浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題1.3平行線(xiàn)的判定(知識(shí)解讀)(原卷版+解析)

專(zhuān)題1.3平行線(xiàn)的判定（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握平行線(xiàn)的判定公理及3個(gè)判定定理．2．通過(guò)經(jīng)歷探索平行線(xiàn)的判定方法的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力．3．掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示平行線(xiàn)的判定公理及定理，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式，通過(guò)學(xué)生畫(huà)圖、討論、推理等活動(dòng)，給學(xué)生滲透化歸思想和分類(lèi)思想．【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行．2．推論：如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)”，而非直線(xiàn)上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線(xiàn)的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線(xiàn)的傳遞性知識(shí)點(diǎn)2：平行線(xiàn)判定判定方法（1）：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）判定方法（2）：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）判定方法（3）：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）【典例分析】【考點(diǎn)1：平行線(xiàn)公理及推論】【典例1】（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn) B．同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直 C．平角是一條直線(xiàn) D．過(guò)同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，只能畫(huà)出3條直線(xiàn)【變式1】（2023秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．兩點(diǎn)之間，直線(xiàn)最短 B．永不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn) C．若AC＝BC，則點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn) D．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)【典例2】（2023春?麒麟?yún)^(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a∥b，b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a∥b，b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a∥b，b∥c，則a⊥c【變式2-1】（2023春?陽(yáng)春市校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果兩線(xiàn)段不相交，那么它們就平行（4）如果兩直線(xiàn)不相交，那么它們就平行A．1個(gè)A B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-2】（2023春?饒平縣校級(jí)期中）若AB∥CD，AB∥EF，則∥，理由是．【考點(diǎn)2：平行線(xiàn)判定】【典例3】（2023秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，下列各組條件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°【變式3-1】（2023春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）如圖，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，其依據(jù)是（）A．兩直線(xiàn)平行，同位角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行 C．同位角相等，兩直線(xiàn)平行 D．兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【變式3-2】（2023?德?？h二模）如圖，能判定AD∥BC的條件是（）A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4【變式3-3】（2023春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，直線(xiàn)a、b都與直線(xiàn)c相交，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判斷a∥b的條件是（）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【典例4】（2023春?重慶月考）如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求證：AB∥CD．請(qǐng)?zhí)羁眨C明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又∵∠1＝∠B（）∴（）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝（平角的定義）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）【變式4-1】（2023秋?社旗縣期末）〖我閱讀〗“推理”是數(shù)學(xué)的一種基本思想，包括歸納推理和演繹推理．演繹推理是一種從一般到特殊的推理，它借助于一些公認(rèn)的基本事實(shí)及由此推導(dǎo)得到的結(jié)論，通過(guò)推斷，說(shuō)明最后結(jié)論的正確．〖我會(huì)做〗填空（理由或數(shù)學(xué)式）已知：如圖，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求證：AB∥CD．證明：∵∠1＝∠E（）∴（）∴+∠2＝180°（）∵∠B＝∴+＝180°∴AB∥CD（）【變式4-2】（2023春?岳池縣期末）把下面的說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：已知，如圖，直線(xiàn)AB，CD被直線(xiàn)EF所截，點(diǎn)H為CD與EF的交點(diǎn)，GH⊥CD于點(diǎn)H，∠2＝30°，∠1＝60°．試說(shuō)明：AB∥CD．解：∵GH⊥CD（），∴∠CHG＝90°（）又∵∠2＝30°（），∴∠3＝（）∴∠4＝60°（）又∵∠1＝60°（）∴∠1＝∠4（）∴AB∥CD（）【變式4-3】（2023春?寧遠(yuǎn)縣期末）完成下面的證明如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求證：AB∥CD．完成推理過(guò)程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【典例5】（2023春?大埔縣期末）如圖，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，點(diǎn)D在線(xiàn)段EC上，求證：AB∥CD．【變式5-1】（2023秋?西鄉(xiāng)縣期末）如圖，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求證：BE∥CD．【變式5-2】（2023春?宣恩縣期末）如圖，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB與DG平行嗎？為什么？專(zhuān)題1.3平行線(xiàn)的判定（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握平行線(xiàn)的判定公理及兩個(gè)判定定理．2．通過(guò)經(jīng)歷探索平行線(xiàn)的判定方法的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力．3．掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示平行線(xiàn)的判定公理及定理，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式，通過(guò)學(xué)生畫(huà)圖、討論、推理等活動(dòng)，給學(xué)生滲透化歸思想和分類(lèi)思想．【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行．2．推論：如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)”，而非直線(xiàn)上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線(xiàn)的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線(xiàn)的傳遞性知識(shí)點(diǎn)2：平行線(xiàn)判定判定方法（1）：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）判定方法（2）：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）判定方法（3）：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）【典例分析】【考點(diǎn)1：平行線(xiàn)公理及推論】【典例1】（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn) B．同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直 C．平角是一條直線(xiàn) D．過(guò)同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，只能畫(huà)出3條直線(xiàn)答案:B【解答】解：A．應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)，錯(cuò)誤；B．