高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)壓軸處理

導(dǎo)數(shù)壓軸題處理套路

一、雙變量同構(gòu)式（含拉格朗日中值定理）

二、分離參數(shù)與分類討論處理恒成立（含洛必達(dá)法則）

三、導(dǎo)數(shù)與零點問題（如何取點）

四、隱零點問題整體代換

五、極值點偏移

六、導(dǎo)數(shù)處理數(shù)列求和不等式

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一、雙變?同構(gòu)式(含拉格朗日中值定理)

例1.已知/(冗)=(a+l)lnx4-ox2+1

(1)討論了(1)的單調(diào)性

(2)設(shè)Q<-2,求證：Vx,XG(0,+oo),|f(X)-/(X12kx-q

例2.已知函數(shù)/(X)TX2-ax+(a-l)lnx,a>lo

2

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：若。<5,則對任意x,xe(0,+8),x*x，有四上二

12I2X-X

12

例3.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+_,加eR.

X

(1)當(dāng)加=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求/(%)的最小值；

X

(2)討論函數(shù)g(X)=/'(X)一可零點的個數(shù)；

(3)若對任意b>?>0,<1恒成立，求機(jī)的取值范圍.

b-a

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例4.已知函數(shù)/(x)=_1一色1

X

(1)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性

(2)對任意的X,xe[e2,+8),有/您)-,。，＞"，求/的取值范圍

】2LX-XXX

I2I2

例5.已知函數(shù)/(x)=1x2-a\nx+(a-2')x,是否存在awR,對任意x

,X￡(0,4-00),

22

X#X,/(弋)―/。2)＞。恒成立？若存在，求之；若不存在，說明理由。

?2-----x^X-----

I2

例6.已知函數(shù)/(x)=ax+xlnx的圖象在點x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率

為3.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若/(x)?依2對任意x〉0成立,求實數(shù)上的取值范圍；

而m

(3)當(dāng)〃＞機(jī)＞1(wcN*)時，證明：—.

njnn

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專叱分離然與分類腕眄(含洛必達(dá)的)

例1.已知函數(shù)/(x)=f^+?.曲線y4>(X)在點(1"(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

x+1X

(1)求。、〃的值；

]nxk

(2)如果當(dāng)X>。，且時，/(X)>+，求人的取值范圍.

--------------------a

x-lX

例2.設(shè)函數(shù)/(x)=ex-l—x—ax2.

(1)若a=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x20時，/(%)>0,求a的取值范圍.

例3.已知函數(shù)/(x)=x(6-l)-ax2.

(1)若/(%)在x=-1時有極值，求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)當(dāng)時，/(%)>0,求a的取值范圍.

(3)當(dāng)xNO時，/(%)>0,求a的取值范圍.

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例4.設(shè)函數(shù)/(x)=l—e-x.

x

(1)證明：當(dāng)x>一1時，f(x)NE；

X

(2)設(shè)當(dāng)xNO時，/(x)<——-,求。的取值范圍.

ax+\

例5.設(shè)函數(shù)/a)=.

2+cosx

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)如果對任何Xe0,都有/(x)Wax,求a的取值范圍.

例6.已知函數(shù)/。)=x+e__i

入X4-1

(1)證明：當(dāng)九=°時間，/(X)>0

(2)若當(dāng)x2。時，/(x)>0,求實數(shù)入的取值范圍。

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___________________________

例7.已知函數(shù)/(x)=ln(x+D+aQ-x),其中aeR

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點個數(shù)，并說明理由

(2)若▼工〉0,/(。20成立,求。取值范圍。

例8.已知函數(shù)f(x)=lnX2-ax.\a>0)

22

(1)求證。<a<2時，/(x)杏「I］上是增函數(shù)

,+8

(2)若對任意的ae(l,2),總存在xe「1,+8、使不等式/(x)>m(l-編)成立，求實

o[20

數(shù)機(jī)的取值范圍

例9.已知函數(shù)/(》)=0-2m+。(》-1)2有兩個零點.求。的取值范圍；

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例10.已知函數(shù)/(%)=(%+1)Inx-a(x-1).

