9.5多項(xiàng)式的因式分解（解析版）

9.5多項(xiàng)式的因式分解公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.注：（1）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（2）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中都含有的相同的字母，指數(shù)取相同字母的最小指數(shù).因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解。注：①因式分解的最終形式是積的形式；②因式分解要分解到不能再分解為止。提取公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外，把多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。公式法，十字相乘法利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則分組分解法對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多（大于等于四項(xiàng)）的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，通常會(huì)先將原式進(jìn)行重新分組，然后再利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等進(jìn)行分組的因式分解。（比如：五項(xiàng)式通常分成3+2項(xiàng)；六項(xiàng)式通常分成3+3或2+2+2項(xiàng)。）題型1：公因式的判斷1．多項(xiàng)式12ab3c+8a3b的公因式是4ab．【分析】根據(jù)公因式的定義解答即可，多項(xiàng)式中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．【解答】解：多項(xiàng)式12ab3c+8a3b的公因式是4ab．故答案為：4ab．【變式1-1】在多項(xiàng)式4x3y2+8x2y3﹣6xy2中，各項(xiàng)的公因式是2xy2．【分析】直接找出公因式，進(jìn)而提取公因式得出答案．【解答】解：4x3y2+8x2y3﹣6xy2y＝2xy2（2x2y+4xy2﹣3）．故答案為：2xy2．【變式1-2】指出下列多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式：（1）3a2y﹣3ay+6y；（2）49xy3-827x3（3）27a2b3+36a3b2+9a2b．【分析】多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式；根據(jù)公因式的定義，找出多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，各項(xiàng)含有的相同字母及相同字母的最小指數(shù)，即可解答．【解答】解：（1）3a2y﹣3ay+6y中的公因式為3y．（2）49xy3-827x3y2的公因式為：4（3）27a2b3+36a3b2+9a2b的公因式為：9a2b．題型2：提取公因式法2.因式分解：3m2+6m＝3m（m+2）．【分析】直接找出公因式進(jìn)而提取公因式分解因式得出答案．【解答】解：3m2+6m＝3m（m+2）．故答案為：3m（m+2）．【變式2-1】已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，則a2b﹣ab2的值為﹣6．【分析】首先提公因式ab進(jìn)行分解，再代入a﹣b＝3，ab＝﹣2即可．【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣2×3＝﹣6，故答案為：﹣6．【變式2-2】閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，則結(jié)果是（1+x）2022．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）．【分析】（1）利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答；（2）仿照已知的計(jì)算過(guò)程，即可解答；（3）仿照已知的計(jì)算過(guò)程，即可解答．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，故答案為：提公因式法，2；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，則需要用上述方法2021次，結(jié)果是（1+x）2022，故答案為：（1+x）2022；（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]..．＝（1+x）n+1．題型3：公式法3.分解因式：a2﹣16b2＝（a+4b）（a﹣4b）．【分析】利用平方差公式分解．【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）．故答案為：（a+4b）（a﹣4b）．【變式3-1】分解因式：（x2+9）2﹣36x2＝（x+3）2（x﹣3）2．【分析】先將36x2化為（6x）2，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式．【解答】解：原式＝（x2+9）2﹣（6x）2＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2．故答案為：（x+3）2（x﹣3）2．【變式3-2】因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．【分析】首先利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9＝（x2﹣1﹣3）2＝（x﹣2）2（x+2）2．【變式3-3】觀察下列各式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3），…（1）按此規(guī)律，則a5﹣b5＝（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）；（2）若a-1a=3，你能根據(jù)上述規(guī)律求出代數(shù)式a（3）若a-1a=3，直接寫出代數(shù)式a5-1【分析】（1）根據(jù)題意，按同一個(gè)字母的降冪排列直至不含這個(gè)字母為止；（2）根據(jù)規(guī)律，先把代數(shù)式a3-1（3）據(jù)規(guī)律，先把代數(shù)式a5-1【解答】解：（1）a5﹣b5＝（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．