高中數(shù)學(xué)排列組合

關(guān)于高中數(shù)學(xué)排列組合一、排列與排列數(shù)第2頁,共106頁，星期六，2024年，5月

什么是分類計(jì)數(shù)原理？

什么是分步計(jì)數(shù)原理？

應(yīng)用這兩個(gè)原理時(shí)應(yīng)注意什么問題？第3頁,共106頁，星期六，2024年，5月排列第4頁,共106頁，星期六，2024年，5月第5頁,共106頁，星期六，2024年，5月第6頁,共106頁，星期六，2024年，5月第7頁,共106頁，星期六，2024年，5月第8頁,共106頁，星期六，2024年，5月第9頁,共106頁，星期六，2024年，5月第10頁,共106頁，星期六，2024年，5月

排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”．“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個(gè)問題是不是排列問題的重要標(biāo)志．

根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同．1、排列定義

如果兩個(gè)排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的排列；如果兩個(gè)排列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列．

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.第11頁,共106頁，星期六，2024年，5月對(duì)“n取m的一個(gè)排列”的認(rèn)識(shí)：1、元素不能重復(fù)。n個(gè)中不能重復(fù)，m個(gè)中也不能重復(fù)。2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵。3、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4、m＜n時(shí)的排列叫選排列，m＝n時(shí)的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹形圖”。第12頁,共106頁，星期六，2024年，5月2、排列數(shù)第13頁,共106頁，星期六，2024年，5月第14頁,共106頁，星期六，2024年，5月第15頁,共106頁，星期六，2024年，5月第16頁,共106頁，星期六，2024年，5月第17頁,共106頁，星期六，2024年，5月第18頁,共106頁，星期六，2024年，5月第19頁,共106頁，星期六，2024年，5月第20頁,共106頁，星期六，2024年，5月1.排列數(shù)公式的特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是n,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1,共有m個(gè)因數(shù)．3、排列數(shù)公式第21頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1.下列問題中哪些是排列問題？（1）10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會(huì)（2）10名學(xué)生中選2名做正、副組長(zhǎng)（3）從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘（4）從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相除例題選講第22頁,共106頁，星期六，2024年，5月（5）20位同學(xué)互通一次電話（6）20位同學(xué)互通一封信（7）以圓上的10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作弦（8）以圓上的10個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)為起點(diǎn)，作過另一個(gè)點(diǎn)的射線（9）有10個(gè)車站，共需要多少種車票？（10）有10個(gè)車站，共需要多少種不同的票價(jià)？第23頁,共106頁，星期六，2024年，5月第24頁,共106頁，星期六，2024年，5月第25頁,共106頁，星期六，2024年，5月()().算步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)只能用分,條件符合使用排列數(shù)公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的書,中2而;屬于求排列數(shù)問題,到的書的書各人得,名同學(xué)3本送3不同的書同的書本5是從1:中兩兩個(gè)問題的區(qū)別在3例第26頁,共106頁，星期六，2024年，5月第27頁,共106頁，星期六，2024年，5月第28頁,共106頁，星期六，2024年，5月第29頁,共106頁，星期六，2024年，5月第30頁,共106頁，星期六，2024年，5月例5.計(jì)算：（1）（2）（3）例6.解方程：例7.求證：例8.求的個(gè)位數(shù)字例9.求的值第31頁,共106頁，星期六，2024年，5月排列及排列數(shù)公式的應(yīng)用1、排列定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，簡(jiǎn)稱“n取m的一個(gè)排列”。知識(shí)回顧第32頁,共106頁，星期六，2024年，5月2、排列數(shù)公式乘積式階乘式第33頁,共106頁，星期六，2024年，5月能力要求1、能分清楚排列和非排列問題2、能靈活應(yīng)用排列數(shù)公式3、能用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的排列問題第34頁,共106頁，星期六，2024年，5月例題講解1、排列的判斷例1.下列問題中哪些是排列問題？若是，請(qǐng)用排列數(shù)公式寫出答案。（1）從高二(9)班50名同學(xué)中選出3人去參加勞動(dòng)，有多少種選法？（2）從高二(9)班50名同學(xué)中選出3人去參加3項(xiàng)不同的勞動(dòng)，有多少種選法？第35頁,共106頁，星期六，2024年，5月（3）從0,1,2,3，…，9共10個(gè)數(shù)字中選出兩個(gè)作為元素組成集合，有多少個(gè)不同的集合？（4）從0,1,2,3，…，9共10個(gè)數(shù)字中選出兩個(gè)分別作為橫縱坐標(biāo)(x,y),有多少個(gè)不同的坐標(biāo)？第36頁,共106頁，星期六，2024年，5月（5）5名同學(xué)爭(zhēng)奪3個(gè)項(xiàng)目的冠軍，有多少種不同的情況？（6）5名同學(xué)坐3個(gè)座位，有多少種不同的情況？（7）5名同學(xué)坐8個(gè)座位，有多少種不同的情況？第37頁,共106頁，星期六，2024年，5月（8）中國(guó)足球甲級(jí)聯(lián)賽實(shí)雙循環(huán)賽制，每?jī)芍磺蜿?duì)都要分別在主場(chǎng)、客場(chǎng)打一場(chǎng)，若有16支球隊(duì)，一共要打多少場(chǎng)比賽？（9）中國(guó)足協(xié)杯比賽實(shí)行淘汰制，兩支球隊(duì)打一場(chǎng)，勝者晉級(jí)，最后決出冠軍。若有16支球隊(duì)，一共要打多少場(chǎng)比賽？（10）中國(guó)象棋甲級(jí)聯(lián)賽實(shí)行單循環(huán)制，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)員比賽一場(chǎng)，最后按積分定出名次。若有16個(gè)隊(duì)員，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？第38頁,共106頁，星期六，2024年，5月2、排列數(shù)公式例2.求的值例3.解下列方程：（1）（2）第39頁,共106頁，星期六，2024年，5月2、排列的應(yīng)用例4.用0,1,2,3,4,5共6個(gè)數(shù)字選4個(gè)組成五重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(1)共有多少個(gè)不同的四位數(shù)；(2)共有多少個(gè)不同的四位偶數(shù)；(3)共有多少個(gè)比2041大的四位數(shù)。第40頁,共106頁，星期六，2024年，5月例5.在7名運(yùn)動(dòng)員中選出4名組成接力隊(duì)參加4×100米比賽，那么甲、乙都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？第41頁,共106頁，星期六，2024年，5月例6.5人站成一排，（1）其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？

