2024年高考數(shù)學(xué)一文吃透數(shù)學(xué)13個(gè)必考題型

2024年高考數(shù)學(xué)一文吃透數(shù)學(xué)13個(gè)必考題型

高考數(shù)學(xué)難度比例大致為7：2：1,也就是說80%都是基礎(chǔ)

題。然而數(shù)學(xué)卻是高考中最拉分的。90%的學(xué)生都缺少一套

科學(xué)，高效的提分方法，尤其到了沖刺階段！

為大家整理了高考數(shù)學(xué)歷年必考題型，趕快利用碎片時(shí)間看

一遍，掌握技巧，考場上多幾分勝算！

13個(gè)必考題型

題型一

運(yùn)用同三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半等公式進(jìn)

行化簡求值類。

43YYTT

a=(cos-x,sin-x),A=(cos-,-sin^-),fi.xe[—,^]

例1已知向量--4。“

(1)若14+物>抬，求X的取值范圍；~

⑵酬"X)=""?+若對(duì)任意％力，恒有!/(^)~f(與)[<I求r的

取值范圍。~

解.(I)Qja：=^6|=Lai=coslx,：\a+b\=>/2+2cos2x=-2cosx>>/3

cosx<--Qxe[——<x<7t

即226…

?3

f(x)=ab+a+bj=cos2x-2cosx=2(cosx—):—

(2)22?！?/p>

Q-1Scosx<0s.'.f(x)aa=3=/(力.誦=~1,又

Q/(演)-/(與)E/(x)??-/(x)aifl=4,.-.r>4<J

題型二

運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題，通?？疾檎摇⒂嘞液瘮?shù)的單調(diào)

性、周期性、最值、對(duì)稱軸及對(duì)稱中心。

1、**L1一ZA*、

*f?一一)k,、flf,v*—■aw(0t-)

例2已知向量4=觸叱2,，=Q,2cosa),5,2\

(1)求sin2吸sina的值；，

/(x)=5sin(-2x*-a)*2cos2x(xe[—,—])〃、

(2)設(shè)的數(shù)’2242，求x為何值時(shí)，/(X)取得最

大值，最大”

值是多少，并求A")的單調(diào)增區(qū)間。+,

--、

ab?sina-cosa-一(sina-cosa)2?l-sin2asin2a--24

5

解：⑴25>"?1.25,

73

(sina-cosa)=1+sin2a=可sina+cosa=—cosa=_stna=—

5?5~

())/(x)-5cosQx-?)?1-cos2x-5(cos2xcosa*sin2xsina)*cos2x*1.

=5(-cos2x*-sin2x)cos2x*1=4cos2J*4stn2x*1=45/2sin(2x*—)*1—<x<-

554>-??242，

一?2x--4—x=一人叫畸…2嘎使?⑶單調(diào)遞*

,.344?,當(dāng)24時(shí),

I-2fcr42》-上其+汨告+H"彳又xw%曳fX)的

22

單調(diào)增區(qū)I財(cái)卬

題型三

解三角函數(shù)問題、判斷三角形形狀、正余弦定理的應(yīng)用。

例3在△曲中.角A3,0的對(duì)邊分別為&b,c.已知向量

用=(a+c力-a)."=(a-c,b)且冽

si口）4+sin3=

3）求角C的大小；（2）若2,求角A的值。"

解：(1)由?”J■”得(a+cXa_c)+(b_q)b=0；整理得/+〃—c]=0.~

?a2+b2-c2ab1八兀

即-又lablab，.又因?yàn)椤?lt;。<平所以7."

C71,n2笈0lf冗，

C=-X+3=—B=——<4

(2)因?yàn)?,所以3,故3.，

sin^1-sin5=理.得sinK-sin(二一.4)=趙sinH+坦cos4+』sinX=—

由232.即222卡

JT.4伍sn(^4-i—)=—0<A<—7T—<y<——<_2_

所以]3smN+co5/=j2.即62.因?yàn)?,所以6664

A、式冗，兀37r171

X+—=—/+—=—A=—A

故64或6412或72

題型四

數(shù)列的通向公式得求法。

A、定義法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。，

B、公式法：已知其（即q+%+L+4=/（“））求小,用作差法:

