計算流體力學CFD

計算流體力學CFD(1)計算流體力學CFD引言流體力學的三種研究方法計算流體力學CFD流體力學的控制方程組計算流體力學CFD基本物理學原理計算流體力學CFD基本物理學原理流體力學基本控制方程連續(xù)性方程質量守恒定律動量方程牛頓第二定律能量方程能量守恒定律計算流體力學CFD流動模型計算流體力學CFD流動模型1）有限控制體模型對于有連續(xù)性的流體，有下面兩種模型：2）無窮小流體微團我們不是同時觀察整個流場，而是將物理學基本原理用在這些流動模型上，從而得到流體流動方程。計算流體力學CFD流動模型有限控制體模型空間位置固定的有限控制體，流體流過控制體隨流體運動的有限控制體，同一批流體質點始終位于同一控制體內計算流體力學CFD流動模型無窮小流體微團模型空間位置固定的無窮小流體微團，流體流過微團沿流線運動的無窮小流體微團，其速度等于流線上每一點的當地速度計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流動控制方程經常用物質導數來表達。計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）沿流線運動的無窮小流體微團，其速度等于流線上每一點的當地速度采用流體微團模型來理解物質導數的概念：計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖考慮非定常流動：計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖考慮非定常流動：計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖在1點做如下的泰勒級數展開：計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖這里D

/Dt代表流體微團通過1點時，流體微團密度變化的瞬時時間變化率。我們把D

/Dt定義為密度的物質導數。計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖注意D

/Dt是給定的流體微團在空間運動時，其密度的時間變化率。我們必須跟蹤運動的流體微團，注意它通過點1時密度的變化。計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖物質導數D

/Dt與偏導數

/

t不同

，

/

t是在固定點1時觀察密度變化的時間變化率，該變化由流場瞬間的起伏所引起。計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）向量算子計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）D/Dt是物質導數，它在物理上是跟蹤一個運動的流體微團的時間變化率；流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）

/

t叫做當地導數，它在物理上是固定點處的時間變化率；流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）

叫做遷移導數，它在物理上表示由于流體微團從流場中的一點運動到另一點，流場的空間不均勻性而引起的時間變化率。流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）物質導數可用于任何流場變量，比如Dp/Dt、DT/Dt等流體微團在流場中的運動－物質導數的示意圖計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）人進入山洞，洞內溫度比洞外溫度低，正經過洞口向里進時，同時被雪球擊中。洞內溫度比洞外溫度低所引起的溫降遷移導數物質導數當地導數遷移導數被雪球擊中所引起的溫降當地導數總的溫降物質導數計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）物質導數全微分：對時間的全導數：計算流體力學CFD物質導數（運動流體微團的時間變化率）物質導數物質導數在本質上與對時間的全導數相同。對時間的全導數：計算流體力學CFD速度散度及其物理意義速度散度這一表達式也經常出現在流體動力學方程中。計算流體力學CFD隨流體運動的有限控制體，同一批流體質點始終位于同一控制體內速度散度及其物理意義考慮如圖所示隨流體運動的控制體。這個控制體在運動中，總是由相同的流體粒子組成，因此它的質量是固定的，不隨時間變化。計算流體力學CFD隨流體運動的有限控制體，同一批流體質點始終位于同一控制體內速度散度及其物理意義但是，當它運動到流體不同的區(qū)域，由于密度不同，它的體積和控制面會隨著時間改變。計算流體力學CFD隨流體運動的有限控制體，同一批流體質點始終位于同一控制體內速度散度及其物理意義也就是說，隨著流場特性的變化，這個質量固定的、運動著的控制體，體積不斷地增大或減小，形狀也在不斷地改變著。