廣東省、河南省2024年高考數(shù)學一模試卷含解析

廣東省、河南省名校2024年高考數(shù)學一模試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知/（%）=-T一e-+x,則不等式f（x）+/（3-2%）<2的解集是（）

A.[1,+<?)B.[0,+co)C.(f0]D.~,1]

3,2,i

-x+x,X<1

2-已知函數(shù)〃x）=汕土瓜卻,若曲線y=/（x）上始終存在兩點A,B,使得。4_LO5,且AB的中點在y

x（x+l）

軸上，則正實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（0,+oo）B.fo,|1

—,+ooD.[e,+<x>)

e

3.棱長為2的正方體ABC。-A4GA內(nèi)有一個內(nèi)切球。，過正方體中兩條異面直線A3,4。的中點作直

線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（）

歷

A.y―B.V2-1C.y/2D.1

4.已知為非零向量，2b=52。,,為“同.T可勿的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.已知當加，?e[-l,1）時，sin--sin—<n3-m3,則以下判斷正確的是（）

22

A.m>nB.Im|<|n\

C.m<nD.M與"的大小關系不確定

6.《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數(shù)進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之數(shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及〃=3時，如圖：

w=3

記S?為每個序列中最后一列數(shù)之和，則$6為（）

A.147B.294C.882D.1764

7.已知點A-3,0）,B（0,3）,若點p在曲線y=—J匚/上運動，則△9面積的最小值為（）

93/T-

A.6B.3D.一+一。2

22

8.如圖是甲、乙兩位同學在六次數(shù)學小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法塔族的是（）

甲Z,

9724

228819

13969

A.甲得分的平均數(shù)比乙大B.甲得分的極差比乙大

C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位數(shù)和乙相等

9.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時期專著的概率為（）

3749

A.—B.—C.—D.—

510510

10.若X,。力均為任意實數(shù)，且（4+2丫+9一3）2=1,貝?。ㄗ?療+（向—M的最小值為（）

A.3亞B.18C.3A/2-1D.19-6A/2

11.點尸為棱長是2的正方體ABCD-A4GA的內(nèi)切球。球面上的動點，點"為四￡的中點，若滿足

則動點P的軌跡的長度為（）

口2后「4后兀n8小兀

A.r>.-------?---------U■-------

~5~555

12.函數(shù)目（無-[-兀,0）「（0,汨）的大致圖象為

3—3

C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

＜乃的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為

14.在正方體ABC。-A4G2中，瓦尸分別為棱A4,2A的中點，則直線/與直線所成角的正切值為

15.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？”

8尤=y+3

設人數(shù)、物價分別為％、九滿足r/，則》=_____，丁=_____.

7尤=y-4

16.根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出/的值為.

?1

gl

：WhileSC9

：S-S+1

：/I+2

：EndWhile

：PrintI

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

X=l+ZCOS6f

17.(12分)在直角坐標系無0y中，直線/的參數(shù)方程為彳..(■為參數(shù)，.在以。為極點，x軸

y=l+tsma

正半軸為極軸的極坐標中，曲線C：Q=4cos0.

冗

(1)當。二—時，求。與/的交點的極坐標；

4

(2)直線/與曲線。交于A,B兩點,線段中點為M(LD，求|A3|的值.

18.(12分)選修4?2：矩陣與變換(本小題滿分10分)

ak~\Fk

已知矩陣A=(k聲0)的一個特征向量為a=,

01—1

A的逆矩陣Ai對應的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a,k的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-34+法，函數(shù)/(%)在點(I"⑴)處的切線斜率為0.

(1)試用含有a的式子表示b,并討論了(x)的單調(diào)性；

⑵對于函數(shù)/(%)圖象上的不同兩點A(WK),B(x2,y2),如果在函數(shù)/(九)圖象上存在點

加(%,為乂/?七,七))，使得在點M處的切線〃/AB,則稱存在“跟隨切線”.特別地，當/=七三時，又稱

存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)/(%)上是否存在兩點A,3使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A,6的坐

標，若不存在，說明理由.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足對任意“eN*都有2a“+i=a“+a“+2,其前〃項和為S“，且邑=49,%是4與％3的等

比中項，qV4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式％;

(2)已知數(shù)列也｝滿足a=2"，中，c=anbn,設數(shù)列匕｝的前〃項和為7,，求9!-20大于1ao。的最小的正整數(shù)n

的值.

cosBcosCsinA.

