2024屆上海市高考數(shù)學全真模擬卷含解析

2024屆上海市北虹、上理工附中高考數(shù)學全真模擬密押卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調(diào)函數(shù)的是（）

A./（x）=ln（|x|+l）B.f（x）=x~1

2\(x<0)

x2+2x,(x>0)

D.〃x)=,(x=°)

-x2+2x,(x<0)

,（x〉0）

2.下列不等式正確的是（

A.sin130>sin40>log34B.tan226<ln0.4<tan48

C.

cos(-20)<sin65<lgllD.tan410>sin80>log52

3.若復數(shù)z滿足力=1-i（i為虛數(shù)單位），則其共軌復數(shù)1的虛部為（

C.-1

_4x-y..2,

4.不等式1°的解集記為。，有下面四個命題：Pi：V（x,y）eD,2y-%,5；peD,2y-x..2

x+y?32;

P3:V(x,y)e￡>,2y一馬2；“：y)eD,2y—x..4淇中的真命題是(

A.P[,P2B.P2,P3C.PVP3D.P”P4

ZZ1

5.如圖所示，在平面直角坐標系龍。丁中，尸是橢圓3+9=1（?！?〉0）的右焦點，直線＞=5與橢圓交于3,c兩

點，且/9c=90°,則該橢圓的離心率是（）

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.，若q=12,$5=90,則等差數(shù)列｛?｝公差d=()

3

A.2B.-C.3D.4

2

7.已知A5C中，AB=2,BC=3,ZABC=^°,BD=2DC,AE=EC,則()

8.設集合A=一無一2>0},B=log2x<2},則集合（CRA）I,B=

A.-1<x<2jB.1x|0<x<2jC.1x|0<x<4jD.|x|-l<x<4j

9.正四棱錐尸-ABC。的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為6,側棱長為2石，則它的外接球的表面積

為（）

A.47rB.87rC.167rD.207r

10.當a>0時，函數(shù)-詞，的圖象大致是（）

11.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與

單獨五個環(huán)面積之和的比值P,某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗

內(nèi)隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為“個，已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為()

8〃7in

C.-----D.------

7lN12N

12.已知函數(shù)/(x)=；t?2_(x—i)eX(aeR)若對區(qū)間[0,1]內(nèi)的任意實數(shù)玉、馬、演，都有/&)+/(々)2/(七),

則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.[L2]B.[e,4]C.[1,4]D.[1,2)u[e,4]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在ABC中，已知AB=3,AC=2,ABAC=120°,。為邊8C的中點.若CE1.AD,垂足為E,

則仍?石。的值為一.

14.函數(shù)/(x)=(。一1廠—3(a>1,a*2)過定點.

15.割圓術是估算圓周率的科學方法，由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而

得出圓周率.現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為.

16.已知數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù)，記⑸｝為數(shù)列｛a“｝的前”項和，若。用=2aL(“eN*),q=l,貝！|

aa

n+l-n

Ss=----?

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)max{m，"}表示根，”中的最大值，如max},、而}=&U,己知函數(shù)/(%)=max{無？-1,21n%},

g(x)=max<x+lnx,-x2+卜一〈卜+2/+4a>.

(1)設〃(X)=/(X)—3、—￡|(X—1)2,求函數(shù)在(0,1］上的零點個數(shù)；

3

(2)試探討是否存在實數(shù)ae(-2,+8),使得g(x)〈萬大+碗對x?a+2,+8)恒成立？若存在，求。的取值范圍;

若不存在，說明理由.

18.(12分)如圖，在直三棱柱中ABC-ABCI，D、E、F、G分別是8GBJA4,-CJ中點，且鉆=47=2后，

BC=AAi=4.

(1)求證：平面ADE；

(2)求點D到平面EFG的距離.

19.(12分)已知。，仇ceR+,\fx&R,不等式I尤一11T%—2區(qū)a+b+c恒成立.

(1):a2+b~+c2>—

3

⑵求證:力2+無+J/+c2+42+片N垃.

20.(12分)已知函數(shù)/'(x)=e*-ln(x+n7)+7”,7"eR.

(1)若x=0是函數(shù)/(x)的極值點，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當mW2時，證明：/(x)>m

21.(12分)設函數(shù)/(x)=xlnx—ae:/?(x)=Ax,其中aeR,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(I)若/Xx)在(0,+。)上存在兩個極值點，求。的取值范圍；

(II)若(p(x)=lnx+l—/'(九)加l)=e,函數(shù)°(x)與函數(shù)p(x)的圖象交于人和弘了以修,%)，且線段的中

點為P(%0，%),證明：(P(XO)<P(l)<y0.

