2023-2024學(xué)年山東省青島市市北區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年山東省青島市市北區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1 B．2x+1＝0 C．（x+1）2＝4 D．2．（3分）下列命題中，真命題是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形3．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根為x＝1，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣34．（3分）菱形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和8，它的面積為（）A．20 B．40 C．24 D．305．（3分）在數(shù)字1，2，3，4中任選兩個(gè)組成一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)能被6整除的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量一涼亭AB的高度，他們采取了如下辦法：①在涼亭的右邊點(diǎn)E處放置了一平面鏡，并測(cè)得BE＝12米；②沿著直線BE后退到點(diǎn)D處，眼睛恰好看到鏡子里涼亭的頂端A，并測(cè)得ED＝3米，眼睛到地面的距離CD＝1.6米（此時(shí)∠AEB＝∠CED），那么涼亭AB的高為（）A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米7．（3分）如圖，若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD，DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①AE＝FC，②∠PDE＝15°，③＝，④＝，⑤DE2＝PI?FC，其中正確的為?（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）若，則＝．10．（3分）一個(gè)口袋中有5個(gè)黑球和若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，才用了如下的方法；從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色，不斷重復(fù)上述過(guò)程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計(jì)口袋中的白球大約有個(gè)．11．（3分）生物興趣小組的同學(xué)，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共互贈(zèng)了182件，如果全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是，化為一般形式為．12．（3分）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF交線段DC于點(diǎn)P，若AB＝6，則DP的長(zhǎng)度為．13．（3分）某區(qū)為了大力推進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)，計(jì)劃用三年時(shí)間對(duì)全區(qū)學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進(jìn)行全面改造和更新，2021年區(qū)政府己投資5億元人民幣，若每年投資的增長(zhǎng)率相同，預(yù)計(jì)2023年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長(zhǎng)率為．14．（3分）如圖，把△ABC沿邊AB平移到△A1B1C11的位置，圖中所示的三角形的面積S1與四邊形的面積S2之比為4：5，若AB＝4，則此三角形平移的距離是．?三、作圖題（本大題滿分6分）15．（6分）已知：如圖，線段a和∠α．求作：矩形ABCD，使對(duì)角線AC＝a，兩條對(duì)角線AC、BD的夾角為α．結(jié)論：．四、解答題（本大題共7小題，共72分）16．（18分）（1）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；（2）用適當(dāng)方法解方程：4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0；（3）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的范圍．17．（6分）甲口袋裝有編號(hào)為1，2的兩張卡片，乙口袋裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的五張卡片，兩口袋中的卡片除編號(hào)外都相同．小剛先從甲口袋中隨機(jī)抽出一張卡片，小穎再?gòu)囊铱诖须S機(jī)抽出一張卡片，若兩張卡片編號(hào)之和為奇數(shù)，則小剛獲勝；若兩張卡片編號(hào)之和為偶數(shù)，則小穎獲勝．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平．18．（6分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且滿足∠ADE＝∠B．（1）證明：△ADB∽△AED．（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的長(zhǎng)．19．（10分）尊老愛(ài)幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽(yáng)節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價(jià)商品，每件商品的進(jìn)價(jià)為15元，促銷前銷售單價(jià)為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價(jià)x元，則商店每天的平均銷量是件（用含x的代數(shù)式表示，需要化簡(jiǎn)）；（2）不考慮其他因素的影響，若商店平均每天至少要銷售該商品200件，平均每天的利潤(rùn)達(dá)到1280元，每件商品的定價(jià)應(yīng)為多少元？20．（10分）已知：如圖1，四邊形BEDF是平行四邊形，點(diǎn)A、C在對(duì)角線EF所在直線上，且AE＝CF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）如圖2，連接AD、BC，若AC平分∠BAD，四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（10分）【發(fā)現(xiàn)與思考】如圖①，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，連接OE，AE，AE與BD交于點(diǎn)F，AB＝4，BC＝6．（1）直接寫(xiě)出線段OE、AE的長(zhǎng)度：OE＝，AE＝；（2）直接寫(xiě)出線段BF與BD的比值：＝；【方法與探究】如果將【發(fā)現(xiàn)與思考】中的“在矩形ABCD中”這一條件變得更為一般化，改為“在平行四邊形ABCD中”——如圖②，那么條件變了，線段BF與BD的比值是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展與應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，中線AE與中線BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，連接HF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，若AC＝4，AB＝3，則請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AG的長(zhǎng)度：AG＝．22．