歷年高考數(shù)學真題-橢圓

歷年高考數(shù)學真題精選（按考點分類）

目

橢（學生版）

一.選擇題（共12小題）

已知橢圓竺+止=（）的離心率為則（）

1.（2019?北樂）1°>6>0L,

。2/?22

A.。2=2拉B.3G=4b2C.a=2bD.3a=4b

已知橢圓上+竺過點（）和（），則橢圓離心率（）

2.（2018?全國）=1-4,?3,/e=

a2b255

A,正

B.—C.-D.-

5555

3.（2018?新課標1）已知橢圓C:=+二=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

。24

A.1B.1C.旦D.述

3223

4.（2010?福建）若點。和點尸分別為橢圓三十”=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任

43

意一點，則。P?廠戶的最大值為（）

A.2B.3C.6D.8

5.（2013?大綱版）已知產(chǎn)（-1,0）,尸（1,0）是橢圓C的兩個焦點，過尸且垂直于x軸的直線

122

交橢圓于4、8兩點，且IABI=3,則C的方程為（）

AX2X2,2尤2y2X2）2

A?卜y2=1B.1------1C.-----1------1D.1-1

2324354

6.（2019?新課標I）已知橢圓。的焦點為/（-1,0）,尸（1,0）,過點尸的直線與橢圓。交于

122

A,8兩點.若IA尸|=21尸81,IA8I=IB尸I,則C的方程為（）

22

.X21

A.-+y2=IB4AD"I

2cP畀

7.（2018?新課標II）已知尸是橢圓C:=+二=l（a>b>0）的左、右焦點，A是C的

2Q2/72

且的直線上，為等腰三角形，ZFFP=120°,則C

左頂點，點P在過A且斜率為

61212

的離心率為（）

11

AB.C.D.-

t234

8.（2017?全國）橢圓。的焦點為/（-1,0）,尸（1,0）,點尸在C上，F(xiàn)P=2,NFFP=—

122123

則C的長軸長為（）

A.2B.2點C.2+蘇D.2+2赤

9.（2017?新課標I）設A,8是橢圓C：E+竺=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿

3m

足/AA"=120。，則m的取值范圍是（)

A.(0,ljj[9,+oo)B.(0,我U[9，+00)

C.(0,ljj[4,+oo)D.(0,>/3]|J[4，+00)

10.（2017?新課標III）已知橢圓C:=+二=l（a>b>0）的左、右頂點分別為A,,A,且以

a2b212

線段AA為直徑的圓與直線版-〃y+2帥=0相切，則。的離心率為（）

I2

B也

C正D.-

A-T333

IL（2016?新課標I）直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到/的距離為其

短軸長的;，則該橢圓的離心率為（）

A"B.-cD.-

2-14

12.（2016?新課標III）已知。為坐標原點，尸是橢圓C:=+二=l（a>6>0）的左焦點，A,

。2匕2

8分別為C的左，右頂點.尸為C上一點，且尸尸，x軸，過點A的直線/與線段P歹交

于點M,與y軸交于點E.若直線經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）

二.填空題（共7小題）

13.（2015?新課標I）一個圓經(jīng)過橢圓竺+注=1的三個頂點.且圓心在x軸的正半軸上.則

164

該圓標準方程為一.

14.（2014?安徽）設尸，尸分別是橢圓E:x2+V=l（0<b<l）的左、右焦點，過點尸的直

12b21

線交橢圓E于A、B兩點,若IA歹1=31尸81,AB軸，則橢圓E的方程為.

112

15.（2011?江西）若橢圓上+”=1的焦點在無軸上，過點（1,1）做圓x2+yz=l的切線，切

。2b22

點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的方程是.

16.（2019?新課標III）設匕，下為橢圓C：E+”=1的兩個焦點，M為C上一點且在第一

123620

象限.若為等腰三角形，則M的坐標為—.

12

17.（2019?浙江）已知橢圓竺+22=1的左焦點為歹，點尸在橢圓上且在x軸的上方.若線

95

段尸尸的中點在以原點。為圓心，I?！睘榘霃降膱A上，則直線P尸的斜率是.

