2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識解讀）

二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識解讀）

【專觀餞明】

二次函數(shù)背景下與角有關(guān)的存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點(diǎn)

問題，這種類型的題目綜合性較強(qiáng)，更重要的是涉及方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)

合思想、分類討論等重要的思想方法，對學(xué)生分析、解決問題的能力具有較高

的要求。為此，我將與角有關(guān)的壓軸題常見的題型及解法做一整理

【知狷立梳理】

類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題。

如例1：拋物線y=-x+3x+4,與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C,CP，y軸交拋物線與點(diǎn)P,

點(diǎn)M為A、（：間拋物線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求滿足NMPO=NPOA的點(diǎn)M的坐

標(biāo)。

分析：顯然符合條件的點(diǎn)M有兩個，OP上方一個，OP下方一個、當(dāng)M在OP

上方時，由NMPO=NPOA可知PM〃OA,則M與C點(diǎn)重合。當(dāng)M在OP下方時，

ZMPO=ZPOA,這兩角組成的三角形是等腰三角形。設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)D,坐

標(biāo)為D（n,0）,由兩點(diǎn)間距離公式可表示出OD、PD長，根據(jù)OD=PD列方程即可求

出D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PD直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)而求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

類型二:將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對應(yīng)的三角函

數(shù)(通常是正切值)相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角

的一邊與坐標(biāo)軸平行(重合)；

1

例2如圖，拋物線丫=5乂一9+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其對

稱軸交拋物線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,已知0B=0C=6.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連接BD,F為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)NFAB=NEDB時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

v

解析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=；Y—2x+6及各定點(diǎn)坐標(biāo)，第二

問中的F有兩種情況：x軸上方一個，x軸下方一個。在Rt/BDE中，可知tan

ZEDB=-,則tan/FAB=1，過F作x軸垂線，構(gòu)造NFAB所在直角三角形，接

22

著通過設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，表示FH和AH長，根據(jù)tanNFABF=Hd=上1列方程，或利用

AH2

相似三角形對應(yīng)邊成比例列式，從而求出點(diǎn)F坐標(biāo)，由于表示FH時加了絕對值，

已經(jīng)考慮到了上下兩種情況，這樣兩個F就都求出來了。

還可以從圖形的角度發(fā)現(xiàn)一對反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關(guān)系，

進(jìn)而求出AF的直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，這也是不錯

的方法。

另一種是所求角的邊不與坐標(biāo)軸平行。

例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=；x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)

C,拋物線y=-；x+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)x軸上有一點(diǎn)E(士，0),連接CE,點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動點(diǎn)，

2

過點(diǎn)D作DFLAC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得^CDF中的某個

角恰好等于NAEC?若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

13

分析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=-^x-±x+2及各定點(diǎn)坐標(biāo)。第二問要

22

分類討論，當(dāng)NCDF=NAEC或是NDCF=NAEC時，先來討論NCDF=NAEC的情

44

況。在Rt/COE中，可知tanZAEC=-,當(dāng)NCDF=ZAEC時，tanNCDF=—，即

33

CF:DF=4：3,然后，在直角頂點(diǎn)F處構(gòu)建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3,設(shè)

CF=3m,DF=4m,由△CFHs^CAO可得FH=8m,同理DG=6m,由GI=HO=2-4m,

可得Dl=2+2m,從而寫出D點(diǎn)坐標(biāo)(-llm,2+2m)，將其代入拋物線表達(dá)式求得D

點(diǎn)坐標(biāo)。

或是在A處作垂直構(gòu)建一線三垂直模型，利用相似寫出K點(diǎn)坐標(biāo)，在求出CK直

線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立從而求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)。

當(dāng)NDCF=NAEC時，可用同樣方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)。

類型三：二倍角或半角的存在性問題

(一).二倍角的構(gòu)造方法

如圖，已知我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造加，在BC邊

上找一點(diǎn)D,使得BD=AD,則NADC=2c.

