第12講求未知角的三角函數(shù)值(原卷版+解析)

第12講求未知角的三角函數(shù)值方法總結(jié)：1.解決此類問(wèn)題的方法步驟：（1）考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進(jìn)行搭配（2）等號(hào)兩邊同取所求三角函數(shù)，并用三角函數(shù)和差公式展開(kāi)（3）利用已知角所在象限和三角函數(shù)值求出此角的其他函數(shù)值（4）將結(jié)果整體代入到運(yùn)算式即可2.確定所涉及角的范圍：當(dāng)已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，角的范圍將決定其他三角函數(shù)值的正負(fù)，所以要先判斷角的范圍，再進(jìn)行三角函數(shù)值的求解。確定角的范圍有以下幾個(gè)層次：（1）通過(guò)不等式的性質(zhì)解出該角的范圍（2）通過(guò)該角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定其所在象限（3）利用特殊角將該角圈在一個(gè)區(qū)間內(nèi)（4）通過(guò)題目中隱含條件判斷角的范圍典型例題：例1．（2023·廣東韶關(guān)·一模）若，則__________.例2．（2023·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（文））若，則______．例3．（2023·山西太原·高三期末（文））已知為銳角，，則__________.例4．（2023·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象與軸交于點(diǎn)．(1)求函數(shù)的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，例5．（2023·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；(2)若，，求的值.過(guò)關(guān)練習(xí)：1．（2023·陜西榆林·一模（理））已知，則（

）A．3 B． C． D．2．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．5．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)（理））已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則角可以是（

）A． B． C． D．6．（2023·江西上饒·高三階段練習(xí)（文））已知sin，則（

）A． B． C． D．7．（2023·福建漳州·一模）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2023·江西九江·一模（文））已知，則的值為（

）.A． B． C． D．9．（2023·江西吉安·高三期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．10．（2023·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（理））已知角終邊上一點(diǎn)，那么（

）A． B． C．1 D．011．（2023·江蘇·蘇州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則（

）A．5或 B．5或 C．5 D．12．（2023·山西呂梁·一模（文））已知，則（

）A． B． C． D．13．（2023·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知α，β均為銳角，且滿足，，則（

）A． B． C． D．14．（2023·山西臨汾·一模（理））已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題15．（2023·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試（文））若，則________________.16．（2023·山東·青島二中高三開(kāi)學(xué)考試）______．17．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））若，則________．18．（2023·四川省高縣中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則______19．（2023·北京八中高三開(kāi)學(xué)考試）若，，則______.20．（2023·廣東高州·二模）已知銳角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則_______．21．（2023·河南濮陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））若且，則______．22．（2023·河南焦作·一模（理））計(jì)算：___________.23．（2023·河南焦作·一模（文））已知，且，則______．24．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）________．25．（2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知，，則的值為_(kāi)_______．第12講求未知角的三角函數(shù)值方法總結(jié)：1.解決此類問(wèn)題的方法步驟：（1）考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進(jìn)行搭配（2）等號(hào)兩邊同取所求三角函數(shù)，并用三角函數(shù)和差公式展開(kāi)（3）利用已知角所在象限和三角函數(shù)值求出此角的其他函數(shù)值（4）將結(jié)果整體代入到運(yùn)算式即可2.確定所涉及角的范圍：當(dāng)已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，角的范圍將決定其他三角函數(shù)值的正負(fù)，所以要先判斷角的范圍，再進(jìn)行三角函數(shù)值的求解。確定角的范圍有以下幾個(gè)層次：（1）通過(guò)不等式的性質(zhì)解出該角的范圍（2）通過(guò)該角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定其所在象限（3）利用特殊角將該角圈在一個(gè)區(qū)間內(nèi)（4）通過(guò)題目中隱含條件判斷角的范圍典型例題：例1．（2023·廣東韶關(guān)·一模）若，則__________.答案:解析：分析：先求出，利用兩角差的正切公式即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：例2．（2023·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（文））若，則______．答案:解析：分析：由誘導(dǎo)公式得，進(jìn)而根據(jù)半角公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以．故答案為：?．（2023·山西太原·高三期末（文））已知為銳角，，則__________.答案:##解析：分析：求出，則.【詳解】,，，.故答案為：.例4．（2023·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象與軸交于點(diǎn)．(1)求函數(shù)的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，答案:(1)最小正周期，，(2)解析：分析：（1）由周期公式可求得最小正周期,根據(jù)函數(shù)的最大值點(diǎn)可求得，將代入解析式，可求得A.（2）根據(jù)角結(jié)合已知可求得，再利用兩角差的正弦公式即可求得答案.(1)的最小正周期，∵為最大值，則，，而，故取，∵函數(shù)圖象過(guò)，∴，(2)，∵，∴，∴，∴，∴.例5．（2023·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；(2)若，，求的值.答案:(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，的值域?yàn)?2)解析：分析：（1）利用降冪公式、二倍角的正弦公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)，可得，再根據(jù)，結(jié)合平方關(guān)系求得，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式即可得解.(1)解：∵∴由，，即，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，且的值域?yàn)椋?2)解：∵，∴，∵，則，又因?yàn)?，所以，所以，則.過(guò)關(guān)練習(xí)：1．（2023·陜西榆林·一模（理））已知，則（