(1)當(dāng)a=4時，求曲線y=/(x)在處的切線方程；

(2)若當(dāng)xe(l,+8)時，f(x)>0,求a的取值范圍.

專摩三舄物與零點問題(如何取點)

例1.已知函數(shù)/(x)=a?2*+3-2)e*-x.

(1)討論單調(diào)性;

(2)若/(x)有兩個零點，求a的取值范圍；

例2.已知函數(shù)/(x)=(x-2)e，+a(x-l)有兩個零點.求a的取值范圍；

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___________________________

例3.設(shè)函數(shù)/(x)=e2.、-alnx.討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的零點的個數(shù)；

例4.已知函數(shù)/(x)=(x-l)ev+ax2有兩個零點.(2)求“的取值范圍

例5.已知函數(shù)/(幻:冬一^^一加工一^當(dāng)^^時，試討論y=f(x)的零點的個數(shù)；

2

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例6.設(shè)函數(shù)/(%)=n二一lnx+ln8+1),是否存在實數(shù)。，使得關(guān)于x的不等式

X+1

/(*)Na的蜂為(0,+8)?若不存在，試說明理由。

例7.已知函數(shù)/(x)=ae2-(2or+1)e*+x?+2x.當(dāng)0<aV2時，證明f(x)必有兩個零

點

例8.已知函數(shù)/(x)=a+J7lnxQel?)

(1)求/(*)的單調(diào)區(qū)間

(2)求函數(shù)/(X)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論

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例9.設(shè)常數(shù)九＞0,。＞°，函數(shù)對于任意給定的正數(shù)九,a證明存在

X+A

實數(shù)X，當(dāng)時，/(x)＞0

00

例10.已知函數(shù)/Q)=x+aInx.

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,7(D)處的切線方程；

(2)求/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)/Q)沒有零點，求”的取值范圍.

例II.已知函數(shù)/Q)=Q+a1x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，aeR.

(1)求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時，試確定函數(shù)8(。=/。一。)一心的零點個數(shù)，并說明理由

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例12.已知函數(shù)/。)=。1!1》+一(4力0).

x

(1)求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若“/(丫)《0}=W(其中。<c),求。的取值范圍，并說明［仇/三(0,1).

分析{1/0)4()}=L,c］的形式類似不等式的解集，問題即轉(zhuǎn)化為研究方程的根，即轉(zhuǎn)化為

研究函數(shù)的零點范圍

例13,已知函數(shù)/(x)=X2-(a-2)x+aInx+2a+2,其中a<2

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)/(幻在(0,2］上有且只有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍。

例14.已知關(guān)于x的函數(shù)/(x)="二」。工0),

ex

(1)當(dāng)。=—1時，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)F(x)=/(》)+1沒有零點，求實數(shù)。的取值范圍。

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例15.已知函數(shù)

(1)若曲線y=/(x)在點3,/(。))處與直線丫=人相切，求。與b值；

(2)若曲線)，=/(幻與直線y有兩個不同交點，求〃的取值范圍。

例16.已知函數(shù)/(x)=a+Kinx,(ae7?)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)試求函數(shù)＞=/(幻的零點個數(shù)，并證明。

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專愿四隱等點問題整體代換

例1.設(shè)函數(shù)/(x)=ex-ux—2(1)

求/(x)的單調(diào)區(qū)間

(2)若。=1,左為整數(shù)，且當(dāng)x〉0時，(x—k)_f(x)—x+l>0,求左的最大值

例)2.已知函數(shù)/(x)=ax+xlnx的圖像在點x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3

(1)求實數(shù)。的值

(2)若ZwZ,且后<》/——(x)對任意X〉1恒成立，求人的最大值

x-1

例3.若對于任意x>°,xeix-kx-\nx-12()恒成立，求k的取值范圍。

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例4.已知函數(shù)/G)=ev-ln(x+/??).