”-氐-5w（"22）。

例.已知數(shù)列k}的前?項(xiàng)和s*滿足s*=+(-i)r之1.求數(shù)列E}

的通項(xiàng)公式。，

解：由.=S[=2.-1=>.=1“

當(dāng)〃22時(shí)，有4=S「Si=2(4-。加1)+2x(-1)"W

-?4=3+2x(-1廣]

=2az+2x(-I)"".,%=2q-2r

=r1q+r1x(-i)+r:x(4):+L+坎一味

=尸+(-D](H2)T+(fZ+A+(山

=尸一的里字1

自產(chǎn)H-DW

J3

經(jīng)驗(yàn)證勺=1也滿足上式，所以a”=?2i+(T)力，

C、累加法…

若%一4=/(”)求4：4=(—)+(4_「aQ+L+(q-q)+q("22)。~

D、索乘法：已知&■=”》)求小,用累乘法：4=烏~務(wù)工?竺/(”之2),，

an4-1

E、已知遞推關(guān)系求/,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。~

①〃〃)為常數(shù)，即遞推公式為az=P4+q(其申p.q均為常數(shù)，

(pg(pT)w。))。**

解法：轉(zhuǎn)化為：a*T=p(&T),其中”]匕，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)

I一”

例.已知數(shù)列瓦｝中，勺=1,°31=2^+3,求明?

解，設(shè)遞推公式。3=%,+3可以轉(zhuǎn)化為"「”2(4一)即

。>1=2%-，=/=-3.故遞推公式為az+3=2(a”+3)，令bn=an+3,則

瓦=q+3=4且?==?=2.所以｛4｝是以”=4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)

b*4+3

列,則勾=4x27=2"".所以/=2=-3?

列求解。，

例.已知數(shù)列[*｝中，ax=1,01=24+3,求4*

解?設(shè)遞推公式明?1=24+3可以轉(zhuǎn)化為4?17=2(47)即

=2an-t=>t=-3.故遞推公式為a>]+3=2(4+3),令勾=4+3,則

4=4+3=4且*=檢口=2.所以也｝是以仄=4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)

bf處t4n+3

列，則^=4x21=2*1所以4=2川-3?

題型五

數(shù)列的前n項(xiàng)求和的求法。

1.公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，~

特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分

類討論*

常用公式，1+2+3+L+〃=!網(wǎng)0+1),f+2:+L+n2=ln(n+lX2?+l),“

2o

2.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先

合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.”

3.倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合

數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)

列前〃和公式的推導(dǎo)方法)“

例3、求sin7°+sin220+sin230+…+sin：880+sin：89°的值.

解：-^S=sin:le+sin:204-sin230+--+sin2880+sin:890...................①+

將①式右邊反序得，

S=sin:89a+sin:88o+--+sm:3°+sin22o+sin:r...................②(反

序)。

::

又因?yàn)閟inx=cos(9(r-x)ssinx+cosx=K

①地)得(反

序相加)?

2s=(而”°+cos”°)+(而22°+cos220)+…+(血2890+cos：890)=89~

S=44.5*

二.S=44.5，

4,錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)

相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法)

例4、求和：=l+3x+5x2+7X3+---+(2M-1)X^..................①。

解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n-l｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛式-1｝

的通項(xiàng)之積。

234K

xSK=lx+3x+5x+7x+--+(2M-l)x....................②(設(shè)制

錯(cuò)位)Q

①一②得(1-/Sg=1+2》+2/+2/+2/+…+2/-1-(2〃-1)/(錯(cuò)位相

溯，

再利用等比數(shù)列的求和公式得：Q-x電=1+2.匕之-(2%-l)x”，

1-X

.。(2〃-l)/i-(2“+l)/+(l+x)

??工=---------------;---------->

(1-X)2

5.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相

關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和裂

常用裂項(xiàng)形式有：〃

片5+1)nn4-1n(n4-k)k'nn+k)

自111,11、1111111

k2k2—12k-l左+1kk+1(左+1)左k2(左一1)kfc-1k

④----------1----------=—1［r---l-------------------1--------］i；⑤/E\-----W-----=—1―------1-----；/

忒"+1X力+2)2、5+1)S+lX〃+2)5+1)!加(力+1)!

