人教版初二(下)數(shù)學(xué)第53講：矩形(學(xué)生版)

矩形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、掌握矩形的概念、判定與性質(zhì)，理解矩形與平行四邊形的之間的聯(lián)系；2、會用矩形的性質(zhì)解決簡單的證明和計算問題；3、從矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系體會特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點．1．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相_____且_____的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．2．矩形的性質(zhì)（1）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是____；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線____；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（2）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角線的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的___．3．矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的____________，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．（2）下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定_____斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的變形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．翻折變換（折疊問題）（1）翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是_______變換．（2）折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀以及大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．（3）在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形之間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．1.矩形的性質(zhì)．【例1】（2014?武漢洪山區(qū)中學(xué)期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB=30°，則∠AOB的大小為（）A．30° B．60° C．90° D．120°練1.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD練2.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，則圖中五個小矩形的周長之和為．2.矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定．【例2】（2014?山西古交市中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數(shù)是．練3.若平行四邊形的兩條對角線長為6cm和16cm，則下列長度的線段可作為平行四邊形邊長的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm3.矩形的判定與性質(zhì)．【例3】（2014秋?信陽三中月考）如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點，且AE=BF=CG=DH．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面積．練4.已知矩形ABCD和點P，當(dāng)點P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時，易證得結(jié)論：PA2+PC2=PB2+PD2，請你探究：當(dāng)點P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論．答：對圖（2）的探究結(jié)論為；對圖（3）的探究結(jié)論為；4．矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．【例4】（2014?合肥第一中期末）如圖，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足為E．（1）求證：△ABD≌△EDB；（2）只需添加一個條件，即等，可使四邊形ABCD為矩形．請加以證明．練5.已知：如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連接AE，CF．（1）求證：AF=CE；（2）若AC=EF，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．5．矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【例5】（2014?甘肅張掖二中月考質(zhì)檢）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿AE對折，使得點B落在邊AD上的點B1處，折痕與邊BC交于點E，則CE的長為（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm練6．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，若AB=2，則C′D的長為（）A．1 B．2 C．3 D．41．如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．12 D．162．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S23．如圖，長方形ABCD中，M為CD中點，今以B、M為圓心，分別以BC長、MC長為半徑畫弧，兩弧相交于P點．若∠PBC=70°，則∠MPC的度數(shù)為何？（）A．20 B．35 C．40 D．554．如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…；依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm25．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE．若DE：AC=3：5，則的值為（）A．B． C． D．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．如圖，在矩形ABCD中，邊AB的長為3，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，連接BE，DF，EF，BD．若四邊形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，則邊BC的長為（）A．2 B．3 C．6D．2．如圖，P是矩形ABCD的對角線AC的中點，E是AD的中點．若AB=6，AD=8，則四邊形ABPE的周長為（）A．14 B．16 C．17 D．183．已知矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線AC，BD相交于點O，過點O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)（不與頂點重合），則以下關(guān)于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項為（）A．△CDE與△ABF的周長都等于10cm，但面積不一定相等B．△CDE與△ABF全等，且周長都為10cmC．△CDE與△ABF全等，且周長都為5cmD．△CDE與△ABF全等，但它們的周長和面積都不能確定4．如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=60°，AD=2，則AC的長是（）A．2 B．4 C． D．5．矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOD=120°，AC=8，則△ABO的周長為（）A．16 B．12 C．24 D．206．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D為OA的中點，P為BC邊上一點．若△POD為等腰三角形，則所有滿足條件的點P的坐標(biāo)為．7．已知：平行四邊形ABCD的對角線交點為O，點E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點恰好都落在O點處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）在四邊形ABCD中，求的值．