中考數(shù)學一輪復習5.3四邊形驗收卷(原卷版+解析)

5.3四邊形驗收卷注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）根據(jù)圖中所給的邊長及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（

）．A． B． C． D．2．（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設與四邊形的外角和的度數(shù)分別為，則比較與的大小，結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．無法比較3．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）已知一個n邊形的內(nèi)角和是，從它的一個頂點出發(fā)可以作m條對角線，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，將繞邊的中點O順時針旋轉(zhuǎn)．嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的與構成平行四邊形，并推理如下：小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“∵，”和“∴四邊形…”之間作補充，下列補充不正確的是（）點A，C分別轉(zhuǎn)到了點C，A處，而點B轉(zhuǎn)到了點D處．∵，∴四邊形是平行四邊形．A．應補充：且 B．應補充：且C．應補充：且 D．應補充：且5．（2023春·八年級課時練習）已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（）①當時，它是菱形；②當時，它是菱形；③當時，它是矩形；④當時，它是正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023·河南商丘·?？家荒＃┤鐖D1，在矩形中，點E在邊上，連接，點P從點A出發(fā)，沿折線A→E→C以的速度勻速運動至點C．圖2是點P運動時，的面積隨時間變化的函數(shù)圖像，則a的值為（）A．40 B．10 C．24 D．207．（2023春·八年級單元測試）將圖1中兩個三角形按圖2所示的方式擺放，其中四邊形為矩形，連接，甲、乙兩人有如下結(jié)論：甲：若四邊形是邊長為1的正方形，則四邊形必是正方形；乙：若四邊形為正方形，則四邊形必是邊長為1的正方形．下列判斷正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都不正確 D．甲、乙都正確8．（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，，如此進行下去，得到四邊形下列結(jié)論正確的有（

）①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是．A．個 B．個 C．個 D．個9．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，在矩形中，動點M從點A出發(fā)沿邊向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)沿邊向點C勻速運動，連接．動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為每秒1個單位長度，點N運動的速度為每秒3個單位長度．當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點B的對應點恰好與點D重合，則的值為（）A． B． C． D．10．（2022秋·廣東深圳·九年級北大附中深圳南山分校?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為4，點E在邊上，，點F在射線上，且，過點F作的平行線交的延長線于點與相交于點G，連接．下列結(jié)論：①；②的周長為8；③；④的面積為6.8．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022秋·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校校聯(lián)考期中）足球表面為什么用正六邊形和正五邊形構成？因為正六邊形的兩個內(nèi)角和正五邊形的一個內(nèi)角加起來接近一個周角，而又不足一個周角．這樣，由平面折疊而成的多面體充氣后最終就呈現(xiàn)為球形．如圖，在折疊前的平面上，拼接點處的縫隙∠AOB的大小為______．12．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，______度．13．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，在等腰直角中，；點E和點D分別是邊和的中點，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，以點D為圓心，長為半徑畫弧，交于點E．若，則圖中陰影部分的面積為___________．14．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學?？茧A段練習）如圖，菱形的邊長為4，E，F(xiàn)分別是，上的點，與相交于點G，若，，則的長為______．15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，P為邊上一點，．將沿翻折得到、的延長線交邊于點M，過點B作交于點N，連接，分別交，于點E，F(xiàn)．下面結(jié)論中：①連接，則；②四邊形是菱形；③；④若，則，正確的結(jié)論是________．16．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形是正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交射線于點，以，為鄰邊作矩形，連接．（1）___________；（2）若四邊形的面積為5，則___________三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）四邊形是平行四邊形，點是邊的中點，請僅用無刻度的直尺按要求作圖（不寫作法，保留作圖的痕跡）．(1)在圖①中作出邊的中點；(2)在圖②中作出的中點．18．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，矩形的兩個頂點，都在反比例函數(shù)的圖象上，經(jīng)過原點，對角線垂直于軸．垂足為，已知點的坐標為．(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式；(2)求矩形的面積．19．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學?？茧A段練習）如圖，已知E、F分別是的邊、上的點，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)在中，若，，，求邊上的高．20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學?？寄M預測）如圖，矩形的對角線的垂直平分線與、、分別交于點、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求：①的長；②菱形的面積．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第一一三中學校?？茧A段練習）如圖，菱形，于點E，于點F，(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，連接分別交、于點G、H，在不添加輔助線的情況下，請你直接寫出所有的鈍角等腰三角形．22．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形是正方形，點E、F分別在邊上，點G在邊的延長線上，且．(1)求證：①；②；(2)尺規(guī)作圖：以線段為邊作出正方形（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；(3)連接（2）中的，猜想四邊形的形狀，并證明你的猜想；(4)當時，求出的值23．（2022秋·廣東河源·九年級?？计谀┤鐖D，在菱形中，對角線與交于點，且，，現(xiàn)有兩動點，分別從，同時出發(fā)，點沿線段向終點運動，點沿折線向終點運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為（秒）．(1)填空：