計算流體力學CFD速度散度及其物理意義速度散度的物理意義：是每單位體積運動著的流體微團，體積相對變化的時間變化率。計算流體力學CFD連續(xù)性方程計算流體力學CFD空間位置固定的有限控制體模型計算流體力學CFD空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型連續(xù)性方程質量守恒定律通過控制面S流出控制體的凈質量流量＝控制體內質量減少的時間變化率計算流體力學CFD空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型通過控制面S流出控制體的凈質量流量＝控制體內質量減少的時間變化率或計算流體力學CFD空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型連續(xù)性方程：計算流體力學CFD隨流體運動的有限控制體模型計算流體力學CFD隨流體運動的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型連續(xù)性方程質量守恒定律有限控制體的總質量為：計算流體力學CFD隨流體運動的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型連續(xù)性方程：計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型連續(xù)性方程質量守恒定律流出微團的質量流量＝微團內質量的減少計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型X方向的凈流出量為：流出微團的質量流量＝微團內質量的減少計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型Y方向的凈流出量為：流出微團的質量流量＝微團內質量的減少計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型Z方向的凈流出量為：流出微團的質量流量＝微團內質量的減少計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型微團內質量增加的時間變化率為：流出微團的質量流量＝微團內質量的減少計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型流出微團的質量流量＝微團內質量的減少或計算流體力學CFD空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型或連續(xù)性方程：計算流體力學CFD隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型流體微團的質量：連續(xù)性方程質量守恒定律計算流體力學CFD隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型連續(xù)性方程質量守恒定律計算流體力學CFD隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型連續(xù)性方程質量守恒定律計算流體力學CFD隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型連續(xù)性方程：計算流體力學CFD方程不同形式之間的轉換空間位置固定的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD方程不同形式之間的轉換空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團模型計算流體力學CFD方程不同形式之間的轉換空間位置固定的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD積分形式與微分形式的重要注釋空間位置固定的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD積分形式與微分形式的重要注釋積分形式的方程允許出現間斷，微分形式的方程要求流動參數是連續(xù)的。因此，積分形式的方程比微分形式的方程更基礎、更重要。在流動包含真實的間斷（如激波）時，這一點尤其重要。計算流體力學CFD動量方程計算流體力學CFD動量方程動量方程牛頓第二定律計算流體力學CFD動量方程力的兩個來源：1）體積力：直接作用在流體微團整個體積微元上的力，而且作用是超距離的，比如重力，電場力，磁場力。隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程力的兩個來源：2）表面力：直接作用在流體微團的表面。隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程表面力的兩個來源：1）壓力2）粘性力計算流體力學CFD動量方程粘性力的兩個來源：1）正應力2）切應力計算流體力學CFD動量方程切應力：與流體剪切變形的時間變化率有關，如下圖中的