22.(10分)設廠為拋物線。：丁2=4工的焦點，P,。為拋物線C上的兩個動點，。為坐標原點.

(I)若點歹在線段PQ上，求|PQ|的最小值；

(II)當OPLPQ時，求點?？v坐標的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

對選項逐個驗證即得答案.

【詳解】

對于A，〃r)=ln(H+l)=ln(國+1)=/(無)，.?./(可是偶函數(shù)，故選項4錯誤；

對于3,/(%)=%)=-,定義域為{X|XAO},在R上不是單調(diào)函數(shù)，故選項3錯誤；

X

對于C,當％〉0時，一x<0,尤)=—(―x)~+2(—x)=—x~—2%=—(尤2+2x)=—/(%)；

當尤<0時，~x>0,;./(―x)=(―x)~+2(—x)=—2x=—x?+2x)=—/；

又尤=0時，/(-o)=-/(o)=o.

綜上，對xeR,都有/(r)=-/(%),???/(九)是奇函數(shù).

又90時，/(x)=/+2x=(x+l)2—1是開口向上的拋物線，對稱軸x=—l,.?./(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

/(九)是奇函數(shù)，.??/(力在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項C正確；

對于D,〃龍)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+。)上單調(diào)遞增，但/(-l)=g>〃l)=-j.?./(九)在R上不是單

調(diào)函數(shù)，故選項。錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎題.

2、D

【解析】

根據(jù)sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=sin70>sin65,利用排除法，即可求解.

【詳解】

由sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=cos20=sin70>sin65,

可排除A、B、C選項,

又由tan410=tan50>1>sin80>^-=log5A/5>log52,

所以tan410>sin80>log52.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答

的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

3、D

【解析】

由已知等式求出z,再由共朝復數(shù)的概念求得2,即可得之的虛部.

【詳解】

1-Z-z(l-z)

由zi=l-i,—，所以共軌復數(shù)z=-l+i,虛部為1

i1\~1)

故選D.

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共利復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.

4、A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當x=l,y=2時，（2y—x）max=3,即2y-尤的取值范圍為（一應3],所以

V(x,y)eD,2y-x?5,0為真命題;

3（x,y）^D,2y-x..2,p2為真命題；p?，P4為假命題.

故選：A

此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.

5、A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得B和。的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示可得3c2=2儲，由離心率定義可得結

果.

【詳解】

21

xy1\J3

由礦y，得2,所以§-鼻啊,C(73b]

bb1221

y=—y=—'7

I-2L2

（也__rA/3

由題意知E（c,o）,所以BF=c+-a,--,CF=c-a,

l22JI~r~2/

因為NBFC=90°,所以BF±CF，所以

即（上百）2工〃一。

rp_Y6b_2322〃1

BF,CF—c+acci+—ca+—_3CCl2—_U0.

I2JI2J44442

所以3c?=2標，所以e=￡=」5,

a3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎題.

6、C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.

【詳解】

Vai=12,S5=90,

5x4

.*.5x12+------d=90,

2

解得d=l.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

以R4,3。為基底，將AD,BE用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.

【詳解】

22

BD=2DC,BD=—BC,AD=BD—BA=—BC—BA,

33

AE=EC,:.BE=-BC+-BA,

22

ADBE=(^BC-BA)(；BC+|fiA)

1211.2

=-BC——BCBA——BA

362

,1,11

=1——x2x3x—=—.

622

故選:C.

【點睛】

本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.

8、B

【解析】

先求出集合4和它的補集，然后求得集合B的解集，最后取它們的交集得出結果.

【詳解】

對于集合A,(x—2)(%+1)>0,解得x<—1或無>2,故CM=[—1,2卜對于集合$1。82工〈2=10824,解得0<%44.

故(CRA)C6=(O,2].故選B.

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元

二次不等式的解法是：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為0,然后通過因式分解，求得對應的一元二

次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.

9、C

【解析】

如圖所示，在平面ABC。的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上，計算長度，設球半徑為R,則

(PE-R)?+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【詳解】

如圖所示：尸在平面ABC。的投影為正方形的中心E，故球心。在PE上，

BD=4^AB=2yJ^，WBE=；BD=sfi,PE=JPB。一BE?=3,

設球半徑為R,貝！］(PE—R)2+3E2=R2,解得R=2,故S=4〃R2=I6?.

故選：C.

