2024年青島市高三一模數(shù)學(xué)高考模擬試卷試題（含答案詳解）

2024年高三年級(jí)第一次適應(yīng)性檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題2024.03

本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位

置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選

擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.等比數(shù)列｛%｝中，%=1,%=8,則%=（）

A.32B.24C.20D.16

2.在（2+x）5的展開(kāi)式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.1B.10C.40D.80

3.已知直線。，》和平面a,a^.a,bua,則“a〃a"是"a/%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若6=2asin3,bc=4,則△ABET

面積為（）

A.1B.73C.2D.2A

5.2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，

展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案.出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉

璜”（圖1）就是這樣一件珍寶.玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤

空雕飾“夕型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖

。3

2）：AB?8cm,AZ）22cm,AO?5cm,若sin37,K?3.14,則璜身（即曲邊四

邊形ABC。）面積近似為（）

D.22.4cm2

6.記正項(xiàng)等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S“，星。=100,則%。為的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

7.VxeR,/(%)+/(x+3)=1-/(x)/(x+3),/(-1)=0,則/(2024)的值為()

A.2B.1C.0D.-1

8.已知A（-2,0）,8（2,0）,設(shè)點(diǎn)P是圓/+y2=l上的點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)。滿足：QPPB=0,

°尸='〔薪+蘇）則。的軌跡方程為，,

2

v丫22r22

A./一匕=iB.---C.—+y2=lD.=+二=1

335-62

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分,

有選錯(cuò)的得0分.

9.袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機(jī)取出兩個(gè)球,

設(shè)事件A="取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件3="取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事

件。="取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（

A.事件A與B是互斥事件B.事件A與3是對(duì)立事件

C.事件B與C是互斥事件D.事件8與C相互獨(dú)立

10.已知復(fù)數(shù)z,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z-7=0,貝|z為實(shí)數(shù)B.z2+z2=0,貝lJz=2=0

C.若|z-i|=l,貝Hz|的最大值為2D.若|z-i|=|z|+l,則z為純虛數(shù)

11.已知函數(shù)/（X）=cosx+sin],則（

A.在區(qū)間（0,胃單調(diào)遞增

B.“X）的圖象關(guān)于直線X=7T對(duì)稱

9

a-

C.的值域?yàn)?

D.關(guān)于尤的方程在區(qū)間[0,2汨有實(shí)數(shù)根，則所有根之和組成的集合為

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

{兀,2兀,4兀}

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={-1,0,1},B={y\y=2x,xeA},則AuB的所有元素之和為.

22

13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E為橢圓C:j+與=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在C

ab

上，AB的中點(diǎn)為FOALOB,則C的離心率為.

14.已知球。的表面積為12兀，正四面體ABC。的頂點(diǎn)8,C,。均在球。的表面上，

球心。為的外心，棱與球面交于點(diǎn)P.若Ae平面％,3e平面的,Ce平

面％,De平面%，%〃％+1?=1,2,3）且％與即1?=1,2,3）之間的距離為同一定值，棱

AC,AO分別與%交于點(diǎn)。，R,貝kPQR的周長(zhǎng)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟.

15.為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書(shū)好、讀好書(shū)、

好讀書(shū)”的號(hào)召，并開(kāi)展閱讀活動(dòng).開(kāi)學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)共1000名學(xué)生的假期

日均閱讀時(shí)間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的

高度分別為0.0075,0.0125,后三個(gè)小矩形的高度比為3：2：1.

T頻率/組距

0.0125------------

0.0075—1-

------------------------->

O20406080100120時(shí)間/分鐘

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級(jí)1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均值（同一

組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）開(kāi)學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，

抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國(guó)旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時(shí)

間處于［80,100）的人數(shù)記為。，求隨機(jī)變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

16.已知函數(shù)/（X）=-ax+lnx.

⑴若。=1,曲線>=/（尤）在點(diǎn)（%J（x。））處的切線斜率為1,求該切線的方程；

⑵討論了（尤）的單調(diào)性.

17.如圖，在二棱柱ABC-A4G中，AA］與的距禺為百，AB=AC==2,

AC=BC=2也.

(1)證明：平面AABB]，平面ABC；

(2)若點(diǎn)N在棱AG上，求直線AN與平面44c所成角的正弦值的最大值.

