2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：4類比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

題型054類比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

(構(gòu)造函數(shù)、兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、不等

式放縮合集)

技法Qi構(gòu)造曲數(shù)比較函數(shù)值大小關(guān)系第■技巧

技法。2兩類經(jīng)典超生不等式比較的敷值大小關(guān)系K?技巧

技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)累解■技巧

技法04不等式放婚合集比較的數(shù)值大小關(guān)系值■技巧

技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

用靠上?常見題型解讀

本M8型在高年中以小19形K考倉.是高第與ML44s中可以用方法技巧作答.能用分析法也

打構(gòu)造函數(shù)的本體是川決此類問題的突破口，雷邕點掌握

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

例1.設(shè)”=0.1e°」/=,,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【法一】分析法

假設(shè)待證法比較大小一構(gòu)造函數(shù)

假設(shè)。<6成立，BPO.le01<|<=>O.9e01<1oIn0.9+0.1<0

令x=0.9,則等價證明：Inx+(1-x)<0,即證：lnx<x-l(原式得證，略)

假設(shè)成立，即0.1e°」<-ln0.900.1e°」+ln0.9<0

令元=0.1,則等價證明：尤e'+ln(l-x)<0,xe(0,1),證明略

所以函數(shù)g(x)=xe'+ln(l-x)在xe(0,C-l)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0),即：O.le01+In0.9>0,所以假設(shè)不成立，即a>c,

試卷第1頁，共8頁

綜上所述：c<a<b,故選：C

【法二】構(gòu)造法

設(shè)f(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因為/(x)=:——1=-丹，

當(dāng)工￡(-1,0)時，f\x)>0,當(dāng)X￡(0,+oo)時f\x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-%在(0,+8)單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以〃3)<〃0)=0,所以In孩一3<0,故g>ln#=-ln0.9,即6>c,

191Q--1—1

所以/(一歷)<"0)=0,所以咤+而<0,故才e%所以3°4，

故Q<6,

設(shè)g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),貝！1go=(工+1)~~牛土

令”(xhe,Cr2-1)+1,〃(x)=e*(d+2x-l),

當(dāng)0<x<近一1時,h'(x)<0,函數(shù)力(x)=)(;?-1)+1單調(diào)遞減,

當(dāng)近一1〈尤<1時，、(x)>0,函數(shù)/x)=e、(d-1)+1單調(diào)遞增，

又力(0)=0,

所以當(dāng)-l時，"(x)<o,

所以當(dāng)0<x<血-1時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9,所以

故選：C.

叫魯i?知識遷移強化

(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)

1.設(shè)〃=lnl02-lnl00,b=&,c=tan0.02,則()

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

(2023?福建福州?模擬預(yù)測)

2.a=^,b=lnl.l,c=tan0.1,則()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

（2023?福建?二模）

試卷第2頁，共8頁

上)」11

3.設(shè)〃=2e4-1,Z?=e2-l,c=sin—+tan—,貝(j()

一、44

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

隼考^

本IS型在高考中以小JH形式考人，足高糖與題；本題型可以用方法技巧作答.能用利美卻越

不等式是解決此類制IS的突破口.需更點掌W.

知識遷移

?X

e"2x+1,ex>ex,1__#ln%x-1Inx<—

xfe

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

1991HI

例2.已知a=——,6=-叫°=111"!—,貝I」Q,b,c的大小關(guān)系為)

100100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

技巧點撥o

99

100>』+一

100100

c心"一」

100100100

【答案】c

叫弟而?知識遷移強化

（2023上?河北保定?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）

4.已知。=ln(l+e),b=y/efc=—,則()

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

（2023?河南開封?統(tǒng)考模擬預(yù)測）

114

5.已知〃=§,6=”一1，。=103，貝I（）

A.a<b<cB.a<c<b

試卷第3頁，共8頁

C.c<a<bD.b<c<a

（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）

32

6.已知。=山5，b"，c=e"L則)

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

識高考?常見題型解讀

本MB也在高考中以小鳥形式考件.足品領(lǐng)號Hi本18型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式

展開是薪?jīng)Q此類問弱的突破U.制重點掌握,

知識遷移

常見函數(shù)的泰勒展開式:

,23

⑴e=1+—+—+——+???+——F/、”，其中（0<9<l）；

1!2!3!nl(n+1)

M+1

丫23nx〃+i1

(2)In(1+x)=X-—+-——+卜其中凡二(—1)〃

2!3!v7n!v7+1)!11+Ox

x3X5—"I/I

(3)sinx=X--------1-----------F(-廣好_m+此，其中《=（一葉cosOx:

3!5!（2左+1）!