xy計算流體力學CFD動量方程正應力：與流體微團體積的時間變化率有關，如下圖中的

xx計算流體力學CFD動量方程作用在單位質量流體微團上的體積力記做，其X方向的分量為隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的體積力的X方向分量＝隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的X方向的壓力＝計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的X方向的正應力＝計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的X方向的切應力＝計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的X方向總的表面力＝隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的X方向總的力：隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程作用在流體微團上的X方向總的力：計算流體力學CFD動量方程運動流體微團的質量：隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程運動流體微團的X方向的加速度：隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程由牛頓第二定理得粘性流X方向的動量方程：隨流體運動的無窮小微團模型計算流體力學CFD動量方程類似地，可得Y方向和Z方向的動量方程：計算流體力學CFD動量方程三個方向的動量方程：以上為非守恒形式的納維－斯托克斯方程(Navier-Stokes方程)，簡稱非守恒形式的N－S方程。計算流體力學CFD動量方程非守恒形式的的N－S方程可以轉化為如下守恒形式的N－S方程計算流體力學CFD動量方程牛頓流體：流體的切應力與應變的時間變化率(也就是速度梯度)成正比。在空氣動力學的所有實際問題中，流體都可以看成牛頓流體。計算流體力學CFD動量方程對牛頓流體，有計算流體力學CFD動量方程完整的N－S方程守恒形式：計算流體力學CFD能量方程計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量能量方程能量守恒定律計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內能量的變化率流入微團內的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量作用于速度為V的流體微團上的體積力，做功的功率為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量對比下圖作用在面adhe和面bcgf上的壓力，則壓力在X方向上做功的功率為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量類似地，在面abcd和面efgh上，切應力在X方向上做功的功率為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量所有表面力（包括壓力、正應力、切應力）在X方向上做功的功率為：計算流體力學CFD能量方程所有力（包括體積力、表面力）做功的功率總和（包括X方向、Y方向、Z方向）為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內能量的變化率流入微團內的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流入微團的凈熱流量來源兩個方面：1）體積加熱，如吸收或釋放的熱輻射。計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流入微團的凈熱流量來源兩個方面：2）由溫度梯度導致的跨過表面的熱輸運，即熱傳導。計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量定義為單位質量的體積加熱率；運動流體微團的質量為，因此，微團的體積加熱為計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量考慮面adhe和面bcgf，熱傳導在X方向對流體微團的加熱為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量熱傳導在X、Y、Z三個方向對流體微團的加熱為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量因此，流入微團內的凈熱流量為：計算流體力學CFD能量方程根據傅立葉熱傳導定律，熱傳導產生的熱流與當地的溫度梯度成正比，設k為熱導率，則計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量因此，流入微團內的凈熱流量可寫為：計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內能量的變化率流入微團內的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量跟隨流體運動的微團的能量有兩個來源：1）由分子隨機運動而產生的內能，定義單位質量內能為e計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量跟隨流體運動的微團的能量有兩個來源：2）流體微團平動時具有的動能，單位質量的動能為計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量運動流體微團的質量為，因此，流體微團內能量的變化率為計算流體力學CFD能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內能量的變化率流入微團內的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率根據能量守恒定律，有計算流體力學CFD能量方程流體微團內能量的變化率流入微團內的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率于是能量方程（非守恒形式）為：計算流體力學CFD能量方程只用內能e表示的能量方程（非守恒形式）為：只用內能e表示的能量方程中不包含體積力項。計算流體力學CFD能量方程只用內能e表示的能量方程（非守恒形式）可寫為：根據，，計算流體力學CFD能量方程對牛頓流體，有計算流體力學CFD能量方程只用內能e表示的能量方程（非守恒形式）可寫為：計算流體力學CFD能量方程只用內能e表示的能量方程（守恒形式）為：計算流體力學CFD能量方程用總能表示的能量方程（守恒形式）為：計算流體力學CFD流體力學控制方程的總結與注釋計算流體力學CFD粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程計算流體力學CFD粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結如下：1.連續(xù)性方程非守恒形式：守恒形式：計算流體力學CFD粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結如下：2.動量方程非守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：計算流體力學CFD粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結如下：2.