廣東惠州2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

廣東惠州光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)￡是方程d—x—1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記%=a"+夕'(〃eN*).下列兩個(gè)命題()

①數(shù)列｛4｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；

②數(shù)列｛an｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

2.已知函數(shù)fO)Ncosx|+sinx,則下列結(jié)論中正確的是

①函數(shù)/■(*)的最小正周期為萬；

②函數(shù)/(X)的圖象是軸對稱圖形；

③函數(shù)/(X)的極大值為應(yīng)；

④函數(shù)f(x)的最小值為-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

3.設(shè)y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在[0,+8)單調(diào)遞增，a=log020.3,^=log20.3,貝!!()

A.f(a+b)>f(ab)>f(0)B.于(a+b)〉于⑼〉于(ab)

C./(必)>/(。+。)>/(0)D.于(ab)>于⑼)于(a+b)

4.已知函數(shù)=U空一f+2Q一”

(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X

(2I-B.j

A.H—

Ie」

「21)D.[e1--,+00^1

C.e―一,+8

5.某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場有6名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位

參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評

分按照[70,80),[80,90),[90,100]分組，繪成頻率分布直方圖如下:

嘉賓ABCDEF

評分969596899798

嘉賓評分的平均數(shù)為三，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為E，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為最，則下列選項(xiàng)

正確的是()

7T

6.將函數(shù)/(x)=sin(3x+：)的圖像向右平移機(jī)舊>0)個(gè)單位長度，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱

6

坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)為奇函數(shù)，則機(jī)的最小值為()

7C27r71TC

A.—B.—C.—D.—

991824

7.直三棱柱ABC—A4G中，CA=CC]=2CB,AC±BCf則直線5G與人與所成的角的余弦值為()

新行C2A/53

A.Jt>?-------Vz?--------nO?

5355

8.設(shè)/(尤)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=(x+l)2-2m,則/⑴-g6=()

A.-1B.0C.1D.3

22_________

9.已知點(diǎn)P是雙曲線C:工—2T=l(a〉01〉0,c=丁)上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積

ab

為工C2,則雙曲線。的離心率為()

4

A.72B.C.y/3D.2

2

10.已知雙曲線:的兩條漸近線與拋物線y2=2px,(p>0)的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn),八s，o為

a'b'

坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為若，則p=().

3

A.1B.-C.2D.3

2

11.已知以=彳-萬(i為虛數(shù)單位，彳為Z的共朝復(fù)數(shù))，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在().

3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.已知命題，：任意xW4,都有l(wèi)og2xN2；命題染a>b,則有1〉/.則下列命題為真命題的是()

A.P八qB.PA(-><7)C.(r2)A(->4)D.(~>p)vq

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

xy<2

13.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足0WxW2,則點(diǎn)P(羽y)表示的區(qū)域面積為.

0<y<2%

14.已知一組數(shù)據(jù)—1,1,0,-2,%的方差為10,貝?。?=

15.函數(shù)/'(x)=?(6-4)+x-l的值域?yàn)?

16.滿足約束條件|x|+2|y|W2的目標(biāo)函數(shù)z=y—x的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價(jià)格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和

價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：

X12345

y17.016.515.513.812.2

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程>=菽+6；

(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤w取到最大值？

_n_fi

Zx/-〃?元?歹2(x,-x)(y,-y)

參考公式：b=上、-----------=「-------------,a=y-bx

32-府2之&—可2

1=11=1

x=2cosafx.=x

18.(12分)在直角坐標(biāo)系九8中，曲線。的參數(shù)方程為.(。為參數(shù)，將曲線C經(jīng)過伸縮變換。

y=sma［乂=2y

后得到曲線C］.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos6+夕sin。-5=0.

(i)說明曲線G是哪一種曲線，并將曲線G的方程化為極坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)M是曲線G上的任意一點(diǎn)，又直線/上有兩點(diǎn)E和尸，且1取1=5,又點(diǎn)E的極角為,，點(diǎn)E的極角

為銳角.求：

①點(diǎn)尸的極角；

②AEMF面積的取值范圍.

