陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）

第I卷（選擇題）

一、選擇題

1,已知集合.=bA，?！?%N=W+2x-8訓(xùn)，則（）

A.{-2,2}B.{-2}C.{2}D,2

k答案1C

k解析》因?yàn)镹={x|%2+2x—820}={x|x<—4或x?2},

所以/W={2}.故選：C.

2.已知a,beR,i2=—i則=。=1”是“（。+歷/=2i”的（）

A.充分不必要條件B,充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［答案》A

［解析》充分性：若。=。=1,貝U（a+bi）2=（l+i）2=l+2i+i2=2i；

必要性：若（a+歷］=2i貝！J（a+/）-=a2+2abi+b2i2=a2—b~+2abi=2i,

a1-b1=0fa=1fa=-l

則，得<，，或，，，故不滿足必要性

lab=2［b=1［Z?=-l

綜上“。=人=1”是“（a+歷7=2i”充分不必要條件，故選：A.

3.在2023年3月12日馬來(lái)西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來(lái)

自中國(guó)的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績(jī)打破了“解三階魔方平均用時(shí)最短”吉尼斯世

界紀(jì)錄稱(chēng)號(hào).如圖，一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45。之

A.54B.54—36后

C.IO8-72V2D.81-725/2

K答案》c

K解析』如圖,

轉(zhuǎn)動(dòng)了45°后，此時(shí)魔方相對(duì)原來(lái)魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，顯然小三角形為等腰

直角三角形，

設(shè)直角邊X,則斜邊為夜X，則有2x+0x=3,得到x=3-孚，由幾何關(guān)系得：陰

279加

影部分的面積為SI=-（3-

12~4

27

所以增加的面積為S=16S]16(—108-72V2.

4

故選：C.

屋21Y

4.已知的展開(kāi)式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）

1

110

A./B.一洲D(zhuǎn).-2

（答案』A

（解析》,T9y"-20,所以2〃一20=0,則〃=10,

~2

令x=l,可得5一=源，所以展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為

故選：A.

2+Y

5.函數(shù)/（X）=x21og4------的大致圖象是（）

2-x

k解析』方法一：因?yàn)?二〉0,即(x+2>(x—2)<0,所以—2<%<2,

2+V

2

所以函數(shù)/(x)=xlog4--的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

2-x

又〃T)=(T)21og4早上=-/(X),所以函數(shù)“X)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

/十X

故排除B,C；

2+YO_i_Y

當(dāng)xe(O,2)時(shí)，-->1,即log,V二>0,因此/(x)>0,故排除A.

故選:D.

方法二：由方法一，知函數(shù)/(X)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除B,C；

又/(l)=；log23>。，所以排除A.

故選：D.

2兀

6.在^ABC中，c—2Z?cosB,C--.則/B—()

3

兀兀兀兀一兀

A.—B.—C.—D.一或一

34636

K答案Xc

2兀

(解析』在一ABC中，由。=2Z?COS5及正弦定理得sinC=2sin3cos6=sin25,而。=,

3

則sin2B=sin0=走，顯然Be(o,g),2Be(0,—),解得23='，所以3=]

323336

故選：C

7.過(guò)直線/：3x+4y—1=0上一點(diǎn)尸作圓M：/+()；—4了=1的兩條切線，切點(diǎn)分別是

A,B,則四邊形MAP8的面積最小值是（）

A.1B.72C.2D.2&

［答案》D

［解析》圓M-.必+（丁—4）2=1的圓心M（0,4）到直線/：3x+4y—1=0的距離

故的最小值是3,又因?yàn)閊|AP|=^|MP|2-1>2A/2,

故..AMP的面積的最小值是S=；xlx20=0,故四邊形MAPB的面積的最小值是2起.

故選：D.

8.北京時(shí)間2023年2月10日。時(shí)16分，經(jīng)過(guò)約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)

俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載

人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)

d（x）（單位：dB）與聲強(qiáng)x（單位：W/n?）滿足關(guān)系式：d（x）=101g靛.若某人交

談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為60dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為10%,則火

箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）

A.125dBB.132dBC.138dBD.

156dB

k答案》C

K解析X設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為/W/m2;則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為IO小芭，且60=101g渦，

得Xi=10『

則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)約為KFXi。"=1018W/m2,

將其代入d（x）=101g/產(chǎn)中，得〃（1018）=10炮端蘇=138dB,

故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為138dB,

故選:C.