故答案為：（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）；（2）a3-1a3=（a-1a＝（a-1a）（a2﹣2+＝（a-1a）[（a-1＝3×（9+3）＝36；（3）a5-1a5=（a-1a）（a4＝（a-1a）（a4+1a4＝（a-1a）[（a2+1a2）2﹣2+（＝（a-1a）{[（a-1a）2+2]2﹣2+（a＝3×[（9+2）2﹣2+9+2+1]＝3×131＝393．故答案為：393．【變式3-4】整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法：下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進(jìn)行因式分解的過(guò)程．將“x2+2x”看成一個(gè)整體，令x2+2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2再將“y”還原即可．解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．問題：（1）①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒完成，請(qǐng)你直接寫出最后的結(jié)果（x+1）4；②請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16進(jìn)行因式分解；（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．【分析】（1）①根據(jù)因式分解的意義進(jìn)行判斷，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用換元法進(jìn)行因式分解即可；（2）設(shè)x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，則1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，2+3+…+2021＝y(tǒng)﹣2022，整體代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）①?zèng)]有，設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）＝（x+1）4（第五步）．故答案為：（x+1）4；②設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+8）+16＝y(tǒng)2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；（2）設(shè)x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，則1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，2+3+…+2021＝y(tǒng)﹣2022，x+y＝1+2022＝2023，所以原式＝xy﹣（x﹣2022）（y﹣2022）＝xy﹣xy+2022（x+y）﹣20222＝2022×2023﹣20222＝2022（2022+1）﹣20222＝2022．題型4：分組分解法4.因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝（a﹣b）（x+y）．【分析】先分組，再提取公因式，再提取公因式．【解答】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）．故答案為：（a﹣b）（x+y）．【變式4-1】分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz＝x2+4z2+4xz﹣9y2＝（x+2z）2﹣9y2＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．故答案為：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．【變式4-2】分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．【分析】因2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），故可設(shè)2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），根據(jù)十字相乘法的逆運(yùn)算解答．【解答】解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），∴可設(shè)2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b為待定系數(shù)，∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，解得a＝﹣2，b＝1，∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．故答案為：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．【變式4-3】閱讀下列材料：提取公因式法和公式法是初中階段最常用分解因式的方法，但有些多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解，過(guò)程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．這種分解因式的方法叫“分組分解法”，利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人說(shuō)，無(wú)論x，y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)先分組，再分別分解因式，最后提取公因式分解；（2）把45分成25、16、4，x2﹣10x與25、y2+8y與16分別構(gòu)成完全平方式，再利用非負(fù)數(shù)的和說(shuō)明即可．【解答】解：（1）x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣（2x﹣6y）＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）；（2）x2+y2﹣10x+8y+45＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4＝（x﹣5）2+（y+4）2+4．∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x﹣5）2+（y+4）2+4＞0．