2023-2024學(xué)年必修二 第十三章 立體幾何初步 章節(jié)測試題(含答案)

2023-2024學(xué)年必修二第十三章立體幾何初步章節(jié)測試題

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一、選擇題

1、已知異面直線。力分別為平面a的垂線，直線機(jī)滿足/篦二口〃%./7,加」。,加工人，

則（）

A.a與,相交，且交線與機(jī)平行B.a與〃相交，且交線與機(jī)垂直

C.a與，平行，加與a平行D.a與，平行附與/3垂直

2、在底面半徑為1的圓柱0a中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD,其中母線

AB=2,E是的中點(diǎn)，E是A3的中點(diǎn)，則（）

A.AE=CF,AC與ER是共面直線

B.AE^CF,AC與ER是共面直線

C.AE=CF,AC與ER是異面直線

D.AE^CF,AC與ER是異面直線

3、已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，且該圓錐的體積為3兀,則廠=（）

A.0B.石C,2V3D.3

4、已知一個(gè)圓錐的母線長為2,其側(cè)面積為2兀廁該圓錐的體積為（）

A.匝B.扃C.；D.兀

5、今年入夏以來，南方多省市出現(xiàn)高溫少雨天氣，持續(xù)的干旱天氣導(dǎo)致多地湖泊及水庫

水位下降.已知某水庫水位為海拔50m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為160km2；水位為海拔41m

時(shí)，相應(yīng)水面的面積為"Okn?.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫

水位從海拔50m下降到41m時(shí)，減少的水量約為（JIZ33.7）（）

A-1.0xl09m3B-1.2xl09m3C.i.3xl09m3D1.4xl09m3

6、四面體A3CD頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，正三角形ABC的面積為生叵，則四面體

4

ABCD的體積最大為（）_

A373B973r773D973

2432

7、如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成

的角為30。，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分別是12和18,則

容器內(nèi)液體的體積是（）

A」5兀B.36兀C.45KD.4871

8、正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方

體）、正八面體、正十二面體、正二十面體.若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以

得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的體積為36,則生成它的正方體的棱長為（）

A.8B.6C.4D.3

9、已知矩形A3CD的頂點(diǎn)都在球心為。的球面上，AB=3,BC=6且四棱錐

0-ABCD的體積為40,則球。的表面積為（）

A*n11On76指無?22477TT

A.76兀B.112KC.---------D.----------

33

10、已知在直三棱柱ABC-A4C中,E,F分別為切不的中

點(diǎn),M=2,AB=2,BC=30，AC=4，如圖所示，若過A,E,F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱

A3C-4用。1的截面，則所得截面的面積為（）

A.V10B.715J小D.回

二、填空題

11、在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M,N分別為棱CD,PC的中點(diǎn),

平面AMN交PB于點(diǎn)E則LTFN：VP_ABCD=.

p

12、《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有

一方亭ABCD-EFHG，其中上底面與下底面的面積之比為1:4,3/=逅￡^，方亭的四

2

個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和為12百，則方亭的體積為

13、在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

（2,0,2）,（2,1,0）,（0,4,-1）,（0,m,-5），若A,B,C,M四點(diǎn)共面，則機(jī)=.

14、若甲、乙兩個(gè)圓柱形容器的容積相等，且甲、乙兩個(gè)圓柱形的容器內(nèi)部底面半徑

的比值為2,則甲、乙兩個(gè)圓柱形容器內(nèi)部的高度的比值為..

15、已知圓柱的底面積為9兀,側(cè)面積為12兀，則該圓柱的體積為.

16、已知圓錐表面積為671cm2,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐底面半徑

是cm.

三、解答題

17、在邊長為a的正方體ABCD-AgG"上選擇四個(gè)頂點(diǎn),然后將它們兩兩相連，且這

四個(gè)頂點(diǎn)組成的幾何圖形為每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，記為四面體Q.

(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的正方體中畫出該四面體，并證明；

(2)設(shè)Q的中心為。Q關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱的四面體記為。，，求Q與。，的公共部分的體

積.(注:到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)稱為四面體的中心)

18、如圖，四棱錐P-ABCD中，為正三角形，ABCD為正方形，平面上鉆，

平面ABCD,E、R分別為AC、3P中點(diǎn).

(1)證明：瓦7/平面PC。；

(2)求直線5P與平面PAC所成角的正弦值.

19、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,R4底面A3CD,以=鈣=2，。

為AC與3。的交點(diǎn).

(1)證明：平面PAC

(2)若〃為PD的中點(diǎn)，求三棱錐OCD的體積.

20、如圖，在直棱柱A3CD-ERGH中，底面A3CD是邊長為2的正方形，N是CG上

的一點(diǎn)EC//平面FHN.

(1)請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置;

(2)若直線3G與平面EfflV所成的角為四求AE.

3

參考答案

1、答案：A

解析：若a與，平行，由。，。,6，分可得勿妨,與條件矛盾,不符合題意,故。刀錯(cuò)誤;

所以a與〃相交，如圖所示，作////A，且與直線a相交，

設(shè)o°=1,a,b'uy，則由題意故/，/，同理〃八/，

因?yàn)椤▃cZtz,W13，所以m///，故A正確.

