高考數(shù)學利用洛必達法則解決導數(shù)問題

第第頁高考數(shù)學利用洛必達法則解決導數(shù)問題目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點一：洛必達法則的簡單計算高頻考點二：洛必達法則在導數(shù)中的應用第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶一型及型未定式1定義：如果當（或）時兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大）那么極限（或）可能存在也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2定理1（型）：（1）設當時及（2）在點的某個去心鄰域內(nèi)（點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有都存在且（3）則：.3定理2（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及(2)和在與上可導且(3)那么.4定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及(2)在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)與可導且(3)那么=.5將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.6若條件符合洛必達法則可連續(xù)多次使用直到求出極限為止:,如滿足條件可繼續(xù)使用洛必達法則.二型型1型的轉(zhuǎn)化：或2型的轉(zhuǎn)化：3型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點一：洛必達法則的簡單計算1判斷下列計算是否正確解：由于中分子記為分母記為不是未定式不能直接使用洛必達法則.2求（本題屬于型）解：原式=（屬于型繼續(xù)使用洛必達法則）=（不屬于未定型直接將代入分子分母）=3求（本題屬于型可使用洛必達法則）解：原式=（不屬于未定型直接將代入分母）=04求（本題屬于型可使用洛必達法則）解：原式=（不屬于未定型直接將代入分子）=05．（2021·江蘇省阜寧中學高三階段練習）我們把分子分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型比如：當時的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在也可能不存在為此洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【詳解】故選：D6．（2022·重慶市萬州第二高級中學高二階段練習）我們把分子分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型比如：當時的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在也可能不存在為此洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：則________．【答案】##0.5【詳解】故答案為：7．（2022·山東省臨沂第一中學高二階段練習）我們把分子分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型比如：當時的極限即為型兩個無窮小之比的極限可能存在也可能不存在．早在1696年洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則）用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限法則的大意為：在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：則______．【答案】2【詳解】由題可得.故答案為：2.高頻考點二：洛必達法則在導數(shù)中的應用1．（2021·全國·高三專題練習）若不等式對于恒成立求的取值范圍？【答案】【詳解】當時原不等式等價于.記則.當時令則可知在上單調(diào)遞增所以即所以.因此在上單調(diào)遞減..所以.2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得極值且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值(2)若不等式恒成立求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)解：,

函數(shù)在處取得極值

又曲線在點處的切線與直線垂直解得：(2)不等式恒成立可化為即當時恒成立當時恒成立令則令則令則得在是減函數(shù)故進而（或得在是減函數(shù)進而）．可得：故所以在是減函數(shù)而要大于等于在上的最大值當時沒有意義由洛必達法得．3．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中高三階段練習（理））已知函數(shù)曲線在點處的切線方程為．（1）求的值（2）如果當且時求的取值范圍．【答案】（1）（2）（-0]【詳解】（1）由于直線的斜率為且過點故即解得．（2）當且時即也即記且則記則從而在上單調(diào)遞增且因此當時當時當時當時所以在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有即當時即當且時.因為恒成立所以.綜上所述當且時成立的取值范圍為.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得極值且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值(2)若不等式恒成立求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：,

函數(shù)在處取得極值

又曲線在點處的切線與直線垂直解得：(2)不等式恒成立可化為即當時恒成立當時恒成立令則令則令則得在是減函數(shù)故進而（或得在是減函數(shù)進而）．可得：故所以在是減函數(shù)而要大于等于在上的最大值當時沒有意義由洛必達法得．5．（【區(qū)級聯(lián)考】天津市北辰區(qū)2019屆高考模擬考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（II）若在恒成立求的取值范圍（III）當時證明：【答案】（I）見解析（II）（III）見解析【詳解】（I）由題意知：（1）當時恒成立

在定義域上單調(diào)遞增（2）當時令解得：則變化情況如下表：極小值的單調(diào)減區(qū)間為：單調(diào)增區(qū)間為：

（II）（1）當時原不等式化為：恒成立可知（2）當時則令則

令則當時則在上單調(diào)遞減

即

在上單調(diào)遞減

當時

綜上所述：（III）（1）當時則由（II）可得時

則只需證明：成立令當時在上單調(diào)遞增