動量方程守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：計算流體力學CFD粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結如下：3.能量方程非守恒形式：計算流體力學CFD粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結如下：3.能量方程守恒形式：計算流體力學CFD無粘流歐拉(Euler)方程計算流體力學CFD非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結如下：1.連續(xù)性方程非守恒形式：守恒形式：無粘流歐拉(Euler)方程計算流體力學CFD非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結如下：2.動量方程非守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：無粘流歐拉(Euler)方程計算流體力學CFD非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結如下：2.動量方程守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：無粘流歐拉(Euler)方程計算流體力學CFD非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結如下：3.能量方程非守恒形式：無粘流歐拉(Euler)方程守恒形式：計算流體力學CFD關于控制方程的注釋計算流體力學CFD關于控制方程的注釋連續(xù)性方程、動量方程、能量方程共有5個，但有六個未知的流場變量：計算流體力學CFD關于控制方程的注釋在空氣動力學中，通常假設氣體是完全氣體（分子間作用力可忽略），狀態(tài)方程是：狀態(tài)方程提供了第6個方程，但引進了第七個未知量：溫度T計算流體力學CFD關于控制方程的注釋用以封閉整個方程組的第七個方程必須是狀態(tài)參量之間的熱力學關系。比如：對常比熱容完全氣體，這個關系可以是：其中的是定容比熱。這個方程有時候也被稱為量熱狀態(tài)方程。計算流體力學CFD物理邊界條件計算流體力學CFD物理邊界條件無論流動是波音747飛機周圍的流動、亞聲速風洞內的流動，還是流過一個風車流動，控制方程都是相同的。然而，盡管流動的控制方程是相同的，可這些情形中流動卻是完全不同的。為什么會這樣的呢？差異是哪里產生的呢？計算流體力學CFD物理邊界條件答案是邊界條件。不同的邊界條件，有時還包括初始條件，使得同一個控制方程得到不同的特解。計算流體力學CFD物理邊界條件對于粘性流動，物面上的物理邊界條件有物面速度無滑移邊界條件和物面溫度邊界條件。物面速度無滑移邊界條件指：緊挨物面的氣流與物面之間的相對速度為零。即：在物面（對于粘性流動）計算流體力學CFD物理邊界條件大部分粘性流動的物面溫度邊界條件要么給定一個常數作為壁面溫度，即在物面要么假設壁面為絕熱壁，即在物面計算流體力學CFD物理邊界條件對于無粘流動，物面上唯一的物理邊界條件是法向速度為零邊界條件。也就是說物面上的流動與物面相切。在物面（對于無粘流動）計算流體力學CFD物理邊界條件無論是粘性流還是無粘流，根據問題的不同，流場中不是物面的地方有多種不同類型的邊界條件。比如對于流過固定形狀管道的流動，應該在管道的入口和出口有適合的入流和出流邊界條件。比如對于已知來流中的飛行物，則給定自由來流條件作為物體四周無窮遠處的邊界條件。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒變量：非守恒變量：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程非守恒變量可以由守恒變量求出：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是守恒變量。非守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是非守恒變量。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一個優(yōu)點：守恒形式的控制方程為算法設計和編程計算提供了方便。守恒形式的連續(xù)性方程、動量方程和能量方程可以用同一個通用方程來表達，這有助于計算程序的簡化和程序結構的組織。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：U,F,G,H,J都是列向量。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于無粘或粘性流動：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于無粘流動：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于粘性流動：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于粘性流動：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于粘性流動：計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：列向量U被稱為解向量。列向量F,G,H被稱為通量向量（或通量項）。列向量J代表源項（當體積力和體積熱流可忽略時等于零）計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程在某些問題中，非定常的瞬時流場是我們最感興趣的。這類問題為非定常問題。對其他一些問題，需要得到定常解，這類問題為定常問題。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程求解定常問題，最好的方式是求解非定常方程，用長時間的漸進解趨于定常狀態(tài)。這種方法稱為求解定常流動的時間相關算法。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程上面方程的求解采用了時間推進的方式，也就是說，相關的流動變量是按時間步，一步步推進求解的。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程時間推進的方式解向量U的分量通常就是每一時間步直接被求解的未知函數，右邊的空間導數項被看成是已知的。通過某種方式求出右邊的空間導數項，比如可以用上一個時間步的結果計算出方程右邊的這些項。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程在包含激波的流場中，流場的原始變量p,,u,T等在跨過激波時，會發(fā)生急劇的不連續(xù)變化。采用激波捕捉法計算含激波的流場時，是讓激波作為流場計算的直接結果，自然而然地出現在計算區(qū)域里，而不必對激波本身進行特殊的處理。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二個優(yōu)點：采用激波捕捉法計算含激波的流場時，應該采用守恒形式的控制方程，以使計算結果光滑、穩(wěn)定。如果采用非守恒形式，流場計算結果在激波上下游出現空間振蕩（抖動），激波的位置也可能不對，甚至計算不穩(wěn)定。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程使用通量變量作為未知函數，而通量變量在跨過激波時的變化要么為零，要么很小。計算流體力學CFD適合CFD使用的控制方程與把原始變量作為未知函數的非守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉法數值解的質量。計算流體力學CFD

