上海市長寧、寶山、嘉定、青浦四區(qū)2025屆數學高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市（長寧、寶山、嘉定、青浦（四區(qū)2025屆數學高一下期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．二進制是計算機技術中廣泛采用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則“借一當二”。當前的計算機系統(tǒng)使用的基本上是二進制系統(tǒng)，計算機中的二進制則是一個非常微小的開關，用1來表示“開”，用0來表示“關”。如圖所示，把十進制數1010化為二進制數（1010）2,十進制數9910化為二進制數11000112，把二進制數（10110A．932 B．931 C．102．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足：則A． B． C． D．4．正方體中，則異面直線與所成的角是A．30° B．45° C．60° D．90°5．某高中三個年級共有3000名學生，現采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級的全體學生中抽取一個容量為30的樣本進行視力健康檢查，若抽到的高一年級學生人數與高二年級學生人數之比為3∶2，抽到高三年級學生10人，則該校高二年級學生人數為（）A．600 B．800 C．1000 D．12006．若，，表示三條不重合的直線，，表示兩個不同的平面，則下列命題中，正確的個數是（）①若，，則②，，，則③若，，則④若，，則A．0 B．1 C．2 D．37．在等比數列中，，，則（）A．140 B．120 C．100 D．808．如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．獲9．某社區(qū)義工隊有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號為1至24號，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個工作小組，則這個小組年齡不超過55歲的人數為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．410．設，,則的值可表示為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設是等差數列的前項和，若，則___________.12．已知兩點A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________13．已知向量，若，則_______14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．15．若，則________.16．某中學為了了解全校學生的閱讀情況，在全校采用隨機抽樣的方法抽取一個樣本進行問卷調查，并將他們在一個月內去圖書館的次數進行了統(tǒng)計，將學生去圖書館的次數分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總人數為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.(1)若,求的值;(2)若,求b,c的值.18．已知圓關于直線對稱，半徑為，且圓心在第一象限．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓相交于不同兩點、，且，求實數的值．19．已知直線與.（1）當時，求直線與的交點坐標；（2）若，求a的值.20．已知圓的半徑是2，圓心為.（1）求圓的方程；（2）若點是圓上的動點，點在軸上，的最大值等于7，求點的坐標.21．已知，是第四象限角，求和的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

利用古典概型的概率公式求解.【詳解】二進制的后五位的排列總數為25二進制的后五位恰好有三個“1”的個數為C5由古典概型的概率公式得P=10故選：D【點睛】本題主要考查排列組合的應用，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.2、B【解析】

利用平面向量數量積和定義計算出，可得出結果.【詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【點睛】本題考查利用平面向量的數量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將模進行平方，利用平面向量數量積的定義和運算律進行計算，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解析】

利用向量的數量積運算及向量的模運算即可求出．【詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【點睛】本題考查了向量的數量積運算和向量模的計算，屬于基礎題．4、C【解析】連接A，易知：平行A，∴異面直線與所成的角即異面直線與A所成的角，連接，易知△為等邊三角形，

∴異面直線與所成的角是60°故選C5、B【解析】

根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，繼而算出抽到的各年級人數，再根據分層抽樣的原理可以推得該校高二年級的人數．【詳解】根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，即，所以高一年級和高二年級抽到的人數分別是12人和8人，則該校高二年級學生人數為人．故選：．【點睛】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．6、B【解析】

①根據空間線線位置關系的定義判定；②根據面面平行的性質判定；③根據空間線線垂直的定義判定；④根據線面垂直的性質判定．【詳解】解：①若，，與的位置關系不定，故錯；②若，，，則或、異面，故錯；③若，，則或、異面，故錯；④若，，則，故正確．故選：．【點睛】本題考查了空間線面位置關系，考查了空間想象能力，屬于中檔題．7、D【解析】

，計算出，然后將，得到答案.【詳解】等比數列中，又因為，所以，所以，故選D項.【點睛】本題考查等比數列的基本量計算，屬于簡單題.8、B【解析】

利用正方體及其表面展開圖的特點以及題意解題，把“努”在正方體的后面，然后把平面展開圖折成正方體，然后看“努”相對面．【詳解】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“努”與面“有”相對，所以圖中“努”在正方體的后面，則這個正方體的前面是“有”．故選：．【點睛】本題考查了正方形相對兩個面上的文字問題，同時考查空間想象能力．注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題，屬于基礎題．9、B【解析】

求出樣本間隔，結合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進行計算即可．【詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個小組中年齡不超過55歲的人數為人．故選：．【點睛】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵，屬于基礎題．10、A【解析】

由，可得到，然后根據反余弦函數的圖象與性質即可得到答案.【詳解】因為，所以，則.故選：A【點睛】本題主要考查反余弦函數的運用，熟練掌握反余弦函數的概念及性質是解決本題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1.【解析】

由已知結合等差數列的性質求得，代入等差數列的前項和得答案．【詳解】解：在等差數列中，由，得，，則，故答案為：1．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，考查等差數列的性質，考查了等差數列前項和的求法，屬于基礎題．12、或0【解析】

運用向量的加減運算和特殊角的三角函數值，可得所求和．【詳解】兩點A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【點睛】本題考查向量的加減運算和三角方程的解法，考查運能力，屬于基礎題．13、【解析】

由題意利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，求得的值．【詳解】因為向量，若，∴，則.故答案為：1．【點睛】本題主要考查兩個向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．14、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.15、【解析】

直接利用倍角公式展開，即可得答案.【詳解】由，得，即，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式的應用，屬于基礎題．16、20【解析】

總體人數占的概率是1，也可以理解成每個人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人。【詳解】前三組，即三組的頻率為：，，解得：【點睛】此題考查概率，通過部分占總體的概率即可計算出總體的樣本值，屬于簡單題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)先求出，再利用正弦定理可得結果；(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.【詳解】(1)∵,且，∴，由正弦定理得，∴；(2)∵，∴，∴，由余弦定理得，∴.【點睛】本題考查正弦余弦定理解三角形，是基礎題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題得和，解方程即得圓的方程；（Ⅱ）取的中點，則，化簡得，即得m的值.【詳解】（Ⅰ）由，得圓的圓心為，圓關于直線對稱，①．圓的半徑為，②又圓心在第一象限，，，由①②解得，，故圓的方程為．（Ⅱ）取的中點，則，，，即，又，解得．【點睛】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關系和向量的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）當時，直線與聯(lián)立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【詳解】（1）當時，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點坐標為.（2）因為，所以，即解得.【點睛】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎簡單題目．20、（1）；（2）或．【解析】

（1）直接根據圓的標準式方程，寫出圓的方程即可