北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測

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數(shù)學(xué)試卷

考生須知

1.本試卷共6頁，共兩部分，21道小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級和教育ID號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

U-\xGzlx2<4）A=fl21A4-

1.設(shè)集合l?兀I'則馬人一（）

A.[-2,0]B.{0}C.{-2,-1}D.{-2,-1,0}

2.已知復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)N滿足（l+i）-N=2i,則z?2=()

AV2B.1C.2D.4

3.在（2x-1），的展開式中，/的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

4己知a=log42,人=,c=兀;，則()

A.a>b>cB.b>a>CC.ob>aD.c>a>b

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為％%=1,lga〃+lg%+]=lg2〃，〃wN*，則品=

A.511B.61C.41D.9

6.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,尸為。上一點(diǎn)，直線PF與/相交于點(diǎn)Q,與>軸交于

點(diǎn)M.若方為PQ的中點(diǎn)，則歸閘=（）

A.4B.6C.4A/3D.8

x-l,x<0

7.若函數(shù)〃x）=<0,x=0,則“石+無2>。”是"/（%）+/（%）>?！保ǎ?/p>

x+1,x>0

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，正方體ABC。—A4C2中，p是線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，有下列四個(gè)說法:

①存在點(diǎn)P,使得QPH平面；

②對于任意點(diǎn)p,四棱錐P-AADR體積為定值;

③存在點(diǎn)P,使得4尸，平面

④對于任意點(diǎn)P,△A。。都是銳角三角形.

其中，不正確的是（）

A.①B.②C.③D.@

9.已知在平面內(nèi)，圓0:必+y=1,點(diǎn)尸為圓外一點(diǎn)，滿足|P0|=2,過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)

分別為A,B.若圓。上存在異于A,B的點(diǎn)使得=2424+（1—2）08,則2的值是（）

2111

A.-B.—C.一D.-----

3242

10.設(shè)%,電，生，…，%是L2,3,,7的一■個(gè)排列.且滿足―司21a2—旬2習(xí)《一七|,則

何一%|++|g一的最大值是（）

A.23B.21C.20D.18

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.

ii.函數(shù)〃同=71。+，的定義域?yàn)?

X

2

12.在-ABC中，c=3,〃+匕=7,cosC=-,貝二ABC面積為____.

3一

13.若非零向量3%滿足同>,卜卜|,且匕=(2,2),則能使得(a-A)c=?c)a成立的一組a,c可以是

a=，c=

r2v2flJ3}

14.己知雙曲線E:=—g=l(a〉0,6〉0)的焦距為2c,若點(diǎn)在雙曲線E上，則E的離

心率等于.

15.已知函數(shù)/'(%)=」？-(履+3，給出下列四個(gè)結(jié)論：

D?

①當(dāng)左=0時(shí)，對任意beR,7(%)有1個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)左〉:時(shí)，存Z;eR,使得了(%)存在極值點(diǎn)；

③當(dāng)6=0時(shí)，對任意左GR,/(九)有一個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)0<6<g時(shí)，存在％GR,使得了(%)有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

l^x-^cos^-^,其中Ml71

16.已知函數(shù)/(%)=cos2x—j+y/isin<—.

2

(1)若/(0)=；,求。的值;

(2)已知xe[0,(利>0)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為己知,

使函數(shù)/(%)存在，求他的最大值.

條件①:

條件②:

1JT

條件③：y=f(x)的圖像與直線y=5的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為五.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.在直三棱柱ABC-431cl中，AB=BC,D,E分別為棱與8,AC的中點(diǎn).

(1)求證：AC1.DE；

(2)當(dāng)AC=AB=朋=2時(shí).

(i)求平面4。石與平面AABB1夾角的余弦值;

(ii)若平面ADE與直線交于點(diǎn)凡直接寫出——的值.

BC

18.某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.

方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計(jì)得分；

方式二：選手最多投3次如第1次投中可進(jìn)行第2次投籃，如第2次投中可進(jìn)行第3次投籃.如某次未投

中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計(jì)得分；

已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為且每次投籃相互

獨(dú)立.

(1)求甲得分不低于2分的概率；

(2)求乙得分的分布列及期望；

(3)甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結(jié)論.

19.已知橢圓E:5+==1(。〉5〉0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),長軸長為2J5.過廠作斜率為匕的直線交E

ab

于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)/作斜率為心的直線交E于C,。兩點(diǎn)，設(shè)A5,CD的中點(diǎn)分別為M,N.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)若k[k]=-l,設(shè)點(diǎn)/到直線MN的距離為d,求d的取值范圍.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=e*+acosx,aeR.曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為y=x+2.