6.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。J

例8、求1+11+111+…+之和“

訃］

解：由于川-31=卜的49=：(1(/-1)俄通頊

￡個(gè)1“￡個(gè)1"

及特皴)，

1+11+111+小3」“

=!(101-1)+^(102-1)+1(103_1)+…+g(l(r-1)

(分組求和)4

=5(10‘10,+10'+…+10")-3('+4Mp4D"

_110(10w-l)?

—...------------------——4J

910-19

=JL(i0?+1-10-9n)^

題型六

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

1./(x)=f-3/+2在區(qū)間上的最大值是？

2.已知函數(shù)Lfa)=、ar)噎x=l處有極大值，則常數(shù)C?

3.函數(shù)》有極小值？，極大值？p

題型七

利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程。

1.曲線y=4x_f在點(diǎn)(T-3)處的切線方程是v=x-2~

2.若曲線/(X)=『T在P點(diǎn)處的切線平行于直線3x，=。，則p點(diǎn)的坐標(biāo)為

(1,0)~

4.求下列直線的方程：，

(1)曲線)=1+x、i在處的切線；(2)曲線｝4過點(diǎn)P(3,5)的切線…

解：(1)。點(diǎn)A"4」也哪電=x'+F+1上，=3X2+2X二k=yI-I=3-2=1

所以切線方程為YTT+1,即x，+2.0?

(2)顯然點(diǎn)P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為則先①又函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)為｝‘一21,“

所以過心Jo)點(diǎn)的切線的斜率為gr=2",又切線過如a。、p(3,5)點(diǎn)，所

._>。T卜=!或卜0=5

以有?“-3②，由①?聯(lián)立方程組得，帆7也=汽即切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，

切線斜率為&=工=，當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線斜率為&=%=10；所以所

求的切線有兩條，方程分別為>-1=2(X-DW-25=10(X-5>^=2X-1^=10X-25P

題型八

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值

1.已知函數(shù)/(X)=X3+ax'+bx+c,過曲線y=/(x)上的點(diǎn)P(1J(D)的切線方程

為y=3x+l>

(I)若函數(shù)"X您=一2處有極值，求"X)的表達(dá)式；，

(0)在(I)的條件下，求函數(shù)y=/a)在［-3,1］上的最大值；?

(III)若函數(shù)J'=/a)在區(qū)間［-2,1］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.，

解.(J)由/(x^x,+a^+bx+c,求導(dǎo)數(shù)篇T(X)=3X：+2OK+",

過)=/(x)上點(diǎn)尸(1V&的切線方程為：。

即j_(a+b+c+D=(3+2a+bXx_D.

而過)-f(x)上凡1,/(1)］的切線方程初=3x+l“

J3+%+b=32i+b=O①，

故［a-c=-3'a-c^-3.②《

?.?丁=，8)在*=-2時(shí)有極值,故尸(-2)=0,..74+6=-12③.

由①??得a=2,b=-4,c=5.?J(X)=P+2X2-4X+5.,

(2)/'CO=3/+4x-4=(3x-2)(x+2).y

-34x<-2Bl尸(x)>0芳-2Sx(三時(shí)，/(x)<0;

當(dāng)3

當(dāng)沁"》—又/—3,1］上最大值

是13。"

(3)尸f(x)在［一2,1J上單調(diào)遞增，又/'(x)=3x，2or-瓦由①^2a+b=0。

依題意外功在［-2,1］上恒有廣⑶為，即3x：-for+bN0..

-x=?2時(shí)J'(x)a=廣⑴=3-方+力>0,二626

①當(dāng)6

x=g4-田寸J'(x)a=r(-2)=12-?+b2。

②當(dāng)6}/

③當(dāng).2個(gè)時(shí)人」里乙。，則。皿6.

