2023-2024學年北京科技大學附屬中學高三適應性調研考試數(shù)學試題含解析

2023-2024學年北京科技大學附屬中學高三適應性調研考試數(shù)學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%2．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．3．如圖在直角坐標系中，過原點作曲線的切線，切點為，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．15．馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則,，的大小關系為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．在中，在邊上滿足，為的中點，則（）.A． B． C． D．11．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度12．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐P-ABC中，，，，三個側面與底面所成的角均為，三棱錐的內切球的表面積為_________.14．在中，內角的對邊長分別為，已知，且，則_________．15．設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.16．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的實部為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，（1）分別求出，的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為證明：．18．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.19．（12分）已知橢圓經過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關于坐標原點對稱．連接．求證：存在實數(shù)，使得成立．20．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）某生物硏究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個體數(shù)量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長（單位：）分別為隨機變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（Ⅰ）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率；（Ⅱ）記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請你根據(jù)（Ⅰ）中的結果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只，記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望（分布列寫出計算表達式即可）.注:若，則，，.22．（10分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：時間人數(shù)156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計21090300（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數(shù)為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點：正態(tài)分布2、D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質求出單調增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為故選：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質，利用“五點法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.3、A【解析】

設所求切線的方程為，聯(lián)立，消去得出關于的方程，可得出，求出的值，進而求得切點的坐標，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為，則，聯(lián)立，消去得①，由，解得，方程①為，解得，則點，所以，陰影部分區(qū)域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.4、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時，又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得：ω∈本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是能夠結合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關于參數(shù)的不等式.5、C【解析】

模擬程序的運行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選：C．【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題．6、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調性可得選項.【詳解】依題意得，，當時，，因為，所以在上單調遞增，又在上單調遞增，所以在上單調遞增，，即，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用、冪、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調性比較大小，屬于中檔題.7、A【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結合，分類討論即可求得結果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當時與有兩個交點，故只需當時，與有一個交點即可.若當時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.8、D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.故選：D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎題.9、C【解析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數(shù)恒成立，設，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調遞增，當時，有單調遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.10、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因為，所以，故.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質以及平面向量基本定理的應用，是一道基礎題.11、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.12、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當直線經過時，；當直線經過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵，運用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設頂點在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內心，內切圓半徑.三個側面與底面所成的角均為，，，的高，，設內切球的半徑為R，∴，內切球表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐內切球的表面積問題，考查學生空間想象能力，本題解題關鍵是找到內切球的半徑，是一道中檔題.14、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為415、【解析】

不妨設雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導出的離心率.【詳解】不妨設雙曲線，焦點，對稱軸，由題設知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而求出的值.16、【解析】

利用復數(shù)的概念與復數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】，所以復數(shù)的實部為2.故答案為：2【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（2）證明見解析【解析】

（1）因為，所以，所以，即，又因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，則，即.設的公差為，則，所以（），則（），所以，因此，綜上，．（2）設數(shù)列的前n項和為，則兩式相減得，所以，設則，所以.18、（1）；（2）【解析】

（1）由正弦定理可得,,化簡并結合,可求得三者間的關系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再結合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】（1）因為,所以,整理得:.因為,所以,所以.由余弦定理可得.（2）由（1）知,則,因為的面積是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積公式的應用,屬于基礎題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）由點可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設直線的方程為,聯(lián)立可得,設,由韋達定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點B與點Q關于原點對稱,可設,可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設直線的方程為，聯(lián)立,可得,設,則有,因為,所以,又因為點B與點Q關于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實數(shù),使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應用,考查運算能力.20、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)是等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，列兩個方程即可求出，從而求得，代入化簡即可求得；（2）化簡后求和為裂項相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當時，.②當時，.【點睛】此題等差數(shù)列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉化思想，屬于一般性題目.21、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題知