（12分）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；與M點(diǎn)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），（0≤t≤4）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t＝，以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與以D、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似；（2）設(shè)△MNE的面積為S，求出S與t的函數(shù)表達(dá)式；（3）延長(zhǎng)ME，NE分別交AB，AD于P，Q，連接NP，PQ，MQ，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形MNPQ是矩形？若存在，求出這一時(shí)刻的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2023-2024學(xué)年山東省青島市市北區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1 B．2x+1＝0 C．（x+1）2＝4 D．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．方程2x2+y＝1是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．方程2x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．方程（x+1）2＝4是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D．方程＝x2+1是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）是解此題的關(guān)鍵．2．（3分）下列命題中，真命題是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形【分析】直接利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法分別判斷得出答案．【解答】解：A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形，錯(cuò)誤，不合題意；B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，正確，是真命題；C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形，錯(cuò)誤，不合題意；D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形，錯(cuò)誤，不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了命題與定理，正確掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．3．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根為x＝1，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】根據(jù)方程根的定義，將x＝1代入方程，解出m的值即可．【解答】解：關(guān)于x的方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根為x＝1，所以1+m+3＝0解得m＝﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程求解．4．（3分）菱形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和8，它的面積為（）A．20 B．40 C．24 D．30【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，計(jì)算即可．【解答】解：菱形的面積為：×5×8＝20；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）在數(shù)字1，2，3，4中任選兩個(gè)組成一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)能被6整除的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這個(gè)兩位數(shù)能被6整除的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中這個(gè)兩位數(shù)能被6整除的結(jié)果有：12，24，42，共3種，∴這個(gè)兩位數(shù)能被6整除的概率為＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量一涼亭AB的高度，他們采取了如下辦法：①在涼亭的右邊點(diǎn)E處放置了一平面鏡，并測(cè)得BE＝12米；②沿著直線BE后退到點(diǎn)D處，眼睛恰好看到鏡子里涼亭的頂端A，并測(cè)得ED＝3米，眼睛到地面的距離CD＝1.6米（此時(shí)∠AEB＝∠CED），那么涼亭AB的高為（）A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△ABE∽△CDE，再根據(jù)其相似比解答．【解答】解：根據(jù)題意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，則△ABE∽△CDE，則＝，即＝，解得：AB＝6.4．故樹(shù)高為6.4米．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似是解題關(guān)鍵．7．（3分）如圖，若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心即可．【解答】解：如圖所示：位似中心的坐標(biāo)為（0，﹣1）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是正確掌握位似圖形的性質(zhì)．8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD，DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①AE＝FC，②∠PDE＝15°，③＝，④＝，⑤DE2＝PI?FC，其中正確的為?（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤【分析】由△BPC是等邊三角形，得AE＝，而B(niǎo)E＝CF，故①正確；由PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，可判定②正確；由△FDN∽△CHB，得，由△BHC與△DHC同高，可知，則判定③錯(cuò)誤，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CP于M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N，然后根據(jù)三角形面積公式即可判斷④，由△PED∽△DEB，得，則ED2＝PE?BE，可判定⑤正確．【解答】解：∵△BPC為等邊三角形，∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，∵FE∥BC，∴△FEP∽△CPB，又∵PB＝PC，∴PE＝PF，∴FC＝EB，∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴AE＝，又∵BE＝FC，∴AE＝，故①正確；∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DPC＝∠PDC＝＝75°，∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，故②正確；∵FD∥BC，∴△FDH∽△CBH，∴，又∵△BHC與△DHC同高，∴，又∵，F(xiàn)不是AD中點(diǎn)，∴≠，∴，故③錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CP于M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N，由題意可得∠DCM＝30°，∠CPN＝30，∴DM＝，PN＝PC＝CD，∴＝＝，故④正確，∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，∠PED＝∠PED，∴△PED∽△DEB，∴，∴ED2＝PE?BE，又∵PE＝PF，BE＝FC，∴DE2＝PF?FC，故⑤正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）若，則＝．