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是已一切，

題型九

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像。

r

只可能是(D)

(A)(B)(c)(D)，

的匿獴為，、

2.函數(shù)3(A)“

3.方程M-6x：+7?*0$(0二於《的個(gè)數(shù)為(B)"

A、0B、1C、2D、3〉

題型十

求參數(shù)取值范圍、恒成立及存在性問題。

A、分離常數(shù)法

例1、已知函數(shù)/(x)=xlnx.(I)求〃x)的最小值;(II)若對(duì)所有X21都有

/(X)26-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.+，

解：(I)/(x)=lnx-L令/.(x)=O,解得x=L，

e

又易知f(x底(0,-)上單調(diào)遞減"

/(X於(e,+B)上單調(diào)遞增,，

所以f(x的最小值為

ee

(II)依題意，得了(x)2or-l在[1,-功上恒成立，即不等式aVlnx-1對(duì)于

x

X€[l,+8)恒成立(分離常數(shù)).，

令g(x)=lnx」，則g&)=2.-L=±1」「當(dāng)x>l時(shí)，因?yàn)?/p>

XXX-XyXJ

ifiX

g&)=_1-；>0,，

xlX)

故g(x)是出-功上的增函數(shù)，所以g(x)的最小值是式1)=1,所以。的取值

范圍是(一8月.。

B、與二次徵的性J^、單調(diào)性、不等式等相聯(lián)系P

求解策略：~

1、利用“要使/(x)>。成立，只需使函數(shù)的最小值/(.X)>a恒成立即可;

min

要使f(x)<a成立，只需使函數(shù)的最大值/(x)<a恒成立即可。

max

2、已知函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)數(shù)大于或者小于。在給定區(qū)

間上恒成立的問題，

3、利用子空間的思想，即苜先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓題所給的區(qū)

間是所求區(qū)間的子集“

類型1.參數(shù)放在翻表達(dá)式上

例1.設(shè)函數(shù)/(工)=2;?-3(a+l)x2/6ar-8其中aeR.，

(1)若/(xjSx=致b得極值，求常數(shù)a的值.

(2甫/(X府(fO)上為增函數(shù)，求a的取值范圍'

(1)由f(3)=O解得1=3.經(jīng)檢瞼知7=3盹x=3為f(x前極值點(diǎn)，

(2)方法1：/(X)=6x’-6(a-l)x+6a=

當(dāng)a>犯寸J(x底(ToD,(a,y)上遞增，符合條件.

當(dāng)”時(shí)J(x)=6(x-l):30?恒成立J(x%E(-x,e)上遞曾

當(dāng)”時(shí)J(x電(f項(xiàng)(1-)上遞胤要保證/(x濃(v,O)上遞熠，則04a<1

綜上所述以>的J(x電(-8,0)上遞陪

因?yàn)?(x電(-與0)上遞增

所以/'(x)3噥xe(一肛0)上恒成立

方法2.郎T)*姓*-1)在x6(f。)上恒成立.，

0x<0s.\x-l<0

:.x<a

從而aNO

方法3

保證f(x)=6x--6(a-l)x-6造(YC,0止最小值大于或等于零

a+1_cfa+l、c

2或<2

A<01/(0)>0

可解f得a20

類型2.參數(shù)放在區(qū)間邊界上J

例2.已知函數(shù)/(JC)=ox3-bx，+cx-H￡x=0處取得極值曲線>，=f(x)過原點(diǎn)和

點(diǎn)PTZ若曲線v="x)在點(diǎn)P處的切線與直線尸2x的夾角為45。且切線的傾

斜角為鈍角*

(1)求/(x)的表達(dá)式。

(2)若/Xx)在區(qū)間上遞增，求m的取值范圍上

C、已知不等式在某區(qū)同上恒成立，求參數(shù)的取值范圍,

類型1.參數(shù)放在不等式上~

例3.已知/(x)=x3+OX1-rbx+c在x=-j?與x=時(shí)都取得極值2

(1)求a、b的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.，

(2)若對(duì)xe[-L2],不等郎(x)<l恒成立，求C的取值范圍.，

類型2.參數(shù)放在區(qū)間上，

例4.已知三次函數(shù)f(x)=--5/+u+d圖象上點(diǎn)(1,8)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(3,0),

并且/(x)在x=3處有極值上

(1)求了(X)的解析式上

(2)當(dāng)X€(0”)時(shí)，/(x)X)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍*

分析:⑴f(x)=1-5x?+3x-9a

(2)./(x)=3x2-10x+3=(3x-1X^-3)

由f(x)=OWx^pX.=3^xe(0,，仃(x)>0J(x)單調(diào)遞熠，所以/(x)>/(0)=9

當(dāng)xe(；,3時(shí)/(x)<0J(x)單調(diào)遞瀛所W(x)>/⑴=0

所以當(dāng)m>38寸/(x)>0在。刑內(nèi)不恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)me(03j4/(x)>0在(0,加內(nèi)恒成立

