2024年濟南天橋區(qū)九年級中考數學一?？荚囋囶}（含答案）

2024年九年級教學診斷測試數學試題（2024.4.8）

注意事項：

本試題共8頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘，

答卷前，請考生務必將自己的姓名、座號和準考證號填寫在答題卡上，并同時將考點、

姓名、準考證號和座號填寫在試卷規(guī)定的位置上。答選擇題時，必須使用2B鉛筆把答題卡

上對應題目的答案標號涂黑：如需改動。用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號：答非選擇

題時，用0.5mw黑色簽字筆在答題卡上題號所提示的答題區(qū)域作答、答案寫在試卷上無效,

考試結束后。將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題共40分）

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.9的平方根是（）

2.下列兒何體中，俯視圖是三角形的是（）

3.從教育部獲悉。我國己基本建成世界第一大教育教學資源庫，國家中小學智慧教育平臺現

有資源超過44000條，其中44000用科學記數法表示為（）

A.4.4X105B.4.4X104C.4.4xl03D.44xl02

4.如圖：AD〃BC、BD平分NABC,若NADB=35°,則N4的度數為（）

A.35°B.70°C.110°D.120°

■b,

BC-10

（第4題圖）（第6題圖）

5.下列設計的圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

6.有理數a、b在數軸上的對應位置如圖所示，下列選項正確的是（）

A.a-b>0B.a+b<0C.ab>0D.|a|<|fe|

7.某快餐店用米飯加不同炒菜配制了一批盒飯，配土豆絲炒肉的有25盒。配芹菜炒肉絲的有

30盒，配辣椒炒雞蛋的有10盒，配蕓豆炒肉片的有15盒，每盒盒飯的大小、外形都相同。

從中任選一盒，含肉的概率是（）

1

8.周末，小鵬的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕中每包2

元。共用了30元錢（兩種物品都買），小明的購買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

9.反比例函數y=ga#0）與一次函數y=ax-a在同一坐標系中的圖象可能是（）

10.如圖,在正方形ABCD中,AB=V2,點E、F分別是DC和BC邊上的動點,且始終保持EF=BF+DE,

連接AE與AF,分別交DB干點N、M,過點A作AH_LEF于點M.下列結論：①NEAF45。:②

ZBAF=ZHAF；③AH=M；④NDNE=67.5。；（5）DN2+BM2=NM2,其中結論正確的序號是（）

A.①③④B.①②③⑤C.②④⑤D.①②③④

第II卷（非選擇題共110分）

二.填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.分解因式：x2-16=.

12.如圖，點在AB上，AC=AD,請你添加一個條件，使圍中存在全等三角形。我所添加條件

（第12題圖）（第14題圖）（第15題圖）

13.甲、乙、再三個游客團的年齡的方差分別是S甲2=1.4,S乙2=18.8,S丙2=2.5,導游小方最喜

歡帶游客年齡相近的團隊，若在這三個團中選擇一個，則他應選_________o（填甲、乙或

丙）。

14.我國是世界上最早制造使用水車的國家，如圖是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓

的半徑）將圓平均分為12個格，半徑04長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等

距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次昌滿

河水在點/處離開水面，逆時針旋轉上升至輪子上方8處時，斗口開始翻轉向下，將水傾入

2

木格，由木槽導入水果，進而灌溉，那么水斗從4處（舀水）轉動到B處（倒水）所經過的

路程是米，（結果保留口）

15.如圖，RtAOAB與RtAOBC位于平面直角坐標系中，ZAOB=ZBOC=30,BA±OA,CB±

08,若AB=V^,反比例函數y=g（kWO）恰好經過點C.則k=.

16.規(guī)定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為"Y函數"，例如：函數

y=x+3于y=-x+3互為"Y函數"，若函數y=^x2+（k—1）x+k—3的圖象與x軸只有一個交點。

則它的Y函數"圖象與x軸的交點坐標為o

三.解答題：（本大題共10個小題，共86分，解答應寫出文字說明、證明或演算步驟）

17.（本小題滿分6分）計算：V4+2sin45°-（n-3）°+|V2-21.