計算流體力學CFD(2)計算流體力學CFD離散化的基本方法計算流體力學CFD引言計算流體力學CFD引言理論上，根據偏微分方程的解能得到流場中任意點上流場變量的值。離散網格點計算流體力學CFD引言實際上，我們采用代數差分的方式將偏微分方程組轉化為代數方程組。離散網格點計算流體力學CFD引言通過求解代數方程組獲得流場中離散網格節(jié)點上的變量值。離散網格點計算流體力學CFD引言從而，使得原來的偏微分方程組被“離散化”了。離散網格點計算流體力學CFD引言計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎離散網格點泰勒級數展開：計算流體力學CFD有限差分基礎泰勒級數展開：差分表達式截斷誤差計算流體力學CFD有限差分基礎一階向前差分：上述差分表達式用到了(i,j)點及其右邊(i+1,j)點的信息，沒有左邊(i-1,j)點的信息，且精度為一階計算流體力學CFD有限差分基礎離散網格點泰勒級數展開：計算流體力學CFD有限差分基礎泰勒級數展開：計算流體力學CFD有限差分基礎一階向后差分：上述差分表達式用到了(i,j)點及其左邊(i-1,j)點的信息，沒有右邊(i+1,j)點的信息，且精度為一階計算流體力學CFD有限差分基礎兩式相減得：計算流體力學CFD有限差分基礎得：計算流體力學CFD有限差分基礎二階中心差分：上述差分表達式用到了左邊(i-1,j)點及右邊(i+1,j)點的信息，(i,j)點位于它們中間，且精度為二階計算流體力學CFD有限差分基礎Y方向的差分表達式：計算流體力學CFD有限差分基礎兩式相加得：計算流體力學CFD有限差分基礎得：二階中心差分（關于二階導數）計算流體力學CFD有限差分基礎對Y方向的二階導數有：二階中心差分（關于Y方向二階導數）計算流體力學CFD有限差分基礎下面求二階混合偏導數上式對y求導得：計算流體力學CFD有限差分基礎下面求二階混合偏導數上式對y求導得：計算流體力學CFD有限差分基礎下面求二階混合偏導數兩式相減得：6計算流體力學CFD有限差分基礎下面求二階混合偏導數6計算流體力學CFD有限差分基礎二階混合偏導數的二階精度中心差分計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎計算流體力學CFD有限差分基礎二階偏導數，四階精度中心差分高階精度的差分需要更多的網格點，所以計算中的每一個時間步或空間步都需要更多的計算機時間。計算流體力學CFD有限差分基礎在邊界上怎樣構造差分近似？邊界網格點計算流體力學CFD有限差分基礎向前差分，只有一階精度。邊界網格點計算流體力學CFD有限差分基礎在邊界上如何得到二階精度的有限差分呢？邊界網格點計算流體力學CFD有限差分基礎不同于前面的泰勒級數分析，下面采用多項式來分析。邊界網格點計算流體力學CFD有限差分基礎設邊界網格點在網格點1，在網格點2，在網格點3，計算流體力學CFD有限差分基礎邊界網格點得計算流體力學CFD有限差分基礎邊界網格點對y求導得：在邊界點1，計算流體力學CFD有限差分基礎邊界網格點得：計算流體力學CFD有限差分基礎邊界網格點根據知為三階精度計算流體力學CFD有限差分基礎邊界網格點故為兩階精度為三階精度計算流體力學CFD有限差分基礎邊界網格點為單側差分計算流體力學CFD差分方程計算流體力學CFD差分方程對一個給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏導數都用有限差分來代替，所得到的代數方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代數表示。計算流體力學CFD差分方程考慮非定常一維熱傳導方程：計算流體力學CFD差分方程計算流體力學CFD差分方程計算流體力學CFD差分方程計算流體力學CFD差分方程偏微分方程：差分方程：截斷誤差：計算流體力學CFD差分方程差分方程是一個代數方程，如果在右圖所示區(qū)域內所有網格點上都列出差分方程，就得到一個聯立的代數方程組。計算流體力學CFD差分方程當網格點的數量趨于無窮多，也就是時，差分方程能否還原為原來的微分方程呢？計算流體力學CFD差分方程截斷誤差：截斷誤差趨于零，從而差分方程確實趨近于原微分方程。計算流體力學CFD差分方程從而差分方程確實趨近于原微分方程，如果，截斷誤差趨于零，此時我們說偏微分方程的這個有限差分表示是相容的。計算流體力學CFD差分方程原微分方程與相應的差分方程之間的區(qū)別截斷誤差：計算流體力學CFD差分方程原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別離散誤差：計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法計算流體力學CFD顯式方法計算流體力學CFD顯式方法計算流體力學CFD顯式方法上述方程是拋物型方程，可以推進求解，推進變量是時間t計算流體力學CFD顯式方法邊界條件已知計算流體力學CFD顯式方法邊界條件已知計算流體力學CFD顯式方法顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知數，從而這個未知數可以用直接計算的方法顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。計算流體力學CFD隱式方法計算流體力學CFD隱式方法克蘭克－尼科爾森格式計算流體力學CFD隱式方法對于排列在同一時間層所有網格點上的未知量，必須將它們聯立起來同時求解，才能求出這些未知量，這種方法就定義為隱式方法。計算流體力學CFD隱式方法由于需要求解聯立的代數方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運算。隱式方法比顯式方法需要更多、更復雜的計算。計算流體力學CFD隱式方法計算流體力學CFD隱式方法A，B，Ki