18.（2019?上海）在橢圓三+工=1上任意一點P,。與尸關于x軸對稱，若有FRF1N1,

4212

則尸尸與尸。的夾角范圍為.

12

19.（2018?浙江）已知點P（0,l）,橢圓二+y2=加加>1）上兩點A,8滿足A尸=2E5,則

4

當機=___時，點8橫坐標的絕對值最大.

三.解答題（共6小題）

20.（2016?北京）已知橢圓C:=+”=1過點A（2,0）,8（0,1）兩點.

Q2

(I)求橢圓C的方程及離心率;

(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點直線尸8與x軸交

于點N,求證：四邊形的面積為定值.

21.(2019?天津)設橢圓竺+”=l(a>b>0)的左焦點為尸，左頂點為A,上頂點為3.已

。2/72

知百I1=21OBI(。為原點).

(I)求橢圓的離心率；

(II)設經(jīng)過點尸且斜率為3的直線/與橢圓在X軸上方的交點為尸，圓C同時與X軸和直

4

線/相切，圓心C在直線x=4上，且。C//AP.求橢圓的方程.

22.(2019?天津)設橢圓三+絲=l(a>6>0)的左焦點為尸，上頂點為8.已知橢圓的短

。2/72

軸長為4,離心率為正.

5

(I)求橢圓的方程；

(II)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點0為直線尸8與x軸的交點，點N在

y軸的負半軸上.若ION1=1。川(。為原點)，且求直線尸8的斜率.

歷年高考數(shù)學真題精選（按考點分類）

橢

（教師版）

選擇題（共12小題）

1.（2019?北京）已知橢圓竺+二=l（a>b>0）的離心率為工，則（）

“2/?22

A.。2=2Z?2B.3a2=4/22C.a=2bD.3a=4。

【答案】B

【解析】由題意，-=得3則竺±=1，

a2s4。24

4〃2—4b2=〃2,BP3a2=4b2.

2.（2018?全國）已知橢圓三+二=1過點（一4二）和（3,-3）,則橢圓離心率e=（）

a2b255

A.偵B.逅C.1D.2

5555

【答案】A

【解析】橢圓三+絲=1過點（-4,3）和（3,-4）,

a2b255

竺+，=1

。225b2

則《解得〃=5,6=1,二。2=〃2一拉=24,

916

一+---=1

。225b2

c_2顯

/.c=2癡，e

a5

3.（2018?新課標1）已知橢圓C:工+”=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

“24

1cT

A.B.1D.述

3223

【答案】C

【解析】橢圓C:二+"=l的一個焦點為(2,0)，

。24

可得。2—4=4,解得Q=2\/^,\*c=2J:.e=—=.故選C.

a2V22

4.(2010?福建)若點。和點/分別為橢圓上+”=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任

43

意一點，則。尸?廠戶的最大值為()

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【解析】由題意，*-1,0),設點尸(x,y),則有匚+H=1,解得y2=3(1-匚)，

004304

因為尸P=(x+l,y),OP=(x,y),所以OP?"=x(x+1)+y2=-e-+x+3，

00000004°

此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為x=-2,

o

,2

因為-東部2,所以當q=2時，。戶?EP取得最大值^+2+3=6,故選：C.

5.(2013?大綱版)已知尸(-1,0),尸(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過尸且垂直于％軸的直線

122

交橢圓于4、8兩點，且1481=3,則C的方程為()