19.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

5I0II6

60133458

712367778

8I12459

900123*

(I)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

(II)從圖中考核成績滿足X?80,89］的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

(x—85、

(III)記P(a<X<與表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間［a,可的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P——<120.5時(shí)

培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由.

20.(12分)如圖，在正四棱柱ABC。—44GA中，已知A3=l，BB［=2.

(1)求異面直線AC與直線所成的角的大小;

(2)求點(diǎn)C到平面AB｝D｝的距離.

21.(12分)已知數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)a,=2"T(〃eN*),數(shù)列也,｝為等比數(shù)列，且%an,成等差數(shù)歹(J.

(1)求數(shù)列｛優(yōu)｝的通項(xiàng)；

(2)設(shè)g=2?log?an+1,求數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和Sn.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=a+21nx,f(x)<ax.

⑴求。的值；

⑵令g(x)=?D在(a,+?)上最小值為加，證明：6</(m)<7.

x-a

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

n

利用韋達(dá)定理可得a+(3=l,a/3=-\，結(jié)合an=a+夕'可推出an+1=an+%，再計(jì)算出q=1,4=3，從而推出①

正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閍,￡是方程x2-x-l=O的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以a+4=1,羽=一1,

因?yàn)閍“=a"+〃'，

所以a"+i=a"+i+￡〃+i

=(a"+夕)a++尸")尸一尸"a_an/3

=+夕')(a+尸)一a尸(a"i+6"T)

=(a"+/")+(a"T+/i)=%+%,

即當(dāng)〃》3時(shí)，數(shù)列｛4｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，

又4=7+/=1,%=0；2+月2=(?+尸)2—2a/3=3,

所以〃3=%+%=4,〃4=%+%=7,〃5=〃4+〃3=11,

以此類推，即可知數(shù)列｛??｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛a,J存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,

由q=1,%=3，依次計(jì)算可知,

數(shù)列｛??｝中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,92為周期，

故數(shù)列｛4｝中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

2、D

【解析】

因?yàn)?（x+TiONcosO+TOI+sinO+TONcosjtl-sinxH/Oc）,所以①不正確；

因?yàn)?W=1cos+sinx,所以f（^+x）=|cos（^+^）I++x）=|sinx|+cosx,

嗎—=|c*一切+si畤T）=|sinx|+C°sx,所以嗎+尤）=嗎-尤）,

所以函數(shù)/■（*）的圖象是軸對稱圖形，②正確；

易知函數(shù)/'（X）的最小正周期為2萬，因?yàn)楹瘮?shù)/Xx）的圖象關(guān)于直線X=g對稱，所以只需研究函數(shù)/Xx）在，芳］上

的極大值與最小值即可.當(dāng)王＜x＜物時(shí)，/（x）=-cosx+sinx=72sin（x--）,K—,令》-二=三，得

22444442

37r37r

X=—,可知函數(shù)/（尤）在處取得極大值為0,③正確；

44

因?yàn)辄S彳-黃乎，所以-1W缶in（x-：）〈及，所以函數(shù)/Xx）的最小值為—1,④正確.

4444

故選D.

3、C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較|a+4，］刈|即可.

【詳解】

M：|a+^|=|log0,0.3+log20.3|=+

1g0.21g2

1g0.3x1g|lg0.3xlg|

一乙

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog,0.3|=

-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg^

Ig5xlg2

顯然lgg<lgg,所以|a+b|V明

y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8)單調(diào)遞增,

所以/(仍)>/(。+份>/(0)

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.

【詳解】

/(x)=^^-2(x-e),當(dāng)xe(0,e)時(shí)，尸(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,+?))時(shí)，尸(%)<0,單調(diào)

%

遞減，...在(0,+s)上f(x)只有一個(gè)極大值也是最大值F(e)='+e2-。，顯然％―0時(shí)，x一”時(shí),

e

fMf-oo,

11

因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則/(e)=—+/9—〃>0,??.〃</9+—.

ee

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.

5、C

【解析】

計(jì)算出(、兀，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

-96+95+96+89+97+98

由表格中的數(shù)據(jù)可知,?95.17,

寸-------------6---------------

由頻率分布直方圖可知，^=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則

由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出g(x),根據(jù)g(x)是奇函數(shù)，可得加的取值，再求其最小值.

