2023-2024學(xué)年小升初奧數(shù)《最短路線》題庫(kù)

最短路線

Millie色舉目褐

1.準(zhǔn)確運(yùn)用“標(biāo)數(shù)法”解決題目.

2.培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力.

rji?i?y-

知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明

從一個(gè)地方到另外一個(gè)地方，兩地之間有許多條路，就有許多種走法，如果你能從中選擇一條最近的

路走，也就是指要選擇一條最短的路線走，這樣你就可以節(jié)省許多時(shí)間了，那么如何能選上最短的路線呢？

親愛(ài)的小朋友們，你要記住兩點(diǎn)：⑴兩點(diǎn)之間線段最短.⑵盡量不走回頭路和重復(fù)路，這樣的話，你就做

到了省時(shí)省力.

mt磔仁

【例1】一只螞蟻在長(zhǎng)方形格紙上的A點(diǎn)，它想去3點(diǎn)玩，但是不知走哪條路最近.小朋友們，你能給

它找到幾條這樣的最短路線呢？

【解析】（方法一）從A點(diǎn)走到3點(diǎn)，不論怎樣走，最短也要走長(zhǎng)方形A/血）的一個(gè)長(zhǎng)與一個(gè)寬，因此，

在水平方向上，所有線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于45;在豎直方向上，所有線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于這

樣我們走的這條路線才是最短路線.為了保證這一點(diǎn)，我們就不應(yīng)該走“回頭路”，只能向右和

向下走.所有最短路線：

ATCTDTG—B、AfCfFfGfB、ATETFFGTB

AfCf尸f/f3、AfEfFflfB、AfEfHflfB

這種方法不能保證“不漏”.如果圖形再?gòu)?fù)雜些，做到“不重”也是很困難的.

（方法二）遵循“最短路線只能向右和向下走”，觀察發(fā)現(xiàn)這種題有規(guī)律可循.①看C點(diǎn)：只

有從A到C的這一條路線.同樣道理：從A到。、從A到E、從A到〃也都只有一條路線.我

們把數(shù)字“1”分別標(biāo)在C、D、E、H這四個(gè)點(diǎn)上.②看F點(diǎn)、:從A點(diǎn)出發(fā)到可以是

AfCf尸，也可以是AFET?尸，共有兩種走法.那么我們?cè)贔點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“2”（2=1+1）.③

看G點(diǎn)：從A—G有三種走法，即：AfCf。-G、A->CT?尸fG、AfEfFfG.在

G點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“3"（3=1+2）.④看/點(diǎn)：共有三種走法，即：AfCfFfI、AfEfFfI、

-在/點(diǎn)標(biāo)上“3”(3=1+2).⑤看3點(diǎn)：從上向下走是Gf3,從左向右

走是/f8,那么從出發(fā)點(diǎn)A->3有六種走法，即：A-C->DfG->3、A-?C->尸一>G->3、

AfEfFfGfB、AfCfFflfB、A—EiFflfB、AfEfHflfB,

在3點(diǎn)標(biāo)上“6”(6=3+3),觀察發(fā)現(xiàn)每一個(gè)小格右下角上標(biāo)的數(shù)正好是這個(gè)小格右上角與

左下角的數(shù)的和，這個(gè)和就是從出發(fā)點(diǎn)A到這點(diǎn)的所有最短路線的條數(shù).此法能夠保證“不重”

也“不漏”，這種方法叫“對(duì)角線法”或“標(biāo)號(hào)法”.

【鞏固】如圖所示，從A點(diǎn)沿線段走最短路線到3點(diǎn)，每次走一步或兩步，共有多少種不同走法?

【解析】這是一個(gè)較復(fù)雜的最短路線問(wèn)題，我們退一步想想，先看看簡(jiǎn)單的情況.

從A到8的各種不同走法中先選擇一條路線來(lái)分析：

如果按路線ATCTDTETbT3來(lái)走，這條路線共有5條線段，每次走一步或兩步，要求從

A走到3,會(huì)有幾種走法？這不是“上樓梯”問(wèn)題嗎.根據(jù)“上樓梯”問(wèn)題的解法可得在ATC

TOfETFT3這條路線中有8種符合條件的走法.而對(duì)于從A到3的其他每條最短路線而

言，每一條路線都有5條線段，所以每條路線都有8種走法.