(1)設(shè)》=0是/(》)的極值點，求機(jī),并討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)相W2時，證明/(x)>0.

例5.已知函數(shù)f(x)=—X3+尤2+ax+1在(一1,0)上有兩個極值點尤I、“2，且

3

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：f(x).

例6.已知awR,函數(shù)/Q)=e.、+ax2；8(》)是/(》)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)。=一L時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)當(dāng)。>0時，求證：存在唯一的xe1,0^使得g(x)=0;

<)I2zr卜

(3)若存在實數(shù)。力，使得/(X)之。恒成立，求a-b的最小值.

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例7.已知函數(shù)/(x)滿足滿足/(X)=/'(1)&T-/(0?+」心.

2

(1)求/(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(X)N2X2+ax+b,求5+1)〃的最大值.

2

例8.已知函數(shù)/(x)=—2(x+tz)lnx+%2-lax-2a^+a，其中a〉0.

(1)設(shè)8(口是/(苫)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：存在。式0,1)，使得/(x)NO在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立，且/(x)=0在區(qū)間

(1,+8)內(nèi)有唯一解.

例9.已知函數(shù)/(x)=-21nx+X2一0X+G,其中°>0,設(shè)g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論g(D的單調(diào)性；

(2)證明：存在。e(0,l),使得/(x)20恒成立，且/G)=0在區(qū)間(1,+00)內(nèi)有唯一解.

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例10.已知函數(shù)f(x)=：_12—Inx+x+1,g(x)=aei+_+cix—2。—1，其中?！闔.

2x

(1)若。=2,求/(x)的極值點；

(2)試討論/(x)的單調(diào)性；

(3)若。＞0,VXG(0,+OO)，恒有g(shù)(x)N/'(x)，求a的最小值.

例11.已知函數(shù)/(x)=lnx-Lax2+x,aeR.

2

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)。,使得函數(shù)/'(x)的極值大于0?若存在，則求明的取值范圍；若不存

在，請說明理由

例12.設(shè)函數(shù)/(x)=e2x—aInx,

(1)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的零點的個數(shù)；

(2)證明：當(dāng)“＞。時/(尤)2勿+。1/

a

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例13.設(shè)函數(shù)fa)=e*一g-2

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。=1,k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(x—6尸(尤)+x+l>0,求人的最大值。

例14.設(shè)函數(shù)/(》)=-一叭%+加)

(1)若x=0是/(x)的極值點，求相>0,并討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)機(jī)S2時，求證：/(%)>0.

例15.已知函數(shù)/(x)=ex+,“—x3,g(x)=ln(x+l)+2.

(1)若曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線斜率為1,求實數(shù)機(jī)的值；

(2)當(dāng)加之1時，證明：f(x)>g(x)-x3.

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例16.已知函數(shù)/(x)=lnx+_ox2+x+l.

2

(1)當(dāng)。=一2時，求f(x)的極值點；

(2)當(dāng)。=0時，證明：對任意的%>0,不等式/(x)恒成立。

專甌極值點偏移

例1.已知函數(shù)/(x)=21nx+X2+x,若正實數(shù)x,x滿足)=4,

I212

求證:X+X>2

12

例2.已知函數(shù)/(x)=lnx+X2+x,正實數(shù)x,x滿足/(x)+/(x)+xx=0,求證：

12212

p—1

X+x>----

I22

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_______________________________

例3.已知函數(shù)/(X)=xe_x

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)g(x)的圖像與/(X)的圖像關(guān)于直線》=1對稱，證明：當(dāng)X>1時，

/(x)>g(x);

(3)如果XHX,且/(x)=/(x)，證明：x+x>2.

''1212I2

例4.已知函數(shù)/(x)=(x-2)e,、+a(x_l)有兩個零點.

(1)求。的取值范圍；

(2)設(shè)5,X,是/(x)的兩個零點，證明：X+X<2.

例5.已知函數(shù)/(x)=xlnx的圖像與直線y=加交于不同的兩點A(x,),)B(x,y)求

11221

1

證：XX<一.