21.(12分)已知在AABC中，角4,B,C的對邊分別為。，b,c,且+----=萬】一

bcV3sinC

(1)求Z?的值；

(2)若cos3+6sin8=2,求AABC面積的最大值.

22.(10分)數(shù)列｛a“｝滿足?！?0,%=1且a,』一區(qū),+3%+4=0.

(1)證明：數(shù)列<是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛。屋?！?1｝的前幾項和S“.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

構造函數(shù)g(x)=〃x)-1,通過分析g(x)的單調(diào)性和對稱性，求得不等式/(%)+7(3-2%)<2的解集.

【詳解】

構造函數(shù)g(x)=/(x)_l=ei_，+(x_l),

g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到/i(x)=g(x+1)=陵-J+x,

M光)的定義域為R，x)=——ex—x——h(^x^,

所以妝％)為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，所以g(x)圖像關于(1,0)對稱.

不等式/(無)+7(3—2%)<2等價于〃力一1+〃3—2"一”0,

等價于g(x)+g(3—2x)W0,注意到g(l)=0,

結合g⑺圖像關于(1,0)對稱和g(x)單調(diào)遞增可知x+3-2x<2^x>l.

所以不等式/(%)+/(3-2%)<2的解集是［1,+8).

故選：A

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式，屬于中檔題.

2、D

【解析】

根據(jù)中點在y軸上，設出A,B兩點的坐標A(T,r+〃)，a>o).對/分成三類，利用

03則04.03=0,列方程，化簡后求得。=工，利用導數(shù)求得’的值域，由此求得。的取值范圍.

In?In?

【詳解】

根據(jù)條件可知A,B兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設A-,/+/),刖，/⑺)，(/>0),若/<1,則/⑺=-?+12,

由Q4LO3,所以0403=0,即—〃+(『+『)(-/3+產(chǎn))=0,方程無解；若/=],顯然不滿足04,05；若/〉],

,、alnt2/3aln%八t,/％)InZ-l~t

則/?)=丁一K，由。03=0,即T+k+/丁一K=0,即。=「，因為—=7-所以函數(shù)「

t(t+1)'+1)In?(in/)Inr

在(O,e)上遞減，在(e,4w)上遞增，故在方=e處取得極小值也即是最小值日=6,所以函數(shù)丁=士在(1+8)上的

值域為[e,+oo),故ae[e,+8).故選D.

【點睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.

3、C

【解析】

連結并延長產(chǎn)。，交對棱GOi于R,則R為對棱的中點，取MN的中點貝！推導出OH〃肥g,且0H=

1后

不尺。=拳，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.

【詳解】

如圖，

MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段

連結并延長產(chǎn)。，交對棱GZh于衣，

則R為對棱的中點，取的中點"，則

：.OH//RQ,且0H=LR0=電,

~22

；?MH=yJOM2-OH2==冬

:,MN=2MH=V2.

故選：c.

【點睛】

本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

4、B

【解析】

由數(shù)量積的定義可得a2=>0,為實數(shù)，則由=62a可得同2匕=卜『,根據(jù)共線的性質(zhì)，可判斷。=匕；再根據(jù)

忖a=\b\b判斷a=6,由等價法即可判斷兩命題的關系.

【詳解】

pP

若a2b=b2a成立，則「八。，則向量a與8的方向相同，且同之慟=同，從而，=,,所以。=人；

若,卜=卜也,則向量0與6的方向相同,且同2=愀2,從而口=忖,所以。=5.

所以“詭分=*a"為“卜|a=\b\b”的充分必要條件.

故選:B

【點睛】

本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應用.

5、C

【解析】

TTX

3

由函數(shù)的增減性及導數(shù)的應用得：?/(x)=^+sin—,xe[-l,l],求得可得/(x)為增函數(shù)，又m，M1)時,

根據(jù)條件得于(m)＜于(n),即可得結果.

