2024年中考數(shù)學總復習培優(yōu) 倍長中線模型學生版

【壓軸必刷專題】

倍長中線模型專練

1.在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線.

⑴如圖1,AD是AABC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長AD到點A/,使DAf=">,

連接易證AADC=AMD3,所以=接下來，在A4BM中利用三角形的三邊關系可求得AAf的

取值范圍，從而得到中線AO的取值范圍是.

(2)如圖2,AD是ABC的中線，點E在邊AC上，BE交AD于點/，且AE=EF,求證：AC=B尸；

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ADHBC,點E是的中點，連接CE,ED且試猜想線段

BC,CD,AD之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明.

圖3

2.如圖，正方形ABC。中，E為8C邊上任意點，AF平分NE4。，交CD于點F.

(1)如圖1,若點尸恰好為。中點，求證：AE=BE+2CE；

1

(2)在(1)的條件下，求子CF的值;

BC

(3)如圖2,延長AF交的延長線于點G,延長AE交。C的延長線于點H,連接HG,當CG=。月時,

求證：HGLAG.

3.(1)閱讀理解：

如圖①，在ABC中，若AB=8,AC=5,求BC邊上的中線AO的取值范圍.

可以用如下方法：將△ACD繞著點。逆時針旋轉180。得到△￡?￡),在△ABE中，利用三角形三邊的關系即

可判斷中線的取值范圍是;

(2)問題解決：

如圖②，在ABC中，。是BC邊上的中點，DELDF于點、D,DE交AB于點、E,。尸交AC于點/，連

接跖，求證：BE+CF>EF；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=100°,以C為頂點作一個50。的角，角

的兩邊分別交A3、9于E、尸兩點，連接班，探索線段BE,DF,政之間的數(shù)量關系，并說明理由.

（圖①）（圖②）（圖③）

4.己知ABC中.

(1)如圖1,點E為8C的中點，連AE并延長到點E使FE=EA,則3b與AC的數(shù)量關系是.

(2)如圖2,若AB=AC,點E為邊AC一點，過點C作8c的垂線交班的延長線于點。，連接A。，若

2

NDAC=ZABD,求證：AE=EC.

(3)如圖3,點。在，ABC內部，且滿足AD=BC,ZBAD=ZDCB,點M在DC的延長線上，連AM交

的延長線于點N,若點N為AM的中點，求證：DM=AB.

5.在等腰及ABC和等腰R/A4T史中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZEAD=90°.

(1)如圖1,延長DE交BC于點尸，若NB4E=68。，則NDPC的度數(shù)為；

(2)如圖2,連接EC、BD,延長E4交8。于點M,若NAEC=90。，求證：點M為80中點；

(3)如圖3,連接EC、BD,點G是CE的中點，連接AG,交BD于點H,AG=9,HG=5,直接寫出△AEC

的面積.

6.課堂上，老師出示了這樣一個問題：

如圖1,點。是，ABC邊8C的中點，AB=5,AC=3,求的取值范圍.

3

圖1圖2

(1)小明的想法是，過點8作3E//AC交AD的延長線于點E,如圖2,從而通過構造全等解決問題，請

你按照小明的想法解決此問題；

(2)請按照上述提示，解決下面問題：

在等腰的ABC中，4c=90。，AB^AC,點。邊AC延長線上一點，連接8。，過點A作于

點、E,過點A作且AF=4E；,連接取交BC于點G,連接Cb，求證BG=CG.

7.(1)方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,在AABC中，AB=8,AC=6,

求8c邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

4

圖1圖2圖3

①延長到M,使得

②連接通過三角形全等把AS、AC,24。轉化在AAB似中；

③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系.

（2）請你寫出圖2中AC與的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,是AABC的中線，AB^AE,AC^AF,ZBAE^ZCAF^90°,請直接利用（2）

的結論，試判斷線段與的數(shù)量關系，并加以證明.

