福建省2024年高三一輪模擬數(shù)學(xué)試題 含答案

福建省2024年高三一輪模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z滿足2(l-i)=4+2i,則z=()

A.l+3iB.3+3i

C.0+30iD.3及+"

2.已知集合4=付卜-1|4左,左20},B={x|-3<x<3),若則左的最大值是()

A.4B.3

C.2D.1

3.已知ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿足P/+P月+PC=0，則AP=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2233

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2332

4.對(duì)變量x,>有觀測(cè)數(shù)據(jù)(%,y)(i=l,2,.,10),得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量“，n有觀測(cè)數(shù)

據(jù)(%匕)《=1,2,,10),得散點(diǎn)圖2.々表示變量x,y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，4表示變

量"，v之間的樣本相關(guān)系數(shù)，則()

A.B.

C.0<4<馬<1D.0<弓<”1

1,x>0,

5.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,則函數(shù)/(x)=sgn(x>lnk+7?石)的圖象大致為

—1,x<0.

()

7.直線小，內(nèi)-y+3機(jī)=0與直線/2%+，沖-3=0相交于點(diǎn)戶（4，幾），則一、的取值

%—n

范圍是（）

3333

A.B.

555454

44

C.3^

8.某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產(chǎn)1萬個(gè)，產(chǎn)品合格率為87%.為提高產(chǎn)品

合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年1月份的產(chǎn)量在去年12月的基礎(chǔ)上提高4%,產(chǎn)品

合格率比去年12月增加0.4%,計(jì)劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)

增長，那么該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的（）

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

二、多選題

9.已知等差數(shù)列｛瑪｝的前〃項(xiàng)和為S“,％=4,$5=35,則（）

，電的最小值為

A.nan的最小值為1B.1

D.［今，為遞減數(shù)列

C.為遞增數(shù)列

10.在長方體A3C?！?，AB=2,朋=AD=1,石為AS的中點(diǎn)，則（）

A.ABLBCB.4。//平面￡耳。

C.點(diǎn)。到直線4B的距離為半D.點(diǎn)。到平面Egc的距離為出

11.通信工程中常用〃元數(shù)組（6,％/，…，4,）表示信息，其中4=?；?/p>

1（Z,HGN*,1<Z<n）.設(shè)》=（%,生，/，，ajv=（4也也，，2）,"（"#）表示〃和？中相對(duì)

應(yīng)的元素（為對(duì)應(yīng)4，，=1,2”..,〃）不同的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若“=(0,0,0,0,0),則存在5個(gè)5元數(shù)組v,使得d(",v)=l

B.若“=(1,1,1,1,1),則存在12個(gè)5元數(shù)組v,使得d(",v)=3

/\

C.若〃元數(shù)組叩=0,0,,0,則d(〃,w)+d(v,w)ld(〃,v)

、〃個(gè)。)

D.若“元數(shù)組w=1,1,U，貝iJd(w,vv)+d(v,vv)Nd(M,v)

\〃個(gè)1>

三、填空題

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,1）,則i.z=.

13.底面半徑為2且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)高

為百的圓錐，所得的圓臺(tái)的側(cè)面積為.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，整點(diǎn)P（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)）在第一象限，直線

PA,依與圓C：（x+2『+y2=4分別切于A,B兩點(diǎn)，與，軸分別交于V,N兩點(diǎn)，

則使得周長為2J8的所有點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

四、解答題

15.已知函數(shù)=_4ox+〃21nx在x=］處取值得極大值.

⑴求a的值；

⑵求在區(qū)間1,e上的最大值.

16.某校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其

中成績分組區(qū)間是［30,50)、［50,70)、［70,90)、［90,110),［110,130),［130,150］.

頻率

\贏

0.0150-..............1~I~I

0.0075------------

0.0025

O30507090110130150數(shù)學(xué)成績/分

(1)求圖中。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這woo名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第

85百分位數(shù)；

⑵從這次數(shù)學(xué)成績位于［50,70),［70,90)的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績?cè)趨^(qū)間［70,90)的人數(shù)記為X,求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

7T

17.如圖，四棱錐A-BCD及ABuBCnACuCDuZBEn幺gE^CnZBCDu—,平面

2

平面3CDE,尸為3c中點(diǎn).