3（x+1）>x—1

應（本小題滿分6分）解不等式組：，并寫出它的所有正整數解。

19.（本小題滿分6分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,E、F在對角線

BD上，且BF=DE,連接AE、AF,求證：AE=AF。

3

20.(本小滿分8分)

數學小組為了了解學校同學對食堂就餐的評價，抽取部分同學參加問卷評價調查，整理并制

作出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，如圖所示，請根據圖表信息解答下列問題：

組別評價得分頻數頻率

/組604工<70300.1

8組704K<8090n

。組804x<90m0.4

。組90^.r<100600.2

(1)本次問卷評價調查共抽取名同學參與n的值為.

(2)補全額數分布直方圖：

⑶小俊的評價分是所有被抽取學生評價分的中位數，據此推斷他的評價得分在組：

(4)若全校共1200人，試估計評價得分不低于80分的人數。

21.(本小題滿分8分)

數學研究小組針對所在城市住房窗戶-如何設計遮陽蓬"這一課題進行了探究。過程如下:

【方案設計】

要求設計的遮陽蓬既能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的

陽光射入室內，數學課題研究小組通過調查研究，設計安裝了如圖所示的遮陽篷，其中AC

表示墻面，AB表示窗戶，CD表示垂直于墻面的遮陽篷。

【數據收集】

如圖，通過查閱相關資料和實際測量：夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽篷

CD的夾角NADC最大，此時遮陽蓬能最大限度地遮住夏天的陽光，最大角NADC=75°；冬

至日這一天的正午時刻。太陽光線DB與遮陽篷CD的夾角NBDC最小，此時遮陽蓬能最大限

度地使冬天的陽光射入室內，最小角NBDC=35。

【問題提出】

C|DCD

4兒w

AA

⑴如圖1,若只要求設計的遮陽篷能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，當CD=lm時，求AC

4

的長。

（2）如圖2,要求設計的遮陽篷既能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天

溫暖的陽光射入室內，當AB=1.5m時。根據上述方案及數據，求遮陽篷CD的長，（結果精

確至！J0.1m,參考數據:sin75°40.97,cos75°=0.26,tan75°七3.73,sin35°=0.57,cos35°

七0.83,tan35°七0.7）

22.（本小題滿分8分）

如圖，AB是團O的直徑，點D在射線BA上，DC與團O相切于點C.過點AB作BELDC.交DC

的延長線于點E,連接BC、OC.

（1）求證：BC是NABE的平分線：

⑵若DC=8,DA=4,求AB的長。

DAOB

23.（本小題滿分10分）某超市計劃在端午節(jié)前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解，每

個乙種粽子的進價比每個甲種粽了的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200

元購進乙種粽了的個數相月。

⑴甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？

（2）該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子

個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個。

兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元。

①求w與m的函數關系式：

②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

5

24.(本小題滿分10分)如圖。在平面直角坐標系xoy中，直線y=-x+5與y軸交于點A,與

反比例函數y=§的圖象的一個交點為B(a,4),過點B作AB的垂線I.

(1)求點A的坐標及反比例的數的表達式：

⑵直線AB和反比例函數的另一個交點為C,求AOBC的面積：

(3)P是直線I上一點，連接PA,以P為位似中心畫^PDE,使它與4PAB位似，相似比為m。

若點D、E恰好都落在反比例數象上，求點P的坐標.