(1)求。的值；

(2)求證：方程/■(無)=2僅有一個(gè)實(shí)根；

(3)對任意%e(0,+<?),有/(%)>左sinx+2,求正數(shù)％的取值范圍.

21.已知點(diǎn)集叫={(七,％),(%,%)，,滿足04%，%,%+%<2[=1,2,,力).對

于任意點(diǎn)集若其非空子集A,B滿足AcB=0,AB=Mn,則稱集合對(AB)為的一個(gè)優(yōu)

劃分.對任意點(diǎn)集以及其優(yōu)劃分(AB),記A中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為X(A),8中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和

為Y(B).

(1)寫出M={(1,1),(2,0),(0,2)}的一個(gè)優(yōu)劃分(AB),使其滿足X(A)+F(B)=3；

(2)對于任意點(diǎn)集心，求證：存在M的一個(gè)優(yōu)劃分(A8),滿足X(A)+y(3)W3；

(3)對于任意點(diǎn)集吃，求證：存在上的一個(gè)優(yōu)劃分(A8),滿足X(A)〈等且y(B)W等.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

U=lxezlx2<4)A=[l2]A4-

1.設(shè)集合I1兀(')，則馬從一()

A.[—2,0]B.{0}C,{-2,—1}D.2,—1,01

【答案】D

【解析】

【分析】求出全集，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算可得.

【詳解】因?yàn)锳={1,2},[/={-2,-1,0,1,2},

所以ea={—2,—L0}.

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)N滿足(l+i>5=2i,則z?彳=()

A.72B.1C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出彳，然后即可求解.

【詳解】因?yàn)椋╨+i）-5=2i,

_2i2Gi)

所以=l+i

(l+i)0T

所以z=l—i,所以zD=(l—D(l+i)=2.

故選：C

3.在（2x-1），的展開式中，一的系數(shù)為（

A.—80B.-40C.40D.80

【答案】A

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出其通項(xiàng)，求得％=1時(shí)，展開式中含有一項(xiàng)，代入計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由二項(xiàng)式（2x-1）5的通項(xiàng)為C：（2%廣上（-1）*可得,

當(dāng)5—左=4,即左=1時(shí)，展開式中含有一項(xiàng),

此時(shí)C；(2x)4(-1)1=-16C*4=—80尤4,

因此一的系數(shù)為-80.

故選：A

4已知a=log42,b=二，則（

I—JL

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】利用換底公式計(jì)算〃，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷4c即可得答案.

【詳解】因?yàn)?'2=窗1，"=（口〈出4￡

C=兀2>?！?1'

所以

故選：D

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為S”，q=l,1g4+1g4+1=1g2",“eN*，則風(fēng)=

()

A.511B.61C.41D.9

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則可求得44+1=2",即可知數(shù)列｛為｝的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，再由

分組求和可得結(jié)果.

【詳解】由1g。，+1g。,+1=1g2'可得lga”""】=lg2",

n

即a?an+l=2,所以?！?14+2=2"+i,兩式相除可得色絲=2；

an

即&=&=...=幺="=2,

a】^^4

由4=1可得出=2,因此數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)是以％=1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)歹！J,

偶數(shù)項(xiàng)是以。2=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

所以S9=+tZj+^3-I---HtZg=H---F%)+(a,+&H---4)

1x(1-25)Jx(l—2)61

1-21-2

故選：B

6.已知拋物線C:;/=4x的焦點(diǎn)為p,準(zhǔn)線為/,p為C上一點(diǎn)，直線PF與/相交于點(diǎn)Q,與V軸交于

點(diǎn)M.若尸為尸。的中點(diǎn)，則歸閘=()

A.4B.6C.4-x/3D.8

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線P尸的方程,

進(jìn)而可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得解.