所以刑的取值范圍為(0月

D、知函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，求參數(shù)的取值范圍.，

思路：1畫出兩個(gè)圖像，即穿線圖和趨勢圖(先增后減再增或者先減后增再減)

2由趨勢圖結(jié)合根的個(gè)數(shù)寫不等式(主要看極值與0的關(guān)系)3解不等式。

題型十一

數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。

解題思路：①聯(lián)立方程組ff②求出式③利用韋達(dá)定理、判別式P

ff④尋求“目標(biāo)”的實(shí)現(xiàn)a

(D相交：△>0o直線與圓錐曲線相交,~

(2)相切：A=0=直線與圓錐曲線相切；~

(3)相離：A<0=直線與圓錐曲線相離；，

例題1、已知直線/)=匕-1與橢圓C：f-二=1始終有交點(diǎn)，求冽的取值范圍，

解：根據(jù)直線/：)一h-l的方程可知，直線恒過定點(diǎn)(0,D,橢圓。：0-1二1

4m

過動(dòng)點(diǎn)(0,二赤)且加*4,如果直線和橢圓U0-22.1始終有交

4m

點(diǎn)，貝U訴NL且加二4,艮［314咱加，4。，

規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)：，

/:丁=h-1=過定點(diǎn)(04)^

/:>=用x-l)n過定點(diǎn)(-1,0)，

，：”2"(x+l)n過定點(diǎn)(-1,2)，

題型十二

焦點(diǎn)三角函數(shù)、焦半徑、焦點(diǎn)弦問題。

(1)焦點(diǎn)三角牘

定義：橢圖(雙曲線)上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)組成的三角形叫焦點(diǎn)三角形；有一個(gè)角為

直角的焦點(diǎn)三角形叫焦點(diǎn)直角三角形。-

1：該三角形一邊長為焦距，另兩邊的和(差)為定值。~

2：橢圖焦點(diǎn)三角形中，頂點(diǎn)在橢圓上的點(diǎn)到另兩點(diǎn)的張角中，以短軸端點(diǎn)到這

兩點(diǎn)的張角最大。，

(2)焦半徑，焦點(diǎn)弦”

2

若拋物線的方程為f=2px(p>0),過拋物線的焦點(diǎn)F2，0)的直線交拋物

線與A(xi,yi)>B(x;,y2)兩點(diǎn)，則，

(1)yo^-p2?xixz=：；/

(2)1AB尸Xi+xi+p；通徑=2P，

(3)——■h-^―=-,?J

⑷AF|十|BF|p'

(4)過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A、B,F拋物線的焦點(diǎn)，則NAFB

=90°)~

(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。。

(6)設(shè)A,B是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn),0為原點(diǎn)、，則OA_LOB的充要條件

是直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0"

題型十三

動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問題。

1、直接法

當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代

入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明“五個(gè)基本步驟求軌跡方程，稱之直接法”

例1.點(diǎn)M與定點(diǎn)F(0?的距離和它到定直線丁=S的距禽的比是1:2,求點(diǎn)的軌

跡方程式，并說明軌跡是什么圖形.。

變式:已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)、F(1,O)和直線x=3的距離之和等于4,求P的軌跡方程

2、特定系數(shù)法:"

已知軌跡是什么圖形，先設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，再求出參數(shù).，

3、定義法：定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線(如圖、橢

圓'雙曲線、拋物線等)的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌

跡方程"

變式:⑴、—?jiǎng)訄D與圖/+，+6x+5=0外切，同時(shí)與(f+〉，-6x-91=0內(nèi)切,

求動(dòng)圖圖心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線.~

<2、已知ALBC的底邊BC長為12,且底邊固定，頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，使

sin8-sinC=gsind,求點(diǎn)A的軌跡

分析：首先建立坐標(biāo)系，由于點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不易用坐標(biāo)表示，注意條件

的運(yùn)用，可利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件#

解:以底邊BC為x軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立xoj坐標(biāo)系，這時(shí)P

5(-6,0)tC(6,0),由sinB-sinC==sin4得?

b-cTa=6,即YCI