這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)(一般用正切)計算就

可以了。

(二)半角的構(gòu)造方法

如圖，已知N。，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：

方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長CB至D,

使得BD=BA,則ND=^a,若AC、BC的長度已知，則容易求出tan/D的值，

2

從而進(jìn)行相關(guān)計算。

方法二：如圖，直接做的角平分線BE,若AC、BC的長度已知，則容易求

出tanZEBC的值。

【典例今祈】

【類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題】

【典例1】(2022?荷澤)如圖，拋物線>=辦2+萬龍+c(°#0)與x軸交于A(-2,0)、8

(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式1](2022秋?大連月考)拋物線y=-上一+公+c過點(diǎn)&(4,0),B(0,2).

4

(1)求直線AB的解析式和拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，ZPBA=ZBAO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對應(yīng)的三角函數(shù)(通

常是正切值)相等問題】

【典例2】(2022秋?大連月考)如圖，拋物線y=o?+2ax+c經(jīng)過8(1,0),C(0,3)

兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A,點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接AC、BC,在拋物線上是否存在點(diǎn)使若存在，

直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【變式2】(2022秋?瓦房店市月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7-4x-

3與無軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)2在點(diǎn)A的左側(cè))，拋物線對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E,與x

軸交于點(diǎn)F.

(1)求直線BC的解析式；

(2)如圖1,拋物線的頂點(diǎn)為。，拋物線的對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,連接AE,點(diǎn)P

【類型三：二倍角或半角的存在性問題】

【典例3】（2022?惠山區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=/+6x+c

與y軸交于點(diǎn)C,與無軸交于A、8兩點(diǎn)，直線y=x+3恰好經(jīng)過8、C兩點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)。是拋物線上一動點(diǎn)，連接。8、DC.若△BCD的面積為6,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

（3）設(shè)E是拋物線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AE,若N3AE=2NAC2,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【變式3-1］（2022?黃石）如圖，拋物線y=-2?+2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三

33

點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為加.

（1）A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.

（2）連接AP,交線段于點(diǎn)。，

①當(dāng)CP與x軸平行時，求型的值；

DA

②當(dāng)CP與x軸不平行時，求型的最大值；

DA

（3）連接CP,是否存在點(diǎn)P,使得/8CO+2/PC8=90°,若存在，求機(jī)的值，若不

存在，請說明理由.

【變式3-2]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x+5)(x-3)與x軸交與A、

B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且過點(diǎn)(-2,4).

(1)直接寫出。的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M,N兩點(diǎn)，

兩拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)M到直線PB的距離；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D,使得

ZDAB=-ZPBA?若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2

【類型四：角度等于定值問題】

【典例4】(2022?盤錦)如圖，拋物線y=7+b.t+c與無軸交于A,B(4,0)兩點(diǎn)(A在B

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).點(diǎn)尸在拋物線上，連接BC,BP.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，若點(diǎn)尸在第二象限，點(diǎn)廠為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸/與線段2C交

于點(diǎn)G,當(dāng)/P8C+/CFG=90°時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【變式4-1](2021?內(nèi)江)如圖，拋物線y=o?+bx+c與天軸交于A(-2,0)、8(6,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線/與拋物線交于A、。兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直線/的解析式；

(2)若點(diǎn)。是y軸上的點(diǎn)，且乙4。。=45°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【變式4-2](2020?淄博)如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形042c是平行四邊形，經(jīng)過A

(-2,0),B,C三點(diǎn)的拋物線y=a/+/z#|(a<0)與x軸的另一個交點(diǎn)為。，其頂

點(diǎn)、為M,對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q,使得NPQE

備用圖

【變式4-3](2022?羅湖區(qū)校級一模)如圖，已知拋物線y=-』？+bx+c交x軸于A(-3,

3

0),B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)。使得NQBA=75。？若存在，直接寫出點(diǎn)。的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

J

二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識解讀）

【專莖餞明】

二次函數(shù)背景下與角有關(guān)的存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點(diǎn)

問題，這種類型的題目綜合性較強(qiáng)，更重要的是涉及方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)

合思想、分類討論等重要的思想方法，對學(xué)生分析、解決問題的能力具有較高

的要求。為此，我將與角有關(guān)的壓軸題常見的題型及解法做一整理

【知鶴五梳理】

類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題。

如例1：拋物線y=-x+3x+4,與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C,CP±y軸交拋物線與點(diǎn)P,