240-22k

%X,x

(4)cosx=l-(-廣+R〃，其中扁=(T)y-p-cos0x；

（2左—2）!

(5)——=1+X+X2H----Fxn+o(xn);

1-x

(1+x)n=I+nx+?(；!1)x2+o(x2)；

(6)

(7)tanx=x+——FH------H4”)

(8)y/1+x=1H—x—、2-|-----_|---------o(x'

2816

由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式:

一123

QX>1+xje>1+xH—x(x>0),sinx>x-—x(x>0),

26

1

cosx>1——x2,Inx<x-1,ex-1>x,

2—

1)；

tanx>x+—x3(x>0,Jl+xWl+x,ln(l+x)<x.

3

3.常見函數(shù)的泰勒展開式:

試卷第4頁，共8頁

結(jié)論1ln(l+x)<x(x>-l).

結(jié)論2lnx<x-l(x>0).

結(jié)論31--<Inx(x>0).

3士'AA-----<In----------=------<In(1+x)

結(jié)論41+xix1+x'7.

i--------

1+x

1y

結(jié)論5\+x<ex;-----(%<1);-----?ln(l+x)K〉—1).

i—x1+x

結(jié)論6ex>1+x(xeR)；

結(jié)論7e~x>l-x(xeR)

結(jié)論8——>ex(x<1).

1-x

結(jié)論9——<ex(x>1).

1-x

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

(2022年新I卷高考真題第7題)

例3.設(shè)a=0.1e。-，6=(,c=-ln0.9則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

技巧點撥

泰勒公式法：

AI21

H^e01?l+0.1+—=1.105,所以0.1e°」^0.1105<—=0.11111=4所以。<6

29

因為

1

c=-ln0.9=ln—=ln(^+l)?—^-4-^-=——J—n—0.006=0.105<t

99923916221879

以C<Q

綜上所述：c<a<b

故選：C

需票證?知識遷移強化

（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）

試卷第5頁，共8頁

7.已知。=一,6=cos—,c=4sin—,貝lj()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)

8.設(shè)a=21nl.01,b=lnl.O2,c=VT04-l.貝!I()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

(2023春?湖北?高三統(tǒng)考期末)

31

9.已知”=八一1,6=In-,c=sin-,則()

22

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<b<a

技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

喟3?常見題型解讀

本典型在高考中以小堀形式考倉.是高頻寫題；本題暨可以用方法技巧作答.能用不等式來

放瑞是解決此吳何IB的夾破口.焉重點掌握.

知識遷移

sinx<x<tanx,xG|0,三]

Inxvyj-x-(x>D,Inx>s/x-<X<1),

y/X

Inx<—(x--)(x>1),Inx>—(x-■-)(0<x<1),

2x2x

1313

Inx>—x+92x(x>1),Inx<—x9+2x—(0<x<1)

2(x—1),2(x—1),、

Inx>--------(x>1),Inxv----------(0<x<1)

x+1x+1

放縮程度綜合

[11/1、r12(x-l)12c31小八

l—<一(x—)<yx----產(chǎn)<I1nx<-........<——x+2x——<x—1(0<x<1)

X2XGX+122

1112c32(x-l)1廠11/1、c、

l—<—x+2%<---------<Inx<-xjx——；=<—(x--)-<x—1lZ(1l<x<2)

x22x+l62x

12c3112(x-l)[r11/1、“c、

—x+2x<1<---------<Inx<-\pc-—-(x-%-l(x>2)

