2024屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4=1|三|<()[,B={x|2'<4},則AB=()

A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2]D.[—2,2]

2.復(fù)數(shù)z=〃+bi(awO,a,bwR)滿足(l—i)z為純虛數(shù)，則()

A.a+Z?=0B.a-b=0C.a+2b=0D.a-2b=0

3.樣本數(shù)據(jù)5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位數(shù)次為（）

A.7B.9C.9.5D.10

4.若x=〃+lnb,y=a+；lnZ?,z=〃+21nZ?(Z?wl)成等比數(shù)歹！J,則公比為()

A.-2B.-3C.—D.2

15

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的三項(xiàng)不同活動(dòng)，每人只能報(bào)其中

一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有一個(gè)人參加，則甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概

率為()

5698

A.—B.—C.—D.一

1825259

6.在"C中，sin(B-A)=1,2a2+c2=2Z?2,貝”inC=()

A.-B.3C.gD.1

322

7.已知正方體ABCD-ABCzR的棱長(zhǎng)為2,尸為線段G2上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐p—BCD

外接球半徑的取值范圍為（）

8.已知拋物線C的方程為y=；/,/為其焦點(diǎn)，點(diǎn)N坐標(biāo)為（0,-4）,過點(diǎn)廠作直

線交拋物線C于A、8兩點(diǎn)，。是x軸上一點(diǎn)，且滿足|D4|=|D3|=|@V|,則直線48的

斜率為（）

A.土叵B.土姮C.±72D.±73

22

二、多選題

9.已知函數(shù)力(x)=￡§(weN*),則下列判斷正確的是()

A.若〃=1,且工⑷+工伍)=0,則而=1B.若〃=2,且力(。)+力(。)=。,

則而=1

C.力(力是偶函數(shù)D.力(x)在區(qū)間。,收)上單調(diào)遞增

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(cosa,sina),B(cosy0,sin/?),aw夕.若點(diǎn)。滿足|OCj=點(diǎn)

OCLAB,則下列判斷錯(cuò)誤的是()

(a+/3.a+f3\

A.Ccos-------,sin--------B.面積的最大值為g

I22)

C1.1?々.a+P

C.—sinad--sinp<sin-----D.CACB>0

222

11.已知正方體ABCD-AZ'C'。'的棱長(zhǎng)為1,〃是AA中點(diǎn)，尸是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿

足。W=4。'。(2e[0,1]),平面MPN截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體

積分別為％匕，則下列判斷正確的是()

A.時(shí)，截面面積為3B.2=(時(shí)，乂=%

222

C.憶-匕|隨著X的增大先減小后增大D.憶-匕|的最大值為工

三、填空題

12.，=履+>是>=當(dāng)在(1,0)處的切線方程，貝.

13.1675年，卡西尼在礦究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，卡西尼

卵形線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.已知點(diǎn)耳(-2,0),F2(2,0),動(dòng)

點(diǎn)P滿足閭=6,則APF居面積的最大值為.

14.已知孫x2是實(shí)數(shù)，滿足考+8月-=8,當(dāng)㈤取得最大值時(shí)，歸+即=.

四、解答題

15.設(shè)數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，%+%=22,九=120.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

,1

(2)設(shè)a=I，/的前”項(xiàng)和為4,求小

<a“+'a,.

16.兵乓球(tabletennis),被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目.已

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發(fā)制，每人發(fā)兩個(gè)球，然后由對(duì)方發(fā)球，先得

11分者獲勝.

(1)若單局比賽中，甲發(fā)球時(shí)獲勝的概率為:，甲接球時(shí)獲勝的概率為甲先發(fā)球，求

單局比賽中甲11:2獲勝的概率；

(2)若比賽采用三局兩勝制(當(dāng)一隊(duì)萌得兩場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束)，每局比賽

甲獲勝的概率為:，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，記X為比賽結(jié)束時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的期

望.(參考數(shù)據(jù)66=46656)

17.已知三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AC=2,BC=4,=2百,

PE=gPC,PF=FB,平面AEF與底面ABC的交線為直線I.