即：無(wú)論x，y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)．題型5：十字相乘法5.分解因式：x2+6x﹣7＝（x﹣1）（x+7）．【分析】直接利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2+6x﹣7＝（x﹣1）（x+7）故答案為：（x﹣1）（x+7）．【變式5-1】已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），則a＝4，k＝20．【分析】化簡(jiǎn)后兩邊都為二次三項(xiàng)式，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，列式求解即可．【解答】解：由2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）得2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a，∴2a-解得：a＝4，k＝20．故答案為：4，20．【變式5-2】（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：x2+6x+9＝（x+3）2；16x2﹣8x+1＝（4x﹣1）2；9x2+12x+4＝（3x+2）2；（2）觀察以上三個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，有62＝4×1×9，（﹣8）2＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小明猜測(cè)：若多項(xiàng)式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，則實(shí)數(shù)系數(shù)a、b、c一定存在某種關(guān)系：①請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子表示a、b、c之間的關(guān)系：b2＝4ac；②解決問題：若多項(xiàng)式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一個(gè)完全平方式，求m的值．【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；（2）觀察各式的特征，得到a，b，c之間的關(guān)系即可；（3）根據(jù)（2）得出的三者之間的關(guān)系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+3）2；16x2﹣8x+1＝（4x﹣1）2；9x2+12x+4＝（3x+2）2；（2）若多項(xiàng)式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，則實(shí)數(shù)系數(shù)a，b，c一定存在某種關(guān)系為b2＝4ac；（3）∵多項(xiàng)式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一個(gè)完全平方式，∴[﹣2（m﹣3）]2＝4×1×（10﹣6m），解得：m＝±1．故答案為：（1）（x+3）2，（4x﹣1）2，（3x+2）2；（2）b2＝4ac．【變式5-3】對(duì)于某些二次三項(xiàng)式可以采用“配方法”來(lái)分解因式，閱讀下列材料：例如：把x2+6x﹣16分解因式，我們可以這樣進(jìn)行：x2+6x﹣16＝x2+2?x?3+32﹣32﹣16（加上32，再減去32）＝（x+3）2﹣52（運(yùn)用完全平方公式）＝（x+3+5）（x+3﹣5）（運(yùn)用平方差公式）＝（x+8）（x﹣2）（化簡(jiǎn)）運(yùn)用此方法解決下列問題：（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多項(xiàng)式4a2+12ab+9b2的值．【分析】（1）根據(jù)例題先加上42，再減去42，運(yùn)用完全平方公式和平方差公式分解，最后化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)例題進(jìn)行配方，由一個(gè)數(shù)的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)即可求得a、b的值，代入多項(xiàng)式計(jì)算即可．【解答】解：（1）x2﹣8x﹣9＝x2﹣2?x?4+42﹣42﹣9＝（x﹣4）2﹣52＝（x﹣4+5）（x﹣4﹣5）＝（x+1）（x﹣9）；（2）a2+b2﹣6a+10b+34＝a2﹣6a+9+b2+10b+25﹣9﹣25+34＝（a﹣3）2+（b+5）2，∵a2+b2﹣6a+10b+34＝0，∴（a﹣3）2+（b+5）2＝0，∴（a﹣3）2＝0且（b+5）2＝0，∴a﹣3＝0且b+5＝0，解得：a＝3，b＝﹣5，4a2+12ab+9b2＝（2a+3b）2，將a＝3，b＝﹣5代入多項(xiàng)式得：4a2+12ab+9b2＝（2a+3b）2＝[2×3+3×（﹣5）]2＝（﹣9）2＝81．題型6：因式分解的綜合運(yùn)用6.若x2﹣5x+2＝0，則2x3﹣7x2﹣11x+2020的值為2014．【分析】先把代數(shù)式進(jìn)行變形，再整體代入求解．【解答】解：∵x2﹣5x+2＝0，∴2x3﹣7x2﹣11x+2020＝2x（x2﹣5x+2）+3（x2﹣5x+2）+2014＝2014，故答案為：2014．【變式6-1】若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值為﹣4042．【分析】由已知條件求得m+n＝﹣1，m2﹣2n＝2022，n2﹣2m＝2022，再將原式化成m（m2﹣2n）+n（n2﹣2m），連接兩次代值計(jì)算便可得出答案．【解答】解：∵m2＝2n+2021，n2＝2m+2021，∴m2﹣n2＝2（n﹣m），∴（m+n）（m﹣n）＝2（n﹣m），∵m≠n，∴m+n＝﹣2，∵m2＝2n+2021，n2＝2m+2021，∴m2﹣2n＝2021，n2﹣2m＝2021，∴原式＝m3﹣2mn﹣2mn+n3＝m（m2﹣2n）+n（n2﹣2m）＝2021m+2021n＝2021（m+n）＝2021×（﹣2）＝﹣4042．故答案為：﹣4042．【變式6-2】若a2+a﹣1＝0，那么a2022+a2021﹣a2020＝0．【分析】a2022+a2021﹣a2020＝a2020（a2+a﹣1），而a2+a﹣1＝0，進(jìn)而求出a2022+a2021﹣a2020的值．【解答】解：a2022+a2021﹣a2020＝a2020（a2+a﹣1），∵a2+a﹣1＝0，∴a2020（a2+a﹣1）＝a2020?0＝0，∴a2022+a2021﹣a2020＝0．故答案為：0．【變式6-3】如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”．