備用圖

25.(本小題請分12分)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它的出現使

得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜，一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的件架，上面覆上一層或

多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間，如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形

ABCD和拋物線AED構成。其中E點為拋物線的頂點，OE=4m,AB=3m,BC=4mo取BC中點

0,過點0作線BC的垂直平分線0E交物線AED于點E,若以O點為原點，BC所在直線為x

軸，OE所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系，請回答下列問題：

(1汝口圖1,求搶物線的解析式：

⑵如圖2、為了保證蔬菜大棚的通風性,該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT.SMNR,

若FL=NR=0.75mo求兩個正方形裝置的間距GM的長：

⑶如圖3,在某一時刻，太陽光線(太陽光線為平行線)透過4點恰好照射到C點，此時大

6

26.（本小題滿分12分）某校數學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰

直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如圖1的方式擺放，ZACB=ZECD=90°,隨后保

持4ABC不動，將觀DE繞點C按逆時針方向旋轉a（0°<a<90°）,連接AE、BD,延長BD交

AE于點F,連接CF,該數學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：

【初步探究】

（1）如圖2、當ED〃BC時，貝!|a=.

（2）如圖3、當點E、F重合時，請直接寫出，AF、BF、CF之間的數量關系：.

【深入探究】

⑶如圖4,當點E、F不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程：若不

成立，請說明理由。

【拓展延仲】

（4）如圖5、在^ABC與ACDE中，ZACB=ZDCE=90°,若BC=mAC、CD=mCE（m為常數）,

保持^ABC不動。將4CDE繞點C按逆時針方向旋轉a（（r<a<90。），連接AE、BD誕長BD交

AE于點F,連接CF,如圖6。試探究AF、BF、CF之間的數量關系并說明理由。

A

DB

7

答案

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.9的平方根是（C）

2.下列兒何體中，俯視圖是三角形的是（D）

3.從教育部獲悉。我國己基本建成世界第一大教育教學資源庫，國家中小學智慧教育平臺現

有資源超過44000條，其中44000用科學記數法表示為（B）

A.4.4X105B.4.4X104C.4.4xl03D.44xl02

4.如圖：AD〃BC、BD平分NABC,若NADB=35°,則N4的度數為（C）

A.35°B.70°C.110°D.120°

b

I1t

BC10

（第4題圖）（第6題圖）

5.下列設計的圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（B）

6.有理數a、b在數軸上的對應位置如圖所示，下列選項正確的是（B）

A.a-b>0B.a+b<0C.ab>0D.|a|<\b\

7.某快餐店用米飯加不同炒菜配制了一批盒飯，配土豆絲炒肉的有25盒。配芹菜炒肉絲的有

30盒，配辣椒炒雞蛋的有10盒，配蕓豆炒肉片的有15盒，每盒盒飯的大小、外形都相同。

從中任選一盒，含肉的概率是（A）

8.周末，小鵬的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕中每包2

元。共用了30元錢（兩種物品都買），小明的購買方案共有（B）

A.3種B.4種C.5種D.6種

9.反比例函數y=：（aW0）與一次函數y=ax-a在同一坐標系中的圖象可能是（A）

8

10.如圖,在正方形ABCD中,AB=V2,點E、F分別是DC和BC邊上的動點,且始終保持EF=BF+DE,

連接AE與AF,分別交DB干點N、M,過點A作AH_LEF于點M.下列結論：①NEAF45。:②

NBAF=NHAF；③AH=M；④NDNE=67.5°；⑤DN2+BM2=NIV|2,其中結論正確的序號是（B）

A.①③④B.①②③⑤C.②④⑤D.①②③④

第II卷（非選擇題共110分）

二.填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.分解因式：X2-16=（x+4）（x—4）.

12.如圖，點在AB上，AC=AD,請你添加一個條件，使圍中存在全等三角形。我所添加條件

為BC=BD.

（第12題圖）（第14題圖）（第15題圖）

13.甲、乙、再三個游客團的年齡的方差分別是S甲2=1.%S乙2=18.8,S丙2=2.5,導游小方最喜

歡帶游客年齡相近的團隊，若在這三個團中選擇一個，則他應選甲o（填甲、乙

或丙）。

14.我國是世界上最早制造使用水車的國家，如圖是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓

的半徑）將圓平均分為12個格，半徑04長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等

距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次昌滿

河水在點/處離開水面，逆時針旋轉上升至輪子上方8處時，斗口開始翻轉向下，將水傾入

木格，由木槽導入水果，進而灌溉，那么水斗從4處（舀水）轉動到B處（倒水）所經過的

路程是5n米,（結果保留n）

15.如圖，RtAOAB與RtAOBC位于平面直角坐標系中，ZAOB=ZBOC=30,BA±OA,CB±

08,若AB=g,反比例函數y=g（kWO）恰好經過點C.則k=4g.