2

(1)若BCLPC,證明：PC±AF；

(2)若三棱錐P-ABC的體積為華，。為交線/上的動(dòng)點(diǎn)，若直線PQ與平面3的夾

角為。，求sine的取值范圍.

18.已知雙曲線尸的方程為5?-;/=：!,其中

a>2,0(%,%)(%2a,%>0)是雙曲線上一點(diǎn)，直線。B與雙曲線尸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,

直線DC與雙曲線P的另一個(gè)交點(diǎn)為歹，雙曲線尸在點(diǎn)入尸處的兩條切線記為與

4交于點(diǎn)尸，線段。P的中點(diǎn)為G,設(shè)直線的斜率分別為％,后.

“11/4。

⑴證明：4丁丁

GB

Q)求~^方的值.

CrC

19.記A={/(尤)|/(x)=fct+7〃,匕相eR},若/o(x)eA,滿足：對(duì)任意均有

maxj/(%)-/(%)|>喘"⑺一氯x)|,則稱/o(x)為函數(shù)在xe[a,b]上“最接近”直

線.已知函數(shù)8(%)=2111%-爐+3,尤e[r,s].

⑴若g(r)=g(s)=0,證明：對(duì)任意/(x)eAmax|g(x)-/(x)|>1；

⑵若r=l,5=2,證明：g(x)在xe[l,2]上的“最接近”直線為：

/。(力=(21!12-3)卜-9]+宏等1,其中(1,2)且為二次方程

2八(21112-3卜-2=0的根.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)題意求集合A，8,再結(jié)合交集運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：A={尤]一2＜尤＜3},3={無h＜2}.

所以Ac3=[-2,2).

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的分類，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?l-i)(a+bi)=a+6+(b-a)i,又(l-i)z為純虛數(shù)，

所以Q+b=O且Qib,

故選：A.

3.D

【分析】利用第〃百分位數(shù)的定義即可求解.

【詳解】8x70%=5.6,

二.數(shù)據(jù)4,5,6,7,9,10,11,12的第70百分位數(shù)為10.

故選：D.

4.B

【分析】利用等比中項(xiàng)得到變量之間的關(guān)系，再求公比即可.

【詳解】％Vz成等比數(shù)列..yz=y2,

即(a+lnb)(q+21nb)=[q+glnZ?),

a2+3ainb+2(lnZ?)2=a2+alnb+-(InZ?)2,b^l.

4

8i7.八"4。"'—InZ?

..一一a=Inb,..公比為2”

7----------=-3

a+lnb

故選：B.

5.C

【分析】應(yīng)用分組分配法、分步計(jì)數(shù)求活動(dòng)安排的方法數(shù)，最后運(yùn)用古典概率模型概率公式

即得.

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】先將5名志愿者分成3組，第一類分法是3,1,1,第二類分法是2,2,1,再分

配到三項(xiàng)活動(dòng)中，總方法數(shù)為

因甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三項(xiàng)活動(dòng)上安排好，

再讓丁，戊兩人分別在三項(xiàng)活動(dòng)中選擇，

其方法數(shù)為A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為2=蒜=*.

故選:C.

6.C

【分析】利用余弦定理的邊角變換得到20cos8-次0就=-°,再利用正弦定理的邊角變換

與三角函數(shù)的和差公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?/+。2=2/，所以2/一2〃=一/,

因?yàn)?/_/_2〃ccos氏b2+c2-a2=2bccosA,

兩式相減，得2/-2b2=2accosB-2bccosA=-c2,/.2acosB-2/?cosA=-c,

由正弦定理，得2sinAcosB—2sinBcosA=—sinC,即—2sin(J3-A)=—sinC,

ii

因?yàn)閟in(3—A)=z，所以sinC=/.