(1)證明：平面A￡C_L平面AFD；

(2)求平面AED與平面的＞夾角的正弦值.

2

18.設(shè)點(diǎn)耳(-G。)、E(c,O)分別是橢圓C:「+y2=l的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓C上任

a

意一點(diǎn)，且尸耳?學(xué)的最小值為-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求橢圓C的外切矩形ABCD的面積S的最大值.

19.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛.差分和差分方程是描述離

散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用.對(duì)于數(shù)列｛凡｝,規(guī)定｛A%｝為數(shù)列｛4｝的

一階差分?jǐn)?shù)列，其中規(guī)定百見｝為數(shù)列｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，

其中△%“=△%—△%(〃6*).

⑴數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=?3僅eN*),試判斷數(shù)列｛△“〃｝,｛66｝是否為等差數(shù)列，

請(qǐng)說明理由？

⑵數(shù)列｛log/”｝是以1為公差的等差數(shù)列，且。>2,對(duì)于任意的〃eN*,都存在加eN*,

使得A?，=bm,求。的值；

(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛g｝的前九項(xiàng)和為S"，且｛M｝為常數(shù)列，對(duì)滿足"+“=〃，m/n

的任意正整數(shù)都有%產(chǎn)%,且不等式S.+S“>2號(hào)恒成立，求實(shí)數(shù)4的最大值.

參考答案:

1.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù)Z.

，、2(2+i)2(2+i)(l+i)

【詳解】因?yàn)閦1-i=4+2i,則z=^~^=I<=l+3i.

\71-1(1-1)(1+1)

故選：A.

2.C

【分析】解出集合A,由集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)上的不等式組，解之即可得出實(shí)數(shù)

k的最大值.

【詳解】因?yàn)樽?0,由|x-l歸上可得一左解得1一左WxWl+左，

即A=^x^-k<x<l+k,k>(^,

\-k>-3

又因?yàn)?={x|-3Wx43},XcB,則<1+左43,解得0W上(2,

Jt>0

故人的最大值為2.

故選：C.

3.B

【分析】由已知條件結(jié)合平面向量的加法可得出4尸關(guān)于筋、AC的表達(dá)式.

【詳解】因?yàn)镻A+P8+PC=0，BP-AP+AB-AP+AC-AP^O,BP3AP=AB+AC，

解得=+

故選：B.

4.A

【分析】利用散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)知識(shí)容易得出答案.

【詳解】從圖像中看出>隨x增大而減少(圖像下降)，"隨v增大而減少(圖像下降)，則y

與尤呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，〃與v呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，即“<0,馬<。故C,D不正確;

另外對(duì)比兩圖，容易看出y與X相關(guān)性更強(qiáng)，故々越接近T,

所以得一1<外<4<。，A正確，B錯(cuò)誤.

故選：A.

5.D

【分析】先得到f（x）為偶函數(shù)，排除AB,再計(jì)算出了⑴=ln2＞。，得到正確答案.

【詳解】sgn(x)定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)，故sgn(—x)=—sgn(x),

故/(x)=sgn(x>ln(x+GTT)的定義域?yàn)镽,

且/(-x)=sgn(-x)-In[-x+《(-xf+]]=-sgn(x)-ln卜x+[x2+1)

=-sgn(x)-In-p=-]=sgn(x)?In(Jl+l+x)=/(x),

故/(x)=sgn(x>ln(x+GTT)為偶函數(shù)，AB錯(cuò)誤；

當(dāng)x=l時(shí)，/(l)=sgn(l)-ln2=ln2>0,C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

6.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式，余弦和差公式，二倍角公式，輔助角公式等化簡求值.