A冗2X2y2X2y2X2V2

A.—+v2=1B.^—+—=1C.H-----=1D.H-----=1

2324354

【答案】c

【解析】設橢圓的方程為=+￡=l(a>b>0),

〃2b2

可得C=J〃2一核=1,所以Q2_拉=]…①

?.?A3經(jīng)過右焦點心且垂直于尤軸，且IABI=3

33126

可得2(1,-三)，代入橢圓方程得上+2-=1,…②

22a2b2

聯(lián)解①②，可得。2=4,Z?2=3

，橢圓c的方程為E+二=1

43

6.（2019?新課標I）已知橢圓。的焦點為尸（-1,0）,尸（1,0）,過點方的直線與橢圓。交于

122

A,B兩點.若IAFl=2IFBI,IA8I=I3FI,則C的方程為（）

221

AX2X2）2X2y2X2y2

A.----Fy2=1B.----1-----=1C.-----1-----=1D.-----1----=1

2324354

【答案】B

【角軍析】-/IAF\=2\BFI,/.IAB\=31BFI,

222

又IAB1=1BFI,.'.IBF1=31BFI,又IBFI+18P1=2。，.-.IBF^1=-,

1121222

3

UA/1=。，15￡1=—。，-.-IAFI+IAF\=2a,:.\AF\=a,

212121

.'.IAF1=1AFI,在y軸上.在放△AFO中，cosZAFO=-,

1222a

4+(-)2-(-a)2

在尸尸中，由余弦定理可得cosNBPP=——工------2—

1221c八。

2x2x-

2

]4—2Q2L

根據(jù)cos/A/O+cosNB尸尸=0,可得一+------=0,解得〃2=3,1.a=6.

221a2a

/?2=Q2_02=3-1=2.所以橢圓。的方程為：—+—=1.

32

7.（2018?新課標H）已知凡，2是橢圓C:上+>=13>6>0）的左、右焦點，A是C的

1242b2

左頂點，點尸在過A且斜率為苴的直線上，△PPF為等腰三角形，ZFFP=120°,則C

61212

的離心率為（）

【答案】D

【解析】由題意可知：4-a,0),F(-c,0),F(c,0),

12

j3

直線AP的方程為：y=—{x+a）,由/尸BP=120。，I尸歹1=1尸產(chǎn)1=2c,則P（2c,歷），

612212

代入直線AP:（2c+4）,整理得：a=4c,題意的離心率e=￡=L

6a4

【答案】D

【解析】橢圓C的焦點為尸(一1,0),F(1,0),點尸在C上，F(xiàn)P=2,NFFP=—,則C的

122123

長軸長為()

A.2B.2芯C.2+出D.2+2上

【解答】解:橢圓C的焦點為尸(-1,0),尸(1,0),則c=l,

12

???|PF1=2,/.IPF1=2a-1PF1=2。一2,

212

2兀

由余弦定理可得IPE|2=|歹歹|2+1PF|2-2IFF\-\PFl?cos—,

11221223

BP(2a-2)2=4+4-2x2x2x(-1),解得a=l+6a=l-石(舍去)，

.?.2。=2+2百，故選：D.

9.(2017?新課標I)設A,8是橢圓C:?+匕=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿

3m

足/AMB=120。，則m的取值范圍是()

A.(0,ljj[9,+oo)B.(0,73]|J[9,+oo)

C.(0,ljj[4,+oo)D.(0,>/3]|J[4,+00)

【答案】A

【解析】假設橢圓的焦點在x軸上，貝|0<加<3時，

設橢圓的方程為：—+—=l(a>&>0),設4-a,0),B(a,0),M(x,y),y>0,

〃2Z?2

貝麟一舉=竺匕

b2

ZMAB=a,ZMBA=P,ZAMB=y,tana=——,tanp=——，

x+aa-x

/Q、_,/0、tana+tanB24y2ay_2ab22ab2

rtany=tan[7U-(a+p)]=-tan(a+p)--------------------

1-tanatanPa2-x2-y242。2y(a2-Z22)C2y

b2~y2

tany=,當y最大時,即y=b時，取最大值,

C2y

.?.拉位于短軸的端點時，ZAM8取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足ZA"B=120。，

/AM診120。，ZAM/60。，tanNAMO=gtan60°=>/3,

y/m

解得：o<yi；

當橢圓的焦點在y軸上時，冽>3,

當M位于短軸的端點時，取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足/AMB=120。，

tanZAMO=?tan60°=>5，解得：

/AM砂120°,ZAMC^60°,m^9,

V3

.?.機的取值范圍是（0,ill[9，+8）

10.（2017?新課標ni）已知橢圓C:=+竺=1（。>6>0）的左、右頂點分別為A，A,且以

612b212

線段A4為直徑的圓與直線bx-ay+2a6=0相切，則C的離心率為（）

12

A.巫B.正D.1

C.