2、答案：D

解析：連結(jié)BE,CE,如圖，

易知BC是圓。的直徑，所以BELCE,又因?yàn)镋是的中點(diǎn)，故BE=CE,

BC2

所以在等腰RtZ\3EC中,BC=2r=2,則BE==^2,

因?yàn)锳3是圓柱。。1的母線，所以ABL面3CE,又BE,3Cu面3CE,故

AB±BE,AB±BC,

所以在RtZ\ABE中，AE=yjAB2+BE2=74+2=76>

在Rt△跳C中，由R是A3的中點(diǎn)得==故

CF=7BF2+BC2=V1+4=V5?所以AEwCF,

可以看到，ACu面ABC,EF面ABC=F,由異面直線的定義可知，AC與ER是

異面直線.

故選：D.

3、答案：C

解析：令圓錐底面圓半徑為r',則2nr'=nr，解得r'—-r,

2

從而圓錐的高〃=],一/2=3廠,

2

因此圓錐的體積V==.且r=3兀，解得?

33<2J2

故選:C

4、答案：A

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為「，高為小母線長為/=2，

由兀r?/=2兀r=2兀=r=1，則立=Ji一戶=6,

則圓錐的體積為'片"」7rxi2X6=YL.

333

故選:A

5、答案：C

解析：臺(tái)體體積公式:丫=://(51+52+鄧瓦)，

由題意可得力=50-41=9m，

H=160xl0002=1.6xl08m2

282

S2=140xl000=1.4xl0m

代入計(jì)算得V=3X108X(3+0.4后卜1.3x1()9n?方

故選:C.

6、答案：B

解析：設(shè)正三角形ABC的邊長為a,=I/.sin巴=無〃2=

△ABC2344

所以a=3,

由正弦定理，一=2r(r為△ABC的外接圓的半徑)

sinA

所以廠=百，

所以球心到平面ABC的距離d=癡—行=1，

則四面體體積最大為％,=-S-(1+2)=-A/3.

￡Z~,ADfiCC3ZAXA/LBuCC、/4v

故選:B

7、答案：C

解析:如圖為圓柱的軸截面圖，過M作容器壁的垂線,垂足為F,

因?yàn)槠叫杏诘孛?，故NM/VF=30。，

橢圓長軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分別是12和18,

故NF=18—12=6，

在RtzXMZW中,“=?/八121130。=26，即圓柱的底面半徑為百，

所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為逐，高為(12+18)的圓柱體積的一半,

12

即為5*兀義(6)x30=45K,

故選:C.

8、答案：B

解析：設(shè)正方體棱長為2a,可得正八面體是由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成，

四棱錐的底面為邊長為缶的正方形，高為a,

則正八面體體積為2xgx(2a2)xa=36,解得a=3,；.2a=6.

故選：B.

9、答案：A

解析：由題可知矩形A3CD所在截面圓的半徑即為矩形A3CD的對(duì)角線長度的一半，

因?yàn)锳5=3,BC=6,所以矩形ABCD所在截面圓的半徑廠=/2+(6)2=6,由

2

矩形ABCD的面積S=AB.BC=3g,設(shè)。到平面A8CD的距離為人所以

Vo-ABCD=ISABCDh=1X373/1=4^,解得〃=4,所以球。的半徑H=，廠2+入2=而,

所以球0的表面積S=4成2=76兀.故選A.

10、答案：B

解析:延長AF,CQ且AF與CQ相交于G,連接EG,并與相交于。，連接FD,則四邊形

AEDF為所求的截面.

B

在RtZXABE中，由AB=2,3石=1,得AE=b.

在Rtz\A41P中，由9=2,AF=2,得AF=20.

因?yàn)镕為4G的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識(shí)可知,△然^[△EGC「

所以A4]uGG/GuAF，即G為AG的中點(diǎn)，所以AG=4jL

又由B、EHGC\，可得ABiEDs^GDCi,

又GG=2與E,4G=30，所以DC]=20-

在R3GDC]中，由￡)G=272,G￡=2，得GD=2百，所以GE=■

所以在^AEG中，有AG=4?GE=3C，AE=非,

即而+—G2,所以AE"?又注意到

S^=-FGDGsmZAGE=-x-GA-GEsmZAGE=-S^,

ZXrFUnLrr22233AAACFUC，

則四邊形AEDF的面積為2s△AEG=2,X3石乂百=上.

332

故選:B.

1K答案：工或1：12

12

解析：延長BC,交AM的延長線于點(diǎn)E,連接EN并延長，交BP于點(diǎn)、￡連接AF,

因?yàn)镸為⑺中點(diǎn),由三角形相似可得:q=空=工，

BEAB2

即C為BE中點(diǎn)，

設(shè)=APF

因?yàn)镹是PC中點(diǎn)，

11101011

所以PN=—PC=—PB+—BC=—PF+—BE=—PF+—PE——PB

22224244

=-PF+-PE--PF=-PE+-PF,

24444

因?yàn)镽,N,E三點(diǎn)共線，所以存在a使得FN=aFE^PN-PF=aPE-aPF

整理得PN=aPE-其中a+1-a=l,

所以「/，解得:.，

所以VP_AFN=VN-PAF=^C-PAF==3〃=:V"。=^P-ABCD

12

12、答案：更

3

解析：由題意得先一設(shè)跖=2］，則正以，族=瓜.