（2）其中甲、乙兩人不能相鄰，有多少種不同的排法？

（3）其中甲不站排頭，有多少種不同的排法？

（4）其中甲不站排頭、乙不站排尾，有多少種不同的排法？第42頁,共106頁，星期六，2024年，5月1.若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，則選派的方案有多少種？2.從若干個(gè)元素中選出2個(gè)進(jìn)行排列，可得210種不同的排列，那么這些元素共有多少個(gè)？3.5個(gè)班，有5名語文老師、5名數(shù)學(xué)老師、5名英語老師，每班配一名語文老師、一名數(shù)學(xué)老師、一名英語老師，問有多少種不同的搭配方法？跟蹤練習(xí)第43頁,共106頁，星期六，2024年，5月4.計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有多少種？5.（1）將18個(gè)人排成一排，不同的排法有多少種？

（2）將18個(gè)人排成兩排，每排9人，不同的排法有多少種？

（3）將18個(gè)人排成三排，每排6人，不同的排法有多少種？第44頁,共106頁，星期六，2024年，5月6.5名學(xué)生和1名老師照相，老師不能站排頭，也不能站排尾，共有多少種不同的站法？7.4名學(xué)生和3名老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須要排在一起的不同排法有多少種？8.停車場(chǎng)有7個(gè)停車位，現(xiàn)在有4輛車要停放，若要使3個(gè)空位連在一起，則停放的方法有多少種？第45頁,共106頁，星期六，2024年，5月9.一條鐵路原有n個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要增加例m(m>1)個(gè)車站,車票增加了62種，問原有多少個(gè)車站？10.某天要排語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，體育6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)。（1）若第1節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，有多少排法？（2）若第1節(jié)不排體育，下午不排數(shù)學(xué)，有多少排法？（3）若語文、數(shù)學(xué)排相鄰，有多少排法？第46頁,共106頁，星期六，2024年，5月二、組合與組合數(shù)第47頁,共106頁，星期六，2024年，5月問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙3組合第48頁,共106頁，星期六，2024年，5月從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問題二從已知的3