【詳解】F(1,O),準(zhǔn)線/的方程為x=—1,

過點(diǎn)P左PP上/,垂足為p,

則PP'HOF,

因?yàn)榇鯙槭５闹悬c(diǎn)，所以牛=2,所以|尸尸［=4,

所以歸目=|尸可=4=4+1,所以%=3,則才=12,

根據(jù)拋物線對稱性不妨設(shè)P在第一象限，則尸（3,26b

所以直線PF的方程為y=G（x-1）,

令x=0,則y=-石，即Af（0,—G）,

故選：B.

x-l,x<0

7.若函數(shù)〃x）=<0,x=0，則“％+%>°”是“/（石）+/（々）>。”的（）

x+1,x>0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可知"可為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，分析可知%+%>0等價(jià)于

/（^）+/（%2）>0,即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：/（X）的定義域?yàn)镽,且/（0）=0,

若x>0,則一％<0,可知/(x)+/(-x)=(x+l)+(-x-l)=0,

若％<o,同理可得y(x)+/(—x)=o,所以“尤)為奇函數(shù)，

作出函數(shù)〃尤)的圖象，如圖所示，

由圖象可知"可在R上單調(diào)遞增,

若％1+刀2〉0，等價(jià)于國〉_%2，等價(jià)于/(%)>/(_9)=_/(X2)，等價(jià)于/(石)+/(々)〉°，

所以“無1+尤2>0”是“/(%)+/(%2)>0”的充要條件.

故選：C.

8.如圖，正方體ABC?！狝4GR中，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，有下列四個(gè)說法：

①存在點(diǎn)P,使得D.P//平面A.DB；

②對于任意點(diǎn)尸，四棱錐P-AADR體積為定值;

③存在點(diǎn)P,使得4尸，平面GDB；

④對于任意點(diǎn)P,AADP都是銳角三角形.

其中，不正確的是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系判斷說法①；由棱錐的底面積

和高為定值得體積為定值判斷說法②；利用向量數(shù)量積驗(yàn)證垂直關(guān)系判斷說法③；利用向量的模和向量夾

角的計(jì)算，驗(yàn)證說法④.

【詳解】以3為原點(diǎn)，BC,3ABg的方向?yàn)閤軸，＞軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方體棱長為1,

則網(wǎng)0,0,0),C(1,0,0),A(0,1,0),0(1,1,0),4(0,0,1)6(1,0,1),4(0,L1),4(1,1,1),

設(shè)？(0,0,0)(040W1),

D1P=(fl-l,-l,?-l),BD=(1,1,0),BA,=(0,1,1),

,、BD-H=x+y=0

平面的一個(gè)法向量為z),\,

B\?〃=y+z=0

令x=l,則y=—l,z=l,即〃=

若A尸-1+1+〃-1=0,得。=2，

則a=g時(shí)，D{PLn,又RPa平面所以2P〃平面

即點(diǎn)尸為BG中點(diǎn)時(shí)，2P〃平面說法①正確；

正方體ABCD-A46R中，平面\ADDJI平面BXBCCX,pe平面B.BCQ,

則P點(diǎn)到平面A.ADD,的距離為定值，又正方形面積為定值，

所以對于任意點(diǎn)P,四棱錐P-AAO2體積為定值，說法②正確;

\P=(a-l,a-1),BD=(1,1,0),BQ=(1,0,1),

若API平面則有＜

3G,4尸=〃+〃—1=0

所以不存在點(diǎn)尸，使得4尸1平面GOB,說法③錯(cuò)誤;

4/)=(1,0,-1),4戶=(a,-1,〃-1),JD戶=(a-1,-1,〃),

M=lO尸卜12a2-2a+2,

則△4。尸中，ZPDA.^ZPA.D,都是銳角,

T4PDP=a(a-l)+l+a(a-l)=2+上＞0,NAP。也是銳角,

12

所以對于任意點(diǎn)P,△ADP都是銳角三角形，說法④正確.

只有說法③不正確.

故選：C.

9.已知在平面內(nèi)，圓。：必+丁2=1,點(diǎn)尸為圓外一點(diǎn)，滿足上0|=2,過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)

分別為A,B.若圓。上存在異于A,B的點(diǎn)M,使得=2224+(1—%)則X的值是()

2111

A.—B.-C.一D.---

3242

【答案】A

【解析】

【分析】由|。。|=2,得出點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)K4與以原點(diǎn)為圓心半徑為2的圓交

于點(diǎn)C,連接CO,再說明點(diǎn)C0,3三點(diǎn)共線，由R4=；PC,得出PM=2PC+(1—得出點(diǎn)

CM,3三點(diǎn)共線，由2cM=A/B即可求解.