；菱形的面積

；菱形的高

．(2)若點的速度為每秒個單位，點的速度為每秒個單位，連接，．當時，是否存在的值，使為等腰直角三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)若點的速度為每秒個單位，點的速度為每秒個單位（其中），當時在平面內(nèi)存在點使得以，，，為頂點的四邊形為菱形，請求出所有滿足條件的的值．5.3四邊形驗收卷注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）根據(jù)圖中所給的邊長及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形判斷A；根據(jù)題意可知平行線間距離是5，可知兩組對邊平行，可判斷B；對于C，D可知一組對邊平行，不能判斷另一組對邊的關系，可得答案．【詳解】由，可知一組對邊平行，另一組對邊相等，不一定是平行四邊形，所以A不符合題意；由，可知一組對邊平行，平行線間距離是5，可知另一組對邊平行，該四邊形是平行四邊形，所以B符合題意；由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以C不符合題意；由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以D不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關鍵．2．（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設與四邊形的外角和的度數(shù)分別為，則比較與的大小，結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】根據(jù)多邊形外角和為可直接進行求解．【詳解】解：由多邊形外角和為可知與四邊形的外角和分別為，∴；故選A．【點睛】本題主要考查多邊形外角和，熟練掌握多邊形外角和是解題的關鍵．3．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）已知一個n邊形的內(nèi)角和是，從它的一個頂點出發(fā)可以作m條對角線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計算出對角線的條數(shù)即可求解．【詳解】解：此多邊形的邊數(shù)為，由題意得：，解得，從這個多邊形的一個頂點出發(fā)所畫的對角線條數(shù)：，∴故選：C．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，關鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．4．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，將繞邊的中點O順時針旋轉(zhuǎn)．嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的與構成平行四邊形，并推理如下：小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“∵，”和“∴四邊形…”之間作補充，下列補充不正確的是（）點A，C分別轉(zhuǎn)到了點C，A處，而點B轉(zhuǎn)到了點D處．∵，∴四邊形是平行四邊形．A．應補充：且 B．應補充：且C．應補充：且 D．應補充：且【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐個分析即可．【詳解】A．加上，可證得時間△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四邊形是平行四邊形；B．加上，根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可得四邊形是平行四邊形；C．加上，一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形；D．加上，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，可得四邊形是平行四邊形．故選：C【點睛】考核知識點：平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定方法是關鍵．5．（2023春·八年級課時練習）已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（）①當時，它是菱形；②當時，它是菱形；③當時，它是矩形；④當時，它是正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐一判斷各項即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴當時，不能判斷它是菱形（對邊相等是平行四邊形的性質(zhì)），故①錯誤，當時，它是菱形，故②正確，當時，它是矩形，故③正確，當時，它是矩形，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．6．（2023·河南商丘·校考一模）如圖1，在矩形中，點E在邊上，連接，點P從點A出發(fā)，沿折線A→E→C以的速度勻速運動至點C．圖2是點P運動時，的面積隨時間變化的函數(shù)圖像，則a的值為（）A．40 B．10 C．24 D．20【答案】B【分析】設，根據(jù)題意，，結(jié)合函數(shù)圖像，得到，，結(jié)合勾股定理，計算即可．【詳解】解：設，根據(jù)題意，，結(jié)合函數(shù)圖像，得到，，∴，∴，∴，∵矩形，∴，∴，∴，解得（舍去），∴，解得（舍去），故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)圖像，熟練掌握矩形性質(zhì)，正確讀取圖形信息是解題的關鍵．7．（2023春·八年級單元測試）將圖1中兩個三角形按圖2所示的方式擺放，其中四邊形為矩形，連接，甲、乙兩人有如下結(jié)論：甲：若四邊形是邊長為1的正方形，則四邊形必是正方形；乙：若四邊形為正方形，則四邊形必是邊長為1的正方形．下列判斷正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都不正確 D．甲、乙都正確【答案】D【分析】根據(jù)，求出和的值，根據(jù)勾股定理求出的值，即可判斷甲是否正確，若平行四邊形為正方形，根據(jù)邊的關系可以求出且四個角都是直角，即可判斷乙是否正確．【詳解】解：四邊形是邊長為1的正方形，，，，，，，，同理，四邊形是菱形，在和中，，，，，，，則四邊形必是正方形；甲正確；若四邊形為正方形，則，且，在和中，，，，同理，又，，，同理，即四邊形為菱形，，則四邊形必是邊長為1的正方形，乙正確，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．8．（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，，如此進行下去，得到四邊形下列結(jié)論正確的有（