9.已知函數(shù)/（九）=cos（（yx+o）（0<ty<10,0<°<7i）圖象一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是A

點(diǎn)、B0,^-在/a）的圖象上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（)

2

A./（%）=cos（2x+：J

5jr

B.直線x=不是fM圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

,77111兀、，一

/（九）在——上單調(diào)遞減

OO

/1x+gj是奇函數(shù)

D.

K答案』B

K解析H因?yàn)辄c(diǎn)30,在F（X）的圖象上，所以/（0）=COS0=.又。<夕<兀，所以

兀

am71717

因?yàn)?X）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是A（三,O）,所以等H---=----FK11,左WZ,

842

則。=2+8左，左wZ.又0VG<10,所以①二2,則/(%)=cos[2x+1],A正確.

cos3^=0,則直線x=」5不是了（無(wú)）圖象一條對(duì)稱(chēng)軸，B不正確.

28

7兀］1_兀兀

當(dāng)XE時(shí)，2x-\—￡［2兀,3兀］,/（九）單調(diào)遞減，C正確.

884

ffx+-^Ucosf2x+^兀j=-sin2x,是奇函數(shù)，D正確.

2

故選：B.

10.在A5c中，。是AB邊上的點(diǎn)，滿足的>=2。8,石在線段CD上（不含端點(diǎn)）,

且AE=xAB+yAC（x,ywR）,則三會(huì)的最小值為（

A.3+2百B.4+26C.8+4A/3D.8

（答案』B

k解析U因?yàn)椤Ｊ茿B邊上的點(diǎn)，滿足AD=2OB，則AD=2Z>5，

所以，CD=AD-AC=-AB-AC,

3

因?yàn)镋在線段CD上(不含端點(diǎn))，則存在實(shí)數(shù)丸e(0,1),使得

.一2——

CE=ACD=-AAB-AAC,

3

2—.9

所以，AE=AC+CE=AC+-AAB-AAC=-2AB+(1-A)AC,

,、x=-X3

又因?yàn)锳E=xAB+yAC(x,yeR),且AB、AC不共線，貝!!'3，故jx+yul,

。=1-2

因?yàn)閄G(0,1),則x=,_y=l-2e(0,l),

,,,x+2y211/C\(21)1(3x1f/3x4y'

所以—=-(3x+2y)—+—=—8+—+—>—8+2l-

孫xy2{xy)yxJ2^\yx)

=4+26,

3-石

—=—(%>0,y>0)x=--------

yx3

當(dāng)且僅當(dāng)《時(shí),即當(dāng)《丁時(shí)，等號(hào)成立,

3,V3-1

—x+y=1

12-y=丁

x+2y廠

故----^的最小值為4+26.

孫

故選：B.

11.古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長(zhǎng)半軸

長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)乘積的兀倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓。的面積為12百兀，

2

離心率為耳，R,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

①橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為②若則%"2=20括

③存在點(diǎn)A,使得N￡A月=］+而［的最小值為；+專(zhuān)

A.①③B.②④C.②③D.①④

［答案XD

ab=1245

c2

K解析』對(duì)于①：由〈一二7，解得。=6,b=2?,c=4,

a3

a2=b2+c2

22

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+匕=1,故①正確；

3620

對(duì)于②：由定義可知1M|+|4月|=12,

由余弦定理可得:

「（|44|+|4閭）2—2|4川4閶一閨閶2

cosZF4AF2-21Ml』l.一小

2|同的|

122-29|A閭—641on

=3,整理得用

21MA囚

則—伍=g|AK||A詞sin/f；A鳥(niǎo)=,故②錯(cuò)誤;

2(

對(duì)于③：設(shè)4（6,。,京+—=1,52=361-￡、=36-g/,

20207

片(TO),乙(4,0),斫宿=(-4-S,T).(4-S,F)=仁一16+1

94

=36——^2—16+^2=20——^2,由于一2</?2,

0<Z2<4,0<-Z2<—,—<20--r<20,

5555

JT

則不存在點(diǎn)A,使得/耳公6=5,故③錯(cuò)誤;

…2112

對(duì)于④：函+函=+向M+?。?/p>

/

12|AK|官+2回士?,當(dāng)且僅當(dāng)明二圈,

2+-J^+1+

12的

即|人司=及|9I時(shí),等號(hào)成立，故④正確;

故選：D.

