《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系》課件與同步練習(xí)

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系(第一課時(shí))第二章直線和圓的方程一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30km的圓形區(qū)域。已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？.xOy港口BCAD新課引入直線方程的五種形式名稱方程的形式已知條件方程直線的局限性一般式點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式（x1，y1)是直線上一點(diǎn)，k是斜率k是斜率，b是直線在y軸上的截距不包括與x軸垂直的直線a是直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩點(diǎn)不包括與x軸垂直的直線不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為零)A、B、C為常數(shù)任何位置的直線不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線，不包括過(guò)原點(diǎn)的直線。復(fù)習(xí)回顧名稱標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程方程形式圓心半徑點(diǎn)A(x0,y0)在圓上點(diǎn)A(x0,y0)在圓外點(diǎn)A(x0,y0)在圓內(nèi)

(a,b)r

復(fù)習(xí)回顧r>0

3.兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是2.平面內(nèi)一點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式是當(dāng)A=0或B=0時(shí),公式仍然成立.1.兩點(diǎn)間距離公式復(fù)習(xí)回顧直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系:(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；問(wèn)題：如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？學(xué)習(xí)新知(1)利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：直線l：Ax+By+C=0圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)d>

rd=

rd<

r直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交學(xué)習(xí)新知(2)利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：n=0n=1n=2直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交△<0△=0△>0例1、如圖，已知直線l:3x+y-6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng).xyOCABl典型例題解：圓心（0，1）設(shè)C到直線l的距離為d所以直線l與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)幾何法解：聯(lián)立圓和直線的方程得由①得代入②得①②④所以方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1＝1，x2＝2把x1，x2代入方程③得到y(tǒng)1，y2③所以直線l與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).xyOCABl代數(shù)法例1、如圖，已知直線l:3x+y-6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。典型例題dxOC解：圓心（1，0）設(shè)C到直線l的距離為d所以直線l與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)y判斷直線3x+4y+2=0與圓x2+y2-2x=0的位置關(guān)系.鞏固練習(xí)幾何法P93練習(xí)1例2.過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l,求切線的方程典型例題分析：如圖,容易知道，點(diǎn)P(2,1)位于圓O:x2+y2=1外，經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)有兩條直線與這個(gè)圓相切，我們?cè)O(shè)切線方程為y-1=k(x-2),k為斜率，由直線與圓相切可求出k的值.解法1:設(shè)切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2),即x-y+1-2k=0.由圓心(0,0)到切線l的距離等于圓的半徑1,得解得k=0或解法2:設(shè)切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2).因?yàn)橹本€l與圓相切，所以方程組因此，所求切線l的方程為y=1,或4x-3y-5=0.只有一組解.所以，所求切線l的方程為y=1,或4x-3y-5=0.消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€(gè)解，所以△=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或.xyOM.EF練習(xí)：求直線3x+4y+2=0被圓截得的弦長(zhǎng).例3、已知過(guò)點(diǎn)M(-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程。

典型例題1:已知直線l:kx-y+6=0被圓x2+y2=25截得的弦長(zhǎng)為8,求k值鞏固練習(xí)2.求過(guò)點(diǎn)M(3,2)且和圓x2+y2=9相切的直線方程.3.求圓心在直線2x＋y=0上，過(guò)點(diǎn)P(2,1),且與直線x-y-1＝0相切的圓方程.小結(jié)：判斷直線和圓的位置關(guān)系幾何方法求圓心坐標(biāo)及半徑r（配方法）

圓心到直線的距離d（點(diǎn)到直線距離公式）代數(shù)方法

消去y（或x）2.5.1直線與圓的位置關(guān)系(第二課時(shí))第二章直線和圓的方程直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝____________代數(shù)法：消元得到一元二次方程的判別式Δ____________d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0由直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：復(fù)習(xí)回顧

切線方程的求法1.求過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-,由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或x=a.2.求過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線時(shí),常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進(jìn)而切線方程即可求出.但要注意,此時(shí)的切線有兩條,若求出的k值只有一個(gè)時(shí),則另一條切線的斜率一定不存在,可通過(guò)數(shù)形結(jié)合求出.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧

求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半例1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).例題講評(píng)分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出點(diǎn)P2的縱坐標(biāo).xy解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心在y軸上，由題意，點(diǎn)P,B的坐標(biāo)分別為（0,4),(10,0),設(shè)圓心坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面確定b和r的值.因?yàn)镻,B兩點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得到方程組解得b=－10.5,r2=14.52所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52

思考:如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？由此比較綜合法和坐標(biāo)法的特點(diǎn)。

例題講評(píng)某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過(guò)？鞏固練習(xí)解建立如圖所示的坐標(biāo)系.依題意,有A(－10,0),B(10,0),P(0,4),D(－5,0)，E(5,0).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以該船可以從橋下通過(guò).例4一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？例題講評(píng)分析：先畫出示意圖,了解小島中心、輪船、港口的方位和距離,如圖,根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn).解：以小島的中心為原點(diǎn)O,東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，我們?nèi)?0km為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3),輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).

由△=(-72)2-4×25×80<0,可知方程組無(wú)解.所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).思考:你還能用其他方法解決上述問(wèn)題嗎？

例題講評(píng)

用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論，這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；

第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.方法總結(jié)比較坐標(biāo)法與向量法，它們?cè)诮鉀Q幾何問(wèn)題時(shí)，有什么異同點(diǎn)？向量法是將點(diǎn)、線、面等幾何要素用向量表示，對(duì)這些向量進(jìn)行運(yùn)算，然后把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果，由于向量線性運(yùn)算給向量表示幾何要素帶來(lái)的便利性（由數(shù)乘向量和向量加法這兩種運(yùn)算可以把平面內(nèi)任意向量表示成兩個(gè)不共線向量的線性組合）,以及向量數(shù)量積運(yùn)算在刻畫長(zhǎng)度與角度方面的強(qiáng)大功能，使得向量法在解決幾何問(wèn)題中發(fā)揮了巨大的作用，使許多問(wèn)題的解決變得方便且簡(jiǎn)捷.鞏固練習(xí)

坐標(biāo)法證明幾何問(wèn)題例4.如圖所示，在圓O上任取C點(diǎn)為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.例題講評(píng)證明以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)|AB|＝2r，D(a,0)，∴圓O：x2＋y2＝r2，∴EF平分CD.如圖，直角△ABC的斜邊長(zhǎng)為定值2m，以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值.證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).設(shè)A(x，y)，由已知，點(diǎn)A在圓x2＋y2＝m2上.|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).鞏固練習(xí)設(shè)半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)，A向東，B向北，A出村后不久改變前進(jìn)方向，斜著沿切于村落圓周的方向前進(jìn)，后來(lái)恰好與B相遇，設(shè)A、B兩人的速度一定，其比為3∶1，問(wèn)A、B兩人在何處相遇？鞏固練習(xí)解由題意以村中心為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北方向?yàn)閥軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)A、B兩人的速度分別為3vkm/h，vkm/h，設(shè)A出發(fā)ah，在P處改變方向，又經(jīng)過(guò)bh到達(dá)相遇點(diǎn)Q，則P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，則|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.由PQ與圓x2＋y2＝9相切，