sin40°

【詳解】4sin1400-tan220°=4sin40°-tan40°=4sin400-----------

cos40°

4sin40°cos40°-sin40°_2sin80°-sin40°_2cos10°-cos50°

cos40°cos40°cos40°

2cos10°-cos(60°-10°)2cos10°-cos60°cos10°-sin60°sin10°

cos40°cos40°

2coslO°-1CoslO°-^sinlO°_|cosl0°-^sinl0°_若期(10。+30。)

cos40°cos40°cos40°

_A/3cos40°

cos40°

故選：A

7.B

【分析】求出直線4、4所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知4^/2,即9，求出點(diǎn)P的軌跡

方程，分析可知，設(shè)=可知直線辰一〉-5%=0與曲線/+丁=9（%~3）有公共點(diǎn),

利用直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)上的不等式，解之即可.

【詳解】直線乙的方程可化為〃7（x+3）-y=0,由，y=0可得［=0，

x=3

對(duì)于直線，2，由

y=0

所以，直線乙過定點(diǎn)A(-3,0),直線4過定點(diǎn)3(3,0),

又因?yàn)闄C(jī)X1+(-1)XM=0,貝iJ/JL即

則AP=(Xo+3,%),BP=(x0-3,y0),

所以，APBP=x^-9+yl=0,所以，x：+y：=9,

當(dāng)%=-3,%=0,點(diǎn)(—3,0)不在直線4上,

所以，點(diǎn)P的軌跡是曲線X2+J=9(XH-3),

=4可得kx—y-5k=0,

%-500

由題意可知，直線依一'一5%=。與曲線/+丁=9(尤工一3)有公共點(diǎn)，

且圓/+2=9的圓心為原點(diǎn)，半徑為3,所以，-^=<3,解得上47，

“2+144

當(dāng)升=-3,%=。時(shí)，-^-T=0；當(dāng)無o=3,%=。時(shí)，-^-7=°.

XQ—JXQ-J

因此，工屋的取值范圍是-?

犬0-544J

故選：B.

8.C

【分析】該工廠每月的產(chǎn)量、合格率分別用《、2表示，月份用〃(〃eN*)表示，求出的

表達(dá)式，分析數(shù)列{%2},即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)從今年1月份起，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品的不合格率都按題中的標(biāo)準(zhǔn)增長，

該工廠每月的產(chǎn)量、合格率分別用見、或表示，月份用表示，

則4=1x0+4%)"=1.004",bn=1-(87%-n-0.4%)=-0.004?+0.13,其中“424,“eN*,

則從今年1月份起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量為L04"x(0.13-0.004”)，單位：萬臺(tái)，

,,+1

因?yàn)閝+2+i一。1A=1.04x[0.13-0.004(zz+1)]-1.04"x(0.13-0.004z?)

=1.04"[1.04x0.13-1.04x0.004(〃+1)-0.13+0.004〃]

77

i04〃8xi04

=1.04"(0.00104-0.00016/7)=^^(104-16M)=—^^(13-2H),

當(dāng)時(shí)，an+lbn+l-anbn>0,即七+也,+1>“也，此時(shí)，數(shù)列｛〃也｝單調(diào)遞增，

即ah<a2b2<<a7b7；

當(dāng)7V"<23且〃cN*時(shí)，an+ibn+l-anbn<0,即凡他+心”也，此時(shí)，數(shù)列｛。也｝單調(diào)遞減,

即a7bl>a8b&>>a24b24,

因此，當(dāng)w=7時(shí)，a“b”最大,故該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的7月份.

故選：C.

9.ABC

【分析】求出數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，然后逐一判斷各項(xiàng)

【詳解】假設(shè)｛%｝的公差為d,由怎==5%=35,所以4=7,又％=4,

所以d=3,q=l,所以%=3〃一2,S”今二1r

選項(xiàng)A：nan=M（3M-2）=3^H-^-g,故”=1時(shí)的最小值為1,A正確；

選項(xiàng)B：令〃力=；彳3一：尤2,所以〃尤）=可知在區(qū)間

單調(diào)遞增,2

所以〃=1時(shí)"S,取得最小值1,B正確；

選項(xiàng)C：=故1號(hào)4為遞增數(shù)列，C正確；

選項(xiàng)D：^=~+~,因?yàn)?=1,魯=1,所以不是遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.