【點睛】

本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

10、B

【解析】

由/(x)=0,解得好—依=o,即％=0或x=。，4＞。,，函數(shù)/(力有兩個零點，二4。，不正確，設4=1,

2

則/(x)=(x_x)e*,.⑺=卜2+x_1)俄,由/'(無)=(尤2+左-1)e*>0,解得x>或為<,

由/(%)=(尤2—1)/<0,解得：—T；逐<x<一1；君，即x=—1是函數(shù)的一個極大值點,不成立，排除。，

故選B.

【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，

屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無

路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及

XfO+,XfO.,Xf+8,x-—8時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.

11、B

【解析】

根據(jù)比例關系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值P.

【詳解】

設會旗中五環(huán)所占面積為S,

,_Sn?60〃

由于一=一，所以S=——

60NN

j,nSI2n

故可得=——.

5萬兀N

故選：B.

【點睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.

12、C

【解析】

分析：先求導，再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)西、馬、W，都有

/(%)+/(9)?/(演)，得到關于a的不等式組，再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得%一［/+(九-1)/］=。九一九e"=x(a-ex).

當a<l時，f'(x)<Q,所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，

因為對區(qū)間［0』內(nèi)的任意實數(shù)為、9、W，都有/(玉)+/(%)?/(七)，

所以/(1)+/(1)2/(0),

所以一ci-\—

22

故叱1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當Gave時，函數(shù)f(x)在［OJna］單調(diào)遞增，在(Ina,1］單調(diào)遞減.

12

所以/(工)3=f()na)=—alna-a\na+a,

因為對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)為、%、X3,都有/(%)+/(%)2/(七)，

所以/(0)+〃1)之/(111。)，

112

所以1+—。2—olna-a］na+a,

22

121

即一aIna—QInciH—a—IVO

121

令g(a)=］alna-a\na+—a-\.(l<a<e)9

所以g'(a)=g(ln2a—l)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減，

所以g(a：U=g6=-；<0，

所以當lSa<e時，滿足題意.

當a?e時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

因為對區(qū)間［0』內(nèi)的任意實數(shù)占、%、%，都有/(X)+/(/)?/(七)，

所以/(0)+7(0)2/⑴，

.1

故

2

所以〃<4.

故e<〃<4.

綜上所述，ad［1,4］.

故選C.

點睛：本題的難點在于“對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實數(shù)0馬、不，都有/(%)+/(々)2/(%3)”的轉(zhuǎn)化?由于是函數(shù)的問

題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就

是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學問題的等價轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破口.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

27

13、

7

【解析】

EB-EC=（EA+AB）.EC=AB-EC=（AD+DB）.EC=CD-EC=-EC”,

由余弦定理，得5。=79+4-2X3X2XCOS120=719，

/口_4+19-97J73A/3

得cosC=——7=-=一=,AD^—,S=、一

4M2V1924

所以CE=K，所以EB-EC=—二

V?7

點睛：本題考查平面向量的綜合應用.本題中存在垂直關系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關系，得到

EB-EC=—EC2，所以本題轉(zhuǎn)化為求CE長度，利用余弦定理和面積公式求解即可.

14、(0,-2)

【解析】

令x=0,/(0)=l—3=—2,與參數(shù)無關，即可得到定點.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得x=0,函數(shù)值與參數(shù)無關，

所有/(%)=(?-1)、—3過定點(0,-2).

故答案為：(。,-2)

【點睛】

此題考查函數(shù)的定點問題，關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.

3

15、—

n

【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可.

【詳解】

半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為J,腰為1的等腰三角形，

O

1TC

???該正十二邊形的面積為S=12x—xlxlxsin—=3,

26

33

根據(jù)幾何概型公式，該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為一才二一

兀義1冗

3

故答案為：一

【點睛】

本小題主要考查面積型幾何概型的計算，屬于基礎題.

16、63

【解析】

2a2〃eN*）進行化簡，可得號=2,再根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式進行求解即可

對4+1=....-

【詳解】

2

由4+1=—=4+1?-an+i-an=2a；n??+I-a；=a：+an+{-an

an+\~an

(1Y)1x(1—26)

數(shù)列｛為｝為首項為4=1，公比4=2的等比數(shù)列，s6=-——

i—q1-2

所以$6=63

【點睛】

本題考查等比數(shù)列基本量的求法，當處理復雜因式時，常用基本方法為:因式分解，約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差

和等比的基本性質(zhì)

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴江⑴存在‘（號⑵.

【解析】

試題分析：（1）設r（然）=：??-二-皆魁黑，對其求導，及最小值，從而得到，的解析式，進一步求值域即可；（1）

分別對□和，兩種情況進行討論，得到:的解析式，進一步構造：，通過求導得到最值，得到滿足條件

的3的范圍.

