和均為〃；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是C：,C：,C3…，C，…，C"項(xiàng)的系數(shù)是。與6的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù)).

m：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：

①(a-4=C：a"-C》""++(-Dr-CX^r++(-D"C,?"(〃wN*)

@(l+x)"=1+C^x+C^x2++C；xr++x"

IV：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

nrr

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):Tr+l=Qa-b（r=0,1,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C；；

②字母6的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③。與6的次數(shù)之和為

注意：①二項(xiàng)式伍+6）”的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)〃和（6+。）"的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)C/-"是有

區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和6是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對在（。+”'這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如①-。）”的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（+i=（T）'C,；a"方'（只

需把~b看成b代入二項(xiàng)式定理）.

易錯(cuò)提醒：在二項(xiàng)式定理5-刀"的問題要注意b的系數(shù)為T,在展開求解時(shí)不要忽略.

變式1:在，龍的展開式中，x的系數(shù)是

變式2：口-5］展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

變式3：的展開式中/的系數(shù)為.

1.的二項(xiàng)式展開式中x的系數(shù)為（）

A.560B.35C.-35D.-560

2.若"-曰g*）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（)

A.6B.8C.28D.56

3.1l-?］(X+y)6的展開式中的系數(shù)為()

A.55B.-70C.65D.-25

4.若，彳2一.］的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)(非零)，則正整數(shù)”的可能值是()

A.3B.4C.5D.6

5.(1+〃7j(X-y)7的展開式中尤3y4的系數(shù)為一105,則實(shí)數(shù)機(jī)=()

A.2B.1C.-1D.-2

6.在(3-6y的展開式中，V的系數(shù)為()

A.-21B.21C.189D.-189

7.(2/-3q，-上］的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為

8.已知］以--

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672,則。=_____.

9.在12x——\=?1的展開式中，x的系數(shù)為______.

10.(1-2x)4(l+x)3的展開式中，按X的升嘉排列的第3項(xiàng)的系數(shù)為

11.在［寧一尤］的展開式中的V的系數(shù)是.

12.二項(xiàng)式Q-g：的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

13.卜-：：的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為135,則〃=.

易錯(cuò)點(diǎn)二：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算麻煩失誤(三項(xiàng)展開式的問題)

求三項(xiàng)展開式式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法

第一步：通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解

第二步：兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解

第三步：由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作

幾個(gè)因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量

易錯(cuò)提醒：對于三項(xiàng)式的展開問題，一般采取轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再展開的辦法進(jìn)行求解，但在轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的

時(shí)候，又有不同的處理策略：一是如果三項(xiàng)式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進(jìn)行因式分解，則可通

過對分解出來的兩個(gè)二項(xiàng)展開式分別進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題（如本例中的解法二）；二是不能化為完全平

方的形式，也不能進(jìn)行因式分解時(shí)，可直接將三項(xiàng)式加括號變?yōu)槎?xiàng)式，套用通項(xiàng)公式展開后對其中的二

項(xiàng)式再利用通項(xiàng)展開并進(jìn)行分析求解，但要結(jié)合要求解的問題進(jìn)行合理的變形，以利于求解.

三9

例、（無2+3尤+2丫的展開式中，X的一次項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.120B.240C.320D.480

變式1：在（a+26+3c）5的展開式中，含/62c的系數(shù)為.

變式2：卜-丁一日展開式中一/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

變式3：在（2x+y+z）5的展開式中，形如的所有項(xiàng)系數(shù)之和是

1.+/+j的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.588B.589C.798D.799

2.在（x+y+2）s的展開式中，孫3的系數(shù)是（）

A.24B.32C.36D.40

3.1邛一尤+1］的展開式中/的系數(shù)為12,則cos26=（

)

4.（x+y-Ip的展開式中孫2的系數(shù)為（）

A.-60B.60C.-120D.120

5.設(shè)〃>0,已知丁+^的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256,

則（f+2+By中/的系數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.8

6.（X->+3）5的展開式中，Jy的系數(shù)為（）

A.80B.60C.-80D.—60

7.已知+g+（QER）展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為-1,則展開式中V的系數(shù)為（）

A.270B.-270C.330D.-330

的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256,則1f+2+士丫”

8.

中V的系數(shù)為（）

A.1B.4或1C.4或0D.6或0

9.p+1+l^|的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為

10.（x+2y-z）8展開式中，Vy2z3項(xiàng)的系數(shù)為.

11.（龍2-尤+2y丫的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.

12.在“+無一上）的展開式中，/的系數(shù)為.

