《2.3.1 兩直線的交點坐標(biāo)》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《2.3.1兩直線的交點坐標(biāo)》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)兩直線的交點坐標(biāo)從知識內(nèi)容來說并不是很難，但從解析幾何的特點看，就需要培養(yǎng)學(xué)生如何利用直線方程來討論其特點，得到直線交點，以及交點個數(shù)對應(yīng)于直線在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系.在教學(xué)過程中應(yīng)該圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線的位置特點，設(shè)置平面內(nèi)任意兩直線方程組解的情況的討論，為課題引入尋求理論上的解釋，使學(xué)生從熟悉的平面幾何的直觀定義深入到準(zhǔn)確描述這三類情況，在教學(xué)過程中，應(yīng)強調(diào)用交點個數(shù)判定位置關(guān)系與用斜率、截距判定兩直線位置關(guān)系的一致性.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)；B.會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系；C.通過兩直線交點和二元一次方程組的聯(lián)系，從而認識事物之間的內(nèi)在的聯(lián)系.1.數(shù)學(xué)抽象：兩直線交點和二元一次方程組的聯(lián)系2.邏輯推理：方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運算：解方程組求兩條相交直線的交點坐標(biāo)4.直觀想象：直線與方程的關(guān)系【教學(xué)重點】：能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)【教學(xué)難點】：會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、情境導(dǎo)學(xué)在平面幾何中，我們對直線做了定性研究，引入平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應(yīng)直線上每一點的坐標(biāo)所滿足的一個關(guān)系式，這樣我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數(shù)方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點，坐標(biāo)平面內(nèi)與點直線相關(guān)的距離問題等。二、探究新知兩條直線的交點1.已知兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,設(shè)這兩條直線的交點為P,則點P既在直線l1上,也在直線l2上.所以點P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點P的坐標(biāo)就是方程組A1x+2.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行點睛：如果兩條直線相交,則交點坐標(biāo)分別適合兩條直線的方程,即交點坐標(biāo)是兩直線方程所組成方程組的解.1.直線x+y=5與直線x-y=3交點坐標(biāo)是()A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)解析:解方程組x+y=5,x答案:B三、典例解析例1.直線l過直線x＋y－2＝0和直線x－y＋4＝0的交點，且與直線3x－2y＋4＝0平行，求直線l的方程．[解]法一：聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))即直線l過點(－1,3)．因為直線l的斜率為eq\f(3,2)，所以直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.法二：因為直線x＋y－2＝0不與3x－2y＋4＝0平行，所以可設(shè)直線l的方程為x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因為直線l與直線3x－2y＋4＝0平行，所以eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(λ－1,－2)≠eq\f(4－2λ,4)，解得λ＝eq\f(1,5)，所以直線l的方程為eq\f(6,5)x－eq\f(4,5)y＋eq\f(18,5)＝0，即3x－2y＋9＝0.求過兩直線交點的直線方程的方法1解本題有兩種方法：一是采用常規(guī)方法，先通過解方程組求出兩直線交點，再根據(jù)平行關(guān)系求出斜率，由點斜式寫出直線方程；二是設(shè)出過兩直線交點的方程，再根據(jù)平行條件待定系數(shù)求解.2過兩條相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程可設(shè)為A1x＋B1y＋C1＋λA2x＋B2y＋C2＝0不含直線l2.跟蹤訓(xùn)練1．三條直線ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一點，求a的值．[解]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))所以兩條直線的交點坐標(biāo)為(4,－2)．由題意知點(4,－2)在直線ax＋2y＋7＝0上，將(4,－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－eq\f(3,4).例2.分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.思路分析:直接將兩直線方程聯(lián)立方程組,根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線是否相交.解:(1)方程組2x-因此直線l1和l2相交,交點坐標(biāo)為(3,-1).(2)方程組2x這表明直線l1和l2重合.(3)方程組4x這表明直線l1和l2沒有公共點,故l1∥l2.跟蹤訓(xùn)練2已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點位于第四象限,則a的取值范圍是.