M2n2n122[n-]

故選：ABC

10.BC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求解A,根據(jù)線線平行即可判斷B,根據(jù)

向量法即可求解空間距離，判斷CD.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,易知。（0,0,0）,4。，0，1），以1,2,0）,4（1,2』），

C(0,2,0),￡(1,1,0).

A,AB=(0,2,T)，4C=(T,0,—l),4B-B1C=(O,2,-l)-(-l,O,-l)=l^O,所以A錯(cuò)誤；

B,顯然A。//gC，4。Z平面防。,耳cU平面E8IC,可得4。//平面EBiC，所以B正確；

AB(275石)__.,、

C,記直線48的單位方向向量為“，則"=小=0,—,—-,又

I州V°°7

所以向量在直線48上的投影向量為40=]節(jié)型島=[°，|，-"，

則有D到直線\B的距離為DQ=Ja*畫=手，故C正確；

D,設(shè)平面班0的法向量為〃2=(x,y,z),由4c=(-l,O,T)，4E=(O,-l,T),

B,E-m=-y-z=0/、

，令x=l,可得m二(1,1,—I),

B[Cm=-x-z=U

又DC=(O,2,O),所以點(diǎn)。到平面匹C的距離1=生'=且，故D錯(cuò)誤.

|m|3

故選：BC

11.ACD

【分析】根據(jù)所給新定義理解題意，由組合知識(shí)即可判斷AB,設(shè)",v中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為。的

共有機(jī)(0W磨個(gè)，同時(shí)為1的共有s(OWs4w-〃?)個(gè)，從而對(duì)應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng)為1與另一項(xiàng)為

0的共有(〃-根-s)個(gè)，根據(jù)新定義判斷CD.

【詳解】選項(xiàng)A：由題意,5個(gè)位置選則1個(gè)位置安排1即可,滿足條件的數(shù)組共有C；=5個(gè)，

故A正確；

選項(xiàng)B：由題意5個(gè)位置選則3個(gè)位置安排0即可，滿足條件的數(shù)組共有C；=10個(gè)，故B

錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：設(shè)”,v中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的共有制0V加個(gè)，同時(shí)為1的共有s(0(s4"-個(gè)，

從而對(duì)應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng)為1與另一項(xiàng)為0的共有(〃-機(jī)-s)個(gè)，這里〃2根+s,

從而d(猶,v)=n-m-s,而d(",w)+d(v,vv)=2s+(〃-nz-s)=d(",v)+2sNd(",v),故C正

確，同理D正確.

故選：ACD

12.-l+2i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出Z,再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】依題意可知z=2+i,所以i-z=i-(2+i)=—l+2i.

故答案為：—1+2i.

13.6兀

【分析】由已知條件求出圓臺(tái)的上底面半徑，下底面半徑及母線長，再利用圓臺(tái)的側(cè)面積公

式計(jì)算即可.

【詳解】由已知是邊長為4的等邊三角形，CO=2y/3,又CO'=g,

可得圓臺(tái)的上底面半徑/=1,下底面半徑丁=2,母線長/=A￡)=2,

則該圓臺(tái)的側(cè)面積為兀(尸+/)/=71X(1+2)X2=6TI.

故答案為：671.

c

A

M二?<>?A

14.(1,4)或(2,3)

【分析】根據(jù)題意，先確定點(diǎn)尸滿足的條件，得到尸點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)尸為第一象限的

整點(diǎn)確定滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)即坐標(biāo).