）①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形中各邊長的長度關系規(guī)律，然后對以下選項做出分析與判斷：①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)做出判斷；②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)做出判斷；③由四邊形的周長公式：周長邊長之和，來計算四邊形的周長；④根據(jù)四邊形的面積與四邊形的面積間的數(shù)量關系來求其面積．【詳解】解：①連接，．在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，，，，；，，四邊形是平行四邊形；，四邊形是矩形，（矩形的兩條對角線相等）；（中位線定理），四邊形是菱形；故本選項錯誤；②由①知，四邊形是菱形；根據(jù)中位線定理知，四邊形是菱形；故本選項正確；③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，，，四邊形的周長是，故本選項正確；④四邊形中，，，且，；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，四邊形的面積是，故本選項正確．綜上所述，②③④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關系是最關鍵的．9．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，在矩形中，動點M從點A出發(fā)沿邊向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)沿邊向點C勻速運動，連接．動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為每秒1個單位長度，點N運動的速度為每秒3個單位長度．當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點B的對應點恰好與點D重合，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由矩形及折疊的性質(zhì)可得，然后可得，則有，設運動時間為t，則有，進而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，∵，∴，∴，∴，設運動時間為t，則有，∴，∴；故選B．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關鍵．10．（2022秋·廣東深圳·九年級北大附中深圳南山分校校考期中）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，，點F在射線上，且，過點F作的平行線交的延長線于點與相交于點G，連接．下列結(jié)論：①；②的周長為8；③；④的面積為6.8．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由“”可證，可得，可證是等腰直角三角形，可得，故①正確；由勾股定理可求的長，通過證明，可求，由勾股定理可求的長，則可求的周長，故②正確；利用勾股定理可求長，可得的長，利用相似三角形的判定可證，故③正確；先求出的面積，即可求的面積為6.8，故④正確．【詳解】解：如圖，在正方形中，，，，，，．，．，，，，，，是等腰直角三角形，，故①正確；在中，，，，過點作于，交于，，∴四邊形是矩形，，∴矩形是正方形，，同理：四邊形是矩形，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，的周長，故②正確；，，又，，故③正確；，故④正確；故選：D．【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和判斷，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出是解本題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022秋·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校校聯(lián)考期中）足球表面為什么用正六邊形和正五邊形構成？因為正六邊形的兩個內(nèi)角和正五邊形的一個內(nèi)角加起來接近一個周角，而又不足一個周角．這樣，由平面折疊而成的多面體充氣后最終就呈現(xiàn)為球形．如圖，在折疊前的平面上，拼接點處的縫隙∠AOB的大小為______．【答案】12°##12度【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角，再根據(jù)周角是360°即可求出∠AOB的大小．【詳解】解：因為正多邊形內(nèi)角和為（n-2）?180°，正多邊形每個內(nèi)角都相等，所以正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為（5-2）?180°=108°，正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為（6-2）?180°=120°．∴∠AOB的度數(shù)為：360°-108°-120°×2=12°．故答案為：12°．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式．熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，多項式的內(nèi)角和公式是解決問題的關鍵．12．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，______度．【答案】360【分析】首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：圖示這幾個角是一個四邊形的四個內(nèi)角，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：如圖，，，，故答案為：360．【點睛】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關鍵．13．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，在等腰直角中，；點E和點D分別是邊和的中點，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，以點D為圓心，長為半徑畫弧，交于點E．若，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)中點的性質(zhì)，得出，再根據(jù)扇形的面積公式，得出，再根據(jù)中點的性質(zhì)，得出，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的面積公式，得出，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)扇形的面積公式，得出，然后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)計算，即可得出圖中陰影部分的面積．【詳解】解：在等腰直角中，，∴，，又∵點是邊的中點，∴，∴，∵點E和點D分別是邊和的中點，∴是的中位線，，∴，∴，∵是的中位線，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積公式、中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解本題的關鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想解答，并熟練掌握相關的性質(zhì)定理．14．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學校考階段練習）如圖，菱形的邊長為4，E，F(xiàn)分別是，上的點，與相交于點G，若，，則的長為______．【答案】【分析】過點C作于點H，根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件說明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，利用勾股定理求出，證明，說明，，證明為等邊三角形，即可得出．【詳解】解：過點C作于點H，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，∵，，∴，∴，，∴，即，∴為等邊三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，證明，為等邊三角形．15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，P為邊上一點，．將沿翻折得到、的延長線交邊于點M，過點B作交于點N，連接，分別交，于點E，F(xiàn)．下面結(jié)論中：①連接，則；②四邊形是菱形；③；④若，則，正確的結(jié)論是________．【答案】②③④【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出垂直平分，但無法判斷是否相等；過點P作于點G，易知四邊形，四邊形是矩形，所以，，，易證，所以，即，判斷出③正確；，所以，由題意可知：，所以，由于，即，從而可知，又易證四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形；判斷出②正確；由于，可設，，由，，從而求出，，由于，從而可證，，求出，，從而可求出，從而可得，判斷出④正確．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出垂直平分，但無法判斷是否相等，故①不正確；如圖：過點P作于點G，∴易知四邊形，四邊形是矩形，，，，，，，又，，，，，故③正確；，，由題意可知：，，，即，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，故②正確；，可設，，，，，，，，，，，又易證：，，，，，故④正確，故正確的有②③④，故答案為：②③④．【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合程度較高，需要靈活運用所學的知識．16．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形是正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交射線于點，以，為鄰邊作矩形，連接．（1）___________；（2）若四邊形的面積為5，則___________【答案】

