《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系》課件與同步練習(xí)

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系(第一課時)第二章直線和圓的方程一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域。已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？.xOy港口BCAD新課引入直線方程的五種形式名稱方程的形式已知條件方程直線的局限性一般式點斜式斜截式兩點式截距式（x1，y1)是直線上一點，k是斜率k是斜率，b是直線在y軸上的截距不包括與x軸垂直的直線a是直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩點不包括與x軸垂直的直線不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線Ax+By+C=0(A、B不同時為零)A、B、C為常數(shù)任何位置的直線不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線，不包括過原點的直線。復(fù)習(xí)回顧名稱標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程方程形式圓心半徑點A(x0,y0)在圓上點A(x0,y0)在圓外點A(x0,y0)在圓內(nèi)

(a,b)r

復(fù)習(xí)回顧r>0

3.兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是2.平面內(nèi)一點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式是當(dāng)A=0或B=0時,公式仍然成立.1.兩點間距離公式復(fù)習(xí)回顧直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系:(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點；問題：如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？學(xué)習(xí)新知(1)利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：直線l：Ax+By+C=0圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)d>

rd=

rd<

r直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交學(xué)習(xí)新知(2)利用直線與圓的公共點的個數(shù)進行判斷：n=0n=1n=2直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交△<0△=0△>0例1、如圖，已知直線l:3x+y-6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點坐標(biāo)及弦長.xyOCABl典型例題解：圓心（0，1）設(shè)C到直線l的距離為d所以直線l與圓相交有兩個公共點幾何法解：聯(lián)立圓和直線的方程得由①得代入②得①②④所以方程④有兩個不相等的實根x1＝1，x2＝2把x1，x2代入方程③得到y(tǒng)1，y2③所以直線l與圓有兩個不同的交點A(x1,y1),B(x2,y2).xyOCABl代數(shù)法例1、如圖，已知直線l:3x+y-6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點坐標(biāo)。典型例題dxOC解：圓心（1，0）設(shè)C到直線l的距離為d所以直線l與圓相切有一個公共點y判斷直線3x+4y+2=0與圓x2+y2-2x=0的位置關(guān)系.鞏固練習(xí)幾何法P93練習(xí)1例2.過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l,求切線的方程典型例題分析：如圖,容易知道，點P(2,1)位于圓O:x2+y2=1外，經(jīng)過圓外一點有兩條直線與這個圓相切，我們設(shè)切線方程為y-1=k(x-2),k為斜率，由直線與圓相切可求出k的值.解法1:設(shè)切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2),即x-y+1-2k=0.由圓心(0,0)到切線l的距離等于圓的半徑1,得解得k=0或解法2:設(shè)切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2).因為直線l與圓相切，所以方程組因此，所求切線l的方程為y=1,或4x-3y-5=0.只有一組解.所以，所求切線l的方程為y=1,或4x-3y-5=0.消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.因為方程①只有一個解，所以△=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或.xyOM.EF練習(xí)：求直線3x+4y+2=0被圓截得的弦長.例3、已知過點M(-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為，求直線l的方程。

典型例題1:已知直線l:kx-y+6=0被圓x2+y2=25截得的弦長為8,求k值鞏固練習(xí)2.求過點M(3,2)且和圓x2+y2=9相切的直線方程.3.求圓心在直線2x＋y=0上，過點P(2,1),且與直線x-y-1＝0相切的圓方程.小結(jié)：判斷直線和圓的位置關(guān)系幾何方法求圓心坐標(biāo)及半徑r（配方法）

圓心到直線的距離d（點到直線距離公式）代數(shù)方法

消去y（或x）2.5.1直線與圓的位置關(guān)系(第二課時)第二章直線和圓的方程直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝____________代數(shù)法：消元得到一元二次方程的判別式Δ____________d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0由直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：復(fù)習(xí)回顧

切線方程的求法1.求過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-,由點斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或x=a.2.求過圓外一點P(x0,y0)的圓的切線時,常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進而切線方程即可求出.但要注意,此時的切線有兩條,若求出的k值只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧

求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點,設(shè)弦心距為d,圓的半例1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).例題講評分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出點P2的縱坐標(biāo).xy解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，圓心在y軸上，由題意，點P,B的坐標(biāo)分別為（0,4),(10,0),設(shè)圓心坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面確定b和r的值.因為P,B兩點都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得到方程組解得b=－10.5,r2=14.52所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52

思考:如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個問題嗎？由此比較綜合法和坐標(biāo)法的特點。

例題講評某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？鞏固練習(xí)解建立如圖所示的坐標(biāo)系.依題意,有A(－10,0),B(10,0),P(0,4),D(－5,0)，E(5,0).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以該船可以從橋下通過.例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？例題講評分析：先畫出示意圖,了解小島中心、輪船、港口的方位和距離,如圖,根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進而確定輪船是否有觸礁危險.解：以小島的中心為原點O,東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3),輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).

由△=(-72)2-4×25×80<0,可知方程組無解.所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險.思考:你還能用其他方法解決上述問題嗎？

例題講評

用坐標(biāo)法解決幾何問題時，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論，這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.方法總結(jié)比較坐標(biāo)法與向量法，它們在解決幾何問題時，有什么異同點？向量法是將點、線、面等幾何要素用向量表示，對這些向量進行運算，然后把向量運算的結(jié)果“翻譯”成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果，由于向量線性運算給向量表示幾何要素帶來的便利性（由數(shù)乘向量和向量加法這兩種運算可以把平面內(nèi)任意向量表示成兩個不共線向量的線性組合）,以及向量數(shù)量積運算在刻畫長度與角度方面的強大功能，使得向量法在解決幾何問題中發(fā)揮了巨大的作用，使許多問題的解決變得方便且簡捷.鞏固練習(xí)

坐標(biāo)法證明幾何問題例4.如圖所示，在圓O上任取C點為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.例題講評證明以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)|AB|＝2r，D(a,0)，∴圓O：x2＋y2＝r2，∴EF平分CD.如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值.證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).設(shè)A(x，y)，由已知，點A在圓x2＋y2＝m2上.|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).鞏固練習(xí)設(shè)半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發(fā)，A向東，B向北，A出村后不久改變前進方向，斜著沿切于村落圓周的方向前進，后來恰好與B相遇，設(shè)A、B兩人的速度一定，其比為3∶1，問A、B兩人在何處相遇？鞏固練習(xí)解由題意以村中心為原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)A、B兩人的速度分別為3vkm/h，vkm/h，設(shè)A出發(fā)ah，在P處改變方向，又經(jīng)過bh到達相遇點Q，則P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，則|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.由PQ與圓x2＋y2＝9相切，