數(shù)學(xué)-廣東省華南師大附中2023-2024年高三數(shù)學(xué)大灣區(qū)預(yù)測卷一（新高考1全解全析）

廣東華南師大附中2023-2024高三數(shù)學(xué)

大灣區(qū)預(yù)測卷一全解全析

數(shù)學(xué)（新高考I卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)

必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)

號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合要求的。

1.（本題5分）已知集合4={*|1。82%<1},8=卜|丫=2工},則（）

A.AnB=0B.A8=AC.AB=RD.A^JB=A

【答案】B

【分析】根據(jù)條件得到A={尤[0<x<2},3={y|y>0},再利用集合的運算即可得出

結(jié)果.

【詳解】Slog2x<l,得至IJO<x<2,所以A={x[0<x<2},

由y=2，，易知xeR時，ye（0,+oo）,所以B=3y>0},

故AB=（0,2）=A,所以選項A錯誤，選項B正確，

又A3=（0,y）=3,所以選項C和D均錯誤，

故選：B.

2.（本題5分）已知。eR,beR,且空尚=l+2i,則|。+例=（）

1+Z;i

A.72B.2C.710D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算及復(fù)數(shù)相等得到方程組，求出。、6的值，從而

求模.

【詳解】因為雷=l+2i,即工+31=（1+20（1+一）,即

a+3i=l+M+2i+2/?i2=（l-2&）+（2+&）i,

\a=1—2b\b=l

因為aeR,bwR,所以。,解得〈.,

[3=2+b[a=-1

所以+6i|=|-1+i|=4—if+/=拒.

故選：A

3.（本題5分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB8,43=5,">=4,￡>。=1,石是線段

AB上一點，且AE=4EB,動點尸在以E為圓心，1為半徑的圓上，則。PMC的最大

值為（）

A.g一回B.2A/3-6C.V21-6D.-石

【答案】C

【分析】過點。作。OLAB,垂足為。，以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系，DPAC=DEAC+EPAC，通過坐標(biāo)運算和數(shù)量積的定義來求解最值.

【詳解】過點。作DO_LAB,垂足為。，

以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（-2,O）,C（1,26）,D（O,26）,E（2,O）,

則。PAC=（Z）E+EP）.AC=OE-AC+EPAC,

其中。￡.4?=倒,-2@?3,2@=6-12=-6,

EPAC=|EP||AC|COSEP,AC=1XJ'9+12COSEP,AC=@COSEP,AC,

當(dāng)cosEP,AC=l,即EP,AC同向時，EP4C取最大值用，

所以DP.AC的最大值為石■-6.

故選：C.

4.（本題5分）已知數(shù)列｛%｝的前”項和為S“，且S"=2/+3”，則數(shù)列｛4｝（

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】C

【分析】利用S”?！钡年P(guān)系可判定數(shù)列為等差數(shù)列，求出首項，公差再根據(jù)數(shù)列的函數(shù)

特性判定選項即可.

A=〃]=5

【詳解】由S"=2n2+3〃知

S"-S"T=a“=4〃+l("N2)

顯然〃=1時，q=4xl+l=5,所以。〃=4〃+1,

易知?！ㄒ?4,

即數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，首項4=5,公差d=4>0,

所以等差數(shù)列｛q,｝為遞增數(shù)列，有最小項外,無最大項.

故選：C

7T[3

5.(本題5分)已知?！词琧os(?+y0)=-,sin(cr-y0)=-,貝！jtanatan力的

值為()

A.—B.—C.—D.2

253

【答案】B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.

