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2024屆廣東省廣州市增城高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.3.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.4.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,若弦的長(zhǎng)為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或5.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.6.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.7.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形,若,則A. B.C. D.8.已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn),過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn),若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B. C. D.9.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,實(shí)際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后,可以制作框圖,編寫程序,得到解決,例如,為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應(yīng)填入()A., B. C., D.,10.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下:過空間一點(diǎn)作平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點(diǎn),點(diǎn)到,的距離都是3,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.12.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則________.14.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.15.已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,動(dòng)點(diǎn)在直線上,若恒為銳角,則橢圓的離心率的取值范圍為__________.16.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,其中為左焦點(diǎn).點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn),、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對(duì)于任意,.19.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國(guó)有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí);(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí);(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷,且利潤(rùn)分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷,利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元,求X的分布列與期望.20.(12分)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,已知,.(1)求;(2)若的面積,求.21.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.22.(10分)已知矩陣的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
作出韋恩圖,數(shù)形結(jié)合,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示,,同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件,注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算,屬于中等題.4、C【解析】
先根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當(dāng)直線的方程為.,綜上,或.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)問題一般是利用弦長(zhǎng)公式來(lái)處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般考慮拋物線的定義.5、A【解析】
分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.6、D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱,排除AB,計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】
由可得,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形,所以,故選A.8、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x,不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=(x﹣c),與y=﹣x聯(lián)立,可得交點(diǎn)M(,﹣),∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.則e=>1.∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,+∞).故選:A.點(diǎn)睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式,建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.9、A【解析】
依題意問題是,然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應(yīng)填入,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當(dāng)時(shí),,又,所以為偶函數(shù),從而等價(jià)于,因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.11、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程,得到,進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡(jiǎn)得:,則,解得:,即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.12、B【解析】
根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對(duì)稱軸,求得的值,進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
由向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算.注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時(shí),滿足題意,時(shí),,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,解題時(shí)要注意驗(yàn)證方向相同這個(gè)條件,否則會(huì)出錯(cuò).15、【解析】
根據(jù)題意可知圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直,恒為銳角,只需直線與圓相離,從而可得,解不等式,再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得,圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直,因此當(dāng)直線與圓相離時(shí),恒為銳角,故,解得從而離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了邏輯分析能力,屬于中檔題.16、【解析】
設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?,所以,即,因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,所以,即,而,因?yàn)?,所以在上遞增,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式,運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)可得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,得,即,所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,.;(2)由(1)知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,.,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用,注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和法和裂項(xiàng)相消求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn),利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上,列出方程組,求出,值;(2)首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),即將不等式右邊式子左移,得,構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號(hào),這里應(yīng)注意的取值范圍,從而證明不等式.【詳解】解:(1)由于直線的斜率為,且過點(diǎn),故即解得,.(2)由(1)知,所以.考慮函數(shù),,則.而,故當(dāng)時(shí),,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題,以及不等式證明問題,考查了分析及解決問題的能力,其中,不等式問題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關(guān)鍵.19、(1)(2)①2②期望值為X900600300100P【解析】
(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,.由得,所以當(dāng)時(shí),,即,由得,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,所以X的分布列為X900600300100P則期望為.20、(1);(2)【解析】
試題分析:(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦,再利用兩角差的余弦定理即可求出;(2)根據(jù)(1)及面積公式可得,利用正弦定理即可求出.試題解析:(1)由,得,∴.∵,∴.由,得,∴.∴.(2)由(1),得.由及題設(shè)條件,得,∴.由,得,∴,∴.點(diǎn)睛:解決三角形中的
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