試題解析：（1）設廠'（%）=2%-2=—1）（」+1）...........1分

XX

令尸（x）＞0,得x＞ir（x）遞增；令尸（力＜0,得0＜X＜1,/（力遞減,.................1分

.\F（x）miii=F（l）=O,.\F（x）＞0,即九2—G21n龍，=f—1...........3分

設G（x）=3、-￡|（x-1『，結合/（九）與G（力在（0』上圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在（0』上有兩個交點，即

/i（x）在（0,1］上零點的個數(shù)為1.........................5分

（或由方程/（H=G（x）在（0』上有兩根可得）

3

（1）假設存在實數(shù)ae（—2,+co）,使得g（x）＜5X+4a對xe（a+2,+co）恒成立,

x+lnx<—x+4〃

2

則｛」，3對X￡（Q+2,+OO）恒成立,

—Jr?+/—|%+2/+4〃<一X+4〃

I22

Inx——x＜4a

即｛2,對X￡（〃+2,4W）恒成立..................................6分

（冗+2乂%一4）〉0

①設”（力=111工_4陽”'（'=工_4=入三

2x22x

令”M）＞0,得0＜x＜2,＞（x）遞增;令"（x）＜0,得］＞2,H（尤）遞減,

AH（x）max=/z（2）=ln2-l,

[n2]（ln2-l

當0VQ+2<2即—2va<0時，>In2-1,a>—....，Va<0,.\4aeI4

4

故當aejnjLo]時,111X一；工＜40對%€（。+2,+＜?）恒成立,

8分

1

當a+2N2即a20時，"在（〃+2,+oo）上遞減，H（%）＜H（a+2）=ln（a+2）—a—1.

2

v|ln(?+2)--a-lI=—---<0,AH(a+2)<H(0)=ln2-l<0,

I2)a+22

故當。之。時，lnx-gx<4。對xe(a+2,+co)恒成立............................10分

②若(x+2乂尤—/)>0對xe(a+2,+co)恒成立，貝!la+22a工aw[—1,2]..................11分

/?(ln2-l二

由①及②得，—--,2.

3

故存在實數(shù)ae(—2,+co),使得g(x)<5X+4a對xe(a+2,y)恒成立，

且a的取值范圍為]若土,2...................................................................................11分

考點：導數(shù)應用.

【思路點睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進一步求最值；屬于難題.本題考查函數(shù)

導數(shù)與單調(diào)性.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定

極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的

值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理.也

可構造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.

18、(1)詳見解析；(2)勺8.

3

【解析】

(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

(2)取DE中點為“，則FH/^AD，證得FH，平面BCCXB｝，利用等體積法%_EFG=%-DEG求解即可.

【詳解】

(1)因為AB=AC=2&，BC=4,

:.AB±AC,Q。是的中點，.-.AD±BC,

.ABC—A與G為直三棱柱，所以相，平面ABC,

因為DE為BC,耳G中點，所以。E//A4

.?.￡＞石，平面48。，..。“，3。，又ADcDE=D,

二5。，平面ADE

(2)AB=AC=2.^2,BC=4,

又E,戶,G分別是BG，M，cq中點,

：.EF=FG=EG=2yf2.

由（1）知AD_L8C,BB}LAD,

又BB[5c=5平面5CC4,

取OE中點為X,連接。G如圖,

則FH/^AD，,FH，平面BCQBi,

設點D到平面EFG的距離為h,

1

由^D-EFG=*F-DEG'得7—3h-SZAAcErFCCr=—3FH-SDEC，9

即:，"￥（20）2=gx2x；x20x2VL解得/Z=￥^,

???點D到平面EFG的距離為逋.

3

【點睛】

本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握

線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解本題的關鍵；屬于中檔題.

19、(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)先根據(jù)絕對值不等式求得lx-1|-1%-2|的最大值，從而得到a+b+cNl,再利用基本不等式進行證明;

(2)利用基本不等式儲+廿>2ab變形得/+b2>①+為一,兩邊開平方得到新的不等式，利用同理可得另外兩個

2

不等式，再進行不等式相加，即可得答案.

【詳解】

(1)V|x—1|—|x—2|<|x—1—x+2|=l,/.a+b+c'>\.

,**a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ac,

：?2a1+2b2+2c之>2ab+2bc+2ac，

：?3a2+3b2+3cN/_|_b?+c2+2cib+2bc+2cle—(a+/?+c)221,

a2+b2+c->-.

3

(2)Va2+b2>lab，2^a2+b~)>a~+2ab+b~=(a+b)~,

22

即a+b>一兩邊開平方得1丁+年2乎?q+切=*a+b).