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過幾何直觀找到外接球半徑與4尸CD的外

接圓半徑的關(guān)系式氏2=1+/；設(shè)PG=x,在PCD中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到產(chǎn)是

關(guān)于X的函數(shù)/Tx+8)(y+4)；利用導(dǎo)數(shù)求出戶范圍，進(jìn)而得到我范圍.

16

【詳解】如圖，連接AC,交BD于點(diǎn)、E,易得E為△BCD的外心.

連接交于點(diǎn)/，易知平面3C。，則三棱錐P—3co的外接球球心。在斯

上.

設(shè)；PCD的外接圓圓心為，平面PCD,

由正方體中棱3C1平面CCRD，得OO-//BC,又易得E,F分別是BD,BR中點(diǎn)，

所以O(shè)O=1.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

設(shè)，尸CD的外接圓半徑為廠，三棱錐P-BCD的外接球半徑為R.貝1」店=1+r,

設(shè)PC；=%xe[0,2],:.SPCD=2=^PC-PDsinZCPD,

.1PCPDG7LJ(2-X)2+4又「CD1

sinZCPD44'2sinZCP￡)sinZCPD)

產(chǎn)_(，-4x+8)(/+4)

"16

設(shè)/(x)=(x2-4x+8)(/+4),則f'(x)=4(x3-3X2+6尤-4),

設(shè)g(x)=f\x),則g\x)=12(X2-2X+2)>0,

.在xe[0,2]單調(diào)遞增，又/'⑴=0,

所以/(力在xe[0,l]單調(diào)遞減,在xe[l,2]單調(diào)遞增,又/⑴=25,/(0)=〃2)=32,

所以〃尤閆25,32],.，.人||,2,:.R=^+r26孚6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一個(gè)突破口是找出外接球半徑與j8的外接圓半徑的關(guān)系，

第二步是根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到,是關(guān)于x的函數(shù).

8.B

【分析】設(shè)A(&%),8(%,%)，。(。，0)，直線A8方程為產(chǎn)質(zhì)+1,聯(lián)立直線與拋物線方

程，消元，得至1」尤述2=-4,再由|以|=|￡>@=|DN|=夜2+由,可得A(4%),8(々,%)是方

程V+：/-2分一16=0的解，將、=履+1代入方程，由玉％=-4求出左.

【詳解】設(shè)4(%,%),8(孫為)，。(。，0)，直線方程為尸質(zhì)+1，

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

y=kx+\

聯(lián)立直線與拋物線方程12,可彳導(dǎo)x?—4kx—4=0,

y=一尤

-4

顯然A>0,所以玉％=-4.

又|ZM|=\DB\=QM=>Ja2+42,即J（X[—a）~+y；=—a]+y；=Ja?+4?，

即X；+y：-2aV]—16=0f+2ax?_16=0,

故4（工,%）,3（々,%）是方程/+丫2_26-16=0的解,

將y="+l代入方程/+>2-2以-16=0,

整理得（1+K）x?+（2k—2a）x—15=0,顯然A>0,

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為a，%）、（吃,為）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為大+超、%%的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

9.AD

【分析】分別將〃=1和〃=2代入計(jì)算可得A正確，B錯(cuò)誤；顯然當(dāng)力=2左-1,僅eN*）時(shí),

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

，2nxn~x

力（X）不是偶函數(shù)，即C錯(cuò)誤;求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)可得方（%）=伍而>°在（1,+8）上恒成立,

即D正確.

【詳解】對(duì)于A,”=1時(shí)，工(司=罟，

\—X

z./\z./\1+"1+b2—2ab

所以工⑷+工z伍)==+百=(]-)(]_"=0,所以m=1,A正確;

1+x2

對(duì)于B,"=2時(shí)，f2(x)

2

可得力（。）+力修）=^^+1+b2-2(海

=0,解得H=±1且〃力片±1,即B錯(cuò)誤;

1—CLl-b2(-2)(-2)

n

l+(-x)_i-x-

對(duì)于C,當(dāng)”=2無-1,僅wN*),fn(-x)=片力（x）,故C錯(cuò)誤;

l-(-x)"1+x"

2〃X"T

對(duì)于D,易知力'?）=

2，

1-

2nx"-'

當(dāng)xe（l,+s）時(shí)，力（司=（T>°.