22xx+1五2x

試卷第6頁，共8頁

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）

例4-1.設(shè)。=0.1e°J,6=g,c=-ln0.9,貝I]()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

技巧點撥o

放縮法

因為x+1<eY<-----(x<1),

1-x

所以?=O.leol<O.lx—~=l-=b,即Q<6

1-0.11-0.19

因為Inx<—(x--)(x>1),

2x

所以。=-山0.9=吟<焉<0.11<a,即c<a

綜上所述：c<a<b,故選：C

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

3111

例4-2.已知—,6=cos—,c=4sin—,貝(J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

試卷第7頁，共8頁

技巧點撥o

【法一】：不等式放縮一

因為當(dāng)x￡［o,］）sinx<x,

取了二?得：cos—=l-2sin2—>1-2^-^=—,故

848⑶32

.11.（1）,f.14

4Asin—+cos—=V17sin-+（p,其中A0,—,^sm（p=—r=,cos^?=—^=

4414）y2JV17<17

,..11n?.1n7i1

當(dāng)sl4sm—+cos—=J17時，一+夕=一,及（p=-------

444224

…?141.1

止匕時sin—=cos°=-j=r,cos—=sm（p=—^=

4V174J17

4114?1…14

^TCOS-=-^<-^==8111-<48111-,故6<。

4V17V1744

所以b>a,所以C〉6>“,故選4

【法二】不等式放縮二

因為9=4tan,，因為當(dāng)工￡（0,巴］,5111'<'<1@11%,所以tan，>工，即9>1,所以c>b；

b4<2J44b

因為當(dāng)xw（o,g］,sinx<x,取x二得cos^=l-2sin2，〉l-2已］=衛(wèi)，故…，所以

I2；848⑻32

c>b>a.

故選：A.

唱篇k?知識遷移強化

（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）

1711

10.設(shè)。=一，6=cos-,c=3sin-,則下列正確的是（）

1833

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

（2023?云南大理?統(tǒng)考一模）

11.已知Q=1.6,b=e06,c=l+lnl.6,貝！］q,b,c的大小關(guān)系正確的是（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

（2023?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測）

2111

12.設(shè)。=五，^=sin—,c=ln—,則下列正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

1.D

【分析】依題意a=ln[l+：],b=—,c=tang,令f(x)=tanx-ln(l+x),xe(O,l)禾!]

\JV/JJ_LJ\J

用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷。、C,再令Mx)=-lnx-l+x,xe(O,l),利用導(dǎo)數(shù)

說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷。、b,即可得解.

【詳解】因為0=1111。2-山100=111膽=出2=111[1+上1，b=—,c=tan0.02=tan—,

10050L50J5150

令f(x)=tanx-ln(l+x),xG(0,1),

2?21

cosx+sinxIII_x+l-cos2x

cos2xx+lcos2xx+l(x+l)cos2X

令加(x)=x+l—cos2%,貝[j=l+2cosxsinx=l+sin2x>0,

所以加(x)在(O,l)上單調(diào)遞增，加(x)>/n(o)=o,

所以/(尤)〉0,所以〃x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以/")>/⑼=0,

則/(0.02)=tan0.02-ln(l+0.02)>0,即tan0.02>+,即c>“，

1Y_1

令=-lnx-l+x,xe(0,1),貝=——+1=-----<0,

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則以工)>項)=0,

即-商-型」

>0,>1即In—>—,

5151515051

所以a>b,綜上可得C>Q>Z?.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)式子的特征構(gòu)造函數(shù)7'(xhtanx-lnO+x),

xe(0,l),〃(x)=_lnxT+x,xe(0,l),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合臨界點的函數(shù)

值，從而判斷函數(shù)值的正負，達到比較大小的目的.

2.D

【分析】令〃x)=ln(x+l)-缶，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到〃0.1)>/(0)=0,

即可判斷。、6的大小關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)〃(尤)=ln(x+l)-x判斷6=lnl.l與0.1的大小，構(gòu)造

函數(shù)加(％)='-tanx判斷0.1與0=1@110.1大小，從而可判斷b、c大小.