同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，正確；C．直線(xiàn)與角是不同的兩個(gè)概念，錯(cuò)誤；D．過(guò)同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，能畫(huà)出3條直線(xiàn)或1條直線(xiàn)，故錯(cuò)誤．故選：B．【變式1】（2023秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．兩點(diǎn)之間，直線(xiàn)最短 B．永不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn) C．若AC＝BC，則點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn) D．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)答案:D【解答】解：A、兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；B、同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；C、若AC＝BC且點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)時(shí)，則點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；D、兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確．故選：D．【典例2】（2023春?麒麟?yún)^(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a∥b，b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a∥b，b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線(xiàn)，且a∥b，b∥c，則a⊥c答案:A【解答】解：先根據(jù)要求畫(huà)出圖形，圖形如下圖所示：根據(jù)所畫(huà)圖形可知：A正確．故選：A．【變式2-1】（2023春?陽(yáng)春市校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果兩線(xiàn)段不相交，那么它們就平行（4）如果兩直線(xiàn)不相交，那么它們就平行A．1個(gè)A B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:A【解答】解：（1）過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，故錯(cuò)誤；（2）根據(jù)平行公理的推論，正確；（3）線(xiàn)段的長(zhǎng)度是有限的，不相交也不一定平行，故錯(cuò)誤；（4）應(yīng)該是“在同一平面內(nèi)”，故錯(cuò)誤．正確的只有一個(gè)，故選A．【變式2-2】（2023春?饒平縣校級(jí)期中）若AB∥CD，AB∥EF，則∥，理由是．【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，理由是：如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)平行，故答案為平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行【考點(diǎn)2：平行線(xiàn)判定】【典例3】（2023秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，下列各組條件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°答案:B【解答】解：∵∠1＝∠3，∴AD∥BC，故A不符合題意；∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合題意；由∠B＝∠D不能判定AB∥CD，故C不符合題意；∵∠1+∠2+∠B＝180°，∴AD∥BC，故D不符合題意；故選：B．【變式3-1】（2023春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）如圖，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，其依據(jù)是（）A．兩直線(xiàn)平行，同位角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行 C．同位角相等，兩直線(xiàn)平行 D．兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等答案:C【解答】解：如圖，給出了過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)的方法，其依據(jù)是同位角相等，兩直線(xiàn)平行．故選：C．【變式3-2】（2023?德?？h二模）如圖，能判定AD∥BC的條件是（）A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4答案:A【解答】解：∵∠1＝∠3，∴AD∥BC，故A符合題意；由∠1＝∠2不能判定AD∥BC，故B不符合題意；由∠2＝∠3不能判定AD∥BC，故C不符合題意；∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故D不符合題意；故選：A．【變式3-3】（2023春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，直線(xiàn)a、b都與直線(xiàn)c相交，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判斷a∥b的條件是（）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④答案:C【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等兩直線(xiàn)平行，①正確；∠3＝∠6，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行，②正確；∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行，③正確；∠5+∠8＝180°，它們對(duì)頂角是∠3，∠2是同旁?xún)?nèi)角，同上，④正確．故選：C．【典例4】（2023春?重慶月考）如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求證：AB∥CD．請(qǐng)?zhí)羁眨C明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又∵∠1＝∠B（）∴（）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝（平角的定義）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）【解答】證明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定義）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，兩直線(xiàn)平行），∴∠AFB＝∠AOE（兩直線(xiàn)平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代換）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定義），∴∠AFC+∠2＝（90）°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）．故答案為：垂直的定義；已知；CE∥BF；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，同位角相等；等量代換；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．【變式4-1】（2023秋?社旗縣期末）〖我閱讀〗“推理”是數(shù)學(xué)的一種基本思想，包括歸納推理和演繹推理．演繹推理是一種從一般到特殊的推理，它借助于一些公認(rèn)的基本事實(shí)及由此推導(dǎo)得到的結(jié)論，通過(guò)推斷，說(shuō)明最后結(jié)論的正確．〖我會(huì)做〗填空（理由或數(shù)學(xué)式）已知：如圖，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求證：AB∥CD．證明：∵∠1＝∠E（）∴（）∴+∠2＝180°（）∵∠B＝∴+＝180°∴AB∥CD（）【解答】證明：∵∠1＝∠E（已知），∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行），∴∠D+∠2＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∵∠B＝∠D，∴∠B+∠2＝180°，∴AB∥CD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）．故答案為：已知，AD∥BC，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，∠D，兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，∠D，∠B，∠2，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行．【變式4-2】（2023春?岳池縣期末）把下面的說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：已知，如圖，直線(xiàn)AB，CD被直線(xiàn)EF所截，點(diǎn)H為CD與EF的交點(diǎn)，GH⊥CD于點(diǎn)H，∠2＝30°，∠1＝60°．試說(shuō)明：AB∥CD．解：∵GH⊥CD（），∴∠CHG＝90°（）又∵∠2＝30°（），∴∠3＝（）∴∠4＝60°（）又∵∠1＝60°（）∴∠1＝∠4（）∴AB∥CD（）【解答】證明：∵GH⊥CD（已知），∴∠CHG＝90°（垂直定義），又∵∠2＝30°（已知），∴∠3＝60°，∴∠4＝60°（對(duì)頂角相等），又∵∠1＝60°（已知），∴∠1＝∠4（等量代換），∴AB∥CD（同位角相等，兩直線(xiàn)平行），故答案為：已知；垂直定義；已知；60°；對(duì)頂角相等；已知；等量代換；同位角相等，兩直線(xiàn)平行．【變式4-3】（2023春?寧遠(yuǎn)縣期末）完成下面的證明如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