【詳解】cos(a+￡)=cosacos尸一sinasin/=:，

3

sin(cr-^)=sinacos(}-cosasinf3=—,

cos.cos^-sin.sin^l分子分母同時除以得:

sinacosp-cosasmp3

1-tancrtanB1

---------卜w①,

tana-tanp3

a-p>0

jrjrjr

由于0(尸<=</,所以所以0<q_尸<],

八兀

0<。<一

12

所以cos(a-Q)=

sin(6Z-/?)3

所以tan(a-￡)=

cos(a-￡)4

tana-tan63八33八，，、z~x,r

即^----------=-,tan6z-tany0=-+-tan^tan/7,代入①得:

1+tandftan(3444

1-tantan/?1

---------------------——3

3>

|+|tan?tan^解得tan〃tan/?=M

故選：B

6.（本題5分）今年10月份，自然資源部聯(lián)合國家林業(yè)和草原局向社會公布貢嘎山等

9座山峰高程數(shù)據(jù)，其中獅子王高程數(shù)據(jù)為4981.3m,夏諾多吉高程數(shù)據(jù)為5951.3m.已

知大氣壓強P（單位：Pa）隨高度人（單位：相）的變化滿足關(guān)系式11100-111。=#7,「0是

海平面大氣壓強，4=1。7,記夏諾多吉山峰峰頂?shù)拇髿鈮簭姙锽，獅子王山峰峰頂?shù)?/p>

大氣壓強為P2,則上=（）

A

A^0.097R幽Co-0.0970-幽

A.eD.e97c.eg97

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由條件列出方程，結(jié)合對數(shù)的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.

A=

［詳解】由條件可得P"一［笠*兩式相減可得inA=970k,

［InPo-Inp2=4981.3kpx

gp970^970xl0-4=0.097

P2=e=ee

Pl

故選：A

7.（本題5分）已知點在橢圓C：4+《=l（a>0）上，歹為橢圓C的右焦點，

P,Q是C上位于直線AF兩側(cè)的點，且點F到直線AP與直線AQ的距離相等，則直線PQ

與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）

A.H-2）LI（-2,4）B.(-2,3)1(3,4)C.(-4,4)

D.(0,4)

【答案】A

【分析】利用點在橢圓上先求得橢圓方程，設(shè)出直線PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得

到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合條件得的「+心。=0,化簡斜率和可得直線PQ斜率為定值，再

根據(jù)韋達定理和判別式計算即可.

【詳解】將11，j代入￡+'=l（。＞0）中，得a2=3,所以橢圓C的方程為1+：=l.

由題意知，直線尸。的斜率不為0,故設(shè)直線？2的方程為尤=〃。+/,尸（藥,%）。（*2，%），

則玉=myx+t,x2=my2+1,直線PQ與x軸交點的橫坐標(biāo)為t,

x=my+t

由X,（3m2+4）y2+6mty+3?-12=0,

=1

143

則A=36m2?-4（3m2+4）（3*-12）=48（3＞一產(chǎn)+4）＞0,

6mt3r—12

/+%=一記〉跖=

73m2+4

因為尸（1,0）,且點F到直線AP與直線AQ的距離相等,

_3_3

所以心戶+&2=o,即》一'?"F.0

玉一［/一］

Z-l-|mj（y+y）-3（?-l）=0,

整理得2mxy2+12

3產(chǎn)一126mt

即2m?---+I丁

3m2+4I23m2+4

即3m2Sm+4+2mt—4t=09所以（m—2乂3帆—2+2。=。.

由題意知，直線尸。不經(jīng)過點小,1］,故32+2/wO,

所以加一2=0,得根=2,

當(dāng)機=2時，由3機—2+2/wO得2,

由A=48（3療-產(chǎn)+4）=48（16-巧＞0,解得T＜/＜4,

故直線PQ與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（T,-2）”-2,4）.

故選:A.

【點睛】方法點睛：①利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或方程根的判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而

確定參數(shù)的取值范圍.②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，這類問題的核心是建

立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.③利用已知的或隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參

數(shù)的取值范圍.④將待求量表示為關(guān)于其他變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式等求其

值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.如本題需先設(shè)直線PQ的方程為x=并得到私,

的關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系得到t的取值范圍.

