《3.2雙曲線》課件與導學案

第一課時雙曲線及其標準方程第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線溫故知新1.橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|>0)的點的軌跡.

平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的2.橢圓的標準方程焦點在y軸焦點在x軸3.引入問題差等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的合作探究數(shù)學實驗[1]取一條拉鏈；[2]如圖，把它固定在板上的F1、F2兩點；[3]拉動拉鏈（M），思考拉鏈頭（M）運動的軌跡是什么圖形？解惑提高①如圖(A)，

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=2a由①②可得：

||MF1|-|MF2||=2a

（差的絕對值）上面兩條曲線合起來叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支.解惑提高定義:

平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線.（小于︱F1F2︱）①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.沒有“絕對值”這個條件時,僅表示雙曲線的一支.③此常數(shù)記為2a，則a<c.2FF1M解惑提高

雙曲線的一支兩條射線1、平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于非零常數(shù)2a

(小于|F1F2|)的點的軌跡是什么？2、若常數(shù)2a=0,軌跡是什么?線段F1F2的垂直平分線4、若常數(shù)2a＞|F1F2|軌跡是什么？軌跡不存在3、若常數(shù)2a=|F1F2|軌跡是什么？||MF1|-|MF2||=2a

<|F1F2|合作探究x雙曲線標準方程的推導

探討建立平面直角坐標系的方案建立直角坐標系設點列式化簡(“對稱”、“簡潔”)F2F1MOy1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系.2.設點.設M（x,y）,雙曲線的焦距為2c（c>0）,非零常數(shù)等于2a

（a>0），則F1(-c,0),F2(c,0).溫故知新xF2F1MOy3.列式．即4.化簡.令c2-a2=b2,其中b>0

代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2即：（a>0，b>0）想一想:焦點在y軸上的雙曲線的標準方程？解惑提高雙曲線的兩種標準方程的特征①方程用“－”號連接.③

.

④如果的系數(shù)是正的，則焦點在軸上；如果的系數(shù)是正的，則焦點在軸上.如何確定焦點位置？？②大小不定.把雙曲線方程化成標準形式后，

焦點跟著正項走

×××D小試牛刀典型例題求雙曲線的標準方程例1.已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.解：因為雙曲線的交點在x軸上，所以設它的標準方程為

由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此b2=c2-a2=52-32=16，所以雙曲線的標準方程為

兩條射線軌跡不存在典型例題求雙曲線的標準方程例1.已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.

變式典型例題求雙曲線的標準方程解惑提高典型例題求動點的軌跡方程

例3.一炮彈在某處爆炸.在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s.已知A，B兩地相距800m，并且此時聲速為340m/s.問爆炸點應在什么樣的曲線上？并求出軌跡方程.分析：因為在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s，所以在A處與爆炸點的距離比在B處遠680m<800m.因此爆炸點應位于以A，B為焦點且靠近B點的雙曲線的一支上.解：如圖，建立平面直角坐標系Oxy，使A，B在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合，則設炮彈爆炸點P的坐標為（

x，y），則

又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400

所以，炮彈爆炸點的軌跡方程為

(1)若該方程表示雙曲線,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線,求實數(shù)k的取值范圍.典型例題雙曲線標準方程的應用課堂小結(jié)課堂小結(jié)當堂檢測D6或－6C《3.2.1雙曲線及其標準方程》導學案第三章圓錐曲線的方程學習目標1.掌握雙曲線的標準方程及其求法.2.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.

3.與橢圓的標準方程進行比較,并加以區(qū)分.雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。情景導學

問題導學新知探究1.雙曲線的定義

概念解析探究新知從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出雙曲線的標準方程。

嘗試與發(fā)現(xiàn)

2.雙曲線的標準方程

焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=c2-a2雙曲線的標準方程雙曲線與橢圓的比較

橢圓雙曲線定義|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2b2=c2-a2焦點在x軸上焦點在y軸上1.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則點的軌跡是怎樣的?小試牛刀提示:①當2a等于|F1F2|時,動點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).②當2a大于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.③當2a等于零時,動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.判斷(1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(

)(2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點的軌跡是雙曲線.(

)(3)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×答案:D例1求適合下列條件的雙曲線的標準方程.典例解析(2)可設雙曲線方程為mx2-ny2=1,代入點的坐標,得到方程組,解方程組即可得到.