【分析】利用設(shè)k法來(lái)解答是解題的關(guān)鍵．【解答】解：∵，∴設(shè)a＝4k，b＝7k，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．10．（3分）一個(gè)口袋中有5個(gè)黑球和若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，才用了如下的方法；從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色，不斷重復(fù)上述過(guò)程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計(jì)口袋中的白球大約有20個(gè)．【分析】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，則有80次摸到白球；摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：4，由此可估計(jì)口袋中黑球和白球個(gè)數(shù)之比為1：4；即可計(jì)算出白球數(shù)．【解答】解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，則有80次摸到白球，∴摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：4，∵這個(gè)口袋中有5個(gè)黑球，∴共有白球5×4＝20個(gè)，故答案為：20【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是通過(guò)樣本去估計(jì)總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可．11．（3分）生物興趣小組的同學(xué)，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共互贈(zèng)了182件，如果全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是x（x﹣1）＝182，化為一般形式為x2﹣x﹣182＝0．【分析】全組有x名同學(xué)，總共贈(zèng)送了x（x﹣1）件，根據(jù)題意可列方程x（x﹣1）＝182，然后化為一般形式．【解答】解：可列方程x（x﹣1）＝182，一般形式為x2﹣x﹣182＝0．故答案為：x（x﹣1）＝182；x2﹣x﹣182＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，弄清題意得出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF交線段DC于點(diǎn)P，若AB＝6，則DP的長(zhǎng)度為2．【分析】連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接AP，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2+CP2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2．則DP的長(zhǎng)度為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．13．（3分）某區(qū)為了大力推進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)，計(jì)劃用三年時(shí)間對(duì)全區(qū)學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進(jìn)行全面改造和更新，2021年區(qū)政府己投資5億元人民幣，若每年投資的增長(zhǎng)率相同，預(yù)計(jì)2023年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長(zhǎng)率為20%．【分析】利用預(yù)計(jì)2023年投資金額＝2021年投資金額×（1+每年投資的增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得5（1+x）2＝7.2，解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），故答案為：20%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，把△ABC沿邊AB平移到△A1B1C11的位置，圖中所示的三角形的面積S1與四邊形的面積S2之比為4：5，若AB＝4，則此三角形平移的距離是．?【分析】根據(jù)題意可以推出△ABC∽△A1BD，結(jié)合它們的面積比，即可推出對(duì)應(yīng)邊的比，即可推出AA′的長(zhǎng)度．【解答】解：∵把△ABC沿AB邊平移到△A1B1C1的位置，∴AC∥A1C1，∴△ABC∽△A1BD，∵S△A1BD：S四邊形ACDA1＝4：5，∴S：S△ABC＝4：9，∴A1B：AB＝2：3，∵AB＝4，∴A1B＝，∴AA1＝4﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平移的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證△ABC∽△A1BD，推出A1B的長(zhǎng)度．三、作圖題（本大題滿分6分）15．（6分）已知：如圖，線段a和∠α．求作：矩形ABCD，使對(duì)角線AC＝a，兩條對(duì)角線AC、BD的夾角為α．結(jié)論：四邊形ABCD即為所求．【分析】作∠MAN＝α，在射線AM上截取AC，使得AC＝a，過(guò)點(diǎn)C作CB⊥AN一點(diǎn)B，分別以A，C為圓心，BC，AB為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD，CD，四邊形ABCD即為所求．【解答】解：如圖，四邊形ABCD即為所求；故答案為：四邊形ABCD即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．四、解答題（本大題共7小題，共72分）16．（18分）（1）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；（2）用適當(dāng)方法解方程：4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0；（3）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的范圍．【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）先化成[2（2x+1）]2﹣[3（2x﹣1）]2＝0，再根據(jù)平方差公式即可求解；（3）根據(jù)根的判別式即可求出m的取值范圍．【解答】解：（1）4x2﹣8x﹣3＝0；配方得：4（x﹣1）2﹣7＝0，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，x＝1±，∴x1＝，x2＝；（2）4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0；[2（2x+1）]2﹣[3（2x﹣1）]2＝0，（4x+2）2﹣（6x﹣3）2＝0，（4x+2﹣6x+3）（4x+2+6x﹣3）＝0，解得x1＝﹣，x2＝；（3）∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0，∴4﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2且m≠1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解法，根的判別式，解題時(shí)要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．17．（6分）甲口袋裝有編號(hào)為1，2的兩張卡片，乙口袋裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的五張卡片，兩口袋中的卡片除編號(hào)外都相同．小剛先從甲口袋中隨機(jī)抽出一張卡片，小穎再?gòu)囊铱诖须S機(jī)抽出一張卡片，若兩張卡片編號(hào)之和為奇數(shù)，則小剛獲勝；若兩張卡片編號(hào)之和為偶數(shù)，則小穎獲勝．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平．