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為O：尤?+;/=4和「M的公共點(diǎn)，OM-CW=0，M

與直線x+2=0相切，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵若”>相>0,直線4"-尸根=0與C交于點(diǎn)A,8,直線/2：x-y-〃=。與C交于點(diǎn)A,

夕，點(diǎn)A,A在第一象限，記直線A4'與88’的交點(diǎn)為G,直線48'與&V的交點(diǎn)為

線段A3的中點(diǎn)為E.

①證明：G,E,X三點(diǎn)共線；

②若(〃2+1)2+〃=7,過(guò)點(diǎn)H作乙的平行線，分別交線段A4"BB'于點(diǎn)、T,T,求四邊

形GTET'面積的最大值.

19.記集合S={{a'}|無(wú)窮數(shù)列{叫中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*},對(duì)任意{叫eS,

nl

設(shè)變換/({%})=q+/x++anx~+,xeR.定義運(yùn)算③：若{叫，也}eS,則

{%髭同eS,/({%}③也})=/({%}”(也}).

⑴若{%}區(qū){〃}={%}，用4，&‘4,。4,偽也也也表示〃[4；

(2)證明：({嗎小也}2{5}={4}區(qū)(也}區(qū)仁})；

(n+l)2+l/1丫°3f

⑶右,,a“=j-―n(n—+―l),l<n<100,.仇=「2—),1<n<500，{.d,“}=){%(}?){2})，證、十明口：

0,?>100〔0,〃>500

“200<J-

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.A

【分析】利用已知求出首項(xiàng)生和公比%再求%.

1

［詳解］由題得\a.】Zq=l=

\axq=82

所以%26=32.

故選：A.

2.D

【分析】

利用通項(xiàng)求解可得.

【詳解】通項(xiàng)公式為&1=仁25-，式，

322

當(dāng)r=2時(shí)，T3=C12X=80X,

所以V項(xiàng)的系數(shù)為80.

故選：D

3.B

【分析】

根據(jù)題意，由空間中的線面關(guān)系，即可判斷.

【詳解】根據(jù)線面平行的判定定理可得，若則?！ā?，即必要性成立,

若?！ā?，則山/》不一定成立，故充分性不成立，

所以“a〃c”是的必要不充分條件

故選:B

4.A

【分析】

根據(jù)正弦定理化邊為角得sinA=1,再利用三角形面積公式即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理得sin5=2sinAsin5,因?yàn)?￡（0,兀），貝!Jsin5w0,

所以l=2sinA,解得sinA=：,

所以SABc=g6csinA=gx4x；=l.

故選：A.

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

5.C

【分析】

根據(jù)給定圖形求出圓心角/AC?,再利用扇形面積公式計(jì)算即得.

【詳解】顯然，A05為等腰三角形，OA=OB=5,AB=8,貝U_/CAR_萬(wàn)_4,

OA5

3

sinZOAB=—,

53兀

即/OABB37,于是44。8=106=—,

所以璜身的面積近似為:乙4。鞏。落x（5?-3?卜14.8（cm2）.

故選：C

6.C

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可得%+%=1。，利用基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】??-520=^^X20=100,

/.%+%o=10,/.40+%i=%+。20-1。

又?:4。>0,%>0,

???斯,?對(duì)4及愛(ài)］=岑=25,當(dāng)且僅當(dāng)4。=勺=5時(shí)，取“=”

%)?%的最大值為25.

故選：C

7.B

【分析】

利用賦值法求出"2)的值，將“元)+/(X+3)=1-/(x)/(x+3)變形為/(x+3)=：一,即

1+/W

可推出f(x+6)=f(x),可得函數(shù)周期，由此即可求得答案.

【詳解】由題意知VxeR,/(%)+/(x+3)=1-7(%)/(%+3),/(-1)=0,

令x=-1,則/(-I)+/(2)=1-/(-1)/(2),/(2)=1

顯然f(x)=T時(shí)，—1+，(尤+3)=1+/(*+3)不成立，故/(X)HT,

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

,1-/W

1---------

￡/1一/(工)ri八1+fix)=/、

故/(X+3)=-~,貝I]f{x+6)=—<,=/(x),

1+/U)]?1T(尤)

1+/W

即6為函數(shù)/(x)的周期,

則/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=1,

故選：B

8.A

【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)尸在NBQA的平分線上且由此作出圖形，利用等腰三角形

“三線合一''與三角形中位線定理，證出|。4-|如|=2,從而得到。的軌跡方程.