9

16.規(guī)定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為"Y函數"，例如：函數

y=x+3于y=-x+3互為"Y函數"，若函數y=jx2+（k—1）x+k—3的圖象與x軸只有一個交點。

則它的Y函數"圖象與x軸的交點坐標為（3,0）或（4,為。

三.解答題：（本大題共10個小題，共86分，解答應寫出文字說明、證明或演算步驟）

17.(本小題滿分6分)計算：V4+2sin45°-(n-3)°+|V2-2|.

=2+V2-l+2-V2

3（x+19>x—1①

18.（本小題滿分6分）解不等式組:等>3,②，并寫出它的所有正整數解。

解：解不等式①得X22

解不等式②，得x<3.

，不等式組的解集為-2<x<3.

所有正整數解有1,2.

19.（本小題滿分6分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,E、F在對角線

BD上，且BF=DE,連接AE、AF,求證：AE=AF。

證明：四邊形ABCD是菱形,

；.AB=AD

/.ZABD=ZADB

XVBF=DE

:.BF-EF=DE-EF

:.BE=DF

在回ABE與團ADF中

AB=AD

ZABE=ZADF

BE=DF

10

.?.SABE^AADF

AAE=AF

20.(本小滿分8分)

數學小組為了了解學校同學對食堂就餐的評價，抽取部分同學參加問卷評價調查，整理并制

作出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，如圖所示，請根據圖表信息解答下列問題：

y頻數(人)

90

60

30

o60708090100分數(分)

(2)補全額數分布直方圖：

⑶小俊的評價分是所有被抽取學生評價分的中位數，據此推斷他的評價得分在組：

(4)若全校共1200人，試估計評價得分不低于80分的人數。

解：(1)300,0.3

(4)1200x(0.4+0.2)=720(人)

答：大約有720人評價得分不小于80分.

11

21.(本小題滿分8分)

數學研究小組針對所在城市住房窗戶-如何設計遮陽蓬"這一課題進行了探究。過程如下:

【方案設計】

要求設計的遮陽蓬既能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的

陽光射入室內，數學課題研究小組通過調查研究，設計安裝了如圖所示的遮陽篷，其中AC

表示墻面，AB表示窗戶，CD表示垂直于墻面的遮陽篷。

【數據收集】

如圖，通過查閱相關資料和實際測量：夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽篷

CD的夾角NADC最大，此時遮陽蓬能最大限度地遮住夏天的陽光，最大角NADC=75°；冬

至日這一天的正午時刻。太陽光線DB與遮陽篷CD的夾角NBDC最小，此時遮陽蓬能最大限

度地使冬天的陽光射入室內，最小角NBDC=35。

【問題提出】

(1)如圖1,若只要求設計的遮陽篷能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，當CD=lm時，求AC

的長。

(2)如圖2,要求設計的遮陽篷既能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天

溫暖的陽光射入室內，當AB=1.5m時。根據上述方案及數據，求遮陽篷CD的長，(結果精

確至！J0.1m,參考數據：sin75°七0.97,cos75°^0.26,tan75°七3.73,sin35°=0.57,cos35°

七0.83,tan35°七0.7)

⑴解:如圖2,在Rt回ACD中，ZADC=75°,CD=lm

圖2

團tanNADC=—=—=3.73

CD1

，Ag3.7m

答：AC的長為3?7m.

(2)解：如圖3,在RtHBCD中

12

/.ZtanZBDC=—^0.7

CD

：.BC=0.7CD

在Rt回ACD中，ZADC=75°

，tanNADg3.73

/.AC=3.73CD

/.AB=AC-BC=(3.73-0.7)CD=3.03CD=1.5

/.CD-0.5m.