點(diǎn)M為A、（：間拋物線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求滿足NMPO=NPOA的點(diǎn)M的坐

標(biāo)。

分析：顯然符合條件的點(diǎn)M有兩個，0P上方一個，0P下方一個、當(dāng)M在0P

上方時，由NMPO=NPOA可知PM〃OA,則M與C點(diǎn)重合。當(dāng)M在0P下方時,

ZMPO=ZPOA,這兩角組成的三角形是等腰三角形。設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)D,坐

標(biāo)為D（n,O）,由兩點(diǎn)間距離公式可表示出OD、PD長，根據(jù)OD=PD列方程即可求

出D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PD直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)而求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

類型二:將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對應(yīng)的三角函

數(shù)（通常是正切值）相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角

的一邊與坐標(biāo)軸平行（重合）；

1?

例2如圖，拋物線y=~X+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其對

稱軸交拋物線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,已知0B=0C=6.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連接BD,F為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)NFAB=NEDB時，求點(diǎn)F的坐標(biāo);

解析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=；Y—2x+6及各定點(diǎn)坐標(biāo)，第二

問中的F有兩種情況：x軸上方一個，x軸下方一個。在Rt/BDE中，可知tan

ZEDB=-,則tan/FAB=1，過F作x軸垂線，構(gòu)造NFAB所在直角三角形，接

22

著通過設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，表示FH和AH長，根據(jù)tanNFABF=Hd=上1列方程，或利用

AH2

相似三角形對應(yīng)邊成比例列式，從而求出點(diǎn)F坐標(biāo)，由于表示FH時加了絕對值，

已經(jīng)考慮到了上下兩種情況，這樣兩個F就都求出來了。

還可以從圖形的角度發(fā)現(xiàn)一對反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關(guān)系，

進(jìn)而求出AF的直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，這也是不錯

的方法。

另一種是所求角的邊不與坐標(biāo)軸平行。

例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=；x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)

C,拋物線y=-；x+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)x軸上有一點(diǎn)E(-,0),連接CE,點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動點(diǎn)，

2

過點(diǎn)D作DFLAC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得^CDF中的某個

角恰好等于NAEC?若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

13

分析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=-±x-±x+2及各定點(diǎn)坐標(biāo)。第二問要

22

分類討論，當(dāng)NCDF=NAEC或是NDCF=NAEC時，先來討論NCDF=NAEC的情

44

況。在Rt/COE中，可知tanZAEC=-,當(dāng)NCDF=ZAEC時，tanNCDF=-，即

33

CF:DF=4：3,然后，在直角頂點(diǎn)F處構(gòu)建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3,設(shè)

CF=3m,DF=4m,由△CFHs^CAO可得FH=8m,同理DG=6m,由GI=HO=2-4m,

可得Dl=2+2m,從而寫出D點(diǎn)坐標(biāo)（-llm,2+2m），將其代入拋物線表達(dá)式求得D

點(diǎn)坐標(biāo)。

或是在A處作垂直構(gòu)建一線三垂直模型，利用相似寫出K點(diǎn)坐標(biāo)，在求出CK直

線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立從而求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)。

當(dāng)NDCF=NAEC時，可用同樣方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)。

類型三：二倍角或半角的存在性問題

（三）?二倍角的構(gòu)造方法

如圖，已知N。，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造加，在BC邊

上找一點(diǎn)D,使得BD=AD,則NADC=2a.

這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就

可以了。

（四）半角的構(gòu)造方法

如圖，已知N。，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：

方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長CB至D,

使得BD=BA,貝i]ND=La,若AC、BC的長度已知，則容易求出tan/D的值，

2

從而進(jìn)行相關(guān)計算。

方法二：如圖，直接做的角平分線BE,若AC、BC的長度已知，則容易求

出tanNEBC的值。

【真例臺新】

【類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題】

【典例1】(2022?荷澤)如圖，拋物線y=a?+Zw+c(aWO)與x軸交于A(-2,0)、2

(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)?拋物線y=o?+bx+cQWO)與x軸交于A(-2,0)、8(8,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4),

4a_2b+c=0

64a+8b+c=0,

c=4

c=4

:.拋物線的表達(dá)式為y=-+3+4；

2

C.PC//AB,

...點(diǎn)C,尸的縱坐標(biāo)相等,

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,

令y=4,貝U-+等+4=4,

解得：x=0或x=6,

：.P(6,4)；

■:NPCB=/ABC,

：.HC=HB.

