山東省淄博市淄博中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

淄博中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分，只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C． D．2．是等差數(shù)列a的前項(xiàng)和，，，則首項(xiàng)（）A．1 B．2 C．3 D．43．在數(shù)列中，若，則（）A． B．2 C．1 D．4．某同學(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前六個(gè)數(shù)字3、1、4、1、5、9進(jìn)行某種排列得到密碼，要求兩個(gè)1必須相鄰，那么可以設(shè)置的不同密碼有（）A．120 B．240 C．60 D．305．?dāng)?shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列，其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其中前幾項(xiàng)分別為2，5，10，17，26，37，記該數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差組成新數(shù)列，則（）A．15 B．17 C．18 D．196．設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若是奇函數(shù)，則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．7．如圖，用四種不同顏色給矩形A、B、C、D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的值可能為（）A． B． C． D．e二、多選題（每小題6分，共18分，選錯(cuò)得0分）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑假開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有72種排法D．課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有504種排法11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）A．B．C．若，則D．若，則三、填空題（每小題5分，共15分）12．函數(shù)在上的最大值為______．13．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)，n的值為______．14．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．四、解答題（本大題共77分）15．（13分）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，外科醫(yī)生5名，現(xiàn)選派4名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中，（1）甲、乙有且僅有一人參加，有多少種選法？（2）隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？16．（15分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1．（1）求a的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的最小值；17．（15分）已知等比數(shù)列中，且是和的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)，滿足，求的前n項(xiàng)和．18．（17分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）刪去數(shù)列的第3i項(xiàng)（其中），將剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列，設(shè)的前n項(xiàng)和為，請寫出的前6項(xiàng)，并求出和．19．（17分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若在處的切線與直線垂直，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．淄博中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題答案一、單選題（每小題5分，共40分，只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1．【答案】，選A2．【答案】得所以選A3．【答案】，，，所以周期為3，所以選D4．【答案】，選A5．【答案】前幾項(xiàng)為3、5、7、9、11，所以，所以，所以選B6．【答案】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以所以所以切點(diǎn)為所以所以選B7．【答案】選C8．【答案】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故上式成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，故，即，選C二、多選題（每小題6分，共18分，選錯(cuò)得0分）9．【答案】A．B．C．D．選BD10．【答案】A． B． C． D．選ABD11．【答案】由可知是以，的等差數(shù)列。所以，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以選ABD三、填空題（每小題5分，共15分）12．【答案】在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，13．【答案】由題意知解得所以或714．【答案】定義域?yàn)?，故有兩個(gè)不同的根，即，與兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在處取得極大值，也是最大值，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，畫出的圖象如下：顯然要想，與兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，需要滿足，四、解答題（本大題共77分）15．【答案】（1）共有種選法；（2）由總數(shù)中減去四名都是內(nèi)科醫(yī)生和四名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)即為隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法數(shù)，則共有種選法．16．【答案】（1）由題意得的定義域?yàn)?，，因?yàn)椋?，解得．?）因?yàn)?，的定義域?yàn)?，，令，得，與在區(qū)間上的情況如下：x00遞減極小遞增所以在的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；所以17．【答案】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為q，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗越獾盟裕?）18．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，聯(lián)立條件，得，即，即；所以是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，．（2）刪去數(shù)列的第3i項(xiàng)（其中），將剩余的項(xiàng)按從小到大排列依次為：數(shù)列前6項(xiàng)為，，，．．注意到構(gòu)成以為首項(xiàng)，以8為公比的等比數(shù)列，構(gòu)成以為首項(xiàng)，以8為公比的等比數(shù)列，．19．【答案】（1），則，由已知，解得（2）（i）當(dāng)時(shí)，，所以，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得①時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上