）A．3 B． C． D．答案:B解析：分析：利用誘導(dǎo)公式將化簡(jiǎn)，可得的值，再利用兩角和的正切公式求得答案.【詳解】由題意,

可得，則，故,故選：B2．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：應(yīng)該對(duì)已知條件展開(kāi)，考慮條件和結(jié)果之間的內(nèi)部關(guān)系，使用2倍角公式即可.【詳解】，則，即，所以,故選：B.3．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知，，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：利用二倍角公式，化簡(jiǎn)為，即可求解.【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）或.故選：D4．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：根據(jù)已知條件結(jié)合正切的和角公式求得，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，求得，再利用正弦和余弦的倍角公式，代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，故可得，解得，因?yàn)?，又，故可得，?故選：C.5．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)（理））已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則角可以是（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：先判定角終邊所在象限，再通過(guò)角的三角函數(shù)值確定角.【詳解】則又，則角終邊在第二象限則角可以是故選：D6．（2023·江西上饒·高三階段練習(xí)（文））已知sin，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：三角函數(shù)的恒等變換要注意條件與結(jié)果之間的關(guān)系，由此而產(chǎn)生解題思路.【詳解】∵，；∴，，∴=；故選：D.7．（2023·福建漳州·一模）已知，則（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：利用正余弦的二倍角公式對(duì)已知式子化簡(jiǎn)可求得答案【詳解】由，得，所以，故選：C8．（2023·江西九江·一模（文））已知，則的值為（

）.A． B． C． D．答案:A解析：分析：結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式即可求出結(jié)果.【詳解】.故選：A.9．（2023·江西吉安·高三期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用誘導(dǎo)公式得到，兩邊同時(shí)平方即可得到，再由求出，最后利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，得，所以，，所以，又，所以，，因此，因此．故選：A．10．（2023·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（理））已知角終邊上一點(diǎn)，那么（

）A． B． C．1 D．0答案:A解析：分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義求得,再利用二倍角公式求得，接著求得，最后利用兩角和的余弦公式求得答案.【詳解】，，所以角終邊上一點(diǎn)，即，,故，所以，所以，，所以，故選：A.11．（2023·江蘇·蘇州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則（

）A．5或 B．5或 C．5 D．答案:C解析：分析：由條件結(jié)合二倍角正切公式可求，再由同角關(guān)系將所求表達(dá)式化簡(jiǎn)為含正切的代數(shù)式，由此可求其值.【詳解】∵

，∴

，即，又∴

，∴

，故選：C.12．（2023·山西呂梁·一模（文））已知，則（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用二倍角公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選A13．（2023·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知α，β均為銳角，且滿足，，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：可根據(jù)已知條件，先求解出，然后結(jié)合使用余弦的和差公式構(gòu)造出，然后根據(jù)條件給的，的范圍排除，即可完成求解.【詳解】，所以，，因?yàn)?，均為銳角，所以，故故選：D.14．（2023·山西臨汾·一模（理））已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．答案:D解析：分析：結(jié)合三角函數(shù)的定義、兩角差的正切公式求得正確答案.【詳解】.故選：D二、填空題15．（2023·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試（文））若，則________________.答案:解析：分析：由誘導(dǎo)公式求得，再由二倍角公式計(jì)算．【詳解】由，得，所以．故答案為：．16．（2023·山東·青島二中高三開(kāi)學(xué)考試）______．答案:1解析：分析：由，利用兩角和的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?17．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））若，則________．答案:1解析：分析：根據(jù)三角誘導(dǎo)公式與二倍角公式結(jié)合弦切互化公式即可求解．【詳解】，，所以．故答案為：118．（2023·四川省高縣中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則______答案:##解析：分析：直接利用二倍角的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?9．（2023·北京八中高三開(kāi)學(xué)考試）若，，則______.答案:##-0.25解析：分析：切化弦，再利用二倍角正余弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.【詳解】依題意，，因，則，則有，解得，所以.故答案為：20．（2023·廣東高州·二模）已知銳角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則_______．答案:##解析：分析：由三角函數(shù)的定義可得，化簡(jiǎn)結(jié)合條件可得答案.【詳解】由題意可得又為銳角，所以故答案為：21．（2023·河南濮陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））若且，則______．答案:或##或解析：分析：化簡(jiǎn)整理方程，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值即可求解.【詳解】∵∴，∴，，或，或.故答案為：或.22．（2023·河南焦作·一模（理））計(jì)算：___________.答案:##解析：分析：先切化弦，再根據(jù)二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】.故答