【詳解】

7T冗

解：由題意知，將函數(shù)/(x)=sin(3x+：)的圖像向右平移相⑺>0)個(gè)單位長度,<y=sin3（x-?/z）+—,再將

6

jr

y=sin3x-3m+-圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像,

O

171

g(x)=sin(—x-3m-\——),

26

因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，

jrjrKjr

所以一3加+一=左匹左wZ,解得機(jī)=-------,keZ,

6183

7T

因?yàn)閙>0,所以機(jī)的最小值為壽.

18

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

設(shè)G4=CG=2C3=2,延長A耳至。，使得4用=耳，連BD,C[D,可證得到/。浪。(或補(bǔ)角)

為所求的角，分別求出B￡,A4，G。，解即可.

【詳解】

設(shè)C4=CG=2CB=2,延長4月至。，使得4四=4。，

連BD￡D,在直三棱柱ABC—AAG中，A3//4片,43=4用，

AB//BtD,AB=B]D,四邊形ABDB｝為平行四邊形，

.-.ABJ/BD,.-.ZQBD(或補(bǔ)角)為直線BG與A片所成的角,

在放△5CC]中，BC[=^CC；+BC2=小,

2

在中,44=7ACI2+5ICI2=石,cosN4AG=

在AC。中,

C]Z>2=AC：+—2&C.AQcosNBj4G=4+20—16=8,

在中，AB[=JW+'k=3,；.BD=AB[=3,

BC；+B?-C[D?5+9-8A/5

在6G。中，cosNC]BD=

2BQBD6A/5-5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

8、C

【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出/(%)-g(x)的解析式，令x=l,即可求出。

【詳解】

因?yàn)椤癤)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，/(x)+g(x)=(x+l)2-2,，用-X替換X,得

/(-x)+g(-x)=(-x+l)2-2-田，

化簡得_/(x)+g(x)=(x—1)2-2-+1,即/(x)—g(x)=2-+1_(x_1)2

令x=l,所以/（I）—g（l）=2°—0=1,故選C。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。

9、A

【解析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（加,力，代入橢圓方程可得匕2加2—儲1二標(biāo)",然后分別求出點(diǎn)p到兩條漸近線的距離，由距離之

積為工。2,并結(jié)合527n2一//://，可得到”,仇。的齊次方程，進(jìn)而可求出離心率的值.

4

【詳解】

222222

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（私”），有不二1,得bm—an=ab?

a~

雙曲線的兩條漸近線方程為bx-ay=0^bx+ay=0f則點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為

\bm—an^\bm+an_|/?2m2-czV|_a2b2

y/a2+b2Xa2+b21+廿c2’

所以嘩=l,2,貝1]4/（。2—/）=。4,即（°2—2/丫=0,故02一2片=0,即e2=；=2,所以e=VL

c4v7a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造”,仇c的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10、C

【解析】

Dr2川

試題分析：拋物線丫2=20羽（°〉0）的準(zhǔn)線為％=-5,雙曲線的離心率為2,貝!Je2=」=l+==4,

2aa

|=V3,漸近線方程為y=±氐，求出交點(diǎn)A（—§乎），3（—:—乎），SMOB=:義島義

e力p2=日則P=2；選C

24

考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；

11、D

【解析】

設(shè)2=。+歷,（a/eR）,由11」=彳一2，，得"一為二。—（5+2）i=￡互，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.

【詳解】

CL---------------------

^z=a+bi,(a,b^R),則［_2i=a—(0+2)i=,所以＜3，

5+2=0

解得＜"=5一，故z=^-2i,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（變,—2）,在第四象限.

b=-222

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共粗復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.

12、B

【解析】

先分別判斷命題。山真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

。為真命題；命題q是假命題，比如當(dāng)0＞。〉乩

或a=l,Z?=-2時(shí)，則/＞/不成立.

貝!人4,（」p）A（w）,（「p）vq均為假.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、l+21n2

【解析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分即可求解.

【詳解】

故答案為：l+21n2

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

14、7或—8

【解析】

依據(jù)方差公式列出方程，解出即可.