解析:由5由2a+37>0,a答案:-32,2例3(1)求經(jīng)過點P(1,0)和兩直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交點的直線方程;(2)無論實數(shù)a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點,試求該定點.思路分析:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出λ,即得所求直線方程.(2)將直線方程改寫為-x-y-1+a(x+2)=0.解方程組-x-解:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵點P(1,0)在直線上,∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=15.∴所求方程為x+2y-2+15(3x-2y+2)即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直線恒過直線-x-y-1=0與直線x+2=0的交點.解方程組-所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(-2,1).利用直線系方程求直線的方程經(jīng)過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線方程可寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直線l2).反之,當(dāng)直線的方程寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0時,直線一定過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點.跟蹤訓(xùn)練3已知直線l經(jīng)過原點,且經(jīng)過另兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點,則直線l的方程為()A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0解析:(方法1)解方程組2x+3y+8=0,x-y-1=0,得交點為(-1,-2)(方法2)設(shè)直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其過原點,所以8+(-λ)=0,λ=8,直線l的方程為2x-y=0.答案:B例4光線通過點A(2,3)在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程.思路分析:求點A關(guān)于直線l的對稱點A'→求反射光線所在直線的方程→求入射光線與反射光線的交點坐標(biāo)→求入射光線所在的直線方程解:設(shè)點A(2,3)關(guān)于直線l的對稱點為A'(x0,y0),則2+x02+3+y02由于反射光線經(jīng)過點A'(-4,-3)和B(1,1),所以反射光線所在直線的方程為y-1=1+31+4·(x-即4x-5y+1=0.解方程組4x-5y+1=0,x+y+1=0所以入射光線所在直線的方程為y-3=3+132+23·(x-2),即5x-4點關(guān)于直線的對稱點的求法點P(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點P0(x0,y0),滿足關(guān)系A(chǔ)·x+x0跟蹤訓(xùn)練4直線y=2x是△ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線,若A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(-4,2),B(3,1),求點C的坐標(biāo).解:把A,B兩點坐標(biāo)代入y=2x知,A、B不在直線y=2x上,因此y=2x為角C的平分線,設(shè)點A(-4,2)關(guān)于y=2x的對稱點為A'(a,b),則kAA'=b-則b-2a+4·2=-∵y=2x是角C平分線所在直線的方程,∴A'在直線BC上,∴直線BC的方程為y+21+2=x-43解得x=2,y=4金題典例過點P(3,0)作一直線分別交直線2x-y-2=0和x+y+3=0于點A,B,且點P恰好為線段AB的中點,求此直線的方程.解:分析一:設(shè)出直線的方程,求出交點的坐標(biāo),再用中點坐標(biāo)公式.解法一:若直線斜率不存在,則方程為x=3.由x=3,2x-y-2=0,得A(3,4)由于4+(-6)2=-1≠0,∴P若直線斜率存在,設(shè)為k,則方程為y=k(x-3).由y=k(x-3由y=k(x-3),x+∵P(3,0)為線段AB的中點,∴3k-∴k=8.∴所求直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:設(shè)出A(x1,y1),由P(3,0)為AB的中點,易求出B的坐標(biāo),而點B在另一直線上,從而求出x1、y1的值,再由兩點式求直線的方程.解法二:設(shè)A點坐標(biāo)為(x1,y1),則由P(3,0)為線段AB的中點,得B點坐標(biāo)為(6-x1,-y1).∵點A,B分別在已知兩直線上,∴2x1∴A113,163.∵點A,P都在直線∴直線AB的方程為y-即8x-y-24=0.分析三:由于P(3,0)為線段AB的中點,可對稱地將A,B坐標(biāo)設(shè)為(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.∴2(3+∴直線AB的斜率即直線AP的斜率,值為b-03+∴所求直線的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.點睛:解法三這種對稱的設(shè)法需要在平常學(xué)習(xí)中加以積累,以上三種解法各有特點,要善于總結(jié),學(xué)習(xí)其簡捷解法,以提高解題速度.解法三:∵P(3,0)為線段AB的中點,∴可設(shè)A(3+a,b),B(3-a,-b).∵點A,B分別在已知直線上,通過直線與二元一次方程的關(guān)系，提出運用方程研究直線位置關(guān)系得問題，讓學(xué)生感悟運用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。理解運用解方程組，求解直線交點坐標(biāo)的方法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生逐步感悟運用解析法研究幾何問題的方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進一步靈活運用直線方程，解決兩直線的位置關(guān)系及對稱問題，提高學(xué)生解決問題的能力。三、達標(biāo)檢測1.直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點坐標(biāo)是()A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)解析:解方程組2得x=-9,答案:B2.直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則k的值為()A.-24 B.24 C.6D.±6解析:∵直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,可設(shè)交點坐標(biāo)為(a,0),∴2a-k=0答案:A3.已知直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點P,若l1⊥l2,則點P的坐標(biāo)為.