4

3或1【分析】（1）如圖1，作，于點M，N，則．點E是正方形對角線上的點，證明，得出，進而證明，得出，根據(jù)即可求解；（2）如圖2，過點E作于點Q．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，．根據(jù)勾股定理得，得出或1，即可求解．【詳解】（1）如圖1，作，于點M，N，則．點E是正方形對角線上的點，∴．∵，∴，∴，即．在和中，∴，∴．∵四邊形是矩形，矩形是正方形，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，∴．（2）如圖2，過點E作于點Q．∵點E是正方形對角線上的點，∴，∴，∴．∵正方形的面積為5，∴．在中，根據(jù)勾股定理得，即，∴或，∴或1，∴或1．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）四邊形是平行四邊形，點是邊的中點，請僅用無刻度的直尺按要求作圖（不寫作法，保留作圖的痕跡）．(1)在圖①中作出邊的中點；(2)在圖②中作出的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AC、BD交于點O，連接EO并延長交AD與點F，點F即為所求；（2）連接BD、AC交于點O，連接EO并延長交AD與點F；連接AE、BF交于點M，連接OM并延長交AB與點G，點G即為所求．（1）解：如圖①，點即為所求．（2）如圖②，點即為所求．【點睛】本題主要考查了作圖-復雜作圖、三角形中位線、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．18．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，矩形的兩個頂點，都在反比例函數(shù)的圖象上，經(jīng)過原點，對角線垂直于軸．垂足為，已知點的坐標為．(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式；(2)求矩形的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設，把點A的坐標，進而代入，即可求解．（2）由點A的坐標為，根據(jù)中心對稱可得，勾股定理得出，證明，得出，即可求解．【詳解】（1）解：設，把點A的坐標代入得，∴∴，∴，∴（2）由點A的坐標為，根據(jù)中心對稱可得，則，∵對角線垂直于x軸，∴∴，∴，∴∴，∴矩形的面積為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．19．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學校考階段練習）如圖，已知E、F分別是的邊、上的點，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)在中，若，，，求邊上的高．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再得出，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)等積法求出邊上的高即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，且，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學校考模擬預測）如圖，矩形的對角線的垂直平分線與、、分別交于點、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求：①的長；②菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②39【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再由矩形的性質(zhì)可得，從而得到，再證明，可得，從而得到四邊形是平行四邊形，即可求證；①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理求出，即可求解；②根據(jù)菱形的面積等于對角線長度乘積的一半，即可求解．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：①∵四邊形是矩形，點O為的中點，∴，，∵，，∴，∴；②∵四邊形是菱形，，∴菱形的面積．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理是解題的關鍵．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第一一三中學校?？茧A段練習）如圖，菱形，于點E，于點F，(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，連接分別交、于點G、H，在不添加輔助線的情況下，請你直接寫出所有的鈍角等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)，，．【分析】（1）利用面積法求解即可；（2）利用菱形的性質(zhì)可得到是等腰三角形，然后再利用等角對等邊判定，是等腰三角形即可．【詳解】（1）∵四邊形是菱形，∴．∵于點E，于點F，∴，∴；（2）∵四邊形是菱形，，∴，，，，∴是鈍角等腰三角形．∵于點E，∴，∴，∴，∴是鈍角等腰三角形．同理可證是鈍角等腰三角形．綜上可知，鈍角等腰三角形有：，，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．22．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形是正方形，點E、F分別在邊上，點G在邊的延長線上，且．(1)求證：①；②；(2)尺規(guī)作圖：以線段為邊作出正方形（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；(3)連接（2）中的，猜想四邊形的形狀，并證明你的猜想；(4)當時，求出的值【答案】(1)①見解析