【詳解】

x—2

-1,1,0,-2,X的平均數(shù)為

所以g

=10

解得x=7或％=-8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查方差公式的應(yīng)用.

15、［3,+8)

【解析】

利用配方法化簡式子，可得=然后根據(jù)觀察法，可得結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8)

f(x)=V%_4)+x_l=2x_4A/X-1

〃x)=2(W—3"3

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8)

故答案為：［3,+?))

【點(diǎn)睛】

本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題，屬基礎(chǔ)題。

16、-2

【解析】

可行域|x|+21y|W2是如圖的菱形ABCD,

知ZA=0-2=-2為最小.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)y=18.69-1.23%(2)當(dāng)x=2.72時(shí)，年利潤z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得z關(guān)于x的回歸直線方程，由此求得y關(guān)于x的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸

直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.

(2)求得w的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.

【詳解】

(1)方法一：取2=丁-10,則得X與Z的數(shù)據(jù)關(guān)系如下

X12345

Z7.06.55.53.82.2

x=|(l+2+3+4+5)=3,

Z=1(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

5

Zxizi=lx7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=l

5

222222

Jxz=I+2+3+4+5=55.

Z=1

5

、1>/廠5對627-5x3x5

b=-------------=621二5乂3：5=_L23)

L丁xi2~54-x-255—5x3

i=l

a=^-bx=5-(-1.23)x3=8.69，

「?2關(guān)于1的線性回歸方程是z=8.69-1.23%即R—10=z=8.69—L23x,

故了關(guān)于1的線性回歸方程是9=18.69-1.23x.

方法二：因?yàn)樵?1(1+2+3+4+5)=3,

y=1(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

=1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

1=1

5

=12+22+32+42+52=55,

i=l

5

5孫212.7—5-3義15.

6，＜―255—5x3?

2A-5x

i=l

所以4=y—公元=15—(—1.23)x3=18.69,

故丁關(guān)于x的線性回歸方程是y=18.69-1.23%,

(2)年利潤w=x(18.69-1.23x)-12x=-1.23%2+6.69%,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)x=2.72時(shí)，年利潤二最大.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18、(1)曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.G的極坐標(biāo)方程為夕=2(2)①②]一―5,―^—+5

【解析】

(1)求得曲線c伸縮變換后所得G的參數(shù)方程，消參后求得G的普通方程，判斷出G對應(yīng)的曲線，并將G的普通

方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

(2)

①將E的極角代入直線/的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)￡的極徑，判斷出AEO歹為等腰三角形，求得直線/的普通方程,

jr37r

由此求得NEEO=—,進(jìn)而求得NEOE=—,從而求得點(diǎn)尸的極角.

48

②解法一：利用曲線q的參數(shù)方程，求得曲線G上的點(diǎn)M到直線/的距離d的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得d的

最小值和最大值，由此求得AEMF面積的取值范圍.

解法二：根據(jù)曲線G表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓Ci上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得

AEMF面積的取值范圍.

【詳解】

%=2cos。，

(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（。為參數(shù)）,

y=sma

x=x,%]=2cosa,

因?yàn)?c則曲線G的參數(shù)方程

1其=2yy=2sina

所以G的普通方程為片+犬二4.所以曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.

所以G的極坐標(biāo)方程為夕2=4,即夕=2.

(2)①點(diǎn)￡的極角為一，代入直線/的極坐標(biāo)方程夕COS0+夕sin?！?=0得點(diǎn)￡

2

極徑為夕=5,且|EE|=5,所以AEO產(chǎn)為等腰三角形，

又直線/的普通方程為x+y—5=0,

又點(diǎn)尸的極角為銳角，所以所以ZFOE='，

48

>I-,,.n3TCTC

所以點(diǎn)尸的極角為------=—.

288

②解法1：直線/的普通方程為x+y-5=0.

曲線G上的點(diǎn)M到直線I的距離

2^2sina+--5

12cosa+2sino—5114）

d—T=-

V2yJ2

當(dāng)sin［（z+?71J=1,即（z=2左乃+?（左eZ）時(shí),

4

，Tfr>M且［*、，I2yH-5|5A/2

d取到最小值為^4=一1=———2.