同理可得J/+c22*…)，正―，乎(c+a).

三式相加，得y/a2+b2+-Jb2+c2+yjc2+a2>陵(a+b+c)>y/2-

【點睛】

本題考查絕對值不等式、應用基本不等式證明不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和

推理論證能力.

20、(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(0,+8)(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導函數(shù)，由％=0是函數(shù)/(X)的極值點可求得參數(shù)加.求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導函數(shù)

的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.

(2)當mK2時,ln(x+m)<ln(x+2).代入函數(shù)解析式放縮為f(x)=ex-ln(%+m)+m>ex-ln(x+2)+m,代入

證明的不等式可化為e*-ln(x+2)>0,構造函數(shù)力(x)=e，-ln(x+2),并求得〃(x),由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定

理可知存在唯一的A-0,使得“(不)=*-=0成立，因而求得函數(shù)/i(x)的最小值狀x°)=*-ln(x0+2),由對

數(shù)式變形化簡可證明力(%)>0，即/?(%)Nh(x0)>0成立，原不等式得證.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)=e"—ln(x+加)+加，加￡R

可求得f'(x)=ex-——,貝！|1(0)=1—工=0

x+mm

解得根=L

所以/(尤)=/—ln(x+l)+l,定義域為(—1，+8)

廣(x)=/-一匚在(―1,+8)單調(diào)遞增，而/''⑼=0,

x+1

.?.當xe(—1,0)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當xe(0,+s)時，f'(x)>Q,”x)單調(diào)遞增，

此時x=0是函數(shù)/(元)的極小值點，

二/(x)的遞減區(qū)間為(—1,0),遞增區(qū)間為(0,+8)

(2)證明：當加<2時，ln(x+m)<ln(x+2)

/./(x)=ex-ln(x+rri)+m>ex-ln(x+2)+m,

因此要證當加工2時，/(%)>m,

只需證明-ln(x+2)+m>m,

即^-ln(x+2)>0

令h(x)=ex-ln(x+2),

貝!Ih'(x)=ex一——,

x+2

「勿⑺在(-2,y)是單調(diào)遞增，

而"(_1)=L—1<0,〃(0)=工>0,

e2

...存在唯一的％,使得勿(%)=/°--^—=0,x0e(-l,0),

當x￡(-2,x0),加(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，當x￡(如+oo),〃(1)〉0,h(x)單調(diào)遞增,

因此當x=/時，函數(shù)/z(x)取得最小值/z(Xo)=e?-ln(x0+2),

%e(-1,0),〃(?％)=*----二=。，

%+2

eo=~,ln(x0+2)=—x,

%+20

故〃(%)=e2-ln(x0+2)=-+%="+?>0,

x0+2尤0+2

從而力(%)2/%)>0,即e'—ln(x+2)>0,結論成立.

【點睛】

本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù)，并根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)證明不等式恒成立，構造函數(shù)法的綜合應

用，屬于難題.

21、(I)0<a<-(II)詳見解析.

e;

【解析】

(I)依題意f(x)在(0,+。)上存在兩個極值點，等價于尸(x)=0在(0,+8)有兩個不等實根，由lnx+1-ae=O參

變分類可得。="口，令g(x)=@F，利用導數(shù)研究g(x)的單調(diào)性、極值，從而得到參數(shù)的取值范圍；

1e

紅豆XXX

e2_eie\+^2

(II)由題解得a=l,<p(x)=e",要證①小)v夕⑴v%成立，只需證：e2<k=-----------<--—,即：

—x2

e2<---------<---,只需證：e2<-----------<---,設，=々—玉>。，即證：/

x2-xr2x2-xx2t2

—e'—1/—1e，+1

再分別證明e2<一,」<j即可；

tt2

【詳解】

解：(I)由題意可知，x>0,/*(%)=In%+1-aex,

/(X)在(O,+8)上存在兩個極值點，等價于尸(X)=0在(0,+8)有兩個不等實根,

,lnx+1./、lnx+1

由lnx+1—ae*=0可得，?=——--,令g(x)=——--,

ee

則—0nx+l),令/z(x)='-lnx-1，

g(旬-：X

可得力(X)=—二一當尤>0時，h\x)<G,

XX

所以/2(X)在(0,+。)上單調(diào)遞減，且依D=0

當xe(0,1)時，/尤)>0,g'(%)>0,g(九)單調(diào)遞增；

當x?1收)時，h(x)<Q,g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減;

所以X=1是g(x)的極大值也是最大值，二g(X)max=^(1)=--■.?又當天f。,g(x)f-8,當Xf+0。,g(x)大

ee