專題15 函數(shù)的概念和性質(zhì)（真題訓(xùn)練）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（人教A版2019必修第一冊(cè)）

◎◎◎◎◎◎高考真題◎◎◎◎◎◎1．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3-1x3，則fA．是奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減 C．是偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減【答案】A【解析】因?yàn)閒（x）＝x3-1x3，則f（﹣x）＝﹣x3+1x3=-f根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x3在（0，+∞）為增函數(shù)，故y1=1x3在（0，+∞）為減函數(shù)，y2=-1x3在（0，+∞）為增函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2．（2020?天津）函數(shù)y=4xA． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)y=4x函數(shù)y＝f（x）=4xx2+1，則f（﹣x）=-4xx2+1=-f（x），則函數(shù)y當(dāng)x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，故選：A．（2020?海南）若定義在R的奇函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）＝0，則滿足xf（x﹣1）≥0的x的取值范圍是（）[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]【答案】D【解析】∵定義在R的奇函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）＝0，f（x）的大致圖象如圖：∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；當(dāng)x＝0時(shí)，不等式xf（x﹣1）≥0成立，當(dāng)x＝1時(shí)，不等式xf（x﹣1）≥0成立，當(dāng)x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2時(shí)，即x＝3或x＝﹣1時(shí)，不等式xf（x﹣1）≥0成立，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf（x﹣1）≥0等價(jià)為f（x﹣1）≥0，此時(shí)x＞00＜x-1≤2，此時(shí)1＜x當(dāng)x＜0時(shí)，不等式xf（x﹣1）≥0等價(jià)為f（x﹣1）≤0，即x＜0-2≤x-1＜0，得﹣1≤x綜上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是[﹣1，0]∪[1，3]，故選：D．4．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【答案】C【解析】∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，則f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故選：C．5．（2020?海東市模擬）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若f（2）＝3，則滿足f（x+1）＜3的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣3）∪（0，1） D．（﹣3，1）【答案】D【解析】因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（﹣2）＝f（2）＝3，因?yàn)閒（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x+1）＜3等價(jià)于﹣2＜x+1＜2，解得﹣3＜x＜1，即滿足條件的x的取值范圍是（﹣3，1）．故選：D．6．（2020?安慶模擬）已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）為偶函數(shù)，且f（1）＝2，則f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則﹣f（x）＝f（﹣x），又由f（x+1）為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，則有f（﹣x）＝f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x）即函數(shù)的周期為4，且f（1）＝2，則f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2020）＝f（0）＝0，則f（2019）+f（2020）＝﹣2故選：A．7．（2020?益陽模擬）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2+x）＝﹣f（x），且當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝x（1﹣x），則f（172A．34 B．-34 C．1【答案】A【解析】由f（2+x）＝﹣f（x）可得f（4+x）＝f（x），所以函數(shù)的周期T＝4，當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝x（1﹣x），則f（-12）則f（172）＝f（12+8）＝f（12）＝﹣f（-18．（2020?山西模擬）已知函數(shù)g(x)=x2+4x，x≥0，4x-x2，x＜0，f（x）＝xg（x），若f（2﹣aA．(-1，23) B．(-2，23)【答案】B【解析】因?yàn)間（x）=x由g（x）的解析式可知，g（x）在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，f（x）＝xg（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，有g(shù)（x）＞g（0），任取x1＞x2＞0，則g（x1）＞g（x2）＞0，由不等式的性質(zhì)可得x1g（x1）＞x2g（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）＞0，所以，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增再由f（2﹣a）＞f（2a），得|2﹣a|＞2|a|，即3a2+4a﹣4＜0，解得﹣2＜a＜23．故選：9．（2020?茂名二模）將函數(shù)f(x)=x-12x-x2的圖象向左平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)A．B． C．D．【答案】B【解析】g(x)=f(x+1)=x+1-1因?yàn)間（x）＝﹣g（﹣x），所以g（x）為奇函數(shù)，排除A；g（x）有唯一的零點(diǎn)，排除C；g(12)=23＞0，排除10．（2020?北京）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝f（t），用-f(b)-f(a)b-a的大小評(píng)價(jià)在[a，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在t3時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時(shí)間中，在[0，t1]的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【解析】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝f（t），乙企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝g（t）．對(duì)于①，在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為-f(乙企業(yè)的污水治理能力為-g(由圖可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴-f(即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；對(duì)于②，由圖可知，f（t）在t2時(shí)刻的切線的斜率小于g（t）在t2時(shí)刻的切線的斜率，但兩切線斜率均為負(fù)值，∴在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故②正確；對(duì)于③，在t3時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，∴在t3時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)，故③正確；對(duì)于④，由圖可知，甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時(shí)間中，在[t1，t2]的污水治理能力最強(qiáng)，故④錯(cuò)誤．∴正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．故答案為：①②③．11．（2019?江蘇）函數(shù)y=7+6x-x2【答案】[﹣1，7]【解析】由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函數(shù)y=7+6x-12．（2019?浙江）已知a∈R，函數(shù)f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（