均為已知量計算流體力學CFD隱式方法A，B，Ki

均為已知量計算流體力學CFD隱式方法在網格點2：A，B，Ki

均為已知量T1

為邊界條件，已知量計算流體力學CFD隱式方法在網格點3：A，B，Ki

均為已知量在網格點4：在網格點5：計算流體力學CFD隱式方法A，B，Ki

均為已知量在網格點6：T7

為邊界條件，已知量計算流體力學CFD隱式方法于是有關于T2，T3，T4，T5，T6這五個未知數的五個方程A，B，Ki

均為已知量計算流體力學CFD隱式方法寫成矩陣形式：計算流體力學CFD隱式方法系數矩陣是一個三對角矩陣，僅在三條對角線上有非零元素。求解線性代數方程組的標準方法是高斯消去法。應用于三對角方程組，通常采用托馬斯算法（國內稱為追趕法）求解。計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法的比較計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法的比較對于顯式方法，一旦

x取定，那么t的取值必須受到穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個值。否則，計算不穩(wěn)定。因此，t必須取得很小，才能保持計算穩(wěn)定，要算到某個給定的時間值，程序要運行很長時間。計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法的比較隱式方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多的t，仍能保持計算穩(wěn)定。要計算某個給定的時間值，隱式方法所用的時間步數比顯式方法少很多。計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法的比較對某些應用來說，雖然隱式方法一個時間步的計算會比顯式方法花的時間長，但由于時間步數少，總的運行時間可能比顯式方法少。計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法的比較另外，當t取得較大時，截斷誤差就大，隱式方法在跟蹤嚴格的瞬態(tài)變化（未知函數隨時間的變化）時，可能不如顯式方法精確。不過，對于以定常態(tài)為最終目標的時間相關算法，時間上夠不夠精確并不重要。計算流體力學CFD顯式方法與隱式方法的比較當流場中某些局部區(qū)域的網格點分布很密，采用顯式方法，小的時間步長會導致計算時間特別長。例如，高雷諾數粘性流，物面附近的流場會產生急劇的變化，因此，物面附近需要更密的空間網格。在這種情況下，若采用隱式方法，即使對于很密的空間網格，也能采用較大的時間步長，就會減少程序運行時間。計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析在從一個推進步進行到下一步時，如果某個特定的數值誤差被放大了，那么計算就變成不穩(wěn)定。如果誤差不增長，甚至在從一個推進步進行到下一步時，誤差還在衰減，那么計算通常就是穩(wěn)定的。計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析A=偏微分方程的精確解（解析解）D=差分方程的精確解離散誤差=A-D計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析D=差分方程的精確解舍入誤差==N-DN=在某個有限精度的計算機上實際計算出來的解（數值解）N=D+計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析數值解N=精確解D+誤差數值解N滿足差分方程，于是有計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析數值解N=精確解D+誤差精確解D也必然滿足差分方程，于是有計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析數值解N=精確解D+誤差兩式相減得，誤差也滿足差分方程：計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析當求解過程從第n步推進到第n+1步時，如果i衰減，至少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，如果i增大，求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，應該有：計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析根據vonNeumann（馮諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法，設誤差隨空間和時間符合如下Fourier級數分布：則計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求故放大因子計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析下面采用vonNeumann（馮諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法分析如下差分方程的穩(wěn)定性：由于誤差也滿足差分方程，故有計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析由于誤差也滿足差分方程，故有而則計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析解得放大因子計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析要使放大因子必須滿足計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析上式就是差分方程的穩(wěn)定性條件。對于給定的x，t的值必須足夠小，才能滿足上述穩(wěn)定性條件，以保證計算過程中誤差不會放大。計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性條件的具體形式取決于差分方程的形式。的差分方程是無條件不穩(wěn)定的。比如，一階波動方程：計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析但如果用則（Lax方法）計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析令誤差則放大因子式中計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析則放大因子穩(wěn)定性要求則計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求式中的C稱為柯朗(Courant)數。計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求上式稱為柯朗－弗里德里奇－列維(Courant-Friedrichs-Lewy)條件，一般寫成CFL條件。計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析下面來看CFL條件的物理意義。CFL條件：也是二階波動方程：的穩(wěn)定性條件。計算流體力學CFD誤差與穩(wěn)定性分析下面來看CFL條件的物理意義。二階波動方程：的特征線為計算流體力學CFDCFL條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數值解的依賴區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。誤差與穩(wěn)定性分析計算流體力學CFDCFL條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數值解的依賴區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。誤差與穩(wěn)定性分析計算流體力學CFD