【詳解】因?yàn)楸R。|=2,所以點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，

做出圖形，設(shè)Q4與以原點(diǎn)為圓心半徑為2的圓交于點(diǎn)C,連接CO,

因?yàn)榕c圓。相切于A,B,

所以PALQAPBLOB,

在Rt一APO中，因?yàn)椤?=1,OP=2,所以NAOP=60°,

同理可得N3QP=60°,

又因?yàn)镻4_LOA,由垂徑定理得=ZAOC=60°,

因?yàn)閆AOC+ZAOP+APOB=180°,

所以點(diǎn)C,0,3三點(diǎn)共線，

因?yàn)镻4=^PC,

2

所以PM=24PA+(l-2)PB=APC+(l-A)PB,

所以點(diǎn)C,M,3三點(diǎn)共線，則點(diǎn)/為CO與圓。的交點(diǎn),

因?yàn)镚Vf=CO—=2,

__2-1—-2

所以PM=—PC+—P3,即；l=—,

333

故選：A.

10.設(shè)%,a?，“3，…，%是1，2,3,,7的一■個(gè)排列.且滿足—可可出一%|2習(xí)則

何一%|++|g一%|的最大值是（）

A23B.21C.20D.18

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)絕對值的幾何意義和題給條件即可求得回一%|+,+|4—%|的最大值.

【詳解】何―4|++|〃6—即為相鄰兩項(xiàng)之差的絕對值之和，

則在數(shù)軸上重復(fù)的路徑越多越好，又何-a2\>\a2-a.\>可％-%|，

比如1—>7—>2—>6—>3—>5—>4，其對應(yīng)的一^個(gè)排列為1,7,2,6,3?5,4

則k—+|%—++|線—的最大值是6+5+4+3+2+1=21

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.

11.函數(shù)/（無）=J1-尤+：的定義域?yàn)?

【答案】（^,0）5?！?/p>

【解析】

【分析】由題意列不等式組即可求得.

【詳解】要使函數(shù)〃司=行工+:有意義，

1-x>0,

只需〈八解得：且工。0,

從而了（%）的定義域?yàn)椋╕,0）D（0,l].

故答案為：（TRO）U（O』

2

12.在ABC中，c=3,a+b=7,cosC=-,貝UABC面積為.

3

【答案】26

【解析】

【分析】將。+6=7兩邊平方，結(jié)合余弦定理可得。人=12,利用平方關(guān)系求出sinC即可得解.

4

【詳解】由余弦定理得力0+尸0―§ab=9①，

又a+Z?=7,得/+2出?=49②，

聯(lián)立①②解得。沙=12,

因?yàn)閏osC=g,Ce（0,7i）,所以sinC=當(dāng)，

所以SABC--absmC=—xl2x^-=275.

ABC223

故答案為：2亞

13.若非零向量a,O,c滿足|a|〉W〉同，且6=(2,2),則能使得(a2)c=?c)a成立的一組兄?？梢允?/p>

a=，c=

【答案】①.(3,0)(答案不唯一)②.(1,0)(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)乘定義可判斷1/工結(jié)合同＞卜|〉同即可求解.

【詳解】因?yàn)?即同Wcos(a,Z?)-c=W|c|cos,

所以:〃3，且|a|Wkos(a,6)-|c|=|z?||c|cos,,c)Hd,即cos(a,Z?)=cos,,d),

又同＞W(wǎng)＞卜I，即時(shí)〉2夜＞同，

所以滿足問〉2后〉同，且的向量a,c都滿足條件，

故可取a=(3,0),c=(1,0).

故答案為：(3,0)；(1,0)(答案不唯一).

22flJ3}

14.已知雙曲線Er：二一六=1(?！?]〉0)的焦距為2c,若點(diǎn)P[,c,5-cJ在雙曲線E上，則E的離

心率等于.

【答案】V3+l##l+V3

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上、雙曲線的基本性質(zhì)及離心率的定義計(jì)算即可求解.

ClJ3}尤22

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸-c,^-c在雙曲線E:j—==1(。〉0力〉0)上，

(22Ja2b2'J

/3c2C

代入坐標(biāo)有J—1=1,且雙曲線滿足/=〃+〃，離心率e=一,

4a24從a

c23c23^

所以有方一4F=i'即/一—=4'

化簡可得e4—8,+4=0，所以可=8—二4±2±1),

因?yàn)殡p曲線離心率e=￡〉l,所以e=6+l或e=6—1（舍去）,

a

故答案為：y/3+1-

15.己知函數(shù)依+。），給出下列四個(gè)結(jié)論:

DIJi

①當(dāng)左=0時(shí)，對任意/（%）有1個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)左〉:時(shí)，存在beR,使得存在極值點(diǎn)；

③當(dāng)6=0時(shí)，對任意左GR,"%）有一個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)0<6<；時(shí)，存在ZeR,使得八％）有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①④

【解析】

【分析】對①：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；對②：借助導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)可得

導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)，故函數(shù)不存在極值點(diǎn)；對③：舉出反例即可得；對④：將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線>=履+匕與

曲線丁=不\的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可通過研究過（°,。）的曲線丁=13的切線，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理得

IJI

到直線，=依+6與曲線y一的關(guān)系.