答案第1頁，共11頁

]]X

【詳解】令/(x)=ln(x+l)-W，xe(T+m),則/'(x)=-I一再了二詢

所以當(dāng)x>0時#(無)〉0,即“X)在(0,+司上單調(diào)遞增，

所以/(0.1)>〃0)=0,即ln(O.l+l)>0,即即人&,

令〃(x)=ln(x+l)-x,貝I]〃(x)=」^T=—,

在時，〃(x)<0,則為減函數(shù)，

,即ln(x+l)<x；

令加(％)=x—tanx,XG|0,—|,貝|冽'(％)=1---->0,

V2Jcosx

故加(x)在xe]o，S為減函數(shù)，

m(x)<m(0)=0,即x<tanx；

令)=01,則ln(0.1+l)<0.1<tanO.l,即6<0.1<c,:.b<c,

所以Q<6<C.

故選：D.

【點睛】結(jié)論點睛：常用的不等式：sinx<x<tanA：^O<x<yJ,ln(x+1)<x(x>0),

lnx<x-l<x2-x(x>0),ex>x+1,ex>ex>x(x>0),ex>x2(x>0).

3.A

【分析】

作差法判斷。、6的大小，構(gòu)造函數(shù)〃x)=2(ex-1)-sinx-tanx,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷〃、

c的大小.

【詳解】

b-"M-1-2/-1卜/_2.丁+1=ef-l>0,

:.b>a,

答案第2頁，共11頁

-sinl-tanl,

又Q-C=2-1

44

所以令/(x)=2(e》-l)-sinx-tanx

貝Uf\x)=2-ex-cosx------

COSX

令g(x)=2-ex-cosx-----,

cosx

則g'(x)=2.ex+sinx_2si：x,

COSX

i7T17C7L

當(dāng)、￡0,一時,2.e"〉2,sinx〉0,sinx<sin—,codx>cos5—,

V6J66

c-2sin—

~…2sHix68o-

所以——<——9=<2,

cosXcos3女343

6

故g'(x)>o,故g(x)在上是增函數(shù)，

又?:g(0)=0,

二當(dāng)x(0,2時J(x)=g(x)>0,故/(x)在(0,上是增函數(shù),

故/(3>〃0)=0,即"。，

4

故6>a>c.

故選:A.

【點睛】

本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時首先把要比較的

值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量x就有了函數(shù)的形式，如在本題中

'J.)111

a-c=2e"-1-sin-tan—,將一視為變量可以構(gòu)造函數(shù)/(x)=2(eX-l)-sinx-tanx.

1)444,)

4.D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+尤)-x,x>0,利用導(dǎo)函數(shù)討論其單調(diào)性和最值，可得ln(l+x)<x,從

1111

而可得ln(l+e)<±+l,1+Lee<e2,即可比較。,6的大小關(guān)系，再利用作差法比較6,c大

ee

小關(guān)系.

答案第3頁，共11頁

1—V

【詳解】令/(%)=ln(l+x)—x,x>0,則/'(%)=；——1=--<0,

1+X1+X

所以函數(shù)"X)在(0,+動單調(diào)遞減，且/(0)=0,

所以/(x)<0,即ln(l+x)<x,

令x=L則有l(wèi)n(l+!)<L

eee

所以ln(l+—)+lne<—+1,即ln(l+e)<—+1,

eee

11111

又由ln(l+—)<—,可得i+_L<ee<e2,

eee

所以皿1+e)〈布，即a<Z?,

又因為02一/=竺--e=e("一l)>0,所以6<c,

99

綜上可得c>b>a,

故選：D.

5.C

【分析】

構(gòu)造/(x)=e'-x-,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性可比較a,6的大小關(guān)系.構(gòu)造

g(x)=ln(l+x)-x(O<x<l),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性可比較。的大小關(guān)系.

【詳解】a=g,6=[-1，c=lng=ln1+],

設(shè)/(x)--x-l(0<x<1),

所以r(x)=e=1>0,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以小)>/(0)=0,BPe^-l>x(O<x<l).

11

所以—,即a<b.