計算流體力學CFD(3)計算流體力學CFD網格生成與坐標變換計算流體力學CFD引言計算流體力學CFD引言在CFD里，確定適當的網格是一件非常重要的事情。網格會影響數值計算的成功與失敗。計算流體力學CFD引言標準的有限差分方法需要均勻網格。如果在流場內生成了非均勻網格，也需要將它變換成均勻分布的矩形網格。計算流體力學CFD引言采用均勻網格計算翼型繞流有如下問題：1）有些網格點落入翼型內部，而不是在流場里，如何給定這些點上的流動參量？計算流體力學CFD引言采用均勻網格計算翼型繞流有如下問題：2）只有少量的網格點落在翼型表面上，這也不好。因為翼型表面是極其重要的邊界，翼型表面上的邊界條件確定了整個流動。計算流體力學CFD引言1）翼型內部沒有網格點2）網格點落在翼型表面上計算流體力學CFD引言網格既不是矩形的，也不是均勻分布的。通常的差分很難應用，必須轉換。計算流體力學CFD引言控制方程從物理平面(x,y)轉換到計算平面(,)物理平面計算平面貼體網格計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD方程的一般變換考慮二維非定常流場，從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)物理平面計算平面計算流體力學CFD方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)下標表示求偏導數過程中保持不變的量計算流體力學CFD方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)下標表示求偏導數過程中保持不變的量計算流體力學CFD方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD方程的一般變換計算流體力學CFD度量和雅可比行列式計算流體力學CFD度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)涉及網格幾何性質的項，如

/x,/y,/x,/y稱為度量。計算流體力學CFD度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)如果上述變換式用解析形式給出，則度量也能得到解析值。計算流體力學CFD度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)大部分情況下，上述關系式是用數值形式給出的，則度量用有限差分計算。計算流體力學CFD度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,

)逆變換下面推導用逆變換來表示導數從計算平面(,,

)物理平面(x,y,t)計算流體力學CFD度量和雅可比行列式令u的全微分為：則：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式由得：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式分母上的行列式稱為雅可比行列式，記作計算流體力學CFD度量和雅可比行列式由得：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式計算流體力學CFD度量和雅可比行列式寫成更一般的形式：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式用逆變換來表示導數（含J）：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式用直接變換來表示導數(不含J)：下面根據逆度量和直接度量之間的關系式來推導怎么用逆變換來表示導數。計算流體力學CFD度量和雅可比行列式考慮二維的直接變換：有：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式即：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式再考慮二維的逆變換：有：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式即：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式由：得：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式由：和得：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式即：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式因為行列式轉置后，其值不變，則：故：計算流體力學CFD度量和雅可比行列式于是就得到了直接度量和逆度量之間的關系式：直接度量逆度量計算流體力學CFD度量和雅可比行列式用直接變換來表示導數(不含J)：代入得到用逆變換表示的導數：計算流體力學CFD再論適合CFD使用的控制方程計算流體力學CFD再論適合CFD使用的控制方程在物理平面，流動方程的強守恒形式在計算平面，還能寫成如下的形式嗎？計算流體力學CFD再論適合CFD使用的控制方程在物理平面，流動方程的強守恒形式答案是能。在計算平面，可以寫成以下形式：計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格流過平板的粘性流直接變換（解析變換）逆變換（解析變換）計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格直接變換（解析變換）逆變換（解析變換）計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格物理平面上的連續(xù)性方程計算平面上的連續(xù)性方程：計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格得：直接變換（解析變換）計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格計算平面上的連續(xù)性方程：計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格物理平面上的連續(xù)性方程計算平面上的連續(xù)性方程：計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格逆變換（解析變換）下面根據逆變換關系式來推導計算平面上的連續(xù)性方程。計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格物理平面上的連續(xù)性方程用逆變換來表示導數（含J）：計算流體力學CFD拉伸（壓縮）網格逆變換（解析變換）計算平面上的連續(xù)性方程：計算流體力學CFD貼體坐標系：橢圓型網格生成計算流體力學CFD貼體坐標系：橢圓型網格生成a)物理平面b)計算平面擴張管道內流物理平面中貼體曲線坐標系計算平面內均勻矩形網格計算流體力學CFD貼體坐標系：橢圓型網格生成a)物理平面O型網格qp和sr是同一條曲線割縫計算流體力學CFD貼體坐標系：橢圓型網格生成b)計算平面計算流體力學CFD貼體坐標系：橢圓型網格生成b)計算平面a)物理平面四周邊界條件給定，采用橢圓型方程來生成網格，稱為橢圓型網格生成最簡單的橢圓型方程是Laplace方程：計算流體力學CFD貼體坐標系：橢圓型網格生成Laplace方程：計算流