(1、

12.已知函數(shù)/(%)=/+〃一"+以%%+%2(〃>1),則-ee,/7C71的大小關(guān)

7

系為()

(1、c(\\

A.f兀兀71■71<f-ee

7\7

(\\

C.f兀"-eeD.f-ee<fit71

\7\7\7

K答案』B

K解析H易知/(%)=優(yōu)+a龍+COSX+%2(Q>1)是偶函數(shù),

/'(X)=(〃，-a~x^kia+2x-siwc,當(dāng)％>0時(shí),

因?yàn)椤?gt;1,所以lno>0,優(yōu)一。一%>0.

令夕(%)=2%-siiix,%>0,貝ij0'(x)=2-cosx>O,所以o(x)單調(diào)遞增,

所以以力>Mo)=。，所以1aA0"⑺在(o,+“)上單調(diào)遞增.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=U^,則g，(x)=l產(chǎn)

JCJC

令g'(x)>0,得o<x<e,令g'(%)<0,得%>e,所以g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增,

在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞減.又當(dāng)■=等,所以g(4)<g(兀)<g(e),

~…ln2ln4In兀Ine廣…_L_L1

所以一丁二——<—，所以

24Tle2萬(wàn)<兀兀<ee'

/j_A(\\(\\(1A

兀71</兀71<f-ee.

7\7\7

故選:B.

第n卷(非選擇題)

二、填空題

13.已知有三個(gè)性質(zhì)：①最小正周期為2；②/（—力+/（力=2；③無(wú)零點(diǎn).寫(xiě)出一個(gè)同

時(shí)具有性質(zhì)①②③，且定義域?yàn)镽的函數(shù)/（%）=

（答案X|sin（7LX）+l（k答案』不唯一）

12兀

K解析X〃x）=—sin（口）+1的定義域?yàn)镽,最小正周期為T(mén)=—=2,

2兀

/（一九）+/（尤）=gsin（-7Lx）+l+gsin（7Ex）+l=-gsin（7tx）+l+；sin（7ix）+l=2,

i3

因?yàn)橐籰<sin（7LX）Wl,所以耳47（九）45,所以/（X）無(wú)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/（'=不足（公）+1符合題意.

故（答案U為：；sin（7tx）+l.

14.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來(lái)努力的方向，銅川市第一中學(xué)

積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開(kāi)展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng)。如圖所示的是該校高三（1）、

（2）班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D（得分越高，說(shuō)明該項(xiàng)教育

越好），則下列結(jié)論正確的是.

實(shí)線：高三（1）班的數(shù)據(jù)

虛線：高三（2）班的數(shù)據(jù)

①高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.

②除體育外，高三（1）班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三（2）班對(duì)應(yīng)的得分.

③高三（1）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高.

④各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩個(gè)班的體育得分相差最大.

（答案X①③

k解析1高三（1）班德智體美勞各項(xiàng)得分依次為9.5,9.5,9,9.5,9.25,

高三（2）班德智體美勞各項(xiàng)得分依次為9.5,9,9.5,9,8.5,

對(duì)于①，高三（2）班極差為9.5—8.5=1,①正確；

對(duì)于②，兩班的德育分相等，②錯(cuò)誤；

,?TH-J,,,-r-9.5+9.25+9.5+9+9.5___

對(duì)于③，IWJ—(1)班的平均數(shù)為---------------------=9.35,

(2)班的平均數(shù)為十+>=9.1,故③正確；

對(duì)于④，兩班的體育分相差9.5—9=0.5,而兩班的勞育得分相差9.25—8.5=0.75,④錯(cuò)

誤，

故K答案》為：①③

15.2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又

稱(chēng)出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性

最強(qiáng)的一部分.唐代詩(shī)人李頑的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏

飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山

腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回軍營(yíng),怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，

設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是4(2,4),軍營(yíng)所在位置為8(6,2),河岸線所在直線的方程為

x+y-3=。，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)(“將軍飲馬”)的總路程最短，則

將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為

1311

(答案H

K解析』由題可知A3在x+y—3=。的同側(cè),

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y—3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B'(a,b),

-+--3=0

22〃=1,/、

則解得/.即5'。,—3）.

b-2b=-3,

----------X（一1）=T

、a-6

將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為A3',又4(2,4),

所以直線AB的方程為7無(wú)一y-10=0,

設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為//,

則”即為7x-y-10=0與x+y-3=。的交點(diǎn),

16.A,B,C,。是球。的球面上四點(diǎn)，AB=AC=BC=6,球心。是AD的中點(diǎn)，四

面體A5CD的體積為立，則球。的表面積為.