8.(本題5分)已知定義在R上的函數(shù)〃尤)滿足〃x+l)=3〃x),當(dāng)xe(-LO］時,

|2x+l|-l

〃x)=.若以?力刁,/(x)>-18,則/的取值范圍是()

3

1011011,1010

A.5B.C.D.—oo,——

T)3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)xe(TO］時，〃尤)的單調(diào)性和最值，進而結(jié)合/(x+l)=3/(x)

以及恒成立問題分析求解.

2

—X,XG

,/、|2x+11—13

【詳解】由題意可知：當(dāng)xe(zT0］時，=J_<4'°

-2x-2

3

可知在［1,-g］上單調(diào)遞減，在上1單調(diào)遞增，/(x)W0且〃尤)的最小值

2

為T；

當(dāng)xe(O,l］時,X—lG(TO］,/(x)=3/(x-l)=|2x-l|-l>-l;

當(dāng)x?l,2］時,x—2w(_1,0j,/(X)=32/(^-2)=3|2X-3|-3>-3；

當(dāng)xe(2,3］時,x—3G(—1,0］,/(X)=33/(-^-3)=9|2X-5|-9>-9；

當(dāng)xe(3,4］時,尤-4w(-1,0］,/(X)=34/(^-4)=27|2X-7|-27>-27.

令27|2x—7|—27=—18,解得了*或x=g,

因為Vxe（foj],/（x）＞-18,所以Y飛，

故選：D.

【點睛】方法點睛：函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

（1）函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.

（2）解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進行

轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值（值域）問題，從而求

出參變量的范圍.

二、多選題（共20分）

9.（本題5分）下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法正確的

是（）

2014?2023年糧食年產(chǎn)量

國

火

、*

忙20-----------------------------------------------------

吩15-----------------------------------------------------

10-----------------------------------------------------

5-----------------------------------------------------

0-------------1-------T---------------------------------------------------------

年份

A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15

B.這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33

C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29

D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差

【答案】ABC

【分析】ABC選項，由極差，百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求出答案；D選項，根據(jù)圖形

及方差的意義得到D錯誤.

【詳解】A選項,將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25,26,27,28,28,30,33,36,37,

40,

這10年的糧食年產(chǎn)量極差為40-25=15,故A正確；

B選項，/=10x65%=6.5,結(jié)合A選項可知第65百分位數(shù)為第7個數(shù)33,故B正確;

C選項，從小到大，選取第5個和第6個的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，

這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為1^=29,故C正確；

D選項，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動小于后5年的糧食產(chǎn)量波動,

所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故D錯誤;

故選：ABC.

22

10.（本題5分）已知橢圓土+4=l（0<b<3）的左、右焦點分別為耳，用,過點耳的直

線/交橢圓于A,8兩點，若|明的最小值為4,則（）

A.橢圓的短軸長為布

B.|/閭+忸,最大值為8

C.離心率為更

3

D.橢圓上不存在點尸，使得旦=90°

【答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓的焦點弦中通徑最短,可得橢圓方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷A,C項;

根據(jù)焦點三角形的周長和的最小值為4,可判斷B項；根據(jù)橢圓中當(dāng)動點尸與短軸頂

點重合時,/KP&最大，結(jié)合余弦定理即可判斷D項.

【詳解】易知當(dāng)AB/x軸時,即線段A3為通徑時,|鉆|最短，

...I±也=4,解得676,橢圓方程為—+^=1.

11396

二橢圓的短軸長為2b=26,故A錯誤；

因為△ABg的周長為++忸E|=|M[+|9|+|明|+忸閶=4a=12,

且ML=*.（|A閭+|阻）m「12-[A<n=8,故B正確；

c=J/一/二百,〃=3,.,.離心率e=>=故C正確；

a3

易知當(dāng)點尸位于短軸頂點時，/與尸工最大，此時|P耳H2q=°=3,閨用=2c=2g,

cosZFtPF2=?+；產(chǎn)2>0,又4尸工為三角形內(nèi)角,HPF2e（0,

二橢圓上不存在點尸，使得=90°,故D正確.

