數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義-函數(shù)的基本性質(zhì)

§4函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性

等等，在解決與函數(shù)有關(guān)的(如方程、不等式等)問(wèn)題時(shí)，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關(guān)性質(zhì)，

可以使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

I.函數(shù)的定義

設(shè)A,B都是非空的數(shù)集，/是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則.那么，從A到B的映射f：A-B

就叫做從A到B的函數(shù).記做y=/(x),其中xGA,yEB,原象集合，A叫做函數(shù)/(x)的定義域，

象的集合C叫做函數(shù)的值域，顯然C^B.

II.函數(shù)的性質(zhì)

(1)奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的數(shù)集.若對(duì)任意的XGD,

都有f(—x)=—/(x),則稱(chēng)f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的xGD,都有/(—x)=/(x),則稱(chēng)f(x)是偶函數(shù).

(2)函數(shù)的增減性設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間D'上滿足：對(duì)任意Xi,X2GD，，并且Xi<X2時(shí)，

總有f(Xi)</(X2)J(X1)>/(X2)),則稱(chēng)/(x)在區(qū)間D'上的增函數(shù)(減函數(shù))，區(qū)間D'稱(chēng)為/(x)的一

個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間.

III.函數(shù)的周期性

對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)不為零的正數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域中的每個(gè)數(shù)時(shí),/(x+T)=/(x)

總成立，那么稱(chēng)/(x)是周期函數(shù)，T稱(chēng)做這個(gè)周期函數(shù)的周期.如果函數(shù)/(x)的所有周期中存

在最小值T0,稱(chēng)To為周期函數(shù)/(x)的最小值正周期.

例題講解

1.已知/(x)=8+2x—x2,如果g(x)=f(2—x2),那么g(x)()

A.在區(qū)間(-2,0)上單調(diào)遞增B.在(0,2)上單調(diào)遞增

C.在(一1,0)上單調(diào)遞增D.在(0,1)上單調(diào)遞增

2.設(shè)/(x)是R上的奇函數(shù)，且/(x+3)=一歡，當(dāng)OWxJ時(shí)，/(x)=x,貝lJ/(2003)=()

A.-1B.OC.lD.2003

3.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)/(X),對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有/(x+l)=f(2—x)成立，若f(x)=O僅有101

個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為()

-303…r、305

A.150B.---C.152D.----

22

4.實(shí)數(shù)x,y滿足x2=2xs/n(xy)—1,則x1998+6s/n5y=.

5.已知x=J13+J乃是方程d+bxZ+cuO的根，b,c為整數(shù)，則b+c=

6.已知/(x)=ox2+bx+c(o>0),/(x)=0有實(shí)數(shù)根，且f(x)=l在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求

證：a>4.

7.已知/(x)=x2+ax+b(—lWx41),若|/(x)|的最大值為M,求證：M>—.

2

8.⑴解方程:%+8)2。。1+*2。。1+2*+8=0

2x+“X?+1=2(X-I)2

⑵解方程:

X2+1+7(X2+1)2+1

9.設(shè)/(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,火1)=1,火2)=2,火3)=3,求,/(4)+/(0)]的值.

4

1a1

10.設(shè)4x3+萬(wàn)乂2—5x+2,當(dāng)x￡R時(shí)，求證：1/(XMN]

例題答案：

I.提示：可用圖像，但是用特殊值較好一些.選c

2.解：f(x+6)=f(x+3+3)=—f(x+3)=f(x)

J/(x)的周期為6

/(2003)=/(6x335—1)=/(—1)=-f(l)=~1

選A

3.提示：由已知，函數(shù)/(x)的圖象有對(duì)稱(chēng)軸x=；

于是這101個(gè)根的分布也關(guān)于該對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).

即有一個(gè)根就是:，其余100個(gè)根可分為50對(duì)，每一對(duì)的兩根關(guān)于x=；對(duì)稱(chēng)

22

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這100個(gè)根的和等于-xl00=150

2

所有101個(gè)根的和為:xl01=受.選B

4.解：如果x、y不是某些特殊值，則本題無(wú)法(快速)求解

注意到其形式類(lèi)似于一元二次方程，可以采用配方法

(x-s/n(xy))2+cos2(xy)=0

x=s/n(xy)且cos(xy)=Q

x=sin(xy)=±l

siny=1xsin(xy)=1

原式=7

5.解：(逆向思考：什么樣的方程有這樣的根？)

由已知變形得x—屈=M

X2-2A/19X+19=99

即X2-80=2V19X

再平方得/一160x2+6400=76x2

即R-236X2+6400=0

，b=-236,c=6400

b+c=6164

6.證法一：由已知條件可得

△=b2—4ac>0①

f(l)=a+b+c>l②

<f(0)=c>l③

0<-—<1④

I2a

b2>4ac

b>l—a—c

c>l

b<0(Va>0)

于是一b22Vac

所以a+c—1>-b>2Vac

/.(Va-Vc)2>1

7a-Vc>1

于是所>7c+1>2

a>4

證法二：設(shè)f(x)的兩個(gè)根為X1，X2，

則f(x)=a(x—X1)(X—x2)

f(l)=a(l—Xi)(l—X2)>1

f(0)=axiX2>l

由基本不等式

42

X1(1—X1)X2(1—X2)<[—(X1+(1—Xi)+x2+(l—X2))]=(—)

44

2

a

:.——>a2Xi(l—X1)X2(1—X2)>1

16

a2>16

a>4

7.解：M=|f(x)|max=max{|f(l)|,|f(-l)|,|f(-|)|)

⑴若|一Id1(對(duì)稱(chēng)軸不在定義域內(nèi)部)

則M=max||f(D|,|f(—1)|)

而f⑴=l+a+b

f(—1)=1—a+b

|f(l)|+|f(-l)|>|f(l)+f(-l)|=2|a|>4

則|f⑴|和|f(一1)|中至少有一個(gè)不小于2

**?M>2>一

2

⑵I-：IVI

M=max{|f(l)|,|f(-l)|,|f(-|)|)

=max{|l+a+b|,11—a+b|,|——+b|}

4

22

=max{|1+a+b|,11—a+b|,|———+b|,|———+b|}

44

122

>-(|l+a+b|+|l-a+b|+|-—+b|+|-—+b|)

444

1a2a2

>-[(l+a+b)+(l-a+b)-(-—+b)-(--+b)]

444

1a2.

=-(2+—)

42

>—1

~2

綜上所述，原命題正確.

8.(1W：原方程化為(x+8)2(K)1+(x+8)+x2(xn+x=0

即(x+8產(chǎn)(n+(x+8)=(—x)2o(n+(—x)

構(gòu)造函數(shù)f(X)=x2001+x

原方程等價(jià)于f僅+8)=f(—x)

而由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

于是有x+8=-x

x=-4為原方程的解

⑵兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得

,2x+V4x2+1,—

"g2I2=(X-1)

X+1+J(X2+1)+1

即log2(2x+—Iog2(x2+14-7(X2+1)2+1)=X2-2x+l

2222

即log2(2x+14X2+1)+2X=log2(x+1+^(x+1)+1)+(