（1）請(qǐng)說(shuō)明28是否為“神秘?cái)?shù)”；（2）下面是兩個(gè)同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)判斷真假，并說(shuō)明理由．①嘉嘉發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)）構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”也是4的倍數(shù)．②洪淇發(fā)現(xiàn)：2024是“神秘?cái)?shù)”．【分析】（1）判斷28是否可以用兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差表示即可；（2）化簡(jiǎn)（2k+2）2﹣（2k）2，判斷化簡(jiǎn)后的式子是否為4的倍數(shù)即可；令4（2k+1）＝2024，判斷k是否是整數(shù)即可．【解答】解：（1）假設(shè)28是“神秘?cái)?shù)”，則：28＝x2﹣（x﹣2）2，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，∴28＝82﹣62，因此假設(shè)成立，28是“神秘?cái)?shù)”；（2）①嘉嘉的發(fā)現(xiàn)是真的，理由如下：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝4（2k+1）．∴兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)）構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”也是4的倍數(shù)．②洪淇的發(fā)現(xiàn)是假的，理由如下：假設(shè)2024是“神秘?cái)?shù)”，則：4（2k+1）＝2024，解得k＝252.5，∵k不是整數(shù)，∴假設(shè)不成立，2024不是“神秘?cái)?shù)”．【變式6-4】若一個(gè)三位或三位以上的正整數(shù)A分成左、中、右三個(gè)數(shù)后滿足：①中間數(shù)＝左邊數(shù)2﹣右邊數(shù)2，則稱中間數(shù)是A的“平安數(shù)”．如231的“平安數(shù)”是3，5212的“平安數(shù)”是21；②中間數(shù)＝（左邊數(shù)﹣右邊數(shù)）2，則稱中間數(shù)是A的“快樂數(shù)”．如143的“快樂數(shù)”是4，6251和1256的“快樂數(shù)”是25．（1）若一個(gè)三位數(shù)的“平安數(shù)”是8，則這個(gè)數(shù)是381；若一個(gè)四位數(shù)的“快樂數(shù)”是81，則這個(gè)數(shù)是9810；（2）一個(gè)正整數(shù)A與一個(gè)正整數(shù)B的左邊數(shù)均為m，右邊數(shù)均為n，且A的“平安數(shù)”比B的“快樂數(shù)”大16，求滿足條件的正整數(shù)A．【分析】（1）根據(jù)“吉祥數(shù)”與“如意數(shù)”的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意列出相應(yīng)的式子進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（1）一個(gè)三位數(shù)的“平安數(shù)”是8，令左邊數(shù)為a，右邊數(shù)為b，則有：a2﹣b2＝8，則a2＝b2+8，∴當(dāng)b＝0時(shí)，a＝22，不符合題意；當(dāng)b＝1時(shí)，a＝3，符合題意；則這個(gè)三位數(shù)是：381，若一個(gè)四位數(shù)的“快樂數(shù)”是81，令左邊數(shù)為x，右邊數(shù)為y，則有：81＝（a﹣b）2，則有：a﹣b＝9或a﹣b＝﹣9，∵0＜a≤9，0≤b≤9，當(dāng)a﹣b＝9時(shí)，a＝9，b＝0，則這個(gè)四位數(shù)是9810；當(dāng)a﹣b＝﹣9時(shí)，a＝0，b＝9，不符合題意，故答案為：381，9810；（2）由題意得：m2﹣n2﹣（m﹣n）2＝16，整理得：n（m﹣n）＝8，∴當(dāng)n＝1時(shí)，m﹣n＝8，m＝9，則這個(gè)正整數(shù)為：9801；當(dāng)n＝2時(shí)，m﹣n＝4，m＝6，則這個(gè)正整數(shù)為：6322；當(dāng)n＝8時(shí)，m﹣n＝1，m＝9，則這個(gè)正整數(shù)為：9178；當(dāng)n＝4時(shí)，m﹣n＝2，m＝6，則這個(gè)正整數(shù)為：6204；故滿足條件的正整數(shù)有：9801，6322，9178，6204．一．選擇題（共8小題）1．下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．6m2n＝2mn?3m【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．等式從左到右的變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．等式從左到右的變形不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C．等式從左到右的變形是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；D．等式從左到右的變形不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．下列各多項(xiàng)式的因式分解中，正確的是（）A．a(chǎn)2﹣6a+9＝（a+3）2 B．a(chǎn)2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b） C．8x2+12x＝2x（4x+6） D．x2+4y2＝（x+2y）2【分析】利用因式分解逐一判斷即可．【解答】解：A．a(chǎn)2﹣6a+9＝（a﹣3）2，故不合題意；B．a(chǎn)2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），故符合題意；C.8x2+12x＝4x（2x+3），故不合題意；D．x2+4y2不能因式分解，故不合題意．故選：B．3．多項(xiàng)式ax2﹣4a與多項(xiàng)式2x2﹣8x+8的公因式是（）A．x﹣2 B．x+2 C．x2﹣2 D．x﹣4【分析】分別分解因式即可求解．【解答】．解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）2x2﹣8x+8＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2，∴公因式是（x﹣2）．故選：A．