V22

當(dāng)sin（a+i）=—1,即a=2br—（左eZ）時(shí),

|-2夜-5|.容2.

d取到最大值為

0

所以XEMF面積的最大值為gx5x竽+5

2

所以AEMF面積的最小值為「x5x-2=-----5

224

故A￡MF面積的取值范圍

解法2：直線/的普通方程為x+y-5=0.

因?yàn)閳AG的半徑為2,且圓心到直線I的距離d="+尸1=述

y22

因?yàn)槭咳省?,所以圓G與直線/相離.

2

所以圓a上的點(diǎn)〃到直線/的距離最大值為1+廠=述+2,

2

最小值為d—r=述—2.

2

、

所以AEMF面積的最大值為:x5x+2X+5；

J4

25夜<

所以KEMF面積的最小值為士x5x------J

24

—5,2+5

故/X￡71屈面積的取值范圍

4

【點(diǎn)睛】

本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直

線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼

考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

73

i9>（I）—（ID-（ni）見解析

305

【解析】

（I）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

（II）結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可;

X—S5

（in）求出滿足<1的成績有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可.

【詳解】

解：（I）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件4,

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，

7

所以所求概率P（A）約為正

（II）設(shè)從圖中考核成績滿足X?80,89］的學(xué)生中任取2人,

至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件B,

因?yàn)楸碇谐煽冊冢?0,89］的6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，

所以基本事件空間Q包含15個(gè)基本事件，事件3包含9個(gè)基本事件，

93

所以P（3）=石

r-85

（III）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足石［<1的成績有16個(gè)，

、

x-85”>。.5

所以。<1

1073015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動有效.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題.

/1/c、4

2OA0、(1)arccos---;(2)—.

103

【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系，通過求向量4。與向量曲的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線4。與直線A2所成的角的大小；（2）

先求出面A42的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可.

【詳解】

以A為原點(diǎn)，A5i，4。，AA所在直線分別為x,y,z軸建系,

設(shè)A(0,0,0),C(l,l,2),A(0,0,2),Di(0,1,0)

所以AC=(1,1,2),AD1=(0,1,—2)

l>l+2>(—2)A/30

cos<AC,ADX>=半產(chǎn)\

■\^C\\AD]A/6xV?

所以異面直線與直線A，所成的角的余弦值為等,異面直線A。與直線所成的角的大小為arccos騫.

(2)因?yàn)楹?(0,1,-2),42=(—1,1,0),設(shè)〃=(x,y,z)是面的一個(gè)法向量,

n-AD=0y-2z=01_1

所以有X即《八，令x=l，y=l,z=—,故"=(1,1,.

n-BQi=0-x+y=022

lxl+2x-

n-D^O________2__4

又DC=(1,0,2),所以點(diǎn)C到平面A耳〃的距離為

XW

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點(diǎn)到面的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

,!+1

21、(1)bn=—(neN*)；(2)Sn=-x[(?-l)-2+2](?eN*).

33

【解析】

(1)根據(jù)〃，an,么M成等差數(shù)列以及｛〃｝為等比數(shù)列，通過直接對〃進(jìn)行賦值計(jì)算出｛"｝的首項(xiàng)和公比，即可求

解出仍,,｝的通項(xiàng)公式;

(2)｛g｝的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式，采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

【詳解】

(1)數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且么，an,勿+1成等差數(shù)列.

,也+心=2冊=2"

設(shè)數(shù)列｛2｝的公比為彘

b+by=2h(l+q}=2bx——

??：/???//[，解得

?也I+4=4也q(l+q)=、4A3

[q—4

.b=-x2n-'=—(neN*\

:n33''

(2)cn=bn-log2tz?+1=—xn(ne2V*)

：.S=-xlx2'+-x2x22+-x3x23++—x(n-l)x2nl+—XHX2"

n3333V73

IS=-xlx22+-x2x23+-x3x24++-X(H-1)X2,!+-x?x2n+1,

n3333v73

S=-xlx21+-xlx22+-xlx23++-X1X2^+-X1X2,!--XHX2,1+I

"333333

12x(l—2)

=-X--xn