13.-初的展開式中，的系數(shù)為10,則〃=.

14.卜+：_14展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字做答）

15.（x-2y+Ip展開式中含孫3項(xiàng)的系數(shù)為.

16.（l+2x-3尤2丫的展開式中犬的系數(shù)為.

17.（x+2y-3z）6的展開式中初與3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

易錯(cuò)點(diǎn)三：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤（系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)問題）

I:二項(xiàng)式展開式中的最值問題

1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即c：=c;；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即C2=C『+C：.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c：=c：-m.

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=6=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C：+C：+C：++C；++C；=2",變形式

C：+C：++C：++c：=2"-l.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令。=1,6=-1,

則C：-C：+C；-C；++（-l）"C；；=（l-ir=0,

從而得到：《+C；+C；…+Cy+-=C：+C；++C+1+---=1-2"=2"-1.

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)c：最大；

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)”是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)"±1,"±1+1的二項(xiàng)式系數(shù)c?，C手相等且最大.

22J

2.系數(shù)的最大項(xiàng)

求3+法）"展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A，4,…，4M，設(shè)第廠+1

fA>A

項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有.+l，從而解出廠來.

II:二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

（1）設(shè)（a+3”=端/+C'?an'b+C；an-2b2++C^anrbr++C?”,

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對。，6的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取。，6的值.

①令a=b=l,可得：2"=C：+C：++C；

②令。=1,。=1,可得：o=d-C：+G”C即：

C：+C；+-+C：=C：+C；++c：-（假設(shè)〃為偶數(shù)），再結(jié)合①可得:

C：+C；+.+C：=C,';+C>.+C；T=2，T.

(2)若/(x)=++alx+a0,則

①常數(shù)項(xiàng)：令x=0,得g=/(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令x=l,得/⑴=%+4+.2++4,-1+。".

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或x=-l,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

易錯(cuò)提醒：二項(xiàng)式定理（〃+力”的問題要注意：項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（求所有項(xiàng)的系數(shù)只要

令字母值為1）.

例、設(shè)（x-"）"的展開式中，第三項(xiàng)的系數(shù)為36,試求含V的項(xiàng).

變式1：求的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

變式2：計(jì)算（尤+2yy的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

變式3：求的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值和對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù).

1.在二項(xiàng)式（4-的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（）

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)

C.第5項(xiàng)D.第3項(xiàng)和第4項(xiàng)

2.已知二項(xiàng)式（2x-l）"的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則”為（）

A.6B.7C.8D.9

3.在二項(xiàng)式（石-1）6的展開式中，下列說法正確的是（）

2x

A.常數(shù)項(xiàng)是三13B.各項(xiàng)系數(shù)和為士1

464

C.第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32

4.在二項(xiàng)式(2x-的展開式中，下列說法正確的是()

A.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B.第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為7。D.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1

5.已知2,n,8成等差數(shù)列，則在-的展開式中，下列說法正確的是()

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1

C.常數(shù)項(xiàng)為40D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x

6.下列關(guān)于|^-2尤)6的展開式的說法中正確的是()

A.常數(shù)項(xiàng)為一160

B.第4項(xiàng)的系數(shù)最大

C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

7.若［近-的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,則［加+gj"的展開式中J的系數(shù)為.

8.已知常數(shù)。＞0,在石-巴的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15,設(shè)

52345

(1—2ox)=%+a1x+a2x+?3x+a4x+a5x,貝!J4+%=

9.在］近的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為

10.二項(xiàng)式(zf+jj的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答).

11.已知(l+2W?(〃eN*)的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，貝1］鼠=.

12.12--2x)4的展開式中含v項(xiàng)的系數(shù)為.

13.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.

14.若3尤—一上的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

n

15.已知(3%-2)"-1)+%(冗一1)2+an(x-I),若(3%-2)〃展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為1024,

則知的值為.

16.已知（?+2］的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和是64,則展開式中x的系數(shù)為.

17.已知二項(xiàng)式（2x-l）”的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則”=.

18.已知（1+2元）”的展開式中第7項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)最

大的項(xiàng).

易錯(cuò)點(diǎn)四：混淆虛部定義致錯(cuò)（求復(fù)數(shù)虛部）

I：復(fù)數(shù)的概念

①復(fù)數(shù)的概念：形如。+歷（〃，6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，。，6分別是它的實(shí)部和虛部，i叫虛數(shù)單位，滿足/=_1

（1）當(dāng)且僅當(dāng)人=0時(shí)，。+歷為實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)厚0時(shí)，a+歷為虛數(shù)；

（3）當(dāng)a=0且厚0時(shí)，歷為純虛數(shù).其中，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共鈍復(fù)數(shù).