故選：BCD.

11.（本題5分）如圖，在邊長為2的正方形A片鳥片中，線段2C的端點2,C分別在

邊片8,1月上滑動，且鳥8=鳥。=尤.現(xiàn)將AP.B,分別沿AB,C4折起使點斗鳥重

合，重合后記為點P,得到三棱錐P-A5c.現(xiàn)有以下結(jié)論：（）

A.AP工平面P2C；

B.當(dāng)B,C分別為￡鳥的中點時，三棱錐P—ABC的外接球的表面積為6兀；

C.x的取值范圍為(0,4-2e)；

D.三棱錐尸-ABC體積的最大值為g.

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意得，折疊成的三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱滿足以1PB、PA1PC,由線

面垂直的判斷定理得A正確；三棱錐尸-ABC的外接球的直徑等于以E4、PB、PC為

長、寬、高的長方體的對角線長，由此結(jié)合AP=2、BP=CP=1,得外接球的半徑/?=

旦,由此得三棱錐P-ABC的外接球的體積,故B正確；由題意得xe(0,2),BCfx，

2

PiC=PlB=PB=PC=2-x,在△CPB中，由邊長關(guān)系得(0,4-2應(yīng))，故C正確；利用導(dǎo)

數(shù)求解最值即可，故D錯誤.

【詳解】由題意得，折疊成的三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱滿足B41PB、^41PC,

在A中，由必_LP3,E41PC,且PBPC=P,

所以API平面尸3c成立，故A正確；

在B中，當(dāng)氏C分別為勺鳥、乙心的中點時，

三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，

三棱錐尸-ABC的外接球直徑等于以陰、PB、PC為長、寬、高的長方體的對角線長,

結(jié)合AP=2,BP=CP=x=l,

得外接球的半徑R=&+八4=,

22

所以外接球的表面積為S=4TTR2=4無x］半)=671,故B正確；

在C中，正方形A64A的邊長為2,

所以xe(0,2),BC=Cx,P3C=PXB=PB=PC=2-X,

在△CP8中，由邊長關(guān)系得2-尤+2-彳＞缶，

解得尤e(0,4-2點)，故C正確；

在D中，因為,PBC的面積為S=gx&xx“2-x)2-(￥x)2=|VX4-8%3+8X2

設(shè)/(九)=x4-8x3+8x2,

32

(x)=4x—24x+16x=4x(元2—6%+4)

當(dāng)0<尤<3-百時，f\x)>0,當(dāng)3-?<九<4-2后時，rW<0

)(九"(3-⑹>/()=1，所以5>；.

191

Vp-ABC=VA-PBC=3S><2=35>3,故D錯誤.

故選：ABC.

【點睛】本題將正方形折疊成三棱錐，求三棱錐的外接球的表面積.著重考查了長方體

的對角線長公式、利用導(dǎo)數(shù)求三棱錐的體積最值等知識，屬于中檔題.

12.(本題5分)已知定義域為R的函數(shù)y=〃x)滿足〃2024-x)=〃x-2022),且函

數(shù)y="2x-l)是奇函數(shù)，〃0)=手，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=〃x)的一個周期是8

2030[2

B.。㈤=乎

k=l乙

C.函數(shù)y=/(x-3)是偶函數(shù)

D.若"1)=6—則2￡03(0一2)力4"3)=國2—22曲)

k=\

【答案】ACD

【分析】本題要從前兩個抽象表達式入手，判斷函數(shù)的軸對稱和中心對稱兩個特征，從

而得出函數(shù)的周期性，接著通過賦值代入求出一個周期內(nèi)的函數(shù)值或者項的特征，可相

繼判斷B,D兩項，利用偶函數(shù)的定義可判斷C項.