8.問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,中，若AB=4,AC=3,求BC

邊上的中線A。的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點E,使。E

=AD,則得到“OCg△即8,小明證明△BEOgACW用到的判定定理是：（用字母表示）；

問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分

散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.請寫出小明解決問題的完整過程；

拓展應用：以AABC的邊AB,AC為邊向外作AABE和AAO）,AB=AE,AC=AD,ZBAE^ZCAD^90°,

M是BC中點，連接AM,DE.當AM=3時，求。E的長.

5

9.(1)基礎應用：如圖1,在AABC中，AB=5,AC=7,AD是BC邊上的中線，延長到點E使

AD,連接CE,把AB,AC,2A。利用旋轉全等的方式集中在AACE中，利用三角形三邊關系可得A。的取

值范圍是;

(2)推廣應用：應用旋轉全等的方式解決問題如圖2,在△ABC中，AD是2c邊上的中線，點區(qū)廠分別

在4B,AC上，J.DE±DF,求證：BE+CF>EF；

(3)綜合應用：如圖3,在四邊形A8C。中，AB=AD,180。且/01尸=；NBA。，試問線段

EF、BE、ED具有怎樣的數(shù)量關系，并證明.

10.(1)閱讀理解：如圖1,在AABC中，若AB=5,AC=8,求8C邊上的中線的取值范圍.小聰同

學是這樣思考的：延長至E,使DE=AD,連接3E.利用全等將邊AC轉化到BE,在ABAE中利用

三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍.在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是

,中線A。的取值范圍是；

(2)問題解決：如圖2,在AABC中，點。是BC的中點，點M在A8邊上，點N在AC邊上，若。ALL

DN.求證：BM+CN>MN；

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(3)問題拓展：如圖3,在AABC中，點。是BC的中點，分別以AB,AC為直角邊向AABC外作RdABM

和RfAACN,其中N54M=NNAC=90°,AB=AM,AC=AN,連接MN,探索與MN的關系，并說明

理由.

11.(1)方法呈現(xiàn)：

如圖①：在ABC中，若AB=6,AC=4,點。為8c邊的中點，求邊上的中線A。的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長到點E使=再連接BE,可證八48四△EBD,從而把A3、

AC,2AD集中在AIBE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線A。的取值范圍是,這

種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；

(2)探究應用:

如圖②，在二ABC中，點。是BC的中點，DELDF于點D,DE交AB于點E,。尸交AC于點連接

EF,判斷8E+C/與EF的大小關系并證明；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形A8C。中，AB//CD,A尸與。C的延長線交于點R點E是8C的中點，若AE是/A4/

的角平分線.試探究線段A8,AF,CF之間的數(shù)量關系，并加以證明.

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12.閱讀理解：

(1)如圖1,在ABC■中，若AB=10,AC=6,求3C邊上的中線的取值范圍.解決此問題可以用如

下方法：延長AO到點E,使得AL>=DE,再連接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形

三邊關系即可判斷中線A￡>的取值范圍是.

(2)解決問題：如圖2,在ABC中，。是BC邊上的中點，DELDF,DE交AB于點E,。產交AC于

點F,連接EF,求證：BE+CF>EF.

(3)問題拓展：如圖3,在ABC中，。是BC邊上的中點，延長ZM至E,使得AC=3E,求證：

ZCAD=ZBED.

E

CFc

W.生

（DC

圖1B圖28圖3

13.己知，在RtZXMC中，ABAC=90°,點。為邊A3的中點,AELCD分別交CD,8C于點/，E.

aECBEC

圖1圖2

（1）如圖1,①若AB=AC,請直接寫出NS4C—N3CD=____

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②連接￡>E,若AE=2DE,求證：ZDEB=ZAEC^

(2)如圖2,連接EB,若EB=AC,試探究線段C尸和。尸之間的數(shù)量關系，并說明理由.

14.請閱讀下列材料：

問題：在四邊形A