設(shè)HB=HC=m,

：.OH=OB-HB=S-m,

在RtZ\COH中，

0(^+0^=CH2,

42+(8-m')2=R

解得：m—5,

：.0H=3,

：.H(3,0).

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+n,

.fn=4

,13kW=0'

\_4

解得：『行

n=4

4.

.■.y=-—x+4.

3

：.p（絲，--122.）.

39

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,4）或（處，-期）.

39

【變式1］（2022秋?大連月考）拋物線y=-」/+6x+c過點(diǎn)A（4,0）,B（0,2）.

4

（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，ZPBA=ZBAO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)設(shè)直線AB的解析式為丫=丘+%

.(4k+m=0

Im=2

k」

解得IK2，

m=2

??y—--A*H-2，

2

將A(4,0),8(0,2)代入y=-^r+bx+c,

?f-4+4b+c=0

,Ic=2

fb=l

解得*2，

c=2

(2)當(dāng)軸時，ZPBA=ZBAO,

：.P(2,2)；

設(shè)8尸與x軸交于點(diǎn)Q,

"：ZPBA=ZBAO,

：.BQ=AQ,

在RtAB。。中，2Q2=og2+og2=4+(4-g。)2

解得BQ=a,

2

：.AQ=^-,0。=旦，

22

：.Q(旦，0),

2

設(shè)直線BQ的解析式為y=kx+b',

Vf———

解得『3，

b'=2

：.P（空，-辿）；

39

綜上所述：尸點(diǎn)坐標(biāo)為（旦，0）或（駕，-辿）.

239

【類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對應(yīng)的三角函數(shù)（通

常是正切值）相等問題】

【典例2】（2022秋?大連月考）如圖，拋物線y=o?+2辦+c經(jīng)過8（1,0）,C（0,3）

兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)4點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接AC、BC,在拋物線上是否存在點(diǎn)使若存在,

直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)把8(1,0),C(0,3)代入y=a/+2ox+c得:

fa+2a+c=0

Ic=3，

解得：卜=一1,

lc=3

???拋物線的解析式為：-x2-2x+3；

(2)分兩種情況：

設(shè)M(x,-?-2x+3),

①如圖，當(dāng)CM交工軸于G時，

u：ZBCO=ZACM.

：.ZACG=ZOCBf

'：OC=OAf

：.ZOCA=ZOAC=45°,

：.ZBCM=45°,

VZACB=ZBCM+ZACG,ZBGC=ZOAC+ZACG,

：./ACB=/BGC,

■:/CBG=/CBA,

??.△BCGS^BAC,

???—BG二_BC1，

BCBA

VOB=1,0c=3,

ABC=VIo，

設(shè)G(-30),

.t+1Vw

V104

?■?I—3,

2

：.G(一2，0),

2

同理可求得CG的解析式為：y=2x+3,

則，

-2x+3=2%+3,

2

x+4x=0f

x(x+4)=0,

xi=O（舍），xi--4,

當(dāng)x=-4時，y=-5,

：.M(-4,-5)；

②如圖，當(dāng)CM與X軸交于點(diǎn)N時，過B作3PJ_AC于尸,

9：ZOAC=45°,

???AABP是等腰直角三角形,

VAB=4,

:.AP=BP=±=2近,

V2

VAC=A/32+32=3V2-

:.CP=AC-AP=M，

'：ZBCO=ZACM,

ZACB=ZOCM,

,：ZBPC=ZCOA=9Q°,

:ABCPsANCO,

?.?,BP=-C--P-,

NOCO

?加V2

?--------=-----,

NO3

：.NO=6,

：.N（-6,0）,

同理可得NC的解析式為：y=^x+3,

-2

f1

y=-Y+J

聯(lián)立方程組得：2,

y=-x2-2x+3

解得：Xl=0,X2=-—>

2

因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以當(dāng)x=-5時，y=工，

24

：.M（一2工），

24

綜上所述，存在點(diǎn)M（-4,-5）或（-$,工），使得/ACM=NBCO.