【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有10種等可能的結(jié)果，再找出其中兩張卡片編號(hào)之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)和兩張卡片編號(hào)之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后計(jì)算小剛獲勝的概率和小穎獲勝的概率，則通過(guò)比較兩概率的大小可判斷游戲是否公平．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有10種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片編號(hào)之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為5，兩張卡片編號(hào)之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為5，所以小剛獲勝的概率＝＝，小穎獲勝的概率＝＝，而＝，所以這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．18．（6分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且滿足∠ADE＝∠B．（1）證明：△ADB∽△AED．（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）證出∠BAD＝∠EAD．根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠EAD．∵∠ADE＝∠B，∴△ADB∽△AED．（2）解：∵△ADB∽△AED，∴，∵AE＝3，AD＝5，∴，∴AB＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（10分）尊老愛(ài)幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽(yáng)節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價(jià)商品，每件商品的進(jìn)價(jià)為15元，促銷前銷售單價(jià)為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價(jià)x元，則商店每天的平均銷量是（80+40x）件（用含x的代數(shù)式表示，需要化簡(jiǎn)）；（2）不考慮其他因素的影響，若商店平均每天至少要銷售該商品200件，平均每天的利潤(rùn)達(dá)到1280元，每件商品的定價(jià)應(yīng)為多少元？【分析】（1）利用商店每天的平均銷售量＝80+20×，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品的定價(jià)為x元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為（x﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40x）件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）80+×20＝80+40x（件）．故答案為：（80+40x）．（2）設(shè)每件商品的定價(jià)為x元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為（x﹣15）元，平均每天能售出80+×20＝（1080﹣40x）件，依題意得：（x﹣15）（1080﹣40x）＝1280，整理得：x2﹣42x+437＝0，解得：x1＝19，x2＝23．當(dāng)x1＝23時(shí)，1080﹣40×23＝160＜200舍去，答：每件商品的定價(jià)應(yīng)為19元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．（10分）已知：如圖1，四邊形BEDF是平行四邊形，點(diǎn)A、C在對(duì)角線EF所在直線上，且AE＝CF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）如圖2，連接AD、BC，若AC平分∠BAD，四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)SAS可得：△ABE≌△CDF（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，證明四邊形ABCD是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四邊形ABCD是菱形，理由如下：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵△ABE≌△CDF，∴∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四邊形ABCD是菱形，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．21．（10分）【發(fā)現(xiàn)與思考】如圖①，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，連接OE，AE，AE與BD交于點(diǎn)F，AB＝4，BC＝6．（1）直接寫(xiě)出線段OE、AE的長(zhǎng)度：OE＝2，AE＝5；（2）直接寫(xiě)出線段BF與BD的比值：＝；【方法與探究】如果將【發(fā)現(xiàn)與思考】中的“在矩形ABCD中”這一條件變得更為一般化，改為“在平行四邊形ABCD中”——如圖②，那么條件變了，線段BF與BD的比值是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展與應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，中線AE與中線BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，連接HF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，若AC＝4，AB＝3，則請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AG的長(zhǎng)度：AG＝．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝OD＝BD，根據(jù)三角形中位線定理得到OE＝＝＝2；根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，OE是△ACB的中位線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF＝2OF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BO＝OD＝BD，于是得到結(jié)論；【方法與探究】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO＝OC，BO＝OD＝BD，根據(jù)三角形中位線定理得到OE∥AB，OE＝AB，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；【拓展與應(yīng)用】如圖③，過(guò)D作DP∥BC交AE于P，過(guò)C作CN∥HG交BD于M，交AB于N，根據(jù)三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】解：【發(fā)現(xiàn)與思考】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝OD＝BD，∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，∴BE＝，∴OE是△ACB的中位線，∴OE＝＝＝2；∴AE＝＝＝5；故答案為：2，5；（2）由（1）知，OE是△ACB的中位線，∴OE∥AB，OE＝AB，∴△OFE∽△BFA，∴＝，∴BF＝2OF，∴OB＝OD＝3OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴BO＝OD＝BD，∴＝＝；故答案為：；【方法與探究】不變，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，BO＝OD＝BD，∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴OE是△ACB的中位線，∴OE∥AB，OE＝AB，∴△OFE∽△BFA，∴＝