解析:∵直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點P,且l1⊥l2,∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,聯(lián)立方程x+y-6=0,x∴點P的坐標(biāo)為(3,3).答案:(3,3)4.求證:不論m為何值,直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通過一定點.證明:將原方程按m的降冪排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式對于m的任意實數(shù)值都成立,根據(jù)恒等式的要求,m的一次項系數(shù)與常數(shù)項均等于零,故有x+2y∴m為任意實數(shù)時,所給直線必通過定點(9,-4).5．已知兩直線l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.(1)求l1與l2的交點坐標(biāo)；(2)求過l1與l2交點且與直線x＋y＋1＝0平行的直線方程.解析：(1)聯(lián)立兩條直線的方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋8y＋7＝0，,2x＋y－1＝0，))解得x＝1，y＝－1.所以l1與l2的交點坐標(biāo)是(1，－1)．(2)設(shè)與直線x＋y＋1＝0平行的直線l方程為x＋y＋c＝0，因為直線l過l1與l2的交點(1,－1)，所以c＝0.所以直線l的方程為x＋y＝0.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】通過討論兩直線方程聯(lián)立方程組來研究兩直線的位置關(guān)系，得出了方程系數(shù)比的關(guān)系與直線位置關(guān)系的聯(lián)系.培養(yǎng)了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關(guān)系，并且會通過直線方程系數(shù)判定解的情況，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點.當(dāng)兩條直線相交時，會求交點坐標(biāo).注意語言表述能力的訓(xùn)練.通過一般形式的直線方程解的討論，加深對解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.以“特殊”到“一般”，培養(yǎng)探索事物本質(zhì)屬性的精神，以及運動變化的相互聯(lián)系的觀點.《2.3.1兩直線的交點坐標(biāo)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).2.會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.【重點和難點】重點：能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)難點：會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系【知識梳理】一、自主導(dǎo)學(xué)兩條直線的交點1.已知兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,設(shè)這兩條直線的交點為P,則點P既在直線l1上,也在直線l2上.所以點P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點P的坐標(biāo)就是方程組A1x+2.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行點睛：如果兩條直線相交,則交點坐標(biāo)分別適合兩條直線的方程,即交點坐標(biāo)是兩直線方程所組成方程組的解.二、小試牛刀1.直線x+y=5與直線x-y=3交點坐標(biāo)是()A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)學(xué)在平面幾何中，我們對直線做了定性研究，引入平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應(yīng)直線上每一點的坐標(biāo)所滿足的一個關(guān)系式，這樣我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數(shù)方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點，坐標(biāo)平面內(nèi)與點直線相關(guān)的距離問題等。二、典例解析例1.直線l過直線x＋y－2＝0和直線x－y＋4＝0的交點，且與直線3x－2y＋4＝0平行，求直線l的方程．求過兩直線交點的直線方程的方法1解本題有兩種方法：一是采用常規(guī)方法，先通過解方程組求出兩直線交點，再根據(jù)平行關(guān)系求出斜率，由點斜式寫出直線方程；二是設(shè)出過兩直線交點的方程，再根據(jù)平行條件待定系數(shù)求解.2過兩條相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程可設(shè)為A1x＋B1y＋C1＋λA2x＋B2y＋C2＝0不含直線l2.跟蹤訓(xùn)練1．三條直線ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一點，求a的值．例2.分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.跟蹤訓(xùn)練2已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點位于第四象限,則a的取值范圍是.

