江蘇省四校聯(lián)合2024屆高三新題型適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題＋答案

江蘇省四校聯(lián)合2024屆高三新題型適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.使用斜二測(cè)畫(huà)法作一個(gè)五邊形的直觀圖，則直觀圖的面積是原來(lái)五邊形面積的

A.1倍B.更倍C.1倍D.立信

2244

2.已知辦是兩個(gè)不共線的單位向量，向量5=23+〃賞eR),則“久>0且">0"

是“\0+3)>0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知等差額列｛6｝的前"項(xiàng)和為S"，S4=1,*=4,貝1」4，+41(+。19+0;0=

A.7B.8C.9D.10

4.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)匕@為純虛數(shù)，則。=

1+i

A.-1B.1C.0D.2

5.甲、乙、丙、丁四人參加書(shū)法比騫，四人對(duì)于成績(jī)排名的說(shuō)法如下.甲說(shuō)：“乙在丙之前”,

乙說(shuō)：“我在第三名”，丙說(shuō)：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁說(shuō)：“乙在第四名若

四人中只有一個(gè)人的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則甲的成績(jī)排名為

A.第一名B.第二名C.第三名D.第四名

6.已知P為拋物線V=4｝上一點(diǎn)，過(guò)P作圓/+Q-3)、=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

貝iJcosN4P5的最小值為

7.若全集為U,定義集合/與5的運(yùn)算：J?B={x|xe/(JB旦xeAClB},貝ij(.4?5)?5=

A.AB.BC.D.BA^J

8.設(shè)a=2,,t=21n(sin-+cos-)>c=—In—,貝U

48844

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

二、選擇毀：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.若加，〃為正整數(shù)目〃>冽>1,貝Li

A.C|=C|B.母=爭(zhēng)

C.D.A：+/MAhJAM

10.設(shè)函數(shù)/(x)=2sin'x-3sin|x|+l,則

A./(x)是偶函數(shù)B./(x)在(-±0)上單調(diào)遞增

4

c./(X)的最小值為-!D./(x)在［-五力上有4個(gè)零點(diǎn)

O

H.已知圓M：(x-iy+v=16,點(diǎn)/是河所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)p是”上的動(dòng)點(diǎn)，若線

段PA的中垂線交直線尸初1于點(diǎn)。，則。的軌跡可能為

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.有一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：3,5,X,8,9,10,若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)為.

13.圍棋起源于中國(guó)，至今已有4000多年的歷史.在圍棋中，對(duì)于一些復(fù)雜的死活問(wèn)題，比如

在判斷自己?jiǎn)蝹€(gè)眼內(nèi)的氣數(shù)是否滿(mǎn)足需求時(shí)，可利用數(shù)列通項(xiàng)的遞推方法來(lái)計(jì)算.假設(shè)大

小為〃的眼有q口氣，大小為〃+1的眼有久出口氣，則q與滿(mǎn)足的關(guān)系是

4=1,a,=2,a^l-n=aii-1(n>2,n^'S')

則4的通項(xiàng)公式為.

14.若.4,B,C,。四點(diǎn)均在同一球面上，Z5JC=—,A58是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

3

則A4BC面積的最大值為,四面體4B8體積取最大值時(shí)，球的表面積為

四、解答觀：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

在四棱錐P-AB8中，底面H5CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PC_LPD,二面角一4-8-尸

為直二面角.

（1）證明：

（2）若PC=PD,求直線PC與平面A”所成角的正弦值.2

DA

16.（15分）

在游戲中，玩家可通過(guò)祈愿池獲取新角色和新武器.某游戲的角色活動(dòng)祈愿池的祈愿規(guī)則

為：①每次祈愿獲取五星角色的概率R=0906;②若連續(xù)89次祈愿都沒(méi)有獲取五星角色，那

么第90次祈愿必定通過(guò)“保底機(jī)制”獲取五星角色；③除觸發(fā)“保底機(jī)制”外，每次祈愿相互

獨(dú)立.設(shè)X表示在該祈愿池中連續(xù)祈愿直至獲取五星角色為止的祈愿次數(shù).

（1）求X的概率分布；

（2）求X的數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：0.994*^0.582.

17.（15分）

已知函數(shù)/（x）=a'一elog.x-e,其中a>l.

（1）若。=6,證明八?三0；

（2）討論了（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

18.（17分）

已知等軸雙曲線。的頂點(diǎn)分別為橢圓r：t+《=1的焦點(diǎn)Fl>F,.

62

（1）求C的方程；

（2）若。為C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線。,QF:與橢圓r的交點(diǎn)分別為尸，滅與初,

N,求|PR|+4|MV|的最小值.

19.（17分）

交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè).4,B,C,。是直線，上

互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱(chēng)止巴（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度，例如.45=-A4）為.4,

BCAD

B,C,D四點(diǎn)的交比，記為（4B;C,D）.

1

（D證明：l-（AB;C4）=

（B,ACD）

（2）若j4,A，4為平面上過(guò)定點(diǎn)P目互異的四條直線，L,4為不過(guò)點(diǎn)P目互異的

兩條直線，―,乙的交點(diǎn)分別為其，屬，c,,D、,乙與A,/、，乙的交點(diǎn)分

別為%,證明：

4,B2,C2,（40cw）=（4%G,DD；

（3）已知第（2）問(wèn)的逆命題成立，證明：若AE尸G與AT尸G的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)

的連線交于同一點(diǎn)，則A￡FG與SE'F'G'對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

江蘇省四校聯(lián)合2024屆新題型適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇翹：本題共8小觀，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.D2.A3.C4.B

5.B6.C7.A8.D

二、選擇觀：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.AD10.ABC11.ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