1-尤"

所以力（X）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增，即D正確;

故選：AD

10.ACD

【分析】由已知可知點(diǎn)C在劣弧上或優(yōu)弧上，即可判斷A；由三角形的面積公式可判斷B；

JTTT

取。=￡=-二時(shí)，可判斷C；點(diǎn)C在劣弧上時(shí)，/ACB為鈍角，點(diǎn)C在優(yōu)弧上時(shí)，/ACB

為銳角，即可判斷D.

【詳解】若|OC|=1,OC±AB,則點(diǎn)C在劣弧上，或者在優(yōu)弧上，

所以c]cos；（a+m，sing（a+/））或者c'cos；（a+0,-sing（a+m],故A錯(cuò)誤；

因?yàn)镾AOB=gxlxlxsinZAO2=:sinZAO2vl，故B正確；

取a=g,0=E，則!sina+）sin.=sin,故C錯(cuò)誤；

66222

nunUUU1

點(diǎn)C在劣弧上時(shí)，/ACB為鈍角，CACB<0,

點(diǎn)C在優(yōu)弧上時(shí)，/AC3為銳角，CACB>0，故D錯(cuò)誤.

故選：ACD.

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

11.BCD

【分析】對(duì)于A,易于判斷截面形狀，計(jì)算即得其面積；對(duì)于B,可由A項(xiàng)圖形進(jìn)行對(duì)稱

性判斷得到；對(duì)于C,要結(jié)合A項(xiàng)中點(diǎn)N從點(diǎn)必運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，截面形狀的變化,

以及B項(xiàng)中的結(jié)論合并進(jìn)行判斷；對(duì)于D,要在選項(xiàng)C的基礎(chǔ)上判斷取最大值時(shí),

對(duì)應(yīng)于幾=0或4=1時(shí)的情形，故只需要求出這兩種情形下的忖-陽(yáng)的值即得.

72

21

如圖2.當(dāng)2從0變化到1時(shí).截面從四邊形MD'CP變化至五邊形（其中1/為3c靠

近3點(diǎn)的三等分點(diǎn)）.

結(jié)合B項(xiàng)可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對(duì)值先減小至0,再逐漸增大，故C項(xiàng)正

確;

M-匕|取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)為久=0,或2=1時(shí)情形.

當(dāng)2=0時(shí)，不妨記匕為截面MDCP左上角的部分幾何體，則

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

1/1I、III17

TX7=VT7P-AMD'D+VT7P-DD'C=-(l-7)X-+-X~Xl=^T，

jt,4J乙

1717q1711775

則%i—=—，此時(shí)MT-T匕7二------

24241121242412

當(dāng)無=1時(shí)，不妨記匕為截面MPJC'。左上角的部分幾何體，則

,、?口1八I、II11II1II147

匕=^P-DAMQD'+T^/P-DCC,D,+^Q-PCJ+^Q-JC,C=~(^~X~+ZXlXl+ZXTXl+ZXZXl-TT,

312233o3372

47254795ll

貝nlT匹7=l-----=—,此時(shí)MF=五-五

2727236

???MM的最大值為白，故D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】甩路點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查正方體的截面面積和分割成的幾何體的體積問題，屬于難

題.

解題思路在于要有從特殊到一般的思想，先考慮點(diǎn)N為。的中點(diǎn)時(shí)的截面和分割成的幾

何體體積的關(guān)系，再考慮點(diǎn)N分別與點(diǎn)DC,點(diǎn)C'重合時(shí)的截面形狀以及分割成的兩部分的

體積，總結(jié)出體積變化規(guī)律即可.

12.-1

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，再求切線方程即可.