例3(1)求經(jīng)過點P(1,0)和兩直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交點的直線方程;(2)無論實數(shù)a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點,試求該定點.利用直線系方程求直線的方程經(jīng)過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線方程可寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直線l2).反之,當(dāng)直線的方程寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0時,直線一定過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點.跟蹤訓(xùn)練3已知直線l經(jīng)過原點,且經(jīng)過另兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點,則直線l的方程為()A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0例4光線通過點A(2,3)在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程.點關(guān)于直線的對稱點的求法點P(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點P0(x0,y0),滿足關(guān)系A(chǔ)·x+x0跟蹤訓(xùn)練4直線y=2x是△ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線,若A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(-4,2),B(3,1),求點C的坐標(biāo).金題典例過點P(3,0)作一直線分別交直線2x-y-2=0和x+y+3=0于點A,B,且點P恰好為線段AB的中點,求此直線的方程.【達標(biāo)檢測】1.直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點坐標(biāo)是()A.(-9,-10) B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)2.直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則k的值為()A.-24 B.24 C.6D.±63.已知直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點P,若l1⊥l2,則點P的坐標(biāo)為.

4.求證:不論m為何值,直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通過一定點.5．已知兩直線l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.(1)求l1與l2的交點坐標(biāo)；(2)求過l1與l2交點且與直線x＋y＋1＝0平行的直線方程.【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理二、小試牛刀1.解析:解方程組x+y=5,x答案:B學(xué)習(xí)過程例1.[解]法一：聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))即直線l過點(－1,3)．因為直線l的斜率為eq\f(3,2)，所以直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.法二：因為直線x＋y－2＝0不與3x－2y＋4＝0平行，所以可設(shè)直線l的方程為x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因為直線l與直線3x－2y＋4＝0平行，所以eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(λ－1,－2)≠eq\f(4－2λ,4)，解得λ＝eq\f(1,5)，所以直線l的方程為eq\f(6,5)x－eq\f(4,5)y＋eq\f(18,5)＝0，即3x－2y＋9＝0.跟蹤訓(xùn)練1．[解]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))所以兩條直線的交點坐標(biāo)為(4,－2)．由題意知點(4,－2)在直線ax＋2y＋7＝0上，將(4,－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－eq\f(3,4).例2.思路分析:直接將兩直線方程聯(lián)立方程組,根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線是否相交.解:(1)方程組2x-因此直線l1和l2相交,交點坐標(biāo)為(3,-1).(2)方程組2x這表明直線l1和l2重合.(3)方程組4x這表明直線l1和l2沒有公共點,故l1∥l2.跟蹤訓(xùn)練2解析:由5由2a+37>0,a答案:-32,2例3思路分析:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出λ,即得所求直線方程.(2)將直線方程改寫為-x-y-1+a(x+2)=0.解方程組-x-解:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵點P(1,0)在直線上,∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=15.