【詳解】對①：當(dāng)-。時(shí)，小卜占

-b,

則xe(-co,0)時(shí)，>0,當(dāng)xe(0,H<o)時(shí)，f'(x)<0,

故"%）在（-8,0）上單調(diào)遞增，在（0,+。）上單調(diào)遞減,

故對任意Z?eR,了（%）有1個(gè)極大值點(diǎn)九=0,故①正確;

-2x

對②：當(dāng)上〉工時(shí)，r（x）=-k

(3+x2)2

8

-2x

若/（X）存在極值點(diǎn),則r（x）有變號零點(diǎn)，則k=了必須有解,

+x2

令心）=&，

2222

-2(3+X)+8X(3+X)-2x2+8x2-6_6(x-l)(x+l)

則g'(x)=

故當(dāng)xe(y,-L)u(L+ao)時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)xe(—1,1)時(shí)，g'(%)<0,

故g（x）在（-8,-1）、（1,+8）上單調(diào)遞增，在（-1,1）上單調(diào)遞減,

,、/\-2x(-1)1

又x?0時(shí)，g(x)W0，g(T=八二§，

(3+1)

-lx

即g（x）〈L恒成立，故當(dāng)左〉:時(shí)，k=

（3+三『無解’故②錯(cuò)誤;

88

對③：當(dāng)z?=o時(shí)，/（%）二一二一區(qū)，

D"I人

當(dāng)左=0時(shí)，/（力=」方>0,此時(shí)函數(shù)八％）無零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤;

對④：當(dāng)0<6<；時(shí)，若存在ZeR,使得了（%）有3個(gè)零點(diǎn)，

則直線>=履+匕與曲線y=3有三個(gè)不同交點(diǎn)，

由直線>=辰+6過點(diǎn)（0,。），曲線y=—二過點(diǎn)。

3+x

又0<6<1，丁==方是偶函數(shù)，且在（0,+。）上單調(diào)遞減，

33+x

故當(dāng)左<0時(shí)，直線>=依+匕與曲線'二^?在第二象限必有一交點(diǎn),

1

同理，當(dāng)左>0時(shí)，直線、=爪+人與曲線y=在第一象限必有一交點(diǎn),

3+x2

1)

過點(diǎn)（03）作曲線y的切線，設(shè)切點(diǎn)為-r，

3+x<3+%o,

1_一2%

則切線方程為股EFg

六］一力則"當(dāng)+1)

o\2'

由，則1,\2

0<b<,<3,即(X；+1)-5+1+4>0,

3+

即(x：+]—4)(x：+]—1)=xj(x；-3)〉0,即芯>3,

故當(dāng)0＜6＜；時(shí)，存在不€卜00,—6）U（6,+℃）,

/

11)

使曲線y=有過點(diǎn)（0力）的切線，且切點(diǎn)為―r，

3+x2V3+%J

—2x

當(dāng)%＞也時(shí)，切線斜率為Q+%20）2＜0

、

-2%,0時(shí)，有又/'（0）=3—萬〉0,

貝ij當(dāng)上e

、（3+只）

）

則存在須€（0,%），使/（%）=0,

此時(shí)函數(shù)＞=履+匕單調(diào)遞減，而y=」~r＞0恒成立，

3+x2

故存在使/（々"O,

2x

即當(dāng)天〉百時(shí)，存在左Cz~°x2,0，使得/（%）有3個(gè)零點(diǎn),

—

同理可得，當(dāng)/＜—G時(shí)，存在左,使得八％）有3個(gè)零點(diǎn)，故④正確.

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第④個(gè)結(jié)論關(guān)鍵點(diǎn)在于將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線＞=履+6與曲線y=i/的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，從而可通過研究過（0,。）的曲線丁=」3的切線，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理去得到直線丫=履+方與曲

線丁=」下的關(guān)系.