個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序第49頁,共106頁，星期六，2024年，5月

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

排列與組合的概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

1、組合定義第50頁,共106頁，星期六，2024年，5月組合定義:

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．排列定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

n

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.共同點(diǎn):都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”不同點(diǎn):

排列與元素的順序有關(guān)—改變順序不相同，組合與元素的順序無關(guān)—無順序，或唯一順序。對(duì)“排列、組合”的認(rèn)識(shí)：第51頁,共106頁，星期六，2024年，5月思考一:aB與Ba是相同的排列，還是相同的組合?為什么?思考二:兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)?兩個(gè)相同的組合呢?１）元素相同；２）元素排列順序相同.元素相同構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；構(gòu)造組合就是其中一個(gè)步驟.思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?第52頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1.判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?有多少種不同的火車票價(jià)？組合(3)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候,共需握手多少次?組合組合組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.排列第53頁,共106頁，星期六，2024年，5月例2.從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是:ab,ac,bc

例3.已知4個(gè)元素a,b,c,d,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個(gè))(6個(gè))第54頁,共106頁，星期六，2024年，5月

從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.如:從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是:如:已知4個(gè)元素a、b、c、d,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：注意：

是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來．2、組合數(shù)第55頁,共106頁，星期六，2024年，5月寫出從a,b,c,d四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合和排列，并探究二者的關(guān)系。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd探究第56頁,共106頁，星期六，2024年，5月組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三個(gè)元素的）1個(gè)組合，對(duì)應(yīng)著6個(gè)排列你發(fā)現(xiàn)了什么?第57頁,共106頁，星期六，2024年，5月對(duì)于，我們可以按照以下步驟進(jìn)行第58頁,共106頁，星期六，2024年，5月

排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系．

一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．第2步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：因此：

這里m,n是自然數(shù)，且m

n，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．3、組合數(shù)公式第59頁,共106頁，星期六，2024年，5月組合數(shù)公式:從n個(gè)不同元中取出m個(gè)元素的排列數(shù)第60頁,共106頁，星期六，2024年，5月組合數(shù)公式:排列數(shù)公式：規(guī)定：第61頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1.計(jì)算：⑴

⑵

例2.甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，（1）列出所有各場(chǎng)比賽的雙方；（2）列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：（3）已知：，求n的值。第62頁,共106頁，星期六，2024年，5月例3.第63頁,共106頁，星期六，2024年，5月3.10名學(xué)生，7人掃地，3人灑水，那么不同的分工方法有

種；1.用m、n表示2.從8名乒乓球選手中選出3名打團(tuán)體賽，共有

種不同的選法；如果這三個(gè)選手又按照不同順序安排，有

種方法.練習(xí)第64頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1.在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查，根據(jù)下列各種要求，各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：（1）（2）（3）（4），或（5）（6）第65頁,共106頁，星期六，2024年，5月1.有10道試題，從中選答8道，共有

種選法、又若其中6道必答，共有

不同的種選法.2.某班有54位同學(xué)，正、副班長(zhǎng)各1名，現(xiàn)選派6名同學(xué)參加某科課外小組，在下列各種情況中，各有多少種不同的選法？（1）無任何限制條件；（2）正、副班長(zhǎng)必須入選；（3）正、副班長(zhǎng)只有一人入選；（4）正、副班長(zhǎng)都不入選；（5）正、副班長(zhǎng)至少有一人入選；（6）正、副班長(zhǎng)至多有一人入選；練習(xí)第66頁,共106頁，星期六，2024年，5月例2.從數(shù)字1,2,5,7中任選兩個(gè)

有不同的英文書5本,不同的中文書7本,從中選出兩本書.(1)若其中一本為中文書,一本為英文書.

