《3.2雙曲線》課件與導(dǎo)學(xué)案

第一課時雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線溫故知新1.橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|>0)的點(diǎn)的軌跡.

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在y軸焦點(diǎn)在x軸3.引入問題差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的合作探究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[1]取一條拉鏈；[2]如圖，把它固定在板上的F1、F2兩點(diǎn)；[3]拉動拉鏈（M），思考拉鏈頭（M）運(yùn)動的軌跡是什么圖形？解惑提高①如圖(A)，

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=2a由①②可得：

||MF1|-|MF2||=2a

（差的絕對值）上面兩條曲線合起來叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支.解惑提高定義:

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.（小于︱F1F2︱）①兩個定點(diǎn)F1、F2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——焦距.沒有“絕對值”這個條件時,僅表示雙曲線的一支.③此常數(shù)記為2a，則a<c.2FF1M解惑提高

雙曲線的一支兩條射線1、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于非零常數(shù)2a

(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是什么？2、若常數(shù)2a=0,軌跡是什么?線段F1F2的垂直平分線4、若常數(shù)2a＞|F1F2|軌跡是什么？軌跡不存在3、若常數(shù)2a=|F1F2|軌跡是什么？||MF1|-|MF2||=2a

<|F1F2|合作探究x雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)列式化簡(“對稱”、“簡潔”)F2F1MOy1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.2.設(shè)點(diǎn).設(shè)M（x,y）,雙曲線的焦距為2c（c>0）,非零常數(shù)等于2a

（a>0），則F1(-c,0),F2(c,0).溫故知新xF2F1MOy3.列式．即4.化簡.令c2-a2=b2,其中b>0

代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2即：（a>0，b>0）想一想:焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？解惑提高雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的特征①方程用“－”號連接.③

.

④如果的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在軸上；如果的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在軸上.如何確定焦點(diǎn)位置？？②大小不定.把雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式后，

焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走

×××D小試牛刀典型例題求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的交點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此b2=c2-a2=52-32=16，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

兩條射線軌跡不存在典型例題求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式典型例題求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解惑提高典型例題求動點(diǎn)的軌跡方程

例3.一炮彈在某處爆炸.在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s.已知A，B兩地相距800m，并且此時聲速為340m/s.問爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？并求出軌跡方程.分析：因?yàn)樵贏處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s，所以在A處與爆炸點(diǎn)的距離比在B處遠(yuǎn)680m<800m.因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A，B為焦點(diǎn)且靠近B點(diǎn)的雙曲線的一支上.解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，使A，B在x軸上，并且原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合，則設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

x，y），則

又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400

所以，炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為

(1)若該方程表示雙曲線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.典型例題雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用課堂小結(jié)課堂小結(jié)當(dāng)堂檢測D6或－6C《3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》導(dǎo)學(xué)案第三章圓錐曲線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.2.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單實(shí)際問題.

3.與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,并加以區(qū)分.雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。情景導(dǎo)學(xué)

問題導(dǎo)學(xué)新知探究1.雙曲線的定義

概念解析探究新知從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標(biāo)法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

嘗試與發(fā)現(xiàn)

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=c2-a2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線與橢圓的比較

橢圓雙曲線定義|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2b2=c2-a2焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上1.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則點(diǎn)的軌跡是怎樣的?小試牛刀提示:①當(dāng)2a等于|F1F2|時,動點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn)).②當(dāng)2a大于|F1F2|時,動點(diǎn)的軌跡不存在.③當(dāng)2a等于零時,動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.判斷(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×答案:D例1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.典例解析(2)可設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1,代入點(diǎn)的坐標(biāo),得到方程組,解方程組即可得到.

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點(diǎn)位置不確定,可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復(fù)雜.若雙曲線過兩定點(diǎn),可設(shè)其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過解方程組即可確定m,n,避免了討論,從而簡化求解過程.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤訓(xùn)練典例解析

跟蹤訓(xùn)練2.“神舟”九號飛船返回艙順利到達(dá)地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計到達(dá)區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點(diǎn).某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠(yuǎn),在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.跟蹤訓(xùn)練解:因?yàn)閨PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因?yàn)閨PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).1.已知兩定點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0),動點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當(dāng)a=3和5時,P點(diǎn)的軌跡為(

)A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線D.雙曲線的一支和一條射線當(dāng)堂達(dá)標(biāo)解析:當(dāng)a=3時,根據(jù)雙曲線的定義及|PF1|>|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當(dāng)a=5時,方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負(fù)半軸上的一段,又因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a,說明|PF1|>|PF2|,所以應(yīng)該是起點(diǎn)為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.答案:D2.已知雙曲線(a>0,b>0),F1,F2為其兩個焦點(diǎn),若過焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長|AB|=m,則△ABF2的周長為(