3+x2

三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知函數(shù)〃x)=cos2其中時(shí)＜叁.

（1）若/（0）=；，求9的值；

（2）已知xw[0,m]（加＞0）時(shí)，/（%）單調(diào)遞增，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知,

使函數(shù)7（%）存在，求機(jī)的最大值.

1

條件③：y=f（x）的圖像與直線y=5的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7點(diǎn)r.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7T

【答案】（1）（p=-

6

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換公式，將x=0代入計(jì)算即可得；

（2）若選②，將了計(jì)算出來，即可得出。，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；若選③，借助

函數(shù)的對稱性計(jì)算即可得。，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；不可選①，代入計(jì)算后，結(jié)合三角函數(shù)的值域

可知此時(shí)函數(shù)不存在.

【小問1詳解】

1+cos(pv3.1

sin(P——,

22-----------2

即可得tan(p=,

又ld<J,所以

26

法二/⑺一嘰爭m⑵一)

_.C兀1I

—sinI2x-—I+—,

所以/(0)=5足(一夕+巳]+3=3即得5足(看一9]=0，

又ld<J,所以e=g

26

【小問2詳解】

/(x)=1+COS^%^+^sin(2x-^)=sinf2x-^+^+|

因?yàn)?（力的最小正周期7=與=兀，閘＜],

71=sin（兀一夕）可得^|■一夕+兀一夕二兀,

所以由sin5-

1

所以夕=：，/(x)=sinf2x-^|+—

2

所以cos0=sin。即tan0=l,

因?yàn)殚l<]，所以9=；,/(x)=sin^2x--^+―；

選擇③，小)J*—)+*n(2_9)=sin"9+W+g

y=/(￡)的圖像與直線y=1?的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為最，

即可得所以sin]：_o]=0,

又忸唱，所以夕=：,/(x)=sin12x—^1]+g

ITITIT

法一：令----b2kn<2x-----<—+2kn,keZ,

2122

5兀77r57r77r

解得----+kn<x<-----bkn即/（九）的單增區(qū)間為一方+配五+也kwZ,

2424

又xe［0,7”］時(shí)，/（尤）單調(diào)遞增，

57c77L

所以，［0,間是一布+配不+左兀左EZ的一個(gè)子區(qū)間,

--+fei<0

2475

所以，即可得——<k<—,又左EZ,

C/7兀72424

0<m<-----Fkit

24

兀兀兀

所以左=。，故［。制是-元5五的7一個(gè)子區(qū)間，所以，，的最大值為=77;r

24

(JT)1yrjrjr

法二：因?yàn)?(%)=sin12%—仃J+己，xG[0,m],所以—在《2x—五—五，

TT7T

因?yàn)閥=sin%在2kjt-5,2kjt+a上單增，

TT7TJTJT

所以2E——<-----<2m----<2kii+—,keZ,

212122

7r7〈

即可得0<根〈左兀+」，----<k<—,keZ,

242424

7Tt7兀

所以k=0,所以0?相<——，可得機(jī)的最大值為一.

2424

不可選擇條件①，理由如下：

若/[一白]=_1，則sin(_,_o+\[+；=_l,即sin(-0)=—

\JLNJyU\JJZ-i乙

由sinxe[—l,l],故該方程無解，故函數(shù)/(九)不存在，故不可選①.

17.在直三棱柱ABC-451cl中，AB=BC,D,E分別為棱用8,AC的中點(diǎn).

B、

(1)求證：AC±DE；

(2)當(dāng)AC=AB=A4j=2時(shí).

(i)求平面ADE與平面AABB1夾角的余弦值;

(ii)若平面ADE與直線BC交于點(diǎn)F直接寫出——的值.

BC

【答案】(1)證明見解析；

/_、，?、7,、BF1

(2)(1)—；(U)——=一.