過點(diǎn)瓦R在平面ABFE內(nèi)分別作EM±AB^FN±AB，垂足分別為點(diǎn)M,N,

EF

在等腰梯形ABFE中，因?yàn)镋F//AB，EM_LAB，7WJ_AB，則四邊形MNFE為矩形,

所以MN=EF，EM=FN，則MN=EF=2x，

因?yàn)锳E=BF，EM=FN，ZAME=ZBNF=90。，

所以RtAAMEZRtAB/VF，所以AM=BN="一匹=%,

2

在中,由勾股定理得FN=NBF?-BN?

所以等腰梯形”的面積為什^^一號(hào)=36所以』

所以即=2x=2，AB=2,

故方亭的體積為:x/zx（S上+S下+7^7）=；x2x（4+16+扃）=三?

故答案為:些

3

13、答案：6

解析:由題意，得AB=(0,1,-2),AC=(-2,4,-3),AM=(-2,m,-7),

又A,B,C,M四點(diǎn)共面,則存在x,yeR，使得AM=xAB+yAC,

-2=-2yx=2

即(一2,加,一7)=x(O,l,-2)+y(-2,4,-3),即<m=x+^y，解得<y=l,

-7=-2x-3ym=6

所以加=6,

故答案為:6.

14、答案：1

4

解析：由圓柱形容器的容積丫=兀，入，得丸=工，所以甲、乙兩個(gè)圓柱形容器內(nèi)部的

Tir

高度的比值為

15、答案：18兀

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為"由已知可得兀尸=9兀,.」=3,

2兀廣/i=12兀，「."=2

,該圓柱的體積為97ix2=18兀.

故答案為：18兀.

16、答案：72

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線長為/,

因?yàn)閳A錐的表面積為671cm2，

所以nrl+Ttr2=6兀，即〃+/=6，

又圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，

所以兀/=271r?即/=2廠,

所以r=5/2(cm)?

故答案為：V2-

17、答案：(1)見解析

1a

(2)-a3

6

解析：(1)如圖，取A,gCA四點(diǎn)并順次連接四點(diǎn)，

2G

構(gòu)成四面體A4c2，

設(shè)正方體ABCD-的邊長為a,

則該四面體的每一條邊長為可，

所以證得四面體Q為正四面體；

(2)連接8。,AC交于點(diǎn)。，

則。為正方體ABC。-A耳￡2的中心,

所以。到正方體ABCD-4耳的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

故。為四面體Q的中心，

可得A關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)為G,與關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)為D,

C關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)為A,A關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)為B,

如圖所示，得到四面體。，為A.BQD,

匕-a1c￡>[=匕Bee-4sleQi_4Vg_ACB[=a—4x—x—xaxa——a,

設(shè)0,Q,。3分別為CA,CB.，。口的中點(diǎn)，

所以％共=匕-BjCD,—4匕'-010203=匕-B]C￡)]—4，鼻匕_烏皿=J匕-B]CD[=

18、

(1)答案：見解析

解析：連接3￡),

A5co是正方形，E是AC的中點(diǎn)，

E是3。的中點(diǎn)，R是的的中點(diǎn)，

:EF//PD,Eba平面PCD,u平面PBD,

:EE〃平面PCD.

(2)答案：—

7

解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-盯z,設(shè)AB=2,

則8（0,1,0）,P（G,0,0）,A（0,-l,0）,C（0,l,2）,

BP=（73,-1,0）,AP=（"l,0）,AC=（0,2,2）,

設(shè)平面PAC的法向量〃=（“力則二;

?。?—百得〃設(shè)3P與平面PAC所成角為，，

則sin-M*"四=母.

19、答案：（1）見解析

⑵工

3

解析：（1）證明：B41底面A3CD,

BD±PA-

底面ABCD是正方形，

???BDLAC-

PAACU平面PACPAAC=A,

平面PAC.

（2）。為AC與3。的交點(diǎn)，

二。為AC與3。的中點(diǎn)，

*^AOCD=-x2x2=L

”為尸。的中點(diǎn)，二點(diǎn)“到平面OCD的距離為-PA=1.

2

VM-OCD=^S^OCDX7；PA=~

323

20、答案：（1）點(diǎn)N為CG的中點(diǎn)

⑵AE=2或2挺

解析：（1）

如圖，連接EG與板相交于點(diǎn)。，

平面CEG平面FHN=ON,

ONu平面FHN,EC<t平面FHN,ECU平面FHN,

:.EC//ON,

,。為正方形ERGH的對(duì)角線的交點(diǎn)，.?.CR=OH,OE=OG,

OE=OG,EC//ON,:.GN