【詳解】由QPPB=O,可得QP_LPB,

圓f+y2=l,圓心為原點(diǎn)0,半徑廠=1,

連接AQ,延長(zhǎng)3P交AQ于點(diǎn)C,連接0P,

因?yàn)镹PQB=NPQC且尸。，8C,所以08=QC,且P為BC中點(diǎn)，OPAC,OP=^-AC

2

因此，|斜一|。曰=|窖—|?！?[44=2|。尸|=2,

22

點(diǎn)。在以A2為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)雙曲線方程為三一々=1(。>0,6>0),

ab

可知。=2,/+)2=/=4,由2I=|出|一|°到=2,得〃=1,故〃=3,

2

雙曲線方程為——匕=1.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將題中的QP=%當(dāng)+瀉轉(zhuǎn)化為P在N8Q4的

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

平分線上，進(jìn)而證明VQC4為等腰三角形，將|出|-]。同轉(zhuǎn)化為|Q4|-|QC|=|A。得出所求軌

跡為雙曲線.

9.AB

【分析】

利用互斥，對(duì)立，相互獨(dú)立的概念逐一判斷.

【詳解】對(duì)于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)

生，且必有一個(gè)發(fā)生，故事件A與B是互斥事件，也是對(duì)立事件，AB正確；

對(duì)于C：如果取出的數(shù)為2,4,則事件3與事件C均發(fā)生，不互斥，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：尸⑻=1—||="(C)=^L|,尸g咯三,

^666

則尸①)尸(C)wP(BC),即事件B與C不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤；

故選：AB.

10.AC

【分析】

根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)2=。+次(“力€1<),則I=a一加，

若z-5=0,即(。+仇)一(。一為)=2歷=0,即b=o,則Z為實(shí)數(shù)，故A正確；

若Z2+彳2=0,即(〃+歷)2+(。-歷)2=0,

化簡(jiǎn)可得/一/+2〃歷+/一/-2々歷=0,即〃2=02,即〃=助，

當(dāng)a=b時(shí)，z=a+〃i,z=Q-ai，止匕時(shí)不一定滿足z=N=0,

當(dāng)a=-b時(shí)，z=a-ai,z=4+〃i,此時(shí)不一定滿足z=三=0,故B錯(cuò)誤；

22

若|z-i|=l,gp|z-i|=l=|a+(Z,_l)i|=^+(Z,-l)=1,

所以6+僅-1)2=],即z表示以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，

且|z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以|z|的最大值為2,故C正確；

22

若|z-i|=|z|+l,BP|z-i|=|fl+(^-l)i|=7?+(^-l)-

|z|+l=Va2+b2+1,即Q"=J/+b2+1，

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

化簡(jiǎn)可得b=貝!］。=0且6V。，

此時(shí)z可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

11.BCD

【分析】

利用符合函數(shù)的單調(diào)性判斷A,計(jì)算出了（2兀-x）=〃x）即可判斷B,利用換元法求出函數(shù)

的值域，即可判斷C,求出函數(shù)在［0,2兀］上的單調(diào)性，即可畫(huà)出函數(shù)〃x）在區(qū)間［0,2汨的圖

象，結(jié)合圖象分類(lèi)討論，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)尤｛0,1寸sin＞0,

所以/(%)=cosx+sin'=l-2sin22+sin二,

因?yàn)閥=sin|■在10,已［上單調(diào)遞增，又兀

~2—-—4-

X

所以sinme0,

因?yàn)轶茫?,即工＞百，所以1=工一百＞0,

即

164444

所以所以sm全叩。

又y=-2d+x+l在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以y=l-2sin?尹sin5在10弓］上不單調(diào)，即/⑺在區(qū)間［。苗］不單調(diào)，故A錯(cuò)誤;

2TI-X

對(duì)于B：因?yàn)?(2K-x)=cos(2K-x)+sin=cosx+sin|=/(x),

2

所以/（x）的圖象關(guān)于直線》=兀對(duì)稱，故B正確;