2

k答案》8兀

K解析工由題意可知A。為球。的直徑，設(shè)。到面ABC的距離為d，

所以%ABC-=~d-S==d=2，

L)—t\D\^32

則球心。到面ABC的距離為1,

設(shè)面ABC,易知”為等邊，RC的外心,

所以2AH=2BH=6=2=AH=1，

sin60°

故=V2^S=4TI-A(92=871.

故［答案X為：8K.

三、解答題

13

17.從①%,出成等差數(shù)列；②%,4+1，生成等比數(shù)列；③S3=a這三個(gè)條件中

任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.

已知5”為數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，3s〃=4+2q(〃eN*),qN。，且________.

Cl)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

一、1/rn、肚/:

(2)記么=,求數(shù)列也｝的前2〃+1項(xiàng)和汽+「

Jogsq,“為奇數(shù)

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(1)由3S〃=a“+2q,〃eN*，當(dāng)2時(shí)，3sLi=。一］+2可，

a1,、1

兩式相減得34=4一。“_1，即口=一不，所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，公比為一

an-\,2

選①，由〃1,一，出成等差數(shù)列，

4

可得〃］+%=2乂1=5，即。1-5。1=5，解得％=1,

選②，由%,4+1，。3成等比數(shù)列，得4%=(。2+1)二

(1v(1丫

即％?%,——=——%+i,解得勾=1,

\2JI2)

選③，由S3二

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，bn=log3an-log3——=log3—=-(n-l)log32,

\27\2y

記前2n+1項(xiàng)和Tln+i中的奇數(shù)項(xiàng)之和為T(mén)奇,

/、(n+lY2n

則。=4+&+々++^2?+1=-(0+2+4++2n)log32=-----log32

=-n(n+l)log32.

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，2=（一￡|=一］￡|，記前2〃+1項(xiàng)和七+1中的偶數(shù)項(xiàng)之和為金

則0=4+…++b2n=-出+出+出++出

4

故&+i=—〃("+l)l°g32_g

18.如圖，在直三棱柱ABC-44￡中，AB=A4=y/3,ABAC＞。為AG的中點(diǎn)?

（1）證明：AB,LBD.

（2）若點(diǎn)C到平面ABD的距離為石，求平面ABC與平面BCD的夾角的正弦值.

（1）證明：連接43,

因?yàn)樗倪呅蜛&與5為正方形，所以

在直三棱柱ABC-441cl中，平面A\BXB±平面44￡,

由得4G又平面A4143c平面4片。1=4片,

所以4G，平面又A3]U平面所以人6工人與，

又45AG=4，A5u平面ABO,4Gu平面43。，

所以ABj,平面ABO,又BDu平面4友九

所以A4LBD.

(2)解：以A為原點(diǎn)，AB,AC,A4所在直線分別為無(wú)，y,z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=2a,則4（0,0,0）,3（若,0,0）,C（0,2a,0）,D（0,a,V3）,

AB=（^3,0,0j,AC=（0,2a,0）,AD=（0,a,6）.

r

設(shè)“=（%,y,z）為平面ABD的一個(gè)法向量，

n-AD-0ay+A/3Z=0「

則〈，即〈L,得％=0,令Z=〃，則y=—g,

n-AB=0y/3x=0

故”=（0,—G,a）,

|AC-n|2mlar-

由題意，—rq——/—＜3,解得Q=1,

|n|A/3+/

所以3C=（—"2,0）,CD=（0,-l,V3）.

設(shè)，=(p,q,r)為平面BCD的一個(gè)法向量,

i-BC=0—^3p+2q=0

則一，即＜

i-CD=0-q+垂＞r=0

令q=y/3,則p=2,r=l，即i=（2,11

平面ABC的一個(gè)法向量為J=(0,0,1),

設(shè)平面ABC和平面BCD的夾角為。，

i-J]=也

則cos°=w口

22+(A/3V+12X14'

所以sin6=\/l-cos26="工

4

所以平面ABC和平面BCD的夾角的正弦值為士.