4．已知x2+3x﹣12＝0，則代數(shù)式x3﹣21x+5的值是（）A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41【分析】先由x2+3x﹣12＝0得到x2+3x＝12，進(jìn)而得到x3＝12x﹣3x2，最后代入計(jì)算即可．【解答】解：∵x2+3x﹣12＝0，∴x2+3x＝12，∴x3+3x2＝12x即x3＝12x﹣3x2，∴x3﹣21x+5＝12x﹣3x2﹣21x+5＝﹣3（x2+3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣31．故選：B．5．已知20212022﹣20212020＝2021x×2020×2022，則x的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【分析】先提取公因式，再套用平方差公式分解20212022﹣20212020，再根據(jù)等式的性質(zhì)確定x的值．【解答】解：∵20212022﹣20212020＝20212020×（20212﹣1）＝20212020×（2021+1）×（2021﹣1）＝2022×20212020×2020，又∵20212022﹣20212020＝2022×2021x×2020，∴2021×20212020×2021＝2022×2021x×2020．∴x＝2020．故選：D．6．下列分解因式錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+4x＝x（x+4） C．x2+7x+12＝（x+2）（x+6） D．x2+2x+1＝（x+1）2【分析】各式分解得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合題意；B、原式＝x（x+4），不符合題意；C、原式＝（x+3）（x+4），符合題意；D、原式＝（x+1）2，不符合題意．故選：C．7．若a+b＝3，x+y＝1，則代數(shù)式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【分析】先把代數(shù)式局部分解因式，再整體代入求解．【解答】解：∵a+b＝3，x+y＝1，∴a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015＝（a+b）2﹣（x+y）+2015＝9﹣1+2015＝2023，故選：D．8．已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值為（）A．1 B．3 C．6 D．1010【分析】設(shè)x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，先求2x的值，再求x的值．【解答】解：設(shè)x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，則2x＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝1+1+4＝6，∴x＝3，故選：B．二．填空題（共6小題）9．如果a+b＝4，ab＝3，那么a2b+ab2＝12．【分析】根據(jù)提公因式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：∵a+b＝4，ab＝3，a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×3＝12，故答案為：12．10．把2a2b﹣4ab+2b因式分解的結(jié)果是2b（a﹣1）2．【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解，即可解答．【解答】解：2a2b﹣4ab+2b＝2b（a2﹣2a+1）＝2b（a﹣1）2，故答案為：2b（a﹣1）2．11．已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x2﹣6x＝3；則2x3﹣7x2+4x﹣2019＝﹣2022．【分析】根據(jù)因式分解的提公因式法分解因式，利用整體代入的方法即可求得第一個(gè)空的解；分解第二個(gè)因式后把﹣7x寫成﹣4x﹣3x再重新組合，進(jìn)行提公因式，最后整體代入即可求得第二個(gè)空的解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019＝x（2﹣3x）+4x﹣2019＝2x﹣3x2+4x﹣2019＝﹣3x2+6x﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3×1﹣2019＝﹣2022．故答案為：3，﹣2022．12．當(dāng)k＝7時(shí)，二次三項(xiàng)式x2﹣kx+12分解因式的結(jié)果是（x﹣4）（x﹣3）．【分析】根據(jù)因式分解與多項(xiàng)式相乘是互逆運(yùn)算，把多項(xiàng)式相乘展開，再利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等來(lái)求解．【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12，∴﹣k＝﹣7，k＝7．故應(yīng)填7．13．已知xy＝3，x﹣3y＝3，則2x3y﹣12x2y2+18xy3＝54．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整體代入求值即可．【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×3×32＝6×9＝54，故答案為：54．14．如圖，將一張大長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長(zhǎng)為a厘米的大正方形，2塊是邊長(zhǎng)都為b厘米的小正方形，5塊是長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米的相同的小長(zhǎng)方形，且a＞b．觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為（2a+b）（2b+a）．【分析】根據(jù)題意，可得到大長(zhǎng)方形的面積為：（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2，所以整式2a2+5ab+2b2分解因式也就寫出來(lái)了．【解答】解：由題意可知，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為（2a+b）厘米、（2b+a）厘米，∴大長(zhǎng)方形的面積為：（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2，∴代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為：（2a+b）（2b+a），故答案為：（2a+b）（2b+a），三．