24

【變式2](2022秋?瓦房店市月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7-4x-

3與無軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè))，拋物線對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E,與

x軸交于點(diǎn)F.

(1)求直線BC的解析式；

(2)如圖1,拋物線的頂點(diǎn)為。，拋物線的對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,連接AE,點(diǎn)P

在拋物線上，若/EAC=/DAP,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)在y=-/-4_￥-3中，令x—0得y=-3,令y=0得x=-3或x=

-1,

：.A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),

設(shè)直線BC解析式為〉=乙+小把2(-3,0),C(0,-3)代入得:

f~3k+b=0

lb=-3

解得，

直線BC的解析式為y=-x-3；

(2)過A作AC的垂線，交DE于G,交拋物線于P,如圖：

由y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1可得頂點(diǎn)D(-2,1),對稱軸是直線x=-2,

在y=-x-3中，令x=-2得y=-l,

：.E(-2,-1),F(-2,0),

VA(-1,0),

：.AF=1,DE2=(1+1)2=4,AD2=(-1+2)2+(0-1)2=2,AEr=(-2+1)2+(-

1-0)2=2,

.\AD2+AE2=DE2,

：.ZDAE^90°=NCAP,

.,.ZCAE=ZDAP,即P是滿足條件的點(diǎn)，

VZMG=90°-ZOAC=ZOCA,NG演=90°=ZAOC,

.,.△MG^AOCA,

，空=①，即口嗎

0C0A31

：.FG=—,

3

：.G(-2,-A),

3

由G(-2,-1),A(-1,0)可得直線AG解析式為y=」x+工，

3-33

「11f=—

解產(chǎn),?得或

y=-x2-4x-3y=—g-

...P的坐標(biāo)為(-蛇，-1).

39

【類型三：二倍角或半角的存在性問題】

【典例3】(2022?惠山區(qū)校級二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線y=/+bx+c

與y軸交于點(diǎn)C,與無軸交于4、3兩點(diǎn)，直線>=尤+3恰好經(jīng)過3、C兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。是拋物線上一動點(diǎn)，連接。2、DC.若△BCD的面積為6,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)設(shè)E是拋物線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AE,若/BAE=2/AC8,求點(diǎn)E的坐