2

對(duì)于C：13/(x)=cosx+sin—=1-2sin2—+sin—=1-2sin—+sin—

令1=sinT，則令/z⑺=1-25+.,zG[0,1],

則〃⑺在0，；上單調(diào)遞增，在；，1上單調(diào)遞減，又M0）=l，MD=。，h

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

"o~|「9-

所以/?⑺e0,-,所以/（元）的值域?yàn)?,-,故C正確；

_oJ|_o_

對(duì)于D：當(dāng)先￡［0,2兀］時(shí)sin^ZO,所以/（x）=cosx+sin］=l-2sin2］+sin3,

ITzy1

由A選項(xiàng)可令ce0,-且sin"=±,

「L6J24

則當(dāng)xe［0,㈤時(shí)/（x）單調(diào)遞增，

令d＜3，即＜乃時(shí)y=s嗚在（戊㈤上單調(diào)遞增，且;＜s嗚＜1,

所以〃x）在（c㈤上單調(diào)遞減，

a

Xsin-=sin—=-,令工＜二＜2?！?，即71Vx＜2兀一0時(shí)丁=sin2在（兀,2兀一&）上單調(diào)

1Y

遞減，且:＜sin；＜l,

42

所以〃x）在（兀,2兀-a）上單調(diào)遞增，

當(dāng)2"2e＜［＜兀'即2兀一戊＜了＜2兀時(shí)yusin^在（271-&,2兀）上單調(diào)遞減，且0＜sin5＜；,

所以〃x）在（2兀-%2兀）上單調(diào)遞減，

又"。）=〃271）=1,〃兀）=0,〃a）=〃2兀一々）=:

O

所以“X）在［0,2k］上的函數(shù)圖象如下所示：

外

J!，1?

Oa2兀-ax

由圖可知：

①當(dāng)。=0時(shí)y=/（x）與y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

即關(guān)于x的方程f（x）=a在區(qū)間［0,271］的實(shí)數(shù)根為兀；

②當(dāng)0＜。＜1或。=名時(shí)y=〃x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，

O

即關(guān)于X的方程“X）=。在區(qū)間［0,2兀］有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根關(guān)于X=兀對(duì)稱，

所以兩根之和為2兀；

③當(dāng)時(shí)y=〃x）與y=。有四個(gè)交點(diǎn)，

O

即關(guān)于X的方程在區(qū)間［0,2兀］有四個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為西,無(wú)2，三，羽且王＜無(wú)2＜無(wú)3＜尤4，

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

所以X1與Z關(guān)于龍=兀對(duì)稱，4與％3關(guān)于%二兀對(duì)稱，

所以％+%2+入3+冗4=4兀；

9

④當(dāng)”<0或。時(shí)y=/（x）與y=a無(wú)交點(diǎn)，

O

即關(guān)于X的方程"在區(qū)間［0,2K］無(wú)實(shí)數(shù)根；

綜上可得，若關(guān)于尤的方程/（元）=。在區(qū)間［0,2捫有實(shí)數(shù)根，則所有根之和組成的集合為

{兀,2兀,4兀},故D正確；

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D選項(xiàng)關(guān)鍵是分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，將方程的

解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性求出方程的根的和.

12.0

【分析】

求出集合8,再求AuB,然后可得.

【詳解】由題知，5={-2,0,2},

所以Au3={-2,-l,0,l,2},

所以的所有元素之和為-2-l+0+l+2=0.

故答案為：0

13.

2

【分析】

先結(jié)合圖形求得A（c,c）,代入橢圓方程構(gòu)造齊次式，然后可解.

【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，A8垂直于x軸，

TT

又Q4LO3,所以NAOB=—,

4

所以以加為等腰直角三角形，故A（GC）,

22

所以二+二=1,即/cZ+〃cZ：//,

ab

所以4%2+（4-,2/2=。2（/_02）,整理得/一3/+1=0,

解得/=主或或/=史避（舍去），

22

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

14.1+V7##A/7+1

【分析】

結(jié)合球的表面積公式，根據(jù)正三角形外接圓的性質(zhì)求得邊長(zhǎng)，利用三點(diǎn)共線及數(shù)量積的運(yùn)算

13

律求得AP=]A5=1,然后利用平行平面的性質(zhì)求得順=1,4。=豆，再利用余弦定理求

得尸。==，，即可求解一PQR的周長(zhǎng).