【詳解】由/(2024-x)=〃x-2022)可知函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

因為函數(shù)y=/(2x-l)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(TO)對稱，

(根據(jù)y=〃2x-l)是奇函數(shù)，得了(-2尤-1)=-”2x-l),即/(r-l)=-/(x-1)得至IJ)

因此函數(shù)y=/(x)的一個周期為8,

(若函數(shù)〃x)的圖象既關(guān)于直線x=。對稱，又關(guān)于點白，0)對稱，則函數(shù)“％)的周期

為4性-4)，故選項A正確；

對于選項B：由函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，得

〃-l)=OJ⑴+/(-3)=〃l)+〃5)=0,/(2)+/H)=/(2)+/(4)=0,

〃—2)+〃0)=〃6)+〃8)=0,又〃—1)=43)"(—1)=〃7),所以"3)=八7)=0,

8

故￡"4)=0,

k=l

2030[7

因此Ey任”/(1)+/(2)++/(6)=/(6)=一〃8)=-〃0)=-+,因此選項B錯誤;

&=12

對于選項c：/(-x-3)=/(x+5)=/(x-3),故函數(shù)y=/(x—3)是偶函數(shù)，故選項C

正確；

對于選項D：令g(x)=I(4x-3),則

g(x+2)=/(4(x+2)-3)=/(4x+5)=/(4x-3)=g(x),因此函數(shù)y=g(x)的一個周期

是2,

因〃1)=石，所以8⑴:/⑴=J,又/⑴+汽5)=0,故g(2)"(5)=-〃1)=-百,

所以當(dāng)X為奇數(shù)時g(x)=6,當(dāng)X為偶數(shù)時g(x)=-G,

2023202320232023

所以，(-2)。(4左-3)=f(-2『g㈤=￡(-2了6=-成2k

k=lk=lk=lk=l

232023210232024故選項正確.

=-V3(2+2+2++2)=.(-^)=(2-2)-D

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：本題考查了抽象函數(shù)圖像的對稱性和周期性，屬于難度較大知識點.

關(guān)于函數(shù)的對稱性和周期性主要有以下結(jié)論.

設(shè)函數(shù)，(x),xeR,a>0,a".

(1)若f(x+a)=/(x-a),則函數(shù)的周期為2a；

(2)若/(x+a)=-〃x),則函數(shù)〃x)的周期為2a；

]

若〃

(3)x+a)=〃龍)’則函數(shù)〃尤)的周期為2a；

若小+力看

(4)則函數(shù)的周期為2a；

(5)^f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)〃力的周期為|。-加

(6)若函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b對稱，則函數(shù)〃x)的周期為2弧-4；

(7)若函數(shù)〃尤)的圖象既關(guān)于點0)對稱，又關(guān)于點(反0)對稱，則函數(shù)〃元)的周

期為2|b-a|；

（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點修,0）對稱，則函數(shù)的周

期為4|6-小

（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)〃x）的周期為2a；

（10）若函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=。對稱，則函數(shù)的周期為4a.

第II卷（非選擇題）

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三、填空題（共20分）

13.（本題5分）（2/-3x）12J的展開式中含x的項的系數(shù)為.

【答案】960

【分析】利用二項展開式的通項公式分析運算求解.

【詳解】卜的展開式的通項為27T（-1）04,故令r=0,2,

可得（2/-3同（2-十］的展開式中含％的項的系數(shù)為:

(-3)xC°x27+2xC,x25=-384+1344=960.

故答案為：960.

14.（本題5分）已知函數(shù)y=2sin,x+：卜。＞0）在（0制上恰有兩個零點，則0的取

值范圍.

2133

【答案】不了

【分析】由。一苦心。得至味x瀉吒，由零點個數(shù)得到不等式，求出答案.