【詳解】令丁=吧=/(尤)，1-2：1嘰/⑴,

XX

則上=/'(1)=1,則方程為y=x+。，將(LO)代入方程，得0=1+6,解得6=-1,

故答案為：-1

13.3

【分析】根據(jù)題意可列等量關(guān)系，化簡(jiǎn)可得4標(biāo)有"-4=+標(biāo)育-8)冷,

3

即可求解由面積公式即可求解.

【詳解】已知定點(diǎn)為￡(-2,0),8(2,0),

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足忸￡卜|「引=6,

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為7(X+2)2+>2-J(x-2>+y2=6,

兩邊同時(shí)平方可得(%2+/+4)2=36+16V,

整理得/=-7l6x2+36-X2-4=-—(716?+36-8)2+-,

164

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

所以回4，

止匕時(shí)=：山/yy|=gx4|y|43,當(dāng)且僅當(dāng)y?=:時(shí)，取得最大值，

故答案為：3

14.5

【分析】根據(jù)等式特征可知8=(占-2%)2+(2%y,再由不等式及其等號(hào)成立條件可得結(jié)果.

【詳解】由龍;+8考一4%％=8可得(玉一2々丫+4x；=8,

又(占-2%了+4%=8=(%-2尤2丫+(2無2y2(占-2無;+2%),

16>xj2,gp|x,|<4；

fx-2x,=2x,(X=4fx,=-4

當(dāng)且僅當(dāng)?…-時(shí)，即「或?,,等號(hào)成立；

此時(shí)上+引=5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用條件等式得出平方關(guān)系式，得出162考，由等號(hào)成

立的條件即可得出結(jié)論.

15.(l)a?=2n+l

⑵J27+3退

22

【分析】(1)設(shè)公差，將條件利用等差數(shù)列的基本關(guān)系式列出方程組，求解即得;

71

⑵將冊(cè)=22代入第=忑干,分母有理化后，利用裂項(xiàng)相消法求和即得.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由的+%=22,Slo=12O,

2。［+8d=22...

則1。,+45d=12。'解得4=35=2,故4=3+(-l)x2=2〃+l；

_______1■\12rl+3—+1

(2)由(1)得勿=

d2rl+1+J2/+32

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

:.T,=；函-6+幣-后+也-幣++/2〃+3-5+1)=卻2〃+3-退)

_以+3#)

一-2r

49

16-⑴麗

⑵%)=等

【分析】（1）根據(jù)題意，分3種情況分別求單局比賽中甲11:2獲勝的概率，再求和;

（2）首先分析得到X=2,3,再分別求概率，以及數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）設(shè)事件A為“若甲先發(fā)球，單局比賽甲11:2獲勝”，其可分為如下三種基本事

件，

事件3為“甲發(fā)球，甲敗2次”，事件C為“乙發(fā)球，甲敗2次”，事件。為“甲發(fā)球，甲敗1

次，乙發(fā)球，甲敗1次”，

這個(gè)單局比賽中，甲發(fā)球6次，乙發(fā)球6次，最后1次是甲發(fā)球甲贏，

21602640

"5遍X3=^尸(C=c；

6

IX2768

I三'

156849

P（A）=P（B）+P（C）+P（Z））=

1458

（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為2,3,

尸(X=3)=C；*|g|+C；gW

549?

所以E(X)=2x§+3＞丁丁

17.（1）證明見解析

（2）H_

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明尸C_L平面AER，由線面垂直的性質(zhì)定理即可證

明結(jié)論；

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)。(l,y,o),求出平面A肝的法向量，根據(jù)

空間角的向量求法，結(jié)合不等式知識(shí)，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意：==分別為棱尸C$8的中點(diǎn)，E尸〃8C,

BCLPC,:.EF±PC.

.34C為等邊三角形，E為尸C中點(diǎn)，

:.PC±AE.