∴所求方程為x+2y-2+15(3x-2y+2)即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直線恒過直線-x-y-1=0與直線x+2=0的交點.解方程組-所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(-2,1).跟蹤訓(xùn)練3解析:(方法1)解方程組2x+3y+8=0,x-y-1=0,得交點為(-1,-2)(方法2)設(shè)直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其過原點,所以8+(-λ)=0,λ=8,直線l的方程為2x-y=0.答案:B例4思路分析:求點A關(guān)于直線l的對稱點A'→求反射光線所在直線的方程→求入射光線與反射光線的交點坐標(biāo)→求入射光線所在的直線方程解:設(shè)點A(2,3)關(guān)于直線l的對稱點為A'(x0,y0),則2+解之,得A'(-4,-3).由于反射光線經(jīng)過點A'(-4,-3)和B(1,1),所以反射光線所在直線的方程為y-1=1+31+4·(x-即4x-5y+1=0.解方程組4x-5y+1=0,x+y+1=0所以入射光線所在直線的方程為y-3=3+132+23·(x-2),即5x-4跟蹤訓(xùn)練4解:把A,B兩點坐標(biāo)代入y=2x知,A、B不在直線y=2x上,因此y=2x為角C的平分線,設(shè)點A(-4,2)關(guān)于y=2x的對稱點為A'(a,b),則kAA'=b-則b-2a+4·2=-∵y=2x是角C平分線所在直線的方程,∴A'在直線BC上,∴直線BC的方程為y+21+2=x-43-4,即3x+y-10金題典例解:分析一:設(shè)出直線的方程,求出交點的坐標(biāo),再用中點坐標(biāo)公式.解法一:若直線斜率不存在,則方程為x=3.由x=3,2x由x=3,x+y+3=0由于4+(-6)2=-1≠0,∴P若直線斜率存在,設(shè)為k,則方程為y=k(x-3).由y=k(x-3由y=k(x-3),x+∵P(3,0)為線段AB的中點,∴3k-∴k=8.∴所求直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:設(shè)出A(x1,y1),由P(3,0)為AB的中點,易求出B的坐標(biāo),而點B在另一直線上,從而求出x1、y1的值,再由兩點式求直線的方程.解法二:設(shè)A點坐標(biāo)為(x1,y1),則由P(3,0)為線段AB的中點,得B點坐標(biāo)為(6-x1,-y1).∵點A,B分別在已知兩直線上,∴2x1∴A113,163.∵點A,P都在直線∴直線AB的方程為y-即8x-y-24=0.分析三:由于P(3,0)為線段AB的中點,可對稱地將A,B坐標(biāo)設(shè)為(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.∴2(3+∴直線AB的斜率即直線AP的斜率,值為b-03+∴所求直線的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.點睛:解法三這種對稱的設(shè)法需要在平常學(xué)習(xí)中加以積累,以上三種解法各有特點,要善于總結(jié),學(xué)習(xí)其簡捷解法,以提高解題速度.解法三:∵P(3,0)為線段AB的中點,∴可設(shè)A(3+a,b),B(3-a,-b).∵點A,B分別在已知直線上,達標(biāo)檢測1.解析:解方程組2x+y+8=0,x答案:B2.解析:∵直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,可設(shè)交點坐標(biāo)為(a,0),∴2a-k=0答案:A3.解析:∵直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點P,且l1⊥l2,∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,聯(lián)立方程x+y-6=0,x∴點P的坐標(biāo)為(3,3).答案:(3,3)4.證明:將原方程按m的降冪排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式對于m的任意實數(shù)值都成立,根據(jù)恒等式的要求,m的一次項系數(shù)與常數(shù)項均等于零,故有x+2y∴m為任意實數(shù)時,所給直線必通過定點(9,-4).5．解析：(1)聯(lián)立兩條直線的方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋8y＋7＝0，,2x＋y－1＝0，))解得x＝1，y＝－1.所以l1與l2的交點坐標(biāo)是(1，－1)．(2)設(shè)與直線x＋y＋1＝0平行的直線l方程為x＋y＋c＝0，因為直線l過l1與l2的交點(1,－1)，所以c＝0.所以直線l的方程為x＋y＝0.《2.3.1兩直線的交點坐標(biāo)-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．直線和的交點坐標(biāo)為()A． B． C． D．2．經(jīng)過兩點A(－2,5)、B(1，－4)的直線l與x軸的交點的坐標(biāo)是()A．(－，0) B．(－3,0) C．(，0) D．(3,0)3.在平面直角坐標(biāo)系中,點(0,2)與點(4,0)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為()A.x+2y-4=0 B.x-2y=0C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=04.已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐標(biāo)為(1,p),則m-n+p的值為()A.