【詳解】

解：y(x)=x3+sin^,^e[-l,l],

貝!I/(%)=3x2+^-cos^->0,

即/(x)=x3+sin^,xe[-l,l]為增函數(shù)，

又加,ne[-1,1),sin----sin——<n-m,

22

口口?兀m3.兀n3

即sin----\-m<sin---\-n,

22

所以/O)</("),

所以機＜〃.

故選：C.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的增減性及導數(shù)的應用，屬中檔題.

6、A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進行計算，由此求得$6的值?

【詳解】

依題意列表如下:

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

]_

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42~2

16

612

55

￡

1510

6

所以86=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學文化，屬于基礎題.

7、B

【解析】

求得直線A5的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得尸位于(-1,0),結合點到直線的距離公式和兩點的距離

公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.

【詳解】

解：曲線y=—表示以原點。為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，

直線AB的方程為x-y+3=O,

|-1-0+3|

可得|AB|=3\/2=A/2,

，由圓與直線的位置關系知P在(-LO)時，P到直線A5距離最短，即為亞

則APAB的面積的最小值為-X3A/2XV2=3.

2

【點睛】

本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結

合思想易得.

8、B

【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結論.

【詳解】

“TB—79+88+82+82+93+91…

對于甲，%=-----------------------85.8；

6

“十〈一72+74+81+89+96+99…

對于乙，%=-----------------------85.2,

26

故A正確；

甲的極差為93-79=14,乙的極差為99-72=27,故3錯誤；

對于甲，方差S；x26.5,

對于乙，方差S；”106.5,故C正確；

甲得分的中位數(shù)為82譽=85,乙得分的中位數(shù)為迎署=85,故。正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查莖葉圖的應用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于

基礎題.

9、D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時期.記這5部專著分別為a,0,c,d,e,其中”,dc產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學文化”校本課程學習內(nèi)容，基本事件有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有ab,ac,ad,ae/c,bd,be,cd,ce,,共9種情況，所以所選2部專著中至

rnQ

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為p=一=;;;.故選D.

n10

【點睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的

關鍵，基本事件的探求方法有⑴枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；⑵樹狀圖法：適合于較

為復雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先（4，用），（4,不）….（4,4），

再（&,耳）,（&e）??…（4,紇）依次（%即但應）….（&，紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

10、D

【解析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線y=Inx上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線y=Inx上的

動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直

的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結果.

【詳解】

由題意可得，其結果應為曲線y=In%上的點與以。（-2,3）為圓心，以1為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可

以求曲線y=In%上的點與圓心C（-2,3）的距離的最小值，在曲線y=In%上取一點,曲線有y=In%在點

11Q1

M處的切線的斜率為k'=—,從而有kCM?左'=-1,即---------二-1,整理得hvn+加2+2m—3=0，解得加=1,

mm+2m

所以點（1,0）滿足條件，其到圓心c（-2,3）的距離為d=J（-2-1『+（3-0）2=3。,故其結果為

（3V2-1）2=19-6母,

故選D.

【點睛】

本題考查函數(shù)在一點處切線斜率的應用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關系，屬中檔題.

11,C

【解析】

設與8的中點為“，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結合線面垂直的判定定理可以證明出氏0，平面。CH,這樣可以

確定動點P的軌跡，最后求出動點P的軌跡的長度.

【詳解】

設用8的中點為“，連接因此有而而DC,C"u平面DCCH=C,

因此有BM，平面DCH,所以動點P的軌跡平面DCH與正方體ABCD-A4G。的內(nèi)切球0的交線.正方體

ABCD-^B^D］的棱長為2,所以內(nèi)切球。的半徑為火=1,建立如下圖所示的以。為坐標原點的空間直角坐標系:

因此有O（W）,C（0,2,0）,H（2,2,l）,設平面。CH的法向量為加=（%,%z）,所以有

m±DCm-DC=02y=0

=<^^^m=(l,0,-2),因此。到平面OCH的距離為:

m1DHm-DH=012x+2y+z=0

\mOD\也乎—d2=正,因此動點P的軌跡的長度為=逑萬.

d——i一i—=——,所以截面圓的半徑為：r=1k

m555

故選：C

尸

2______￡i

。?J

a_、一

X

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理的應用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和

數(shù)學運算能力.