問共有多少種選法?(1)可以得到多少個(gè)不同的和?(2)可以得到多少個(gè)不同的差?(2)若不限條件,問共有多少種選法?6個(gè)12個(gè)35種66種練習(xí)第67頁,共106頁，星期六，2024年，5月例3.有12名劃船運(yùn)動(dòng)員,其中3人只會(huì)劃左舷,4人只會(huì)劃右舷,其它5人既會(huì)劃左舷,又會(huì)劃右舷,現(xiàn)要從這12名運(yùn)動(dòng)員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?有10名同學(xué)，5名會(huì)唱歌，7名會(huì)跳舞，現(xiàn)選唱歌和跳舞的各一名，有多少種選法？練習(xí)第68頁,共106頁，星期六，2024年，5月例4.在∠MON的邊ON上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn),OM上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn),以這十個(gè)點(diǎn)(含O)為頂點(diǎn),可以得到多少個(gè)三角形?NOMABCDEFGHI·········第69頁,共106頁，星期六，2024年，5月1、如圖,在以AB為直徑的半圓周上有異于A,B的六個(gè)點(diǎn)C1,C2,C3,

C4,C5,C6,

AB上有異于A,B的四個(gè)點(diǎn)D1,D2,D3,D4,問

(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形?(2)以圖中12個(gè)點(diǎn)(包括A,B)中的四個(gè)為頂點(diǎn),可作多少個(gè)四邊形?ABD1D2D3D4﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒C1C2C3C4C5C6練習(xí)第70頁,共106頁，星期六，2024年，5月2、如圖兩組平行直線有12個(gè)交點(diǎn)，平行線間距離相等

(1)以這些平行線為邊能組成多少個(gè)平行四邊形?(2)以這些交點(diǎn)為頂點(diǎn)能組成多少個(gè)三角形?第71頁,共106頁，星期六，2024年，5月3、平面M//N,M內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，N內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，任3點(diǎn)不共線，無其他四點(diǎn)共面.（1）能組成多少條直線?（2）三棱錐？（3）四棱錐？MN第72頁,共106頁，星期六，2024年，5月例題（1）求的值

（2）求滿足的x值（3）求證：①②（4）求的值1617005或2511兩個(gè)組合數(shù)性質(zhì)：第73頁,共106頁，星期六，2024年，5月701,或3（5）求的值。（1）（2）（3）（4）練習(xí)第74頁,共106頁，星期六，2024年，5月三、排列與組合綜合應(yīng)用第75頁,共106頁，星期六，2024年，5月求證：證明：因?yàn)樽筮?注意階乘的變形形式：=左邊，評(píng)注：所以等式成立例1、一、公式的應(yīng)用第76頁,共106頁，星期六，2024年，5月（1）（2）練習(xí)第77頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、7個(gè)高矮不同的人站成一排，分別求下列的不同站法數(shù)。（1）甲必須站中間；（2）甲站左端，乙站右端；（3）甲站乙的左邊；（4）甲不站左端，乙不站右端；（5）甲、乙中間至少隔二人；（6）最高的同學(xué)站中間，兩邊依次降低；二、捆綁法、插空法、組合法、比例法第78頁,共106頁，星期六，2024年，5月（7）甲、乙要相鄰；（8）甲、乙不相鄰；（9）甲、乙、丙都不鄰；（10）甲、乙要相鄰，而與丙都不鄰；（11）甲、乙要相鄰，甲與丙都不鄰；（12)甲、乙、丙順序只能從左到右；（13）甲乙丙順序從左到右，丁在戊的左邊。第79頁,共106頁，星期六，2024年，5月例2、如圖，每個(gè)小矩形全等，只能沿著矩形的邊沿行走，則從A到B的最短路徑有多少條？ABEFGH若菱形EFGH為一個(gè)水池，只能沿著其邊緣沿行走，則從A到B的最短路徑有多少條？第80頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、將如圖的5個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域不同色，一個(gè)區(qū)域染一色，現(xiàn)有5種不同的顏色，有多少種方法？二、染色問題ABCDE第81頁,共106頁，星期六，2024年，5月例2、（重慶卷16)某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有

種（用數(shù)字作答）.

