2023-2024學(xué)年福建省福州八中數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省福州八中數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．2．在平行四邊形中，為一條對角線，，，則＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）3．已知角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．4．若，，，，則等于（）A． B． C． D．5．下列極限為1的是（）A．（個9） B．C． D．6．式子的值為()A． B．0 C．1 D．7．化簡（）A． B． C． D．8．是邊AB上的中點(diǎn)，記，，則向量()A． B．C． D．9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上遞增的函數(shù)的個數(shù)是（）.①；②；③；④向右平移后得到的函數(shù).A． B． C． D．10．已知，，，則的最小值為（）A． B． C．7 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖1，動點(diǎn)在以為圓心，半徑為1米的圓周上運(yùn)動，從最低點(diǎn)開始計時，用時4分鐘逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈后停止.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)（米）關(guān)于時間（分）的函數(shù)為，則該函數(shù)的圖像大致為________.（請注明關(guān)鍵點(diǎn)）12．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最大值為，則實(shí)數(shù)__________．13．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.14．設(shè)集合，它共有個二元子集，如、、等等．記這個二元子集為、、、、，設(shè)，定義，則_____．（結(jié)果用數(shù)字作答）15．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜公式”為.若，，則用“三斜公式”求得的面積為______.16．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍；(2)當(dāng)b＝1時，若對任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為萬元;進(jìn)行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預(yù)測,從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤?19．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．20．向量，，，函數(shù)．（1）求的表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)中畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個根、，求的取值范圍及的值．21．已知數(shù)列滿足，令（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。2、C【解析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算．3、A【解析】

根據(jù)題意可知的值，從而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，則.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的基本計算，難度較易.若終邊與單位圓交于點(diǎn)，則.4、C【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類求值問題需要注意以下兩點(diǎn)：①利用同角三角平方關(guān)系求值時，要求對象角的范圍，確定所求值的正負(fù)；②利用已知角來配湊未知角，然后利用合適的公式求解．5、A【解析】

利用極限的運(yùn)算逐項(xiàng)求解判斷即可【詳解】對于A項(xiàng)，極限為1，對于B項(xiàng)，極限不存在，對于C項(xiàng)，極限為1．對于D項(xiàng)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的極限的運(yùn)算及性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6、D【解析】

利用兩角和的正弦公式可得原式為cos（），再由特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果.【詳解】cos（）＝coscos，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式，熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

減法先變?yōu)榧臃?，利用向量的三角形法則得到答案.【詳解】故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減法，屬于簡單題.8、C【解析】由題意得，∴．選C．9、B【解析】

將①②③④中的函數(shù)解析式化簡，分析各函數(shù)的奇偶性及其在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出結(jié)論.【詳解】對于①中的函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于②中的函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減；對于③中的函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于④，將函數(shù)向右平移后得到的函數(shù)為，該函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，同時也考查了三角函數(shù)的相位變換，熟悉正弦、余弦和正切函數(shù)的基本性質(zhì)是判斷的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.10、B【解析】

根據(jù)條件可知，，，從而得出，這樣便可得出的最小值．【詳解】；，且，；；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；；的最小值為．故選：．【點(diǎn)睛】考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意應(yīng)用基本不等式所滿足的條件及等號成立的條件．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意先得出，再畫圖．【詳解】解：設(shè)，，，，，則當(dāng)時，處于最低點(diǎn)，則，，可畫圖為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角模型的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意建立函數(shù)模型，屬中檔題．12、1或；【解析】

要使最大，則最?。驹斀狻繄A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．∵若的最大值為，∴，解得或．故答案為1或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題思路是平面上對圓的張角問題，顯然在點(diǎn)固定時，圓外的點(diǎn)作圓的兩條切線，這兩條切線間的夾角是最大角，而當(dāng)點(diǎn)離圓越近時，這個又越大．13、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．14、1835028【解析】

分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時，對應(yīng)的二元子集中較小的元素，再利用題中的定義結(jié)合數(shù)列求和思想求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、、、.由題意可得，令，得，上式下式得，化簡得，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查新定義，同時也考查了數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出相應(yīng)的規(guī)律，列出代數(shù)式進(jìn)行計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.15、【解析】

先由，根據(jù)余弦定理，求出，再由，結(jié)合余弦定理，求出，再由題意即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此；又，由余弦定理可得，所以，因?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

利用無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【詳解】無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個自然數(shù)，則，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).【解析】

(1)用和表示，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求得.(2)對進(jìn)行參變分離，根據(jù)和求得.【詳解】解(1)方法一?∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比較兩邊系數(shù)：?∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)當(dāng)x∈[0,1]時，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即當(dāng)x∈[0,1]時，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；當(dāng)x＝0時，顯然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；當(dāng)x∈(0,1]時，若ax2＋x＋1≥0恒成立，則a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值為－2，∴a≥－2；當(dāng)x∈(0,1]時，ax2＋x－1≤0恒成立，則a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值為0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范圍為[－2,0)．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)和參變分離的恒成立問題，屬于難度題.18、(1),(2),(3)至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.【解析】

(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和(2)是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出即可(3)作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【詳解】(1)由題意得是等差數(shù)列，所以由題意得所以所以是首項(xiàng)為250，公比為的等比數(shù)列所以所以(2)是數(shù)列的前項(xiàng)和所以是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，所以(3)易得此函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增且時時所以至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)列的綜合知識，包含通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的求法及數(shù)列的單調(diào)性.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想得出，利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；（2）令，可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期和單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)解析式化簡，考查計算能力，屬于中等題.20、（1），見解析（2）或，或．【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達(dá)式，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模纯傻玫降膱D象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可知，或，當(dāng)時，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以；當(dāng)時，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以．故或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)圖象的畫法，以及方程的根與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考