②兩個(gè)復(fù)數(shù)+成(a，6，c，deR)相等:(兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點(diǎn))

[b=d

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)。+436eR)的模，其計(jì)算公式|z|=|a+bi|="TF

II：復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

(1)(a+Z?i)±(c+di)=(〃±。)+3土d)i

(2)(々+bi)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+bi)(a-bi)=zz=a2+b1=|z|2

〈(注意Z2=|Z『)

z+z=2Q

其中|z|=+萬，叫Z的模；1=a-次是Z=。+沅的共朝復(fù)數(shù)(a,6eR).

a+bi(a+bi)?(c-di)(ac+bd)+(be-ad)i八、

(3'c+di(c+di)?(c-di)c2+d222

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+〃(a/eR)對應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,6)；

(2)復(fù)數(shù)z=a+〃(a,Z?eH)對應(yīng)平面向量oz;

(3)復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6wR)的模Iz|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)到原點(diǎn)的距離.

易錯(cuò)提醒：1、求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+歷(a,56R),

則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為。，虛部為尻2、復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z=a+biWR=b=O(a,》GR)；②z

?R=z=z；③Z?R=Z2NO3、復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z=a十。i是純虛數(shù)oa=0且厚0(a,

Z?GR)；②Z是純虛數(shù)=z+Z=O(Z女))；③Z是純虛數(shù)=22Vo

例、復(fù)數(shù)二工虛部是()

1-31

1.133.

A.------1B.------C.—D.—I

10101010

1-i_

變式1：已知復(fù)數(shù)Z=「(i為虛數(shù)單位)，貝匹的虛部為()

2+1

3333

A.--B.——iC.-D.-i

5555

i-2i

變式2：已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)一的虛部是()

1-1

A.--B.JC.--D.-

2222

變式3：已知復(fù)數(shù)z=(2-D(l+i),則復(fù)數(shù)z的虛部為,|z|=.

三9

1.(2-i)(l+2i)+°的虛部為()

1

A.4B.-2C.-4D.2

.2

2.復(fù)數(shù)空L(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()

1

A.-2B.-1C.1D.2

3.已知z=2+i,貝ljz(2+i)的虛部是()

A.2B.-2

C.2iD.-2i

4.濘的虛部為（）

2-1

A.-B.--iC.--D.-

5555

5.若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)學(xué)的虛部為

()

1+1

A.-B.-ic-D.-i

22J22

6.已知復(fù)數(shù)z=2-i,則z（Z+i）的虛部為（)

A.-2B.-1C.6D.2

7.已知復(fù)數(shù)z滿足］=z+2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.iB.1C.-iD.-1

則+工的虛部為（）

8.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為（1,1）,z

z

A.-iB.-c-D.-i

22J22

9.若復(fù)數(shù)z滿足N-3i=z（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的虛部為（)

A3-33

A.—B.——C.-iD.——i

2222

10.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=|l+i|,則2的虛部是（)

A.TBYc.旦D.正

22

11.已知復(fù)數(shù)z滿足z+4N=5+6i,其中2是z的共相復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)Z的虛部是（)

A.1B.iC.-2D.-2i

12.已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）+i=2（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（)

444.4.

A.-B.—C.—1D.——1

5555

2-5i

13.已知z=7一,貝Ijz的虛部為（）

1-1

3333

A.——iB.-C.——D.-i

2222

易錯(cuò)點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用錯(cuò)誤（復(fù)數(shù)有關(guān)模長的求算）

復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)。+慶(a/eR)的模，其計(jì)算公式|z|=|a+〃

易錯(cuò)提醒：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量存在一一對應(yīng)關(guān)系，兩個(gè)復(fù)數(shù)差的?？梢岳斫鉃閮牲c(diǎn)之間的距

離.

三9

例、若zeC,且|z+2-2<=1,則|z—2—2i|最小值為()

A.2B.3C.4D.5

變式1：已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l+i卜20,5為z的共軌復(fù)數(shù)，貝!JzN的最大值為.

變式2：已知i為虛數(shù)單位，且|z-2i|=l,則忖的最大值是.

變式3：已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=2|z-2i|,貝U|z|的最大值為.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=G，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),貝1]()

A.(x-2)2+/B.x2+(y-2)2=y/3

C.x2+(y-2)2=3D.Y+(y+2)2=3

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=l(i為虛數(shù)單位)，則|z-3-2i|的最小值為()