【詳解】如圖：

：（彳+2）2+尸=4相切于A,B兩點(diǎn)，且直線B4,PB分別

與y軸交于M,N兩點(diǎn),

所以|網(wǎng)=|尸目，|AW|=|OM|,忸N|=|ON|,

所以..PAW的周長為+|A￡V|+|PN|=+QM+|ON|+|PN|

=(IM+IAM|)+(忸N|+|PN|)

=E+附=2|PA|=2^|PC|2-|AC|2=271PCI2-4=2721，

所以|尸。=5,設(shè)尸（5,%）,%>0,%>。，所以（%+2『+￥=25,

因?yàn)槭瑸檎c(diǎn)，所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

故答案為：（L4）或（2,3）

15.(1)3

(2)-y

【分析】（1）求導(dǎo)，然后令（（司=0求出x,代入x=l驗(yàn)證是否符合題意即可;

（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間-,e上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.

e_

■、*即、“"23x2-4ax+a2（3x-a）（x-a）

【詳解】（1）由已矢口/（%）=3%—4。+—=-----------=-----------L

XXX

令r（%）=o得九=〃或戶?

當(dāng)4=1時(shí)，令/4耳>0得0<x<：或X>1,令/'（x）<0得:<X<1,

故函數(shù)/（X）在、上單調(diào)遞增，在,』］上單調(diào)遞減，在。,茁）上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/（X）在X處取極大值，在X=1處取極小值，與函數(shù)/（X）在X=1處取值得極大

值不符；

當(dāng)l-l,即0=3時(shí)，令得0<x<l或x>3,令/'(x)<0得l<x<3,

故函數(shù)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在。,3)上單調(diào)遞減，在(3,+s)上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/(X)在x=l處取極大值，在x=3處取極小值，符合題意；

所以4=3;

2

(2)由(1)/(x)=—x-12x+91nx,/⑶=不1)(*3),XG-,e

2xLe.

令制x)>0,得函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，

令r(x)<0,得l<x<e,函數(shù)/■")單調(diào)遞減，

所以=5-口一萬-

16.(l)a=0.005,第85分位數(shù)為120

(2)分布列答案見解析，E(X)=2

【分析】(1)根據(jù)頻率直方圖所有矩形的面積之和為1可得出。的值，利用百分位數(shù)的定義

可求得這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；

(2)分析可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下

的概率，可得出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可求得E(X)的值.

【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖可得(0.0025+0.0075+0.015x2+24)x20=1,解得

a=0.005.

前四個(gè)矩形的面積之和為(。0025+0.0075+2x0.015)x20=0.8,

前五個(gè)矩形的面積之和為0.8+0.005x20=0.9,

設(shè)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為加，

則0.810)x0.005=0.85,解得〃?=120,

因此，這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為120.

(2)解：數(shù)學(xué)成績位于［50,70)、［70,90)的學(xué)生人數(shù)之比為0.0075:0.015=1:2,

所以，所抽取的9人中，數(shù)學(xué)成績位于［50,70)的學(xué)生人數(shù)為9x；=3,

數(shù)學(xué)成績位于［70,90)的學(xué)生人數(shù)為9x：=6人，

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,

c313

貝u尸(x=o)=^=正，P(X=1)=3

14

cYH，尸—3)咯5

加2)=中

21，

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

"+3x9=2.

2821

17.(1)證明見解析;

⑵手

【分析】(1)根據(jù)四棱錐棱長及其性質(zhì)，利用三角形全等可證明D尸，EC,再由面面垂直

性質(zhì)可得AF_LEC，再由線面垂直判定定理可得ECJ■平面AM,即可得平面AEC_L平面

AFD-,

(2)建立以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系尸一個(gè)z,利用空間向量分別求出平面A￡D與

平面說的法向量，即可求得其夾角的正弦值為姮.

5

JT

【詳解】(1)根據(jù)題意可得P為8C中點(diǎn)，所以尸C=LCr>=2,/BCD=q,

JT

易知BE=1,BC=2,BE//CD,NEBC=-,

,2

所以△￡?€*三△FCD,可得NECB=NFDC,

易知NZ)PC+/FZ)C=90,所以/DFC+NECB=90,即r>b_LEC；

由AB=BC=AC,尸為BC中點(diǎn)，可得AFJ.BC,

又平面ABC」平面8CDE,平面ABCc平面3coE=3C,

所以AF,平面BCDE,

又ECu平面3CDE,所以AF_LEC；

又AFcDF=F,AROFu平面ADF,

所以EC_L平面ADA又ECu平面AEC,

因此平面AEC_L平面；

（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以E4,尸C為MV軸，過F點(diǎn)平行于。C的直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系尸一孫z,