216第82頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、求由0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中（1）偶數(shù)個(gè)數(shù)；（2）個(gè)位大于十位的個(gè)數(shù)；（3）個(gè)位大于十位，十位大于百位的個(gè)數(shù)；（4）比3021大的個(gè)數(shù)。例2、某天排語、數(shù)、外、史、生、體6節(jié)課，上午4節(jié)，下午2節(jié)，求下列條件下的排法數(shù)。（1）第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)；（2）第一節(jié)不排體育，下午不排數(shù)學(xué)；（3）語文、數(shù)學(xué)排相鄰。三、分類法、特殊優(yōu)先法第83頁,共106頁，星期六，2024年，5月1、（遼寧卷9）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）A．24種 B．36種C．48D．72種

B練習(xí)第84頁,共106頁，星期六，2024年，5月2、（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（）A.20種 B.30種C.40種D.60種

A第85頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到：種四、不同小球分堆分配問題第86頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(2)分為三份，每份2本；解析：(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理所以．

可得：因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法所以．第87頁,共106頁，星期六，2024年，5月點(diǎn)評(píng)：本題是分組中的“均勻分組”問題．一般地：將mn個(gè)元素均勻分成n組（每組m個(gè)元素）,共有種方法第88頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法．（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有種方法．第89頁,共106頁，星期六，2024年，5月例1、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本。解：（5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”的分配情況，有種方法；②“1、2、3型”的分配情況，有種方法；③“1、1、4型”，有種方法，所以，一共有90+360+90＝540種方法．第90頁,共106頁，星期六，2024年，5月例2、（1）四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2）四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法；第二步：從四個(gè)不同的盒中任取三個(gè)將球放入有種方法，所以，一共有＝144種方法第91頁,共106頁，星期六，2024年，5月練習(xí)1、6個(gè)人分乘2輛車，每車至少坐2個(gè)人有多少坐法？2、5個(gè)不同的小球裝入編號(hào)分別為1,、2、3的三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少裝1個(gè)，有多少裝法？3、10個(gè)不同的小球裝入編號(hào)分別為1、2、3的三個(gè)盒子，每個(gè)盒子裝的球數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，有多少裝法？第92頁,共106頁，星期六，2024年，5月思考：6本相同的書，（1）分成三堆，每堆至少1本，有多少分法？（2）分給3個(gè)人，每人至少1本？五、相同小球分堆分配問題第93頁,共106頁，星期六，2024年，5月規(guī)律：n個(gè)相同小球裝入m個(gè)不同盒子，（1）不允許空盒，有多少種不同的方法？（2）允許空盒，有多少種不同方法？例1、(1)求x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)？(2)求x+y+z=10的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)？例2、已知字母均為自然數(shù)，求滿足下列條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)。（1）（2）第94頁,共106頁，星期六，2024年，5月例3、有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，再分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為第95頁,共106頁，星期六，2024年，5月例4、（1）10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)，共有多少種不同的分配方法？（2）10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配到1、2、3三個(gè)班，若名額數(shù)不少于班級(jí)序號(hào)數(shù)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用5個(gè)隔板插入10個(gè)指標(biāo)中的9個(gè)空隙，既有種方法。按照第一個(gè)隔板前的指標(biāo)數(shù)為1班的指標(biāo)，第一個(gè)隔板與第二個(gè)隔板之間的指標(biāo)數(shù)為2班的指標(biāo)，以此類推，因此共有種分法.第96頁,共106頁，星期六，2024年，5月（2）先拿3個(gè)指標(biāo)分給二班1個(gè)，三班2個(gè)，然后，問題轉(zhuǎn)化為7個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分給三個(gè)班，每班至少一個(gè).由（1）可知共有種分法注：第一小題也可以先給每個(gè)班一個(gè)指標(biāo)，然后，將剩余的4個(gè)指標(biāo)按分給一個(gè)班、兩個(gè)班、三個(gè)班、四個(gè)班進(jìn)行分類，共有種分法.例題解讀：第97頁,共106頁，星期六，2024年，5月例5、馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法第98頁,共106頁，星期六，2024年，5月1．5個(gè)人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是

．2．某學(xué)生要邀請(qǐng)10位同學(xué)中的6位參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中有2位同學(xué)要么都請(qǐng)，要么都不請(qǐng)，共有

種邀請(qǐng)方法.3.一個(gè)集合有5個(gè)元素，則該集合的非空真子集共有

個(gè).4.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成

個(gè)平行四邊形.5．空間有三組平行平面，第一組有m個(gè)，第二組有n個(gè)，第三組有t個(gè)，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可構(gòu)成

個(gè)平行六面體9830練習(xí)第99頁,共106頁，星期六，2024年，5月6.高二某班第一小組共有12位同學(xué)，現(xiàn)在要調(diào)換座位，使其中