【詳解】設(shè)%與aM(i=1,2,3)之間的距離為d,設(shè)球0的半徑為R,則由題意得4兀代=12無(wú),

解得尺=石，

所以O(shè)2=OP=g,所以A3=3C=A)3=3,所以。=JAB?-O笈=?,

由A,P,8三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)2使得"=力。4+(1-4)。3(0</1<1),

所以O(shè)P?=矛042+(1_彳)2032+2彳(1-/1)04.08,所以3=6九2+3(1—2)2,BP3/2-2/=0,

991AP11

解得彳=77,所以O(shè)PugOA+gOB,所以"二=彳，所以A尸=：A8=1,

333PD23

又名〃?/+1(/=1,2,3)且%與?,.+1。=1,2,3)之間的距離為乙貝|生=g哭=二=:，

AD3d3AC2a2

所以4?=1,AQ=-,所以尸Q=RQ=Jl+2_2xlx3x」=也,

2V4222

又PR=、BD=1,所以PQR的周長(zhǎng)為l+2x正=1+近.

32

故答案為：1+夕

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的空間想象能力，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)RQ,R的位置.本

題中應(yīng)用正四面體的性質(zhì)結(jié)合球的半徑，求出邊長(zhǎng)，利用平行平面的距離，得到所求三角形

的邊長(zhǎng)即可求解.

15.(1)67(分鐘)

(2)分布列見(jiàn)解析；期望為1

【分析】

(1)根據(jù)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和求解;

(2)依題意求出隨機(jī)變量占的分布列，并利用數(shù)學(xué)期望公式求解.

【詳解】(1)

由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分鐘)

(2)

由題意，在[60,80),[80,100),[100,120]三組分別抽取3,2,1人

4的可能取值為：0,1,2

3

則尸6=0)=專(zhuān)Cc0=g1pq=i)=罟C'C'=(3

l2

PC=2)=*cc=

5

所以4的分布列為:

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

i313

E(^)=0x-+lx-+2x-=116.(l)y=x--

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】

(1)求導(dǎo)，根據(jù)/(無(wú)。)=1可得%=1,即可利用點(diǎn)斜式求解，

(2)求導(dǎo)，結(jié)合分類(lèi)討論求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合二次方程根的情況，即可求解.

【詳解】(1)

丫2—yI1

當(dāng)。=1時(shí)，八X+I,廣汽。)=1解得%=1

X

又因?yàn)?⑴=-<，所以切線方程為：y+[=x-l,即y=x-1

(2)

/⑴的定義域?yàn)?。,+8)，/(丈)=不二竺擔(dān)

X

當(dāng)aWO時(shí)，得/'。)>0恒成立，7(x)(在(。,+⑹單調(diào)遞增

當(dāng)4〉0時(shí)，令雙天)=%2-以+1,A=〃2—4

(i)當(dāng)A<0即0<。<2時(shí),

尸(x)20恒成立，/⑺在(0,+8)單調(diào)遞增

X-

(ii)當(dāng)A>0即a>2時(shí),

由/'(無(wú))>0得，0<x<“一々-4或

2

由/'(尤)<0得，佇也三<x<

2

Cl+]a2—4乂、E、乂tx

---------,+8單調(diào)遞增,

\7

單調(diào)遞減

綜上：當(dāng)。42時(shí)，〃%)在(0,+8)單調(diào)遞增;

J〃2—4

當(dāng)〃>2時(shí)，/(%)在0,氣—，+8單調(diào)遞增;

7

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

/(x)在[紇#H,銬單調(diào)遞減

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵這

7

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)作線線垂直，結(jié)合線段長(zhǎng)度及勾股定理判定線線垂直,

根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證明即可；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線面角結(jié)合基本不等式求最值即可.

【詳解】(1)取棱AA中點(diǎn)D,連接80,因?yàn)?所以

因?yàn)槿庵鵄BC-所以A4,//四，

所以所以若

因?yàn)锳B=2,所以AD=1,M=2；

因?yàn)锳C=2,Afi=2叵,所以+所以AC1AA],

同理AC_LAB,

因?yàn)?4,；AB=A,且AA],ABu平面AABBj,所以ACJ_平面AABB1，

因?yàn)锳Cu平面ABC,

所以平面，平面ABC；

取AB中點(diǎn)。，連接A。，取5c中點(diǎn)尸，連接OP,則OP//AC,

由(1)知AC,平面AAB片，所以O(shè)尸，平面

因?yàn)?。平面\ABB,,ABu平面AABB),

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

所以O(shè)P_LA。，0P1AB,

因?yàn)锳B=AA=A8,則AO_LAB

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP,OB,。4所在的直線為無(wú)軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系。一個(gè)z,