)A.4a B.4a-mC.4a+2m

D.4a-2m解析:不妨設(shè)|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.答案:CA.(-1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)解得-1<m<2,∴m的取值范圍是(-1,2).答案:D4.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場.如圖所示△PEF,已知tan∠PEF=

,tan∠PFE=-2,試建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系,求出分別以E,F為左、右焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程.解:以E,F所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如圖.5.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值等于8;(3)a=b,經(jīng)過點(diǎn)(3,-1).課堂小結(jié)第二課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線定義圖象方程焦點(diǎn)a.b.c

的關(guān)系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）課前回顧

雙曲線F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)

2、對稱性

一、研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、范圍關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都對稱.x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，又叫做雙曲線的中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)課堂新授

3、頂點(diǎn)（1）雙曲線與對稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn).xyo-bb-aa如圖，線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長為2a,a叫做實(shí)半軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長.（2）實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.（3）-ccM(x,y)4、漸近線N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab5、離心率離心率.∵c>a>0e>1e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大.（1）定義：（2）e的范圍：（3）e的含義：（4）等軸雙曲線的離心率e=(5)xyo-aab-b（1）范圍:（2）對稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對稱（3）頂點(diǎn):(0,-a)、(0,a)（4）漸近線:（5）離心率:小結(jié)或或關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都對稱性質(zhì)雙曲線范圍對稱性

頂點(diǎn)

漸近線離心率圖象例1:求雙曲線的實(shí)半軸長,虛半軸長,焦點(diǎn)坐標(biāo),離心率.漸近線方程.解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得:實(shí)半軸長a=4虛半軸長b=3半焦距c=焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-5),(0,5)離心率:漸近線方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例題講解

例2

若雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為

.2、若雙曲線的離心率為2，則兩條漸近線的方程為

.課堂練習(xí)

4.

求與橢圓有共同焦點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線方程.

解：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且坐標(biāo)為

雙曲線的漸近線方程為

解出

橢圓雙曲線方程abc關(guān)系圖象橢圓與雙曲線的比較yxF10F2Mxy0F1F2p小結(jié)漸近線離心率頂點(diǎn)對稱性范圍

準(zhǔn)線|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR對稱軸：x軸，y軸對稱中心：原點(diǎn)對稱軸：x軸，y軸對稱中心：原點(diǎn)（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)長軸：2a

短軸：2b(-a,0)(a,0)實(shí)軸：2a虛軸：2b無y=abx±1、“共漸近線”的雙曲線的應(yīng)用>0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；

<0表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.《3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)》導(dǎo)學(xué)案第三章圓錐曲線的方程1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義．3.根據(jù)幾何條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)

問題導(dǎo)學(xué)1、范圍

新知探究

2、對稱性

3、頂點(diǎn)

（3）實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線4、漸近線

（2）利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖4、漸近線慢慢靠近5、離心率

（2）e的范圍：e>1（3）e的含義：

問題探究

雙曲線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程圖形雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R對稱性對稱軸:x軸、y軸;對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸實(shí)軸:線段A1A2,長:2a;虛軸:線段B1B2,長:2b;半實(shí)軸長:a,半虛軸長:b漸近線y=±

xy=±

x離心率a,b,c間的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)雙曲線與橢圓的六個不同點(diǎn):

雙曲線橢圓曲線兩支曲線封閉的曲線頂點(diǎn)兩個頂點(diǎn)四個頂點(diǎn)軸實(shí)、虛軸長、短軸漸近線有漸近線無漸近線離心率e>10<e<1a,b,c關(guān)系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等軸雙曲線是實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線,它的漸近線方程是y=±x,離心率為

.(3)共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.1.判斷

答案:(1)√

(2)×

(3)√小試牛刀A.-5

B.-35

C.19

D.-11答案:B例1求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.典例解析由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1

求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半實(shí)軸長、半虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.跟蹤訓(xùn)練例2根據(jù)以下條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.典例解析2.巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧(5)漸近線為y=±kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).1.根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意焦點(diǎn)的位置,從而正確選擇方程的形式.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤訓(xùn)練1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,則m的值為(

)答案:C當(dāng)堂達(dá)標(biāo)答案:AD3.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且一個焦點(diǎn)在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是

.

解析:令y=0,得x=-4,∴等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)為(-4,0),答案:x2-y