4

19.概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切

比雪夫分別提出的馬爾科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.馬爾科夫

不等式的形式如下：

設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為E(X),則對(duì)任意￡>0,均有

馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概

率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系.當(dāng)X為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：

設(shè)X的分布列為P(X=%)=R，/?=1,2,其中

p”(0,+co),Xje[0,+oo)(i=1,2,?,72)，ZPi=1，則對(duì)任意￡>0，P(XN￡)=

i=l

￡piPi=_￡xiP,《一￡xiPi=——',其中符號(hào)X4表示對(duì)所有滿足

Xi￡

Xt>￡Xi>￡2&X{>￡&i=\￡~

Xj>￡的指標(biāo)i所對(duì)應(yīng)的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設(shè)隨機(jī)變量X的期望為E(X),方差為D(X),則對(duì)任意￡>0,均有

P(|X-E(X)|泊卜竽

(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量X成立.

（2）某藥企研制出一種新藥，宣稱(chēng)對(duì)治療某種疾病的有效率為80%.現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名

患者，經(jīng)過(guò)使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過(guò)計(jì)算說(shuō)明藥

廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.

解：（1）法一：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量［X-E（X）］2及正數(shù)占使用馬爾科夫不等式，

有P（|x-E（X）|>^）=P（［X-E（x）f>片）<E［X—f（X）f=D（x）.

法二：設(shè)X的分布列為

P（X=xj=p"=1,2」,n,

其中PXe(0,+oo)(i=1,2,=1,記〃=￡(X),則對(duì)任意￡>0,

Z=1

D(X)

匕Z=1

（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為X.假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真

實(shí)的，

那么在此假設(shè)下，

X?5（100,0.8）倒X）=100x0.8=80,D（X）=100x0.8x（1-0.8）=16.

由切比雪夫不等式，WP（X<60）<P（|x-80|>20）<=0.04.

即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過(guò)60人的概率不超過(guò)0.04,此概率很小，

據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信.

20.已知橢圓C：W+.=1（?！?〉0）的離心率為，，且過(guò)點(diǎn)g,—

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知過(guò)右焦點(diǎn)廠的直線/與。交于A,3兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)「，使

NOPA=NOPB?若存在,求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）因?yàn)?，所以a=2Z?.

22

所以橢圓C的方程為市X+"京=1.

因?yàn)辄c(diǎn)［—』,一［］在橢圓C上，所以3,Z1,解得/=3,

I2）族+m=1

所以/=12.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

123

（2）存在定點(diǎn)P（4,0）,使NOP4=NO?B.理由如下:

由⑴知，°?=12—3=9,則點(diǎn)歹(3,0).

設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)F&0）,使NO/%=NO尸5成立.

當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，直線右焦點(diǎn)口的直線，即x軸與。交于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),

若NOPA=NOPB,貝卜＞26，或/＜一26

當(dāng)直線/斜率不為。時(shí)，設(shè)直線/的方程為1=陽(yáng)+3,4（%,%）,3（%2，%）,

\22

土+匕=1

由＜123'消去x并整理，得（4+加2）丁2+6加、一3二。，

x=my+3

6m3

則%+%=_4+加之’"'4+m2

因?yàn)镹OE4=NO?B,所以原A+與B=°，

所以士+產(chǎn)7=°，即％(/_/)+%(%―/)=0?

七一I42-I

所以y(陽(yáng)2+37)+%(叼i+37)=0，

即2陽(yáng)1%+3(y+%)T(M+%)=。，

6m18m6mt6m(t-4)

--——7--——r+-——r=—,———=0恒成"，

4+m4+m4+m4+m

即對(duì)VmeR,6-(’—:)=o恒成立,則/=4,即P(4,0).

4+m-

又點(diǎn)P(4,0)滿足條件t>26.

綜上所述，故存在定點(diǎn)P(4,0),使NOPA=NOPB.

21.已知函數(shù)/'(x)=x—alnx-4,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，令/(x)=(x—2)e*—若x=/為網(wǎng)尤)的極大值點(diǎn)，證明：

0<F(x0)<1.

(1)解：函數(shù)4％)的定義域?yàn)?o,+8),ra)=i—@=二衛(wèi)，

XX

①當(dāng)aWO時(shí)，制x)>0,函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時(shí)，由制x)>0,得x〉a,由/'(x)<0,得0(尤<a,

所以，函數(shù))(可在(。,內(nèi))上單調(diào)遞增，在(0,。)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；當(dāng)a〉0時(shí)，函數(shù)/(x)在(a,+8)上

單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減.

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，/(％)=(x—2)e*—x+lnx+4,

F,(x)=(x-l)eA-l+-=(x-l)feA--

設(shè)g(x)=eX—‘，則g'(x)=eX+3，