3

設(shè)g(x)-ln(l+x)-x(0<x<1),

貝!lg'(x)=7^—一1=-^-<0,

1+X1+X

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(o)=o,即ln(l+x)<x(o<x<l).

所以+即。<〃.

所以cva<6.

答案第4頁，共11頁

故選:c.

6.D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-lnx-l(x>l),g(x)=e，-x-l(x>0),利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個函數(shù)的單調(diào)

性，可得出。、；的大小，］的大小，利用不等式的基本性質(zhì)可得出屋上；的大小關(guān)

系，由此可得出。、6、c三個數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】令/(x)=x-lnx-l,其中尤>1,

1r_1

則/'(x)=l——=——>0,所以，函數(shù)“X)在(1,+⑹上為增函數(shù)，

XX

故當(dāng)x>l時，則lnx<x—l,所以q=1口5<5-1=萬，

二11

因為0<五<2,則。=?2=^=〉,,

當(dāng)%>0時，證明e">x+l,令g(x)=e"—x—l,其中％>0,則g'(x)=e*-1>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+功上為增函數(shù),故當(dāng)x>0時，g(x)>g(O)=O,

…-13--?

所以當(dāng)x>0時，e">x+l,則e2>—+l=—，所以e2<一,

223

.31--2

所以In—<一<e2<一,因此avc<6.

223

故選：D.

7.A

c1

【分析】由7=4tan：結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b;構(gòu)造函數(shù)

b4

〃x)=cos尤+gx2-l,xe(O,+e),利用導(dǎo)數(shù)可得即可得解.

【詳解】［方法一］:構(gòu)造函數(shù)

因為當(dāng)xe(0,3，x<tanx

Q1e

故7=4tan：>l,故7>1,所以c>5；

b4b

,12

設(shè)/(x)=COSX+'X-l,xe(0,-H?),

/'(x)=-sinx+x>。所以/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增,

故所以cos：-2>0，

432

答案第5頁，共11頁

所以b>a,所以C>Z)〉Q,故選/

［方法二］:不等式放縮

因為當(dāng)x￡0,—Lsinx<x,

取x二！得：cos—=l-2sin2—>l-2f—=—,故…

848⑶32

.110.(1)甘履，八吟口.14

4Asin—+cos-=V17sm—+(p,其中0w0,—?,且sme=-^=,cose=-^=

44<4JI2JV17<17

當(dāng)4sinL+cos'=ViV時，—+(p=-,R(p=---

444224

止匕時sin—=COS°=-T=,cos—=sin6?=—

4VI74<17

4114?14?1j

^TCOS-=-T=<-^==sm-<4sm-,故6<。

4V17VI744

所以b>a,所以C〉b〉〃，故選/

［方法三］:泰勒展開

310?52

設(shè)％=0.25,貝！=1—唾_b=cos—?

3224

.1

「1sina0.2520.254

4sin—=一1----------F------計算得c〉6〉a,故選A.

4￡3!5!

4

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)

因為9=4tan,，因為當(dāng)xG(0,=］,sinx<x<tanx,所以tan，>1,即g>1,所以c〉b；設(shè)

b4<2J44b

f(x)=cosx+-^x2-1,XG(0,+OO),/'(x)=—sinx+x〉0,所以f(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，貝ij

叫］>/(0尸0,所以通一||>0,所以…，所以c>b>%

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因為￡=4tan,，因為當(dāng)xe(0,巴］,sinx<x<tanx,所以tan，>,,即￡>1,所以c>6；因

b4V2)44b

為當(dāng)工€(0,三］岡11》<X，取尤=，得(；0$!=1-25苗2!>1-2(?。?"，故6>。，所以c>b>a.

I2)848⑻32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù),

屬于通性通法；

答案第6頁，共11頁

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,]}sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬

于最優(yōu)解.

8.B

【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對。力的大小作出判定，對于。與c,b

與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù)

/(x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+1,禾!］用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包

括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合人0)=0￡(0)=0即可得出。與c,6與c的大小關(guān)系.

【詳解】［方法一］:

a-21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=6,

所以方<。；

下面比較c與a,6的大小關(guān)系.