又EF、^^^^^，^，^(^平面凡^^,尸^平面鉆尸，

AFu平而AEF,,PC,AF；

(2)如圖，在底面ABC內(nèi)過點(diǎn)A作BC的平行線即為平面AEF與底面ABC的交線/,

(因?yàn)樗?C,則EF〃/',A為平面AEF與底面ABC的公共點(diǎn)，故/'為平面AEF與底

面ABC的交線/)

由題意AC=2,BC=4,AB=2&,可得ACZ十臺(tái)。？=,即AC人3C,

故底面一ASC的面積為S=3AC-8C=4,

2

設(shè)底面ABC上的高為力，貝4C=J_s/z=工義4〃，于是h=垂＞,

333

注意到側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，取AC中點(diǎn)O,

連接PO,則尸。=6，從而尸。即為三棱錐尸-ABC的高，故平面ABC,

取48中點(diǎn)加，連接DM,則DM1AC,

于是，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).94,。川,。月所在直線分別為苫軸、y軸、z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，則A。,0,0),P(0,0,A/3),C(-1,0,0),B(-l,4,0),

E_g。，*，F(xiàn)—g,2,91,Q(l,y,0),

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

于是尸Q=(i,y,_君),=跖=(0,2,0),

I22J

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向是為n=(x0,%,1),

3+4。

AEn=0即「了"°

EFn=

2%=0

1

由線面所成角的定義可知sin〃二卜os<PQ,〃>卜sinae

J4+V2

18.(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)23,C坐標(biāo)求得斜率表達(dá)式，利用自變量范圍即可得出證明；

(2)聯(lián)立直線《與雙曲線的方程可得其斜率為&=木，同理可得心二言，聯(lián)立直線44

的方程解得號(hào)=%紇"),再通過聯(lián)立DB,DC的方程利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可求得

xly2-x2yl

xP=~x0,可知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)%=。，即OGL3C,可得|G理=|GC|.

【詳解】(1)證明：如下圖所示：

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

由。（尤0,%）,3（-4,0）,。（4,0）可得勺=已&=2

人nIC44c

112x

所以廠+1=一

%1%2丁0

又￡＞（%,%）在雙曲線上，.?.J-y；=l.

<1,

（2）設(shè)E&,%）,*%,%），設(shè)直線4,4的斜率分別為上，&，

直線4的方程為y-%=內(nèi)（了-不），

y-yx=k^x-x^

聯(lián)立方程32?由A=0可得%=7^，

-----y=14%

I4-

同理可得&=廣-;

4%

=/（尤一%）丫2-％+%占一勺尤2

聯(lián)立44的方程1一必=%（彳一尤2）消去y可得巧＞=

k3—女4

將&=白，/=產(chǎn)代入上式，化簡(jiǎn)整理可得”=4也一%）

4%4%百%一9必

設(shè)直線DB,DC的方程分別為xiy-a.xfy+a，

1x0+a1xn-a

則可得％，2=~j~=,

%hy0

x=t{y-a

聯(lián)立雙曲線與直線05方程＜x2

丁)’2=1'

消去X可得關(guān)于y的二次方程（4—4）/—2的y+片—4=。，該方程的兩根為加切；

々2—4/一4

由韋達(dá)定理可知為%=方二I,可得％=；

.一41-4)%

“2—4

同理可得為=行書,

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

4（%一%）4（%f）

所以％p二再將%，必表達(dá)式代入乙中整理可得:

*：4(%-%)「________4%?：一引________

P+(/-4)&-幻一伙(片+g-8)'

xn+axn-a8xn8xn

再將t.=~—,t2=」一代入上式整理可得8=0°2/U=一不；

%%4y0-x0-4-8

所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)%=汽配=0,所以O(shè)GL3C,故|G@=|GC|；

\GB

可得^—=1

GC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)直線和切線方程，通過與雙曲線聯(lián)立求得點(diǎn)P橫坐

GB

標(biāo)的表達(dá)式，并通過化簡(jiǎn)變形求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為0,即可求得OGL3C,可得汴=1

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)首先求g'(x)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合“最接近”直線的定義，分

情況分析證明；

(2)首先設(shè)函數(shù)/z(x)=(21n2-3)(x—1)+2,再令/(x)