333

【答案】A

【解析】以線段44為直徑的圓與直線6尤-分+2浦=0相切,

12

二.原點到直線的距離/b化為：利=3w.

+人2

二橢圓C的離心率0=

11.(2016?新課標I)直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到/的距離為其

短軸長的工，則該橢圓的離心率為()

4

1173

A.-B.-C.-D.-

3234

【答案】B

【解析】設橢圓的方程為：—+=直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，

G/?2

則直線方程為：*+丁=1,橢圓中心到/的距離為其短軸長的！，

cb4

12.(2016?新課標III)已知。為坐標原點，尸是橢圓C:二+竺=l(a>b>0)的左焦點，A,

8分別為C的左，右頂點.尸為C上一點，且尸尸，x軸，過點A的直線/與線段P歹交

于點與y軸交于點￡.若直線經(jīng)過的中點，則C的離心率為()

【答案】A

【解析】由題意可設歹(-c,0),A(-a,O),B(a,O),

設直線AE的方程為y=々(x+a),令x=-c,可得M(-c，k(a-c)),令尤=0,可得E(0,㈤，

設0E的中點為〃，可得8（0,一）,由8,H,M三點共線，可得k=k,

2BHBM

ka

即為2=幺口，化簡可得紇￡=1，即為a=3c,可得e=￡=L

—a—c—ci〃+c2ci3

二.填空題（共7小題）

13.（2015?新課標I）一個圓經(jīng)過橢圓二十二=1的三個頂點.且圓心在1軸的正半軸上.則

164

該圓標準方程為—.

【答案】（x-g）2+y2=V

【解析】一個圓經(jīng)過橢圓三十絲=1的三個頂點.且圓心在X軸的正半軸上.

164

可知橢圓的右頂點坐標（4,0）,上下頂點坐標（0,±2）,

設圓的圓心（。,0）,則J3-O）*o二2）2=4一a,解得°=|,

圓的半徑為：

2

所求圓的方程為：（n-3）2+產(chǎn)=”.

2-4

14.（2014?安徽）設b，&分別是橢圓E:m+匕=1（0<6<1）的左、右焦點，過點尸的直

12b21

線交橢圓E于A、8兩點，若IAFI=3IbBl,AP軸，則橢圓E的方程為.

112

L答案1%2+—y2=1

2

【解析】由題意，F(xiàn)(-c,0)，F(xiàn)(c,0)，AF_Lx軸，b\=bi,

1222

點坐標為（c,Z?2）,

設5(%,y),vlAF1=31FBI,..AF=3FB,

(一c-c,-Z?2)=3(x+c,y),

,一；匕2），

5（一;拉）2

代入橢圓方程可得（-＞）2+」一二1,

3。2

,/1=/72+C2,人2=—，。2=—，，X2+—丫2=1.

332

故答案為：%2+—372=1.

2

15.（2011?江西）若橢圓三+二=1的焦點在x軸上，過點（讓）做圓￡+y2=l的切線，切

〃2/?22

點分別為A,B,直線A3恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的方程是—.

【答案】//I

【解析】設切點坐標為（加,九）則

1

〃----1

2Y口口1八

----?一=-1B|J冽2+〃2----n-m=0

m-1m2

?<,m2+H2=1

:.m+—n—l=Q

2

即AB的直線方程為2x+y-2=0

?/線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點

2c-2=0；b-2=0

解得c=1,b=2

所以〃2=5

故橢圓方程為竺+工=1

54

16.（2019?新課標山）設工，F(xiàn)為橢圓C:二+"=l的兩個焦點，M為C上一點且在第一

123620

象限.若AM尸尸為等腰三角形，則M的坐標為—.