-4 B.0 C.16 D.205．（多選題）兩條直線與的交點坐標(biāo)就是方程組的實數(shù)解，下列說法正確的為（）A.若方程組無解，則兩直線平行；B.若方程組只有一解，則兩直線相交；C.若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合;D.方程解的個數(shù)與直線位置無關(guān).6．（多選題）兩條直線與的交點在y軸上，那么m的值為（）A． B．6 C． D．0二、填空題7．過兩直線和的交點和原點的直線方程為.8．直線l1：x＋by＝1與直線l2：x－y＝a的交點坐標(biāo)為(0,2)，則a＝________，b＝________.9．已知點M(5,3)和點N(－3,2)，若直線PM和PN的斜率分別為2和－，則點P的坐標(biāo)為________．10．若直線l1：y＝kx＋k＋2與直線l2：y＝－2x＋4的交點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是________．三、解答題11.在△ABC中,BC邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0,角A的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標(biāo)為(1,2).(1)求點A的坐標(biāo);(2)求直線BC的方程;(3)求點C的坐標(biāo).12．(1)求經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程；(2)求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．《2.3.1兩直線的交點坐標(biāo)-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．直線和的交點坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立方程組3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0，解得，故選C2．經(jīng)過兩點A(－2,5)、B(1，－4)的直線l與x軸的交點的坐標(biāo)是()A．(－，0) B．(－3,0) C．(，0) D．(3,0)【答案】A【解析】過點A(－2,5)和B(1，－4)的直線方程為3x＋y＋1＝0，故它與x軸的交點的坐標(biāo)為(－，0)．故為A.3.在平面直角坐標(biāo)系中,點(0,2)與點(4,0)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為()A.x+2y-4=0 B.x-2y=0C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=0【答案】C【解析】根據(jù)點(0,2)與點(4,0)關(guān)于直線l對稱,可得直線l的斜率為-10-24-0=2,且直線l經(jīng)過點(0,2)與點(4,0)構(gòu)成的線段的中點(2,1),故直線l的方程為y-1=2(x-2),即4.已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐標(biāo)為(1,p),則m-n+p的值為()A.-4 B.0 C.16 D.20【答案】D【解析】由兩條直線互相垂直,得-m4×25=-1,m=10.又垂足坐標(biāo)為(1,p),代入直線10x+4y-2=0,得p=-2.將(1,-2)代入直線2x-5y+n=0,得n=-12.故5．（多選題）兩條直線與的交點坐標(biāo)就是方程組的實數(shù)解，下列說法正確的為（）A.若方程組無解，則兩直線平行；B.若方程組只有一解，則兩直線相交；C.若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合;D.方程解的個數(shù)與直線位置無關(guān).【答案】ABC【解析】A.若方程組無解，則兩條直線無交點，兩直線平行；正確；B.若方程組只有一解，說明兩條直線只有一個交點，則兩直線相交；正確；C.若方程組有無數(shù)多解，說明兩條直線有無數(shù)多個交點，則兩直線重合．正確.D.錯誤.故答案為：ABC6．（多選題）兩條直線與的交點在y軸上，那么m的值為（）A． B．6 C． D．0【答案】BC【解析】因為兩條直線2x+3y﹣m=0和x﹣my+12=0的交點在y軸上，所以設(shè)交點為（0，b），所以，消去b，可得m=±6．故選BC．二、填空題7．過兩直線和的交點和原點的直線方程為.【答案】【解析】過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標(biāo)，求得，故所求直線方程為，即.8．直線l1：x＋by＝1與直線l2：x－y＝a的交點坐標(biāo)為(0,2)，則a＝________，b＝________.【答案】－2；【解析】將點代入直線，解得，在將點代入直線，解得，故答案為.9．已知點M(5,3)和點N(－3,2)，若直線PM和PN的斜率分別為2和－，則點P的坐標(biāo)為________．【答案】(1，－5)【解析】設(shè)P(x，y)，則有解得.10．若直線l1：y＝kx＋k＋2與直線l2：y＝－2x＋4的交點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【解析】如圖所示，直線恒過定點，斜率為，直線與軸、軸分別交點于，若直線和的交點在第一象限，則必通過線段上的點(不包括)，由于，所以，即實數(shù)的取值范圍是.三、解答題11.在△ABC中,BC邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0,角A的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標(biāo)為(1,2).