進(jìn)一步：從A到3共有多少條最短路線？這正是“最短路線”問(wèn)題！用“標(biāo)數(shù)法”來(lái)解決，有10

條.綜上所述，滿足條件的走法有8x10=80種.

【鞏固】從A到3的最短路線有幾條呢？

A

【解析】圖中從A到3的最短路線都為6條.

【鞏固】有一只蝸牛從A點(diǎn)出發(fā)，要沿長(zhǎng)方形的邊或?qū)蔷€爬到C點(diǎn),中間不許爬回A點(diǎn)，也不能走重復(fù)的

路，那么，它有多少條不同的爬行路線？最短的是哪條呢？

【解析】共有9種，即：A-O-?C、AfOfDfC、AfOf3-C、A-3fC

A->3-OfC、A—>3-OfDfC、AfOfC、AfOfOfC

A->D->O->B-^C,最短的路是：AfOfC.

【例2】阿呆和阿瓜到少年宮參加2008北京奧運(yùn)會(huì)志愿者培訓(xùn).如果他們從學(xué)校出發(fā)，共有多少種不

同的最短路線？

【解析】從學(xué)校到少年宮的最短路線，只能向右或向下走.我們可以先看A點(diǎn)：從學(xué)校到A點(diǎn)最近路線只

有1種走法，我們?cè)贏點(diǎn)標(biāo)上1.B、E、F、G點(diǎn)同理.再看J點(diǎn)：最短路線可以是A―J、EfJ

共2條，我們?cè)贘點(diǎn)標(biāo)上2.我們發(fā)現(xiàn)2=1+1正好是對(duì)角線A點(diǎn)和E點(diǎn)上的數(shù)字和.所有的最短

路線都符合這個(gè)規(guī)律，最終從學(xué)校到少年宮共有10種走法.

【鞏固】方格紙上取一點(diǎn)A作為起點(diǎn)，再在A的右上方任取一點(diǎn)3作為終點(diǎn)，畫(huà)一條由A到8的最短路

線，聰明的小朋友，你能畫(huà)出來(lái)嗎？總共能畫(huà)出幾條呢？

【解析】根據(jù)“標(biāo)號(hào)法”可知共有10種，如圖.

【鞏固】如圖，從/點(diǎn)出發(fā)到G點(diǎn)，走最短的路程，有多少種不同的走法?

【分析】共有115種.

【鞏固】小聰明想從北村到南村上學(xué)，可是他不知道最短路線的走法共有幾種？小朋友們，快幫幫忙呀!

南村

【分析】根據(jù)“對(duì)角線法”知共有126種，如圖.

【例3】“五一”長(zhǎng)假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩.聰明的小朋友請(qǐng)你找找看從北京到黃山的

最短路線共有幾條呢？

【解析】因此，在解題時(shí)要格外注意是

由哪兩點(diǎn)的數(shù)之和來(lái)確定另一點(diǎn)的.從北京到黃山最近的道路共有10條.

【鞏固】從甲到乙的最短路線有幾條?

乙

甲

【解析】有11條.

【例4】古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過(guò)人.人一天一位將軍向

他請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：如下圖，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，

為了使行走的路線最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？

甲地

O

乙地

O

河流

【解析】本題主要體現(xiàn)最值思想和對(duì)稱的思想，教師應(yīng)充分引導(dǎo)孩子觀察行走路線的變化情況

逐步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)稱來(lái)找到相應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)一步了解圖形最值問(wèn)題中應(yīng)該如何解決問(wèn)題.

【例5】學(xué)校組織三年級(jí)的小朋友去幫助農(nóng)民伯伯鋤草，大家從學(xué)校乘車出發(fā)，去往的李家村（如圖）.愛(ài)

動(dòng)腦筋的嘟嘟就在想，從學(xué)校到李家村共有多少種不同的最短路線呢？

【解析】我們采用對(duì)角線法（如圖），從學(xué)校到李家村共有81種不同的最短路線.

［拓展］親愛(ài)的小朋友們，你們覺(jué)得從A到3共有幾條最短路線呢?