/、/\/----/、772(Jl+4x—1—x)

iB/(x)=21n(l+x)-VlT4^+l,貝i］/(0)=0,f'M=———^==-^------，

1+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x『=2X—X'=X(2-X)

所以當(dāng)0<x<2時，1+4X-(1+X)2>0,即Jl+4x>(l+x),*(x)>0,

所以在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,gP21nl.01>Vf04-l,即。>。；

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,則g(0)=0,g^x)=---^==-^--)，

1+2x，1+4x(1+x)A/1+4x

由于1+4X—(1+2X『=—4X2,在x>0時，l+4x-(l+2x『<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即

lnl.02<Vf04-l,即b〈c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

答案第7頁，共11頁

x2+1

令〃x）=ln—x-l（x〉1）

2

，即函數(shù)/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減

x2+l

/（Vl+OXM）</（1）=O,.\fe<c

令g(x)-2In］，；3j―工+］(1<x<3)

g'(x)=(xL)>0,即函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞增

g(Jl+0.04)(g(1)=0,二.a,

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換,

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計

算往往是無法解決的.

9.B

【分析】

通過構(gòu)造冽(x)=e"-x—1,0WxW1,7/(x)=ln(l+x)-x,0<x<l,(x)=sinx-x,0<x<1H

個函數(shù)，將三個數(shù)與g進行比較，得到。>6,a>c；

再通過構(gòu)造/(x)=ln(l+x)-sinx,0<x<y,通過二次求導(dǎo)的方法比較6和c的大小即可

得到答案.

【詳解】

先比較。和人的大?。?/p>

構(gòu)造〃?(x)=e*-x-l,0VxVl,

則加(x)=e*-120對04x41恒成立,則加(x)在［0,1］單調(diào)遞增,

此時加(x)=e*-x-l之刈(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等，

答案第8頁，共11頁

所以加［工］=八_^■—1>0,貝?。荨?五_1〉??；

\2)22

構(gòu)造〃(x)=In(1+x)-x,0<x<1,

i_Y

則，(x)=-----1=----<0對0KxW1恒成立，則〃(X)在［0,1］單調(diào)遞減,

X+1X+1

此時〃(》)=皿1+尤)-》4"(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時取等，

<n3131

所以〃不=也不_彳<0,則b=lnq<［；

\/乙乙乙乙

構(gòu)造P(x)=sinx-x,0<x<1,

則p'(x)=cosx-lV0對OVxWl恒成立，貝Up(x)在［0,1］單調(diào)遞減,

此時p(x)Vp(O)=。，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等,

所以=,貝l|c=sin：<：；

\乙)乙乙乙乙

則d>b,a>c；

下面比較6和c的大?。?/p>

設(shè)/(%)=ln(l+x)—sinx,0<x<—,

11-cosx-xcosx

cosx=

1+x-------------1+x

設(shè)g(%)=1—cosx-xcosx,0<x<—,g'(x)=sinx-(cosx-xsinx)=(x+l)sinx-cosx,

易知g'(x)在用上單調(diào)遞增，則g'(x)<g'］］=；［l+訃*0,

所以g(x)在上單調(diào)遞減，g(x)<g(o)=o,

即廣⑺<0在(0常］上恒成立，則/⑴在值)上單調(diào)遞減，

由;40,￡|,則W</(0)=0,即ln1<sin；,則6<c.

綜上6<c<a，

故選：B

【點睛】

方法點睛：本題考查通過導(dǎo)數(shù)的綜合運用.比大小問題要熟悉各類常見的放縮，找出結(jié)構(gòu)的

相同之處，通過構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)這一工具，對數(shù)據(jù)進行大小的比較.

10.D

答案第9頁，共11頁

【分析】

IT

先利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)xe(Oq)時，tanx>x>sinx,再分另岬U用作商，作差比較法可判斷。，b,

c大小.

【詳解】

TT

先來證明當(dāng)工￡(0,萬)時，tanx>x>sinx.

令〃x)=tanx-x,xe(O，E),則/6)=