JT

【詳解［0<x<-,^>0,

?A兀

3

71717171

——<COXH---V-(D~\-----,

4434

函數(shù)在上恰有兩個零點，

兀71

2兀<—ty+—^37if解■彳導(dǎo)，coG

山林上生（2133「

故答案為：—

15.（本題5分）一個平臺的俯視圖為一個3x3的方格表，初始時在中心的方格。處有

一只電子瓢蟲，每過一秒鐘，該瓢蟲都會隨機選擇平行于平臺邊界的四個方向之一移動

一個單位.如果瓢蟲跌落平臺就會“死亡”，那么在2023秒后，該瓢蟲仍然“存活”的概

率是.

【答案】

【分析】設(shè)第"秒后瓢蟲在角的概率為力，在中心的概率z.，在邊中間的概率為口，由

題設(shè)可得它們的遞推關(guān)系，從而可求2023秒后，該瓢蟲仍然“存活”的概率.

h

n

【詳解】

設(shè)第"秒后瓢蟲在角的概率為力，在中心的概率Z“，在邊中間的概率為

其中/=。，4=0,仇=1,所以J；=g,Z2=；,方2=。，

2023-1

又2+1=Z“+5/“=5,%023

故J2023=Z2023=。，

故在2023秒后，該瓢蟲仍然“存活”的概率為，2023+Z2023+%23=爹而"，

故答案為：

【點睛】思路點睛：對于有連續(xù)變化過程的概率問題，一般可設(shè)出數(shù)列，通過題設(shè)條件

得到數(shù)列的遞歸關(guān)系，再結(jié)合數(shù)列通項的求法求出概率.

16.（本題5分）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒

就是其中之一，該禮品包裝盒可以看成是一個十面體,其中上、下底面為全等的正方形，

所有的側(cè)面是全等的三角形.將長方體ABCD-A與￡2的上底面4耳G9繞著其中心

旋轉(zhuǎn)60。得到如圖2所示的十面體ABCD-EFG”.已知筋=AD=2,AE=^,P是

底面正方形ABCD內(nèi)的點，且P到AB和AO的距離都為走，過直線EP作平面a,則

2

十面體ABCD-EFGH外接球被平面C所截的截面圓面積的最小值是

圖1

【答案】及I

【分析】先求外接球半徑,再結(jié)合空間向量求出球心到直線EP的距離，結(jié)合球的結(jié)構(gòu)

特征即可求出截面圓的最小值.

上底面的平面圖如下所示:

記4月G2的中心為。一連接因為旋轉(zhuǎn)了60。,

所以O(shè)WE為等邊三角形，AE=OA=應(yīng),

又因為長方體ABCD-ABCA中，明,平面后/心”，AEu平面EFG”,

所以所以AE2=AA:+AE2=6,

解得41t=2,

因為十面體ABCD-EFGH是將長方體ABC。-AAG"的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)60°

得到的,

所以長方體AB。-A4C。的外接球就是十面體ABCD-EFG”的外接球;

設(shè)十面體ABCD-EFGH的外接球半徑為R,則47?2=AB2+AD2+44/

22+于+2=5

即R=

4

以。為原點建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

圖2

結(jié)合第一幅圖可知，/網(wǎng)后=60。-45=15°,

可得,A^EcosZBA^E=A/2cosl50=^^-,

所以/（空空,J,

又因為尸到ASA。的距離為也，所以尸口一半，4,o],球心0（1,1,1）,

2I22

所以正=恒_1，3,2],0￡=■\/3+1sfi—1

\PE0E\

所以最小截面圓的半徑為'.I1

PE

\PEOE\39+12百

此時截面圓面積為萬一~371,

PE\3。-46

39+126

故答案為:71.

30-473

四、解答題（共70分）

17.（本題10分）云南省文山市東山公園的文筆塔，是當(dāng)?shù)氐臉?biāo)志性建筑.文筆塔最初

建于康熙年間，舊塔高為19.33米，1997年重建新塔工程全面啟動，歷時一年，于1998

年3月底修建而成，從遠處望去，東山山頂上的文筆塔恍惚成為海市蜃樓，疑是人間仙

境，如夢如幻，美麗無比.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了測量文筆塔高度，在如圖所示的點A

處測得塔底位于其北偏東60。方向上的。點處，塔頂C的仰角為60。.在A的正東方向且

距A點40m的點B處測得塔底在其北偏西45。方向上（A、B、。在同一水平面內(nèi)）.