12、A

【解析】

E“。，、5(-x)+2sin(-x)5x+2sinx

因為〃x)==3。3T=于3,所以函數(shù)AM是偶函數(shù)，排除B、D,

5IT

又/(兀)=/9>°，排除C，故選A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、8

【解析】

根據(jù)圖象利用/(0)=?，先求出9的值,

結合/(1)=0求出。，然后利用周期公式進行求解即可.

【詳解】

1

解：由/(O)=J^sin°=年，得sine=>2)

T,

兀3乃

一<0<兀,(D---9

24

則/(%)=A/3sin(G%+—),

4

/(1)=sin^69+=0,

3冗口口兀

'.COH---—71即6y=—f

494

T=2兀=2冗=

則函數(shù)的最小正周期=了"三，

4

故答案為：8

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵.

14、73

【解析】

由中位線定理和正方體性質(zhì)得所//3￡,從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得.

【詳解】

如圖，連接A2，BCi，4G，???￡,尸分別為棱AV2A的中點，/〃AQ,

又正方體中A3//GDI，AB=G。，即ABG2是平行四邊形，...AR//5G，...EF//BG，NA3C1（或其補角）

就是直線跖與直線48所成角，MBG是等邊三角形，.?.NA3G=60。，其正切值為

故答案為：G.

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.

15、753

【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結果.

【詳解】

8%=y+3

設人數(shù)、物價分別為％、V,滿足“/解得x=7,y=53.

7x=y-4

故答案為：7；53.

【點睛】

本題考查函數(shù)與方程的應用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎題.

16、7

【解析】

表示初值s=l,i=l,分三次循環(huán)計算得S=10>0,輸出1=7.

【詳解】

S=l,i=l

第一次循環(huán)：S=l+l=2,i=l+2=3；

第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；

第三次循環(huán)：5=5+5=10,1=5+2=7；

S=10>9,循環(huán)結束，輸出：i=7.

故答案為：7

【點睛】

本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結構求輸出值問題，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(0,0),，①7］；⑵272

【解析】

(1)依題意可知，直線/的極坐標方程為。=—(2wR),再對夕分三種情況考慮;

4

(2)利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長即可得到答案.

【詳解】

7T

(1)依題意可知，直線/的極坐標方程為9=—(QeR),

4

當夕>0時，聯(lián)立解得交點［

p=4cos^,',

當夕=0時，經(jīng)檢驗(。,0)滿足兩方程，(易漏解之處忽略Q=0的情況)

當。<0時，無交點;

綜上，曲線C與直線/的點極坐標為(0,0),

(2)把直線/的參數(shù)方程代入曲線C,得產(chǎn)+2(sin1—cose?—2=0,

可知％+4=0，%.?2=一2，

所以|A31=卜1—胃=J&+3)2-4%=2立.

【點睛】

本題考查直線與曲線交點的極坐標、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、

分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.

ak—k=Ak

18、解：設特征向量為a=對應的特征值為3則即*

A=1

因為k#),所以a=2.5分

32k

因為AT,所以A即“_「3

1011—1

所以2+k=3,解得k=2.綜上，a=2,k=2.20分

【解析】

試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k

考點：特征向量，逆矩陣

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣.

19、(1)b=a-l,單調(diào)性見解析；(2)不存在，理由見解析

【解析】

(1)由題意得/⑴=0,即可得b=a—1；求出函數(shù)/(%)的導數(shù)r(x)=("x+D(f+l),再根據(jù)

—1<。<0、a=—1、分類討論，分別求出了'(尤)>0、((%)<0的解集即可得解；

(2)假設滿足條件的A、3存在，不妨設人(為，%),%)且0<藥<々，由題意得KB=1］土產(chǎn)［可得

f\

22Tx

足%=上L,令工=a(0<Z<l),構造函數(shù)gH)=ln-2('T)(0<?<1),求導后證明g?)<0即可

42+i%t+1

x2

得解.