解答題（共7小題）15．把下列各式因式分解：（1）﹣3xy3+12xy；（2）（x﹣1）x2+2x（x﹣1）+（x﹣1）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣3xy（y2﹣4）＝﹣3xy（y+2）（y﹣2）；（2）原式＝（x﹣1）（x2+2x+1）＝（x﹣1）（x+1）2．16．發(fā)現(xiàn)：任意三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是4的倍數(shù)．（1）（﹣2）2+02+22的結(jié)果是4的幾倍？（2）設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)為2x，寫出它們的平方和，并說(shuō)明是4的倍數(shù)；（3）任意三個(gè)連續(xù)數(shù)的平方和，設(shè)中間一個(gè)為x，被3除余數(shù)是幾？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．【分析】（1）直接計(jì)算即可求解；（2）設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)為2x，則另外兩個(gè)偶數(shù)分別為2x﹣2和2x+2，求出它們的平方和，再進(jìn)行因式分解即可解答；（3）設(shè)中間一個(gè)為x，則另外兩個(gè)偶數(shù)分別為x﹣1和x+1，計(jì)算即可解答．【解答】解（1）（﹣2）2+02+22＝4+4＝88÷4＝2，所以是2倍；（2）設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)為2x，則另外兩個(gè)偶數(shù)分別為2x﹣2和2x+2，平方和為：（2x﹣2）2+（2x）2+（2x+2）2＝4x2﹣8x+4+4x2+4x2+8x+4＝12x2+8＝4（3x2+2），∴其平方和是4的倍數(shù)；（3）設(shè)中間一個(gè)為x，則另外兩個(gè)偶數(shù)分別為x﹣1和x+1，平方和為：（x﹣1）2+x2+（x+1）2＝x2﹣2x+1+x2+x2+2x+1＝3x2+2，∴其被3除余數(shù)是2．17．材料一：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那我們稱這個(gè)正整數(shù)為連續(xù)平方差數(shù)，如96＝252﹣232，則96是連續(xù)平方差數(shù)；材料二：對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)M，去掉個(gè)位數(shù)字后成為一個(gè)兩位數(shù)P，去掉百位數(shù)字后成為一個(gè)兩位數(shù)Q，若F（M）=P-Q9（P＞Q）為整數(shù)，則稱M是一個(gè)關(guān)于9的對(duì)稱數(shù)，如F（545）=54-459=1（1）求證：任意一個(gè)三位連續(xù)平方差數(shù)能被8整除；（2）已知一個(gè)三位數(shù)既是連續(xù)平方差數(shù)，又是關(guān)于9的對(duì)稱數(shù)，求滿足條件的所有三位數(shù)．【分析】（1）設(shè)連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)分別為2k+3，2k+1（k＝0，1，2，…），利用平方差公式展開，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)這個(gè)三位數(shù)為100a+10b+c（a，b，c均為小于10的自然數(shù)，且ab≠0），根據(jù)兩個(gè)新定義及（2）的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)的整除性得出滿足條件的字母值，從而得到滿足條件的所有三位數(shù)．【解答】（1）證明：設(shè)連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)分別為2k+3，2k+1（k＝0，1，2，…），則（2k+3）2﹣（2k+1）2＝12k+9﹣4k﹣1＝8k+8＝8（k+1），∴任何一個(gè)連續(xù)平方差數(shù)一定是8的倍數(shù)；（2）解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)為100a+10b+c（a，b，c均為小于10的自然數(shù)，且ab≠0），則100a+10b+c8=12a+b+4a+2b+c8是整數(shù)，且10a+b-(10b+c)9∴滿足條件的a，b，c有：a＝c＝4，b＝2，此時(shí)三位數(shù)為424；a＝c＝6，b＝1，此時(shí)三位數(shù)為616；a＝c＝6，b＝5，此時(shí)三位數(shù)為656；a＝c＝8，b＝4，此時(shí)三位數(shù)為848．綜上所述，滿足條件的所有三位數(shù)有424，616，656，848．18．【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+z＝9；【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1）．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式；（2）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作為整式代入即可求出；（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使它滿足所給的條件．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由（1）得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴121＝a2+b2+c2+2×38，所以a2+b2+c2＝121﹣76＝45．（3）（a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，所以x+y+z＝9．故答案為：9；（4）x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1）．故答案為：x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1）．19．（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：x2+6x+9＝（x+3）2；16x2﹣8x+1＝（4x﹣1）2；9x2+12x+4＝（3x+2）2；（2）觀察以上三個(gè)多項(xiàng)式的