答：遮陽篷CD的長為0.5m

22.(本小題滿分8分)

如圖，AB是團O的直徑，點D在射線BA上，DC與團O相切于點C.過點AB作BELDC.交DC

的延長線于點E,連接BC、OC.

(1)求證：BC是NABE的平分線：

(2)若DC=8,DA=4,求AB的長。

22.(1)證明：:DC是國O的切線

.?.OC±DC

VBE±DC

，OC〃BE

/.ZOCB=ZCBE

.,.OC=OB

.,.ZOCB=ZOBC

/.ZOBC=ZCBE,即BC是NABE的平分線

(2)解：設回O的半徑為r,則0D=r+4

在Rt回OCD中，OD2=OC2+CD2,即(r+4)2=r2+82,WMr=6

則AB=2r=12

13

23.(本小題滿分10分)某超市計劃在端午節(jié)前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解，每

個乙種粽子的進價比每個甲種粽了的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200

元購進乙種粽了的個數相月。

⑴甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？

(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個(兩種都有)，其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子

個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個。

兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元。

①求w與m的函數關系式：

②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

解：⑴設每個甲種粽子的進價為x元，則每個乙種粽子的進價為(x+2)

根據題意得：—

xx+2

解得x=10

經檢驗，x=10是原方程的根

此時x+2=12

答：每個甲種粽子的進價為10元，每個乙種粽子的進價為12元

(2)①設購進甲種粽子m個，則購進乙種粽子(200-m)個

根據題意得：W=(12-10)m+(15-12)(200-m)=2m+600-3m=-m+600

與m的函數關系式為W=-m+600

②???甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，

m22(200-m),解得m2等

V-KO,m為正整數,

.,.當m=134時，W有最大值，最大值為466

此時200-134=66

答：購進甲種粽子134個，乙種粽子66個時利潤最大，最大利潤為466元.

24.(本小題滿分10分)如圖。在平面直角坐標系xoy中，直線y=-x+5與y軸交于點A,與

反比例函數y=：的圖象的一個交點為B(a,4),過點B作AB的垂線I.

(1)求點A的坐標及反比例的數的表達式：

(2)直線AB和反比例函數的另一個交點為C,求^OBC的面積：

(3)P是直線I上一點，連接PA,以P為位似中心畫^PDE,使它與4PAB位似,相似比為mo

若點D、E恰好都落在反比例數象上，求點P的坐標.

解：⑴令x=0,則y=-x+5=5

二點A坐標為(0,5)

將B(a,4)代入y=-x+5得a=l

/.B(l,4)

將B(l,4)代入y=$解得k=4

反比例函數的表達式為

y-X

y=-x+5=4

(2)聯立4解得

y=-=1

、X

15

SAOBC=SAOAC-SAOAB=~

⑶P(-5T)

25.(本小題請分12分)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它的出現使

得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜，一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的件架，上面覆上一層或

多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間，如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形

和拋物線構成。其中點為拋物線的頂點，取中點

ABCDAEDEOE=4m,AB=3m,BC=4moBC

O,過點O作線BC的垂直平分線OE交物線AED于點E,若以O點為原點，BC所在直線為x

軸，OE所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系，請回答下列問題：

(1汝口圖1,求搶物線的解析式：

⑵如圖2、為了保證蔬菜大棚的通風性,該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT.SMNR,

若求兩個正方形裝置的間距的長：

FL=NR=0.75moGM

⑶如圖3,在某一時刻，太陽光線(太陽光線為平行線)透過4點恰好照射到C點，此時大

⑴解："拋物線AED的頂點E(0,4),設拋物線的解析式為y=ax2+4

?.?四邊形ABCD為矩形，OE為BC的中垂線，

:.AD=BC=4m,OB=2m

VAB=3m,A(-2,3)f^Ay=ax2+4,得：3=4a+4

(2)解：,四邊形L