8BC3

【解析】

【分析】(1)利用直三棱柱性質(zhì)以及線面垂直判定定理可證明AC，平面可得結(jié)論；

(2)(i)建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求得兩平面的法向量即可求出平面ADE與平面與夾

角的余弦值；

(ii)根據(jù)共面關(guān)系利用法向量垂直可求得結(jié)論

【小問1詳解】

證明：連接BE,

因?yàn)?E為AC中點(diǎn)，所以鹿，AC，

因?yàn)?片是直三棱柱的側(cè)棱，所以平面ABC,

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以3耳LAC,

因?yàn)锽EcBB】=B,平面BDE，所以AC，平面

因?yàn)镼Eu平面班出，

所以AC_LD￡

【小問2詳解】

（i）因?yàn)锳6=AC=6C=2,所以.ABC為等邊三角形，

設(shè)AB中點(diǎn)為O,則OC八03,

因?yàn)?片，平面ABC,

設(shè)4片的中點(diǎn)為M,則Q0LO5,OMLOA,

以O(shè)C所在的直線為x軸，。3所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下

圖所示：

則0（0,0,0）,4（0,—1,0）,8（0,1,0）,C（Ao,O）,A（。，T，2），4（0,1,2）,G（退,0,2卜

（R1、

因?yàn)?。，E為中點(diǎn)，所以。（0,1,1）,E^,--,0,

所以4￡>=(O,2,—l),[E=事(,—2

因?yàn)镺C八OB,OC±BBX,所以0C,平面

所以0c=（、行,0,0）是平面AA3用的一個(gè)法向量.

設(shè)m=（羽y,z）是平面\DE的一個(gè)法向量，

m^D=2y—z=0

則<731

m?AE=-^-x+—y-2z=0

773

令y=i,可得z=2,x

3

所以戊=

OC'm\

設(shè)平面ADE與平面AA3耳的夾角為內(nèi)貝Ucos6=-"7

OC||m|8

7

所以平面4。后與平面AABB1的夾角的余弦值為一.

8

原因如下：設(shè)8戶=丸8(7，易知3。=(6,一1,0),所以3尸=(62,-/1,01

又DB=(0,0,-1),則DF=DB+BF=(V32,-2,-l),

易知D尸u平面ADE，因此機(jī).￡>R=2叵x?l—X—2=0，解得/l=:；

33

因此3尸=工3。，即9

3BC3

18.某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.

方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計(jì)得分;

方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進(jìn)行第2次投籃，如第2次投中可進(jìn)行第3次投籃.如某次未投

中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計(jì)得分;

已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為;，且每次投籃相互

獨(dú)立.

(1)求甲得分不低于2分的概率;

(2)求乙得分的分布列及期望;

(3)甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結(jié)論.

【答案】(1)|

7

(2)分布列見解析，E(y)=-

(3)甲獲勝的可能性更大

【解析】

【分析】（1）計(jì)算出X=2及X=3的概率，求和即可得；

（2）寫出y的可能取值后計(jì)算對應(yīng)的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望;

（3）分別計(jì)算出甲獲勝的概率與乙獲勝的概率，比較大小即可得.

【小問1詳解】

設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為X,

設(shè)甲得分不低于2分為事件A,

則P（A）=P（X=2）+P（X=3）=；；

【小問2詳解】

設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為Y,Y的可能取值為0,2,4,6,

=4)=gxgxP(y=6)=-x-x-=-,

8,72228

所以Y的分布列為:

Y0246

j_j_1]_

P

2488

7

所以現(xiàn)丫）="

【小問3詳解】

甲獲勝的概率為尸（X=1）尸（F=0）+P（X=2）P（F=0）+P（X=3）P（FW2）

xLUxH”,

2828(24j32

乙獲勝的概率為P（xwi）p（y=2）+p（y24）=[_￡|x；+《+:|=|,

故甲獲勝的可能性更大.

22

19.己知橢圓E：?+g=l（a〉6〉0）的右焦點(diǎn)為b（1,0）,長軸長為2J5.過廠作斜率為%的直線交E

于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)E作斜率為左2的直線交E于C,。兩點(diǎn)，設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.

（1）求橢圓E的方程；

⑵若秘2=-1,設(shè)點(diǎn)尸到直線的距離為d,求d的取值范圍.

2

【答案】（1）—+V2=1

2

（2）0<d〈一

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意求出仇c即可得解；

⑵設(shè)4（%,%）,B（x2,y2）,直線AB的方程為y=K（xT）,聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出％+%，

即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)，再討論直線的斜率是否存在，求出直線的方程，

再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得解.

【小問1詳解】

長軸長為2a=20，所以a=J5，

又焦點(diǎn)為b（1,0）,所以c=l,

所以62=4—，=],

所以橢圓E的方程為三+y=1；

2-

【小問2詳解】

設(shè)5（尤2，%），直線AB的方程為y=K（x-l）,

y=K(x—1)

聯(lián)立消去y得(1+2k；)x?-4上；％+2k1-2=0,

—+y2