【解答】解：（1）令y=0,貝!Jx=-3,

：.B（-3,0）,

令％=0,則y=3,

：.C(0,3),

將點(diǎn)5(-3,0),C(0,3)代入y=/+fct+c,

.(9-3b+c=0

,Ic=3

.??>=%2+4%+3；

(2)點(diǎn)。在直線3c上方時，過點(diǎn)。作。尸，x軸交AC于點(diǎn)尸,

設(shè)0(6金+4什3),貝IJP(￡,￡+3),

?二。尸=金+4什3-t-3=理+3%

?\S^BCD=S^CPD-SAPBD=—XDPX(-什3+/)=+(於+3力

22

??,△3CD的面積為6,

.?.2(產(chǎn)+3力=6,

2

/.t=1或t=-4,

：.D(1,8)或。(-4,3)；

當(dāng)點(diǎn)。在直線BC下方時，

SABCD=S^CPD+SAPBD=—XDPX3=—(-z2-3/)=6,

22

.?.旦(產(chǎn)+3力=-6,

2

...此時才不存在，

綜上所述：。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,8）或（-4,3）；

(3)設(shè)E(m,“戶+4/"+3),

過點(diǎn)A作4G_LBC交于點(diǎn)G,在8C上截取HC=H4,

■:B(-3,0),C(0,3),

AOB=OC,BC=3五,

：.ZCBO=45°,

：X2+4X+3=0時，x—-1或尤=-3,

AA(-1,0),

：.AB=2,

在RtZXABG中，BG=AG=我,

；.CG=2&,

,:HC=HA,

：.NGHA=2/ACB,

在RtZXAGH中，HA2=(CG-HA)2+AG2,

：.HA2=(2V2-HA)2+2,

解得HA=5M,

4

：.HG=3v'2,

4

：.tanZGHA=-^-V2

GH3V2-3~

4

,：ZBAE=2ZACB,

：.ZBAE=ZGHA,

Im2+4m+3|,

3I-1-mI

解得m=-1（舍）或m=-互或m=-—,

33

.??E點(diǎn)坐標(biāo)為（-5,-&）或（-衛(wèi)，理.）.

3939

【變式3-1］（2022?黃石）如圖，拋物線y=-2?+2工+4與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三

33

點(diǎn)，尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為優(yōu).

（1）A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）連接A尸，交線段于點(diǎn)。，

①當(dāng)CP與無軸平行時，求型的值；

DA

②當(dāng)CP與X軸不平行時，求型的最大值；

DA

（3）連接CP,是否存在點(diǎn)P,使得/8CO+2NPC8=90°,若存在，求機(jī)的值，若不

存在，請說明理由.

：.C(0,4)；

令y=0,貝！J-—^+―x+4=0,

33

.'.x=-2或x=3,

AA(-2,0),B(3,0).

故答案為：(-2,0)；(3,0)；(0,4).

(2)①：C尸〃x軸，C(0,4),

：.P(1,4),

：.CP^1,AB=5,

：C尸〃x軸，

.PD=CP=1

"DAAB

②如圖，過點(diǎn)尸作尸?！ˋB交BC于點(diǎn)。，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

貝!!尸(m,--m2+—m+4),Q(—m2-—m,-—m2+—m+4).

332233

/.PQ=m-(—m2--m)=--m2+—z？z,

2222

'JPQ//AB,

啜嚼二牛二3(“卷喘

:.當(dāng)TH=3時,里的最大值為a.

2DA40

另解：分別過點(diǎn)P,A作y軸的平行線，交直線3c于兩點(diǎn)，仿照以上解法即可求解.

(3)假設(shè)存在點(diǎn)尸使得/2。。+2/2。尸=90°,即0＜根＜3.

過點(diǎn)C作C/〃x軸交拋物線于點(diǎn)F,

VZBCO+2ZPCB=90°,ZBCO+ZBCF+ZMCF=90°,

：.ZMCF=/BCP,

延長CP交x軸于點(diǎn)M,

：CP〃彳軸，

ZPCF=ZBMC,

：.ZBCP=ZBMC,

...△CBM為等腰三角形，

\'BC=5,

：.BM=5,OM=S,

：.M(8,0),

直線CM的解析式為：y=-A.r+4,

2

令-—^+―,r+4=-工+4,

332

解得尤=1或x=0(舍)，

4

存在點(diǎn)尸滿足題意，此時機(jī)=工.

4

【變式3-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x+5)(x-3)與x軸交與A、

B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且過點(diǎn)(-2,4).

(1)直接寫出a的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M,N兩點(diǎn),

兩拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)M到直線PB的距離；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D,使得

ZDAB4ZPBA?若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

4

【解答】(1)y=--(x+5)(x-3)；B(3,0)

(2)A(—5,0)、M(—3,0)、N(3,0)

1174

設(shè)點(diǎn)M到直線PB的距離為h,則5ApMB=5?力?PB=5-MB-OP,；.h=M

(3)存在，理由：

設(shè)NDAB=gNP8A=。，如圖，過點(diǎn)B作NP5A的平分線BH交y軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)H

作HG_LPB于點(diǎn)G,設(shè)OH=m,貝UHG=m,PH=4—m,PG=PB—BG=2,

3

在RtZkPGH中，GH2+PG2=PH2,即n?+22=(4—m)2,解得：m=-

2

tanZHBO=tancr=...左!故直線AD的表達(dá)式為：=—%+—(1)

OB2AD222

4

同理直線PB的表達(dá)式為：y=x+4(2)