⑴求sinZADB的值；

⑵求文筆塔的高度CD.

【答案】⑴員而

4

(2)(120-40月)m

【分析】(1)利用兩角和與差的正弦公式即可;

(2)根據(jù)正弦定理得到AD=(百再利用三角函數(shù)得8=(3-我AB,代入數(shù)據(jù)

即可.

【詳解】(1)如圖，由題意得,

ZBAD=30°,ZABD=45,ZADB=105°.

sinZADB=sin105°=sin(450+60°)=sin45°cos600+cos450sin60°

垃1垃。血+底

=X--1X=----------------

22224

(2)在中，

A5AD

由正弦定理得

sinZADBsinZABD

..八ABxsin45°

.?AD=----------=(V3-1)AB

sinl05°

CDVAD,且NC4D=60°,

???在RtAACD中，CD=ADtan600=(3-百)AB=40x(3-4)=120-40百,

文筆塔的高度為(120-4073)m.

18.(本題12分)已知等比數(shù)列｛凡｝的公比為4‘記S",［分別為數(shù)列［:卜］(-1廣),｝

的前”項和.

7

⑴若。＜4-5,求心

(2)若%=4,與8—46=98,求邑7.

【答案】(1)4=乎

2)—

98

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解，

(2)根據(jù)求和公式即可求解.

【詳解】(1)易知為首項為工，公比為’的等比數(shù)列，故=”

1廣,.｝為首項為生,公比為的等比數(shù)列，故.=［一GJ

(/_2),一'=0,又0<”1,故q瀉.

(2)由題意可知qwl,%-勾=q=%(qT),所以勾=一^7，則

q-i

T9S~T96=a97~a9&=ai(/6->)=~(f=98,

q91-1-98-199

q(qf6-9898-

19.(本題12分)如圖，設(shè)E-ABCD與尸-ABCD為兩個正四棱錐，且/E4F=90。,

點尸在線段AC上，且CP=3PA.

cos(a+￡)

(1)記二面角E—3C—A,R—BC—A的大小分別為。，P,求一J一次的值;

cos(tz-p)

⑵記E尸與EB所成的角為凡求cos。的最大值.

【答案】(D-1

【分析】（1）根據(jù)二面角的平面角定義作圖，結(jié)合三角形相似以及三角函數(shù)性質(zhì)，可得

答案；

（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線方向向量，利用夾角公式，可得答案.

【詳解】（1）記正方形ABCD的中心為O,則所經(jīng)過點O,

所以有又因為/E4F=90。，所以尸=0T,

記BC的中點為連結(jié)EM,FM,OM,

在正四棱錐中，易知FMLBC,OMLBC,

所以NEMO,/FMO分別為二面角E—3C—A,P—3C—A的平面角,

r。OEOFOEOF0A2

所C以h)tanatan￡=-------------

OMOMOM2OM2

..,cos(e+￡)cosacos/3-sinasin/31-tanatan尸1

pj-ppJ--------------=-------------------------------=-------------------=

cos(a一q)cosacos/?+sin?sin(31+tanatan/33

（2）以。為空間坐標(biāo)原點，OA,0B,?！攴较驗闊o軸，y軸，z軸的正方向，建立空

間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)A（缶,0,0）,網(wǎng)0,缶,0）,E（0,0,e）,尸（0,0"）,則團=2〃,

-^-a,0,-e

由"=尸可知尸為。的中點，則EP=FB=(0,^2a,-f),

3AAP12)I2J

iUirUUTI

EP'FB\\ef\

皿|ULT|='i---------------------

所以EP\-\FB\/丁行^

所以當(dāng)團=2忖時，cose取到最大值

20.(本題12分)班會課上，甲、乙兩位同學(xué)參加了“心有靈犀”活動：從5個成語中隨

機抽取3個，甲同學(xué)負責(zé)比劃，乙同學(xué)負責(zé)猜成語.甲會比劃其中3個，甲會比劃的成

語，乙猜對的概率為甲不會比劃的成語，乙無法猜對.