【詳解】

(1)由題可得函數(shù)y=/(x)的定義域為(0，+8)且/'(力=!—以+'

由/'(1)=0,整理得b=a—1.

ctx+1)(-X+1)

fr(犬)—...av+/?—---cix+ci—1—

xxX

(i)當a20時，易知xe(0,l),/'(%)>0,xe(l,+8)時/''(x)<0.

故y=/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(ii)當a<0時，令/'(x)=0,解得x=l或x=—：,貝！J

①當—：=1,即a=—1時，/'(同之0在(0,+8)上恒成立，則y=/(x)在(0,+8)上遞增.

②當—工〉1,即一l<a<0時，當xe(0,l)u|—；,+co］時，/,(%)>0；

當時，/(%)<0.

所以丁=/(”在(0，1)上單調(diào)遞增，［，一：］單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

③當—!<1,即"T時，當—￡|31，+8)時，當時，/(%)<0.

所以y=/(x)在(。，-￡|上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，(1，+6)單調(diào)遞增.

綜上，當a之。時，y=/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減.

當—l<a<0時，y=/(x)在(0,1)及+上單調(diào)遞增；y=/(x)在上單調(diào)遞減.

當a=—1時，y=/(x)在(0，+8)上遞增.

當a<T時，y=/(x)在［o,-\及(1,+8)上單調(diào)遞增;y=/(%)在［一：，1］上遞減.

(2)滿足條件的4、3不存在，理由如下:

假設滿足條件的4、3存在，不妨設人(不，％),B(X2,%)且0<占<%2,

貝!I左AB=%%=ln&皿0_；a(&+/)+q―],

玉一馬玉一/2

又廣伍)=/［號］2X+X1

-ax----9-+a—I

玉+Z2

2xi_2%i-2%2_

由題可知左AB=7'(/)，整理可得：:石Tn/-----n

玉+x2x2xx+x2

令"&（0<?<1）,構造函數(shù)g?）=lnf—2（/T）（0<Z<1）.

%21+1

貝（lgt）=H^=F^〉O，

t（%+1）%（%+1）

所以g⑺在（0,1）上單調(diào)遞增，從而g⑺<g⑴=0,

所以方程In&=西［“2無解,即&B=/'(/)無解.

綜上，滿足條件的A、5不存在.

【點睛】

本題考查了導數(shù)的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

20、(1)=2〃-1(2)4

【解析】

(1)利用2a.+i=a“+a“+2判斷｛%｝是等差數(shù)列，利用邑=49,求出%=7,利用等比中項建立方程，求出公差可得.

(2)利用｛為｝的通項公式句,求出〃=22"=4",4=(2〃-1).4",用錯位相減法求出7；=個+9『乂4〃+|,最后

建立不等式求出最小的正整數(shù).

【詳解】

解：(1)任意〃cN*都有2a“+i=a“+?！?2，

二數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，

87=49,7〃4=49,/.%=7,

又一〃3是4與〃13的等比中項，4<。2，設數(shù)列｛4｝的公差為d，且d>0,

貝！1（7—d『=（7—3d）（7+9d）,解得d=2,

/.。］=7—3d=l,

:.c1rl=1+2（〃—1）=2〃—1；

,;

（2）由題意可知bn=22"=4",q=（2?-1）.4,

.-.7；=1X41+3X42+??+(a-)x4①,

23

4Tn=21X4+^X4+?+(n-)x"+i②,

①-②得：-34=4+2x4?+2x43+?.+2x4”—(2〃一l)x4"+i,

小小警句,

9T17-2°_4〃+1_^2n+2

6n-5

9T-20

由T一1>1。。。得，22n+2>1000，

on-5

/.2zz+2>10,

/.n>4,

「?滿足條件的最小的正整數(shù)〃的值為4.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式和前九項和公式及錯位相減法求和.（1）解決等差數(shù)列通項的思路⑴在等差數(shù)列｛%｝中，

4、d是最基本的兩個量，一般可設出4和