求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點位置設出標準方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點位置不確定,可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復雜.若雙曲線過兩定點,可設其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過解方程組即可確定m,n,避免了討論,從而簡化求解過程.歸納總結(jié)跟蹤訓練1根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程.跟蹤訓練典例解析

跟蹤訓練2.“神舟”九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.跟蹤訓練解:因為|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點的雙曲線的右支上.以線段AB的中點為坐標原點,AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).1.已知兩定點F1(-5,0),F2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當a=3和5時,P點的軌跡為(

)A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線D.雙曲線的一支和一條射線當堂達標解析:當a=3時,根據(jù)雙曲線的定義及|PF1|>|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當a=5時,方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負半軸上的一段,又因為|PF1|-|PF2|=2a,說明|PF1|>|PF2|,所以應該是起點為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.答案:D2.已知雙曲線(a>0,b>0),F1,F2為其兩個焦點,若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長|AB|=m,則△ABF2的周長為(

)A.4a B.4a-mC.4a+2m

D.4a-2m解析:不妨設|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.答案:CA.(-1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)解得-1<m<2,∴m的取值范圍是(-1,2).答案:D4.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場.如圖所示△PEF,已知tan∠PEF=

,tan∠PFE=-2,試建立適當直角坐標系,求出分別以E,F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程.解:以E,F所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,如圖.5.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8;(3)a=b,經(jīng)過點(3,-1).課堂小結(jié)第二課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線定義圖象方程焦點a.b.c

的關(guān)系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）課前回顧

雙曲線F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)

2、對稱性

一、研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、范圍關(guān)于x軸、y軸和坐標原點都對稱.x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又叫做雙曲線的中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)課堂新授

3、頂點（1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點.xyo-bb-aa如圖，線段叫做雙曲線的實軸，它的長為2a,a叫做實半軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長.（2）實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.（3）-ccM(x,y)4、漸近線N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab5、離心率離心率.∵c>a>0e>1e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大.（1）定義：（2）e的范圍：（3）e的含義：（4）等軸雙曲線的離心率e=(5)xyo-aab-b（1）范圍:（2）對稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點都對稱（3）頂點:(0,-a)、(0,a)（4）漸近線:（5）離心率:小結(jié)或或關(guān)于坐標軸和原點都對稱性質(zhì)雙曲線范圍對稱性

頂點

漸近線離心率圖象例1:求雙曲線的實半軸長,虛半軸長,焦點坐標,離心率.漸近線方程.解：把方程化為標準方程可得:實半軸長a=4虛半軸長b=3半焦距c=焦點坐標是(0,-5),(0,5)離心率:漸近線方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例題講解

例2

若雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為

.2、若雙曲線的離心率為2，則兩條漸近線的方程為

.課堂練習

4.

求與橢圓有共同焦點，漸近線方程為的雙曲線方程.

解：橢圓的焦點在x軸上，且坐標為

雙曲線的漸近線方程為

解出

橢圓雙曲線方程abc關(guān)系圖象橢圓與雙曲線的比較yxF10F2Mxy0F1F2p小結(jié)漸近線離心率頂點對稱性范圍

準線|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR對稱軸：x軸，y軸對稱中心：原點對稱軸：x軸，y軸對稱中心：原點（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)長軸：2a

短軸：2b(-a,0)(a,0)實軸：2a虛軸：2b無y=abx±1、“共漸近線”的雙曲線的應用>0表示焦點在x軸上的雙曲線；

<0表示焦點在y軸上的雙曲線.《3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)》導學案第三章圓錐曲線的方程1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義．3.根據(jù)幾何條件求雙曲線的標準方程.學習目標

問題導學1、范圍

新知探究

2、對稱性

3、頂點

（3）實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線4、漸近線

（2）利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖4、漸近線慢慢靠近5、離心率

（2）e的范圍：e>1（3）e的含義：

問題探究

雙曲線的幾何性質(zhì)

標準方程圖形雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程性質(zhì)范圍x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R對稱性對稱軸:x軸、y軸;對稱中心:坐標原點頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸實軸:線段A1A2,長:2a;虛軸:線段B1B2,長:2b;半實軸長:a,半虛軸長:b漸近線y=±

xy=±

x離心率a,b,c間的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)雙曲線與橢圓的六個不同點:

雙曲線橢圓曲線兩支曲線封閉的曲線頂點兩個頂點四個頂點軸實、虛軸長、短軸漸近線有漸近線無漸近線離心率e>10<e<1a,b,c關(guān)系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等軸雙曲線是實軸和虛軸等長的雙曲線,它的漸近線方程是y=±x,離心率為

.(3)共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.1.判斷

答案:(1)√

(2)×

(3)√小試牛刀A.-5

B.-35

C.19

D.-11答案:B例1求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.典例解析由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的注意點(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).歸納總結(jié)跟蹤訓練1

求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半實軸長、半虛軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.跟蹤訓練例2根據(jù)以下條件,求雙曲線的標準方程.典例解析2.巧設雙曲線方程的六種方法與技巧(5)漸近線為y=±kx的雙曲線方程可設為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).1.根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線的標準方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意焦點的位置,從而正確選擇方程的形式.歸納總結(jié)跟蹤訓練2求適合下列條件的雙曲線的標準方程.跟蹤訓練1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m的值為(

)答案:C當堂達標答案:AD3.中心在原點,焦點在x軸上,且一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是

.

解析:令y=0,得x=-4,∴等軸雙曲線的一個焦點為(-4,0),答案:x2-y