【解析】此題與上題不同，但方法相同.我們采用對(duì)角線法（如圖）可知：可以選擇的最短路線共有41條.

［例6］阿花和阿紅到少年宮參加2008北京奧運(yùn)會(huì)志愿者培訓(xùn).他們從學(xué)校出發(fā)到少年宮最多有多少種

不同的行走路線？

【解析】采用對(duì)角線法（如圖）.可得從學(xué)校到少年宮共有90種走法.

［鋪墊］小海龜在小豬家玩，它們想去游樂(lè)場(chǎng)坐碰碰車，愛(ài)動(dòng)腦筋的小朋友，請(qǐng)你想一想，從小豬家到游

樂(lè)場(chǎng)共有幾條最短路線呢？

【解析】“對(duì)角線”法（如圖），共14條.

【例7】阿強(qiáng)和牛牛結(jié)伴騎車去圖書(shū)館看書(shū)，第一天他們從學(xué)校直接去圖書(shū)館；第二天他們先去公園看

大熊貓?jiān)偃D書(shū)館；第三天公園修路不能通行.咱們學(xué)而思的小朋友都很聰明，請(qǐng)你們幫阿強(qiáng)

和牛牛想想這三天從學(xué)校到圖書(shū)館的最短路線分別有多少種不同的走法?

【解析】仍然用對(duì)角線法求解.第一天（無(wú)限制條件）共有16條；第二天（必須經(jīng)過(guò)公園）共有8條；第

三天（必須不經(jīng)過(guò)公園）共有8條.

【鞏固】大熊和美子準(zhǔn)備去看望養(yǎng)老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如圖所示）,他們從學(xué)校到

【解析】（方法一）用“對(duì)角線法”求出：從學(xué)校到養(yǎng)老院共126條.必經(jīng)過(guò)市中心的60條，所以可行的

（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有66條.

養(yǎng)老院

515254066

410101526

5

3611

23456

學(xué)校11111

【例8】如圖，從x到y(tǒng)最短路線總共有幾種走法?

【分析】如圖，共有716種.

83685170342716

7\284985172374

621213687202

15

51551115

15

4103664

3610152128

234567

111111

【例9】如圖，從A到8沿網(wǎng)格線不經(jīng)過(guò)線段CD和。的最短路徑的條數(shù)是多少條?

【解析】由于不能經(jīng)過(guò)線段CD和EF,所以我們必須先在網(wǎng)絡(luò)圖中拆除CD和EF,然后再在拆除了CD和

EF以后的網(wǎng)絡(luò)圖中進(jìn)行標(biāo)數(shù)（如下圖所示）.運(yùn)用標(biāo)數(shù)法可求出滿足條件的最短路徑有78條.

【鞏固】下圖為某城市的街道示意圖，C處正在挖下水道，不能通車，從A到3處的最短路線共有多少

條？

【解析】從A到3的最短路線有431條.

【例10］按圖中箭頭所指的方向行走，從A到/共有多少條不同的路線?

【解析】本題中的運(yùn)動(dòng)方向已經(jīng)由箭頭標(biāo)示出來(lái)，所以關(guān)鍵要分析每一點(diǎn)的入口情況.

第1步，在起點(diǎn)A處標(biāo)I.第2步：再觀察點(diǎn)G要想第3步：再觀察點(diǎn)尸，要想

再現(xiàn)察點(diǎn)B,要想到達(dá)點(diǎn)"，到達(dá)點(diǎn)G它右兩個(gè)入n4和“到達(dá)戊入它有?個(gè)入HC,

只有一個(gè)人口4所以在H所以在點(diǎn)C處耳I”2.所以在點(diǎn)尸處標(biāo)2.

點(diǎn)也.卜】.

第4步「用觀察她.要想第5步?冉我察點(diǎn)心纓想第6步：再現(xiàn)膜點(diǎn)G,要想

到達(dá)點(diǎn)。?它有三個(gè)人口8.C到達(dá)點(diǎn)E.它有兩個(gè)人口8和Q.到達(dá)點(diǎn)。，它有兩個(gè)人口。和R

和尸.所以在點(diǎn)/＞處標(biāo)1+2+25.所以在點(diǎn)月處標(biāo)1+56.所以在點(diǎn)。處標(biāo)6?5=11.