(1)求點A的坐標(biāo);(2)求直線BC的方程;(3)求點C的坐標(biāo).【解析】(1)直線x-2y+1=0和直線y=0的交點是(-1,0),即點A的坐標(biāo)為(-1,0).(2)∵直線x-2y+1=0為BC邊上的高,由垂直關(guān)系得kBC=-2,所以直線BC的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.(3)∵角A的平分線所在直線的方程為y=0,A(-1,0),B(1,2),∴kAC=-kAB=-1,設(shè)點C的坐標(biāo)為(a,b),則ba+1=-1,b-2a-1=-2,解得a=5,b12．(1)求經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程；(2)求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．【解析】(1)由，解得，所以交點為.因為直線l與直線3x＋y－1＝0平行，所以直線l的斜率為－3，所以直線l的方程為y＋＝－3，15x＋5y＋16＝0.(2)法一：解方程組得P(0,2)．因為l3的斜率為，且l⊥l3，所以直線l的斜率為－，由斜截式可知l的方程為y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.《2.3.1兩直線的交點坐標(biāo)-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1．過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是()A．x－3y＋7＝0B．x－3y＋13＝0C．x－3y＋6＝0D．x－3y＋5＝02．已知直線和直線都過點,則過點和點的直線方程是(

)A． B． C． D．3．已知，直線與線段交于點，且，則實數(shù)的值為（）A．2 B．1 C． D．4．若曲線及能圍成三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（多選題）已知三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一點，則坐標(biāo)(m，n)可能是()A．(1，－3)B．(3，-4)C．(－3,1)D．(－4,3)6.（多選題）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值可能為（）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1二、填空題7.已知直線ax+by-2=0,且3a-4b=1,則該直線必過定點.

8．已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.試確定m，n的值，使(1)l1與l2相交于點P(m，－1)；則m+n＝_______；(2)l1∥l2.則_________________9．經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為________.10．已知直線l：x＋y－2＝0，一束光線從點P(0,1＋)以120°的傾斜角投射到直線l上，經(jīng)l反射，則反射光線所在的直線方程為________.三、解答題11.在△ABC中,AD,BE,CF分別為三邊上的高,求證:AD,BE,CF三線共點.12．直線l過定點P(0,1)，且與直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分別交于A、B兩點．若線段AB的中點為P，求直線l的方程．《2.3.1兩直線的交點坐標(biāo)-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是()A．x－3y＋7＝0B．x－3y＋13＝0C．x－3y＋6＝0D．x－3y＋5＝0【答案】B【解析】由可得直線與的交點為，與直線垂直的直線斜率為，由點斜式，得直線方程為，即，故選B.2．已知直線和直線都過點,則過點和點的直線方程是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】把坐標(biāo)代入兩條直線和,得,,,過點,的直線的方程是：,,則,,,所求直線方程為：．3．已知，直線與線段交于點，且，則實數(shù)的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則..∵，∴∴，故選：A4．若曲線及能圍成三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲線由兩條射線構(gòu)成，它們分別是射線及射線.因為方程的解，故射線與直線有一個交點；若曲線及能圍成三角形，則方程必有一個解，故，因此，選C.5．（多選題）已知三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一點，則坐標(biāo)(m，n)可能是()A．(1，－3)B．(3，-4)C．(－3,1)D．(－4,3)【答案】AB【解析】由得,由三條直線相交于一點，可知m×1＋n×2＋5＝0,即m＋2n＋5＝0，結(jié)合選項可知AB項正確．6.（多選題）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值可能為（）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】BCD【解析】因為直線l1的斜率為3，直線l2的斜率為，所以直線一定相交，交點坐標(biāo)是方程組的解，解得交點坐標(biāo)為：.當(dāng)時，直線與橫軸垂直，方程為：不經(jīng)過點，所以三條直線能構(gòu)成三角形；當(dāng)時，直線的斜率為：.當(dāng)直線l1與直線l3的斜