(1)求甲乙配合猜對2個成語的概率；

(2)設(shè)甲乙配合猜對成語個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3

【答案】⑴2

16

9

(2)分布列見解析；期望為5

【分析】(1)由甲乙配合猜對2個成語，則需要抽中2個或3個甲會比劃的成語，進而

求得其概率；

(2)由題意，得到X可能的取值為0」,2,3,求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望

的公式，即可求解.

【詳解】(1)解：甲乙配合猜對2個成語，則需要抽中2個或3個甲會比劃的成語，

記事件A為甲乙配合猜對2個成語，可得尸解)=詈xg]+!|c；xg]x1=A,

3

所以甲乙配合猜對2個成語的概率為7.

16

(2)解：由題意，隨機變量X可能的取值為0J2,3,

C；C；15

可得p(x=0)=H-X——=—

C；216

P(X=1)半C3C211C'C；139

+^-r-X—X-----1—-——X—=------

C322c280

2

*x=2)=*3

216

詈MY

P(X=3)=

所以X的分布列為

X0123

53931

P

16801680

53Q31Q

數(shù)學(xué)期望E（X）=—xO+——xl+—x2+—x3=—.

V71680168010

21.（本題12分）設(shè)點A/是直線y=-l上的一個動點，。為坐標(biāo)原點，過點M作無軸

的垂線/?過點。作直線的垂線交直線/于P.

⑴求點尸的軌跡。的方程；

22

⑵過曲線C上的一點P（異于原點。）作曲線C的切線4交橢圓二+土=1于A,8兩

43

點，求rAC?面積的最大值.

【答案】（1）/=>

②6

【分析】（1）設(shè)出尸點坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系寫出對應(yīng)向量關(guān)系式，由此可得軌跡C的方

程；

（2）設(shè)出直線4的方程，根據(jù)直線乙與曲線C相切得到關(guān)于上根的表達式，然后通過聯(lián)

立方程結(jié)合韋達定理以及弦長公式表示出A08的面積，最后利用基本不等式求解出最

大值.

【詳解】（1）設(shè)P（x,y）,則所以O(shè)P=（x,y）,OW=（x,—l）,

因為OP_LOM,所以O(shè)P.OM=0，所以V-y=。，

所以點尸的軌跡C的方程為Y=y；

（2）設(shè)A（%，x）,3（孫％），li-y=kx+m,

因為《為曲線C的切線，

聯(lián)立彳％2_）可得/一區(qū)一根=0,所以D=^+4a=0,

聯(lián)立］2可得（3/2+4）尤2+6?+3機2-12=0,

所以西+%=-含\，中2=，且公=（一6機）2-4（3左2+4）0■一12）>0,即

3k2+4>nr,

所以河卜Jl+12X](占+%)2-4占％=，1+公X慧-4x

j-

v\3K?Ay3K十今

_46XJ1+%2X13尸+4-病

―3尸+4'

\/fi\

又因為原點到直線AB的距離d

1\m\(473xy]l+k2xV3^2+4-m226Mx,3左2+4->

所以S—X——4-X--------------------------------------------

21+k23k2+43/+4

m2+3人2+4-m2

2后標(biāo)x行產(chǎn).2島三「=收

3k2+4-m2〃i=-3—y/l\

當(dāng)且僅當(dāng)(此時滿足3%，+4>加2)時取等號,

k2+4m=0/=12+4而

綜上可知，A03面積的最大值為