?2ez

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_________________________________

例6.已知函數(shù)/(X)=lnx和g(x)=ox,若存在兩個實數(shù)xX且XWX滿足

1'2'I2'

f(X)=g(%),f(X)=g(X),

‘1。I,'202

(1)求證：X+X>2e；

(2)求證：xx>e2.

已知函數(shù).f(x)=

例7.e、-ax有兩個不同的零點xX,其極值點為X.

120

(1)求a的取值范圍；

(2)求證：x+x<2x

''I20

(3)求證：％+x>2；

(4)求證：XX<1.

、/12

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例8.已知/(x)=ln(x+m)-mx

(1)求/G)的單調(diào)區(qū)間

(2)設(shè)根〉1,弋，X,為函數(shù)/(X)的兩個零點，求證'+'<0

例9.已知函數(shù)/(x)=x-lnx,若兩相異正實數(shù)xx滿足f(x)=/(x)求證.

I'212,

/")+廣(X,)<0.

例10.已知函數(shù)/(X)=xinX

x-1

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃(x)=(r2-x)/Q),且方程/?Q)=機(jī)有兩個不相等的實根尤，x，求證：

12

2

X24-X2>.

12e

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例11.已知人>。>0，且Z?In。一。Inb=。-b.

(1)求證：a+h-ab>1；

(2)求證：a+b>2；

(3)求證：1+1>2.

ab

例12.已知函數(shù)/（X）=21nx-ax,若xxG<x）是/（x）的兩個零點，證明：

1212

f.（X+2x1n

例13.設(shè)函數(shù)/（X）=Qx-ax+a,其圖像與x軸交于點A（x,0）,B（x,0）,證明：

I2

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例14.已知函數(shù)/（X）=lnx-x,設(shè)x>x>0,求證：“1J（x,）_/（/）］

12/2十尤2X—X

I212

例15.設(shè)/(x)=x_ae、(aR)eR,已知函數(shù)y=/(x)有兩個零點x

exx，且

2

X<X.

12

(1)求。的取值范圍；

X

(2)證明：。隨著。的減小而增大；

x

1

(3)證明：x+x隨著。的減小而增大.

''\2

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,,.__n-hQ+〃

例16.對于正數(shù)“，b，且aHb，求證：aD<

\na-lnb2

例17.設(shè)函數(shù)/(X)=lnx—a%2+(2—a)x的兩個零點是x,x，求證：

22~

例18.已知函數(shù)/(x)=Inx-1,g(x)^ax+b

X

(1)若函數(shù)Mx)=/(x)-g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的范圍；

(2)若直線g(x)=ar+b是函數(shù)/(x)=lnx-L圖像的切線的最小值；

(3)當(dāng)6=0時，若/G)和g(x)的圖像有兩個交點A(x,y),B(x,y),求證xx>e2

12

22

e?2.8,In2?0.7,^^1.4)

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專照六列蜘不附

例1.已知函數(shù)/(x)=x-l-alnx。

(1)若/G)",求a的值；

(2)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)f<機(jī)，求m的最小值。

I2人22J-VM

例2.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—ax在x=-1處的切線斜率為1

2

(1)求/(x)的最大值；

(2)證明：當(dāng)"eN*時，1±1±1++2>ln(〃+1).

23~n

(3)設(shè)g(x)=b3—x),若g(x)>/(x)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

第25頁共29頁

例3.已知函數(shù)/(x)=lnx+=一.

x+1

(1)試比較/(X)與1的大??；

(2)求證：ln(〃+l)〉]+l+l+.??+—!—(nGN*)

3572〃+1

例4.已知函數(shù)/(x)=°sin(l—x)+lnx

(1)若/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

1]\9

(2)求證.sin---------+sin----------+A+sin----------<In—.

”(1+1)2(2+1)2(8+1)25

例5.已知函數(shù)/(x)=a(x—_)-21nx.

x

(1)若對于任意X21,有了。)20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

13

求證：-L+—+1+A2n

(2)+—>21n

223247八〃2/7+14