127513尸3〃+6,杼2忑20兀

13＞3

1,n=l

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.解：

(1)在四棱錐P-W5C。中，因?yàn)槎娼荴-CD-P為直二面角，所以平面尸8,平面

ABCD,因?yàn)榈酌鍴BCD為正方形，所以5CJ.DC,而B(niǎo)Cu平面.458,￡心=平面PCDfl

平面X58,所以BC_L平面PCD,而PDu平面P8,所以BCLPZ),又因?yàn)镻C_LP。，

BC,PCu平面P3C,8CflPC=C,所以PD_L平面PBC,又因?yàn)镻Bu平面PBC,所以

PB±PD)

⑵分別取CD,AB中點(diǎn)為O,E,連接。P,QE,因?yàn)镻C=PD

所以O(shè)P，DC,又因?yàn)槠矫鍼CD，平面ABCD,DC=平面PCDA

平面488,OPu平面PCD,所以8_1平面.438,以O(shè)為坐標(biāo)

原點(diǎn)，OD,OE,0P所在直線分別為x,j,二軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系。-斗，則。0,0,0),C(-l,0s0),5(-1,2,0),

P(050,l),￡(0,2,0),J(l,2,0),Ip=(-1,-2,1),Is=(-2,0,0),

n-AP=0日口|-x-2y+z=Q

PC=(-L0,-1)，設(shè)］=(x,y,二)是平面PAB的一個(gè)法向量,則<____，即［

簿且8=0l-2x=0

不妨?。?，=1,二=2,則3=(0,1,2)是平面PAB的一個(gè)法向量.

設(shè)直線PC與平面PAB的夾角為6,則sin6=|cos＜工正＞|=派上=巫.所以直線PC與

\n\\PC\5

平面R”所成的角的正弦值為空

16.解：

(1)將每次祈愿獲取五星角色的概率記為X的所有可能取值為1,2,3,…，90.

從而外工=1)=4,7>(工=2)=(1-2)打，/工=3)=(1-2)?。L，尸(*=89)=(1-2)標(biāo)”，

RX=90)=(l-R)z.所以X的概率分布為/十=上)」(1-外):外1648晨4.

[(l-Po)力木=90

(2)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+.-+90xP(X=90)

w

=lxp0+2x(l-p0)p0+3x(1-pjp°+-+90x(l-p0)，

(1-A.XW=1x(1-p0)p。+2x(l-2。)為+3x(1-pjR+…+90x(1-pj”，

+_+1

P"E(X)=p0+(1-A)POOA)*PO…+Q-A)"A+90x(1-/??),-89x(1-p。)*>。

-90x(l-pJ。，

夙?=1+(1-打)+(1-2)2+.-+(1-2)、90'(1-3),一89“1-4)2-9°，(1一2),”

P?Po

v911v，

=l+(l-^,)+(l-p0)~+---+(l-^,)"+°[l-(l-p0)]-89x(l-7?0)

Po

=1+(1-2)+(1-打)’+…+(1-A)'、+(1-R)"‘J°')'

Po

A，=0.006,所以E(X)」一QFL「一°"4”飛1^-6967.

p00.0060.006

17.解:

(D當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=e^-elnx-e,/V)=e*—￡,/,(l)=0,/(l)=0,當(dāng)x<l時(shí),

/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，y(x)>0,/(x)單調(diào)遞熠，從而/(x)至/0)=0;

(2)由題意知，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椤＠?，/(x)=1lna—?"e,設(shè)

xlnaxlna

g(x)=xa'In'o-e,a>\,顯然函數(shù)鼠x)在(0,+<x>)上單調(diào)遞熠，趴x)與了。)同號(hào)，

①當(dāng)a>e時(shí)，g(0)=-e<0,g(l)=aln'a-e>0,所以函數(shù)半x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)f3在電』)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)a=e時(shí)，由第(D問(wèn)知，函數(shù)/(x)在(仇伊)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)1e時(shí)，J—>1,g(一一-e,因?yàn)閕n/"==￡.=/_>1,所以_2_

hr。"hr/liraIno>e"

虱士)>0,又gQ)=aln，-e<0,所以函數(shù)g(x)在a/)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)/⑴在

(o.招0上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

綜上所述，函數(shù)/(X)在(0,帝)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

18.解:

(1)橢圓「的c?=/一〃=4,故耳(一2,0),FQ0),設(shè)等軸雙曲線C的方程為r-y=d,

將F2帶入求得d=4,故等軸雙曲線C的方程為Y-步=4；

(2)設(shè)直線④的方程為x=?即-2,直線QE的方程為》=3+2,點(diǎn)P,R,M,N的

坐標(biāo)分別為(x“M),&必),(X/),(x,，乂)，聯(lián)立直線8與橢圓r："22，得

H+3y2=6

(M+3)y-4叼，-2=0,川+乃="，從而IPR\=-否丫+。一二)'

m+3zw+3

F

=冊(cè)2+lgi+M)2-4用“=Vw+3m/+3I=2巫~m2―+37,聯(lián)立直線Q：與

橢圓廣：,x,?：2,得(“2+3)y：+4吵—2=0,乃+弘=__^_,=~-^~―，從而

y+3y2=6n+3n+3

IW=J(X3-X4)2+5-J，4)2=了-4y3y4=(_黑I總)

=2^4,聯(lián)立直線小與巾：上沖‘一2,得屋竺竺」_),又。在雙曲線c上，

n+3[X=4'+2TW-nm-n

帶人得(網(wǎng)上)2_(J_)2=4,化簡(jiǎn)得〃」.從而|吶+4|卬|=2而(￡2+騾)

m-nm-nm/w+3n+3

10

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10

二2屈7一——)=2①，當(dāng)且僅當(dāng)3(--？)=