12

【答案】（3,后

【解析】設M（加,及），m，n>0,橢圓C:二+匕=1的a=6,b=2亞,c=4,

3620

c———，

a3

由于M為C上一點且在第一象限，可得1〃/1>1加/1,

12

△為等腰三角形，可能IMF1=2c或IMF1=2c,

,7

即有6H——m=8,即m=3,n=；

3

2

6—機=8,即m=一3<0,舍去.

3

可得"（3,而）.

故答案為：（3,x/IW）.

17.（2019?浙江）已知橢圓蘭+竺=1的左焦點為尸，點尸在橢圓上且在x軸的上方.若線

95

段尸尸的中點在以原點。為圓心，I。”為半徑的圓上，則直線P尸的斜率是

【答案】而

【解析】橢圓乙+匕=1的〃=3,b=后，c=2,e2

953

設橢圓的右焦點為F,連接PP,

線段尸產(chǎn)的中點A在以原點。為圓心，2為半徑的圓,

連接A。，可得I尸尸'1=21401=4,

岳

設尸的坐標為(W),可得3-m=4,可得機=——n=-----，

322

由F(-2,0)，可得直線尸尸的斜率為

岳

2

3

-+2

2

另解：由IPFI=2IAOI=4,|PFI=6-4=2,\FF'\=2c=4,

可得cosN—學!口；,

sinZPFF'=J1--=—,

V164

可得直線房的斜率為酸篝;而.

故答案為：厲.

18.（2019?上海）在橢圓二+絲=1上任意一點P,。與尸關于x軸對稱，若有尸P?尸慶1,

4212

則FP與FQ的夾角范圍為.

12

【答案】［兀一arccos-,兀］

3

［解析1設P（x,y）,則。點（x,-y），

橢圓竺+21=1的焦點坐標為（—點，0）,（&,0）,

42

?/FP?FXl,

12

%2-2+y20,

結合三+J

42

可得：y2G［1,2］

故尸P與力。的夾角。滿足：

12

x2-2-y22-3尸8h

cose=^Q--------=—5H----------W1-1,----J

+2+產(chǎn)）2—8%2丁2+2y2+23

故?！辏圬！猘rccos士，兀］

19.（2018?浙江）已知點尸（0,1）,橢圓一+尸=用（加〉1）上兩點A，B滿足AP=2而，則

當根=時，點3橫坐標的絕對值最大.

【答案】5

【解析】設A（x,乂），B（x，y）,

1122

由尸（0,1）,AP=2PB,

可得-x=2x,1-y=2（y一1）,

1212

即有x=-2x，y+2y=3,

即為X2+y2=m，①

①-②得(y-2y)(y+2y)=-3m，

1212

可得y-2y=-m，

12

解得y=4,y=213,

1224

貝!J瓶=X2+(-_—)2,

22

3—YY]-m2+10m-9-(m-5)2+16

艮|]有％2—m—(----)2=

即有機=5時，X2有最大值4,

即點8橫坐標的絕對值最大.

故答案為：5.

三.解答題(共6小題)

20.(2016?北京)已知橢圓C:二+竺=1過點A(2,0),8(0,1)兩點.

42/72

(I)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點直線尸8與x軸交

于點N,求證：四邊形的面積為定值.

(1)解：?.?橢圓C:三+二=1過點4(2,0),8(0,1)兩點，

。2枚

:.a=2b=l9則c=一＞=,4-1=G,

：.橢圓C的方程為土+尸=1,離心率為6=3；

42

(2)證明：如圖，

設P(x,y),則左=—紇一，PA所在直線方程為丁=—匕一(1-2),

。0PAX-2X-2

00

取冗=0,得y=—2%；

MX-2

0

k=二，所在直線方程為丁=41+1,

PBXX

00

取y=0,得x=%，.

N1-V

0

x2—2y—x

「」AN\=2—x=2---------8-=------------8e-，

1—y1—y

Noo

2yx+2y—2

\BM\=l-x=1+T-=T_4—.

MX-2x-2

00

112—2y—xx+2y—2

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