Q964

聯(lián)立①②并解得：》=打，；.點(diǎn)口(石，五),

【類型四：角度等于定值問題】

【典例4】（2022?盤錦）如圖，拋物線y=/+fcr+c與x軸交于A,B（4,0）兩點(diǎn)（A在8

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,-4）.點(diǎn)P在拋物線上，連接8C,BP.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，若點(diǎn)尸在第二象限，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸/與線段8C交

于點(diǎn)G,當(dāng)/P8C+NC尸G=90°時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【解答】解：⑴將2(4,0)、C(0,-4)兩點(diǎn)代入y=f+bx+c得，

[16+4b+c=0,

I0+0+c=-4

解得：產(chǎn)用，

Ic=-4

拋物線的解析式為：y=/-3尤-4；

(2)如圖，作CE，/于E,PQ±BC^Q,無軸于N,連接PC交x軸于點(diǎn)X,

設(shè)P(”,?2-3n-4),PC的表達(dá)式為：y=kx+d(kWO),

將P,C代入y=fct+d1W0)得，

解得：(k=n-3,

Id=-4

???尸。的表達(dá)式為：y=(n-3)x-4,

將y=0代入y=(〃-3)x-4得，

0=(n-3)x-4,

??H(-^7，0>

n-3

SAPCB=SAPHB+SAHCB,

：.PQ?BC=PN?HB+OC?HB,

???BC=VOA2-H)B2=^42+42=4V2'

24

.PNHB40CHB6-3n-4+4)(4/)加、

,,PQ=BC—=-----W2------F(n3'

PB=7PN2+NB2=7(n2-3n-4)2+(4-n)2=(4-n)V(n+l)2+l'

_3

由題可知，1:Y——二

2X1-2

99,25

將代入y=f-3x-4得,々亍4=-丁

■:NPBC+NCFG=9Q°,PQ±BC,CEL,

：.ZPBQ=ZFCE,ZCEF=ZPQB,

:.△CEFS^PQB,

3行

.PB二CF二4二后

,?而百=9=3'

7

.(4-n)V(n+l)2+l_A/13

"V2f2..~

kn-4n)

解得：rij=^"，口2=-6(舍去)，

...點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-反，

5

方法二：將CP繞點(diǎn)/順時針旋轉(zhuǎn)90°得C,連接CC,作CE，/于E,

求出點(diǎn)C(),

J.BP//CC,

求出直線BP的解析式與拋物線求交點(diǎn)即可.

【變式4-1](2021?內(nèi)江)如圖，拋物線y=a?+6x+c與x軸交于A(-2,0)、8(6,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C直線/與拋物線交于A、D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)。的坐標(biāo)

為(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直線/的解析式；

(2)若點(diǎn)0是y軸上的點(diǎn)，且/4。。=45°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解答】解：(1);拋物線yn/+fov+c與無軸交于A(-2,0)、8(6,0)兩點(diǎn),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(元+2)(尤-6),

'：D(4,3)在拋物線上，

；.3=。(4+2)X(4-6),

解得a=-1,

4

，拋物線的解析式為y=-](x+2)(x-6)=--i-x2+x+3,

:直線/經(jīng)過A(-2,0)、。(4,3),

設(shè)直線/的解析式為y=fcc+/w(左70),

則卜2k+m=0,

I4ktm=3

fk=l

解得，K2,

m=l

，直線/的解析式為y=￡x+l；

(2)如圖中，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT,則T(-5,6),

設(shè)。T交y軸于點(diǎn)。，則乙4。。=45°,

VD(4,3),

直線的解析式為y=-■1x+竽，

：.Q(0,—),

3

作點(diǎn)T關(guān)于AO的對稱點(diǎn)7(1,-6),

則直線￡>〃的解析式為y=3x-9,

設(shè)交y軸于點(diǎn)。'，則/AQ。'=45°,

：.Q'(0,-9),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,旦)或(0,-9).

3

【變式4-2](2020?淄博)如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OA8C是平行四邊形，經(jīng)過A

(-2,0),B,C三點(diǎn)的拋物線尸加+公+看(a<0)與x軸的另一個交點(diǎn)為。，其頂

點(diǎn)、為M,對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線M