則4(0,-1,0),4(0,0，e)，4(0,2,百)，C(2,-l,0),

可設(shè)點(diǎn)N=(a,0,百)，(0<a<2),

44=(。,2,0),4。=(2,-1,-,AN=(a,,

n-4旦=0=2y

設(shè)面Age的法向量為〃=(羽y,z),得<

〃?4。=0=2x-y-A/3Z

取x=JL則y=o,z=2,所以〃=(VI0,2)

設(shè)直線⑷V與平面ABC所成角為，，

nl.nIAATI|?-^|73a+2

則sin0=cos<H,AN>|=---；-----r=-產(chǎn)x—/:

11\n\]AN\V77^4

若a=0,則sin6=，

7

4

當(dāng)且僅當(dāng)。=—,即。=2時(shí)，等號(hào)成立，

a

所以直線AN與平面43。所成角的正弦值的最大值這.

7

18.(1)/=4x

(2)①證明見(jiàn)解析；②16

【分析】

(1)設(shè)/(%>),根據(jù)題目條件列式化簡(jiǎn)可得軌跡；

(2)①設(shè)線段A的的中點(diǎn)為/，利用向量證明G,E,尸三點(diǎn)共線，同理H,E,尸三點(diǎn)共

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

線，進(jìn)而可得結(jié)論；②將四邊形GZET'面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)

立，利用韋達(dá)定理，求出直線AA和直線班'的方程，則可求出G,”坐標(biāo)，然后利用面積公

式5=}3〃|?|/-%|求解最值即可.

【詳解】(1)

設(shè)M(x,y),M與直線x+2=0的切點(diǎn)為N,則|『=|『=|『+1CW『，

所以|芯+2|2=/+，2+4

化簡(jiǎn)得好=4天，所以C的方程為：y2=4x；

(2)

①設(shè)線段A'B'的中點(diǎn)為廠，

因?yàn)椤ā?，所以可設(shè)G4=/IGA'，GB=2GB',

10

又因?yàn)镚E=3(GA+GB)=3(GA+G3')=2GF,

所以G,E,歹三點(diǎn)共線，同理，H,E,尸三點(diǎn)共線，

所以G,E,H三點(diǎn)共線.

②設(shè)4國(guó),3),B(x2,y2),4(%,%),B'Cz，%),AB中點(diǎn)為E,A?中點(diǎn)為尸,

將％=>+根代入j?=4x得：y2-4y-4m=Q,所以％+%=4,%%=-4"7,

所以為=咤匹=2,

同理為+%=4,，3y4=-4力，yF=2(GE,"/均在定直線y=2上)

因?yàn)門(mén)F〃/一所以△EAT與△E4”面積相等，△￡?「'與△面積相等;

所以四邊形GrET'的面積等于四邊形GAHB的面積,

設(shè)G(%,2),H(XH,2),

直線44'：、—必=上)食一尤3即y；上一彳J

%wT-T

整理得：直線My=4x+y*,又因?yàn)?,所以X=2(%+%)-%%,

%+%4

同理，直線』A：y=4x+%%,2,所以//(%+%)—%%

%+為4

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

所以M小卜

』（%一%）（%-%）|

—8

所以四邊形GAHB面積S=工|GH|?|%-%1=（%一%）

」(％+%)2-4%%]4(%+，4)2-4%%

16

(16+16m)-J16+16"

一16

=4y1(1+m)2(1+ri)

<4(1+”+1+"=2(2+加？+2加+”)=16,

-m2+21n=n\m=l

當(dāng)且僅當(dāng)(1+m)2=1+〃，即2c〈，即。時(shí)取等號(hào),

n+m~+2m=6\n—5

所以四邊形G7E7面積的最大值為16.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將四邊形G7ET'的面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAH3的面積,

還有充分利用第一問(wèn)中的點(diǎn)共線求出G,H的橫坐標(biāo)，可以給求面積帶來(lái)便利.

19.(l)m4=4b4+。力3+見(jiàn)4+a4bl；

（2）證明見(jiàn)解析;

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）根據(jù)新定義，由V項(xiàng)系數(shù)相等可