易知尸（0,0,0）,A（?O,O）,Z）（0,1,2）,E（0,-1,1）,

可得團(tuán)=（0,2,1）,A￡=卜6-1,1）,FA二出0,0）,FD=（0,1,2）,

設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為〃z=（3,*4）,

可ED?m=2%+Z]=0

，令必=1,則Z]=-2,玉=—^3；

AE-m=一石玉一%+Z]=0

設(shè)平面AfD夾角的的一個(gè)法向量為力=（九2,%，Z2），

FAn=V3x=0

則1，解得石=°,令4=1,%=-2；

FD?幾=%+2Z[=0

所以〃=（0,—2,1）；

一2-2

可得

H網(wǎng)272x5/55

設(shè)平面AED與平面4g的夾角為6,

可得sin6=Jl-cos2m,n=

可得平面AE。與平面夾角的正弦值為巫.

5

18.（1）—+y2=l

4

⑵10

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)p（x,y）,可得出>2=1一W，其中/>1,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)

a

算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得1的值，由此可得出橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)4（%%）,分兩種情況討論，①直線AB、AD的斜率存在且斜率分別為a、k2,

設(shè)過點(diǎn)A且斜率存在的直線的方程為丁-%=左（％-5）,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由

△=0結(jié)合上上=-1可求出點(diǎn)A的軌跡方程，②直線AB、AD分別與兩坐標(biāo)軸垂直，驗(yàn)證此

時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足①中的軌跡方程，再利用勾股定理結(jié)合基本不等式可求得S的最大值.

【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)P（x,y）,貝仃其中/>i,

a

P居=（-c-x,—y）,PF2=（c-x,-y）,

所以，PR-PF]=（-c-x）（c-x）+y2=x1-c1+y2=x1-^a2-lj+1-^y

故當(dāng)x=0時(shí)，尸耳?「鳥取最小值2-/=-2,可得/=4,

因此，橢圓C的方程為上+丁=1.

4'

（2）解：設(shè)點(diǎn)A（%為）,

當(dāng)直線AB、AZ）的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線AB、AD的斜率分別為勺、k2,

設(shè)過點(diǎn)A且斜率存在的直線的方程為丁-%=左（%-%（））,即丫="+（%-線）,

聯(lián)立一心）可得（4/+l）f+84（%-履0）x+4（y°—履J?-4=0,

則A=64廿（%-依°J_16（4/-Ax。）？=o,

2

整理可得（%-線J-4女?_i=o,即（君—4^k—2kx0yQ+-1=0,

則h、k2是關(guān)于k的方程（焉-4#—2飛為+$—1=0的兩根，

貝|尢右=宅

因?yàn)锳B_LAD,=-1,整理可得后=5；

%o—4

當(dāng)A3、AD分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則A(±2,±l),滿足x；+y；=5.

所以，點(diǎn)A的軌跡方程為Y+y2=5,

由對(duì)稱性可知，矩形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓f+丁=5,該圓的半徑為

由勾股定理可得|AB|2+|AZ)|2=(2石『=20,

由基本不等式可得20=|A肝+|AD|2>2\AB\-\AD\,即\AB\-\AD\<10,

]AB\=\AD\一

當(dāng)且僅當(dāng)心砰+體a=20時(shí)，即當(dāng)|的=|加卜何時(shí)，等號(hào)成立，

故S=|池卜|AD|V10,即矩形ABCD的面積的最大值為10.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基

本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

19.⑴幺%｝不是等差數(shù)列，｛△4｝是等差數(shù)列

⑵3+非

⑶2

【分析】(1)理清條件的新定義，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行判斷；

(2)根據(jù)新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等進(jìn)行分類討論求解；

(3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出S,“+S“，運(yùn)用均值不等式求解出2的范圍，從

而得出入的最值.

【詳解】(1)因?yàn)樗?a"+]—=(〃+1)—ra3