第7步，內(nèi)觀噢點(diǎn)〃.要想第8步：再觀察點(diǎn)/,要想

到達(dá)點(diǎn)H.它有二個(gè)人口人D到達(dá)點(diǎn)它育州個(gè)人口。和“?

和G.所以在點(diǎn)"處標(biāo)2T+11-18所以在點(diǎn)/處標(biāo)I"1829

通過(guò)標(biāo)數(shù)法我們可以得出從A到/共有29條不同的路徑.

【例11］按圖中箭頭方向所指行走，從A到G有多少種不同的路線？

【解析】運(yùn)用標(biāo)數(shù)法原理進(jìn)行標(biāo)數(shù)，整個(gè)標(biāo)數(shù)流程如下圖

從A到G共有21條不同的路線.

【鞏固】⑴按下圖左箭頭方向所指，從x到y(tǒng)有多少種不同的路線？

⑵如下圖右所示，這個(gè)問(wèn)題有一個(gè)規(guī)則：只能沿著箭頭指的方向走，你能否根據(jù)規(guī)則算出所有從

入口到出口的路徑共有多少條？

入口

［分析］⑴利用標(biāo)數(shù)法求得X到y(tǒng)有34種不同的路線，如下圖左所示.

(2)由題將路線圖轉(zhuǎn)化為下圖右所示，根據(jù)標(biāo)數(shù)法求得從入口到出口的路徑共有10條.

【例12］⑴如下圖左，如果只允許向下移動(dòng)，從A點(diǎn)到3點(diǎn)共有多少種不同的路線？

⑵如下圖右，要從A點(diǎn)到3點(diǎn)，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，問(wèn)共有多少種不同的

走法？

A

【解析】⑴按題目要求，只能向下移動(dòng)，利用標(biāo)數(shù)法求得A到8共有路線68種，如下圖左所示.

⑵按題目要求，只能走下圖右的3個(gè)方向，利用標(biāo)數(shù)法求得共有22種不同的走法，如下圖右.

A

【鞏固】圖中有10個(gè)編好號(hào)碼的房間，你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大號(hào)碼房

間走到小號(hào)碼房間，從1號(hào)房間走到10號(hào)房間共有多少種不同走法？

1

【分析】圖中并沒(méi)有標(biāo)出行走的方向，但題中“你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大

號(hào)碼房間走到小號(hào)碼房間”這句話實(shí)際上就規(guī)定了行走的方向.如下圖所示，我們可以把原圖轉(zhuǎn)

化成常見(jiàn)的城市網(wǎng)絡(luò)圖，然后再根據(jù)標(biāo)數(shù)法的思想標(biāo)數(shù)：從圖中可以看出，從1號(hào)走到10號(hào)房

間共有22種不同的走法.

要想到達(dá)K中的他姓，它力都

行-三個(gè)入口”!

【例13】一只密蜂從A處出發(fā)，A回到家里3處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的峰房而不準(zhǔn)逆行,

共有多少種回家的方法?

【解析】蜜蜂“每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行”這意味著它只能從小號(hào)碼的蜂房爬

進(jìn)相鄰的大號(hào)碼的蜂房.明確了行走路徑的方向，就可運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)法進(jìn)行計(jì)算.

如圖所示，小蜜蜂從A出發(fā)到B處共有89種不同的回家方法.

【例14］在圖中，用水平或垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走時(shí)，正好拼出“APPLE”

的路線共有多少條？

［分析］要想拼出英語(yǔ)"APPLE”的單詞，必須按照“AFPTPTL—E”的次序拼寫(xiě).在圖中的每

一種拼寫(xiě)方式都對(duì)應(yīng)著一條最短路徑.如下圖所示，運(yùn)用標(biāo)數(shù)法原理標(biāo)數(shù)不難得出共有31種不

同的路徑.

AA

II

Pp

Il

Pp

［鋪墊］圖中的“我愛(ài)希望杯”有多少種不同的讀法.

我一愛(ài)一我1一愛(ài)1一希］一望「杯1

\XK\1/1

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愛(ài)希§1一箱廠塑廠杯4

?！竿槐?

'望一^/