2024年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院中考數(shù)學一模試卷（3月份）(含答案)

2024年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院中考數(shù)學一模試卷（3月份）

一、選擇題

1.（3分）在中，ZC=90°，sinA=A()

5

AB-3c.AD

-i5-i

2.（3分）一圓的半徑為3,圓心到直線的距離為4,則該直線與圓的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.以上都不對

3.（3分）2015年中國高端裝備制造業(yè)銷售收入將超6萬億元，其中6萬億元用科學記數(shù)法可表示為（）

A.O.6X1()13元B.60X1()11元

C.6X1012元D.6義1。13元

4.（3分）如圖是由五個相同的小立方塊搭成的幾何體，則它的俯視圖是（）

C.D.

5.（3分）某班10名學生的校服尺寸與對應人數(shù)如表所示:

尺寸（cm）160165170175180

學生人數(shù)（人）13222

則這10名學生校服尺寸的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）

A.165cm,165cmB.170cm,165cm

C.165cm,170cmD.170cm,170cm

6.（3分）能說明命題“對于任何實數(shù)m間＞是假命題的一個反例可以是（）

A.a=lB.a=yj~2C.a=—D.a=-2

3

7.（3分）如圖，用一個半徑為30cm,面積為300ircW的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓

1

錐的底面半徑r為（）

C.20cmD.5ncm

8.（3分）如圖，在O。中，E是直徑AB延長線上一點，若CE=2BE,則NE的余弦值為（）

9.（3分）如圖，△ABC和都是等邊三角形，點G在CA的延長線上，若BE+CG=10,幽=3,則

BE2

AF的長為（）

A.1B.Ac.9D.2

35

10.（3分）已知二次函數(shù)（x+m-1）（x-m）（a#0）的圖象上有兩點A（xi,yi）和8（兀2,”）（其中

X1<X2),則()

A.若q>0,當％i+x2〈l時，a(yi->2)<0

B.若〃>0,當xi+x2〈l時，a(yi-y2)>0

C.若QVO,當xi+x2>-1時，a(yi-”)<0

D.若tz<0,當xi+x2>-1時，a(ji-y2)>0

2

11.（3分）二次根式A/2X+1有意義的條件是.

12.（3分）袋中裝有除顏色外其余均相同的5個紅球和3個白球.從袋中任意摸出一個球，則摸出的球是紅

球的概率為.

13.（3分）如圖，五邊形A2CDE是的內(nèi)接正五邊形，AF是O。的直徑°.

14.（3分）一個正三棱柱的三視圖如圖所示，若這個正三棱柱的表面積為24+8我，則a的值是

主視圖左視圖

俯視圖

15.（3分）已知點（3,機），（5,n）在拋物線y=a/+6x（a,b為實數(shù),a<0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直

線％=￡,若〃<0Vm.

16.（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，點。，CA上的點，且BE交于點、P.連接CP,若。尸，

AP時；設(shè)△A3C的面積為Si,四邊形CQPE的面積為S2,則一s92=

Si

3

三、解答題

17.（1）計算：（cz+1）~+a（2-a）.

（2）解不等式：3尤-5<2（2+3x）.

18.（8分）某學校開展了防疫知識的宣傳教育活動.為了解這次活動的效果，學校從全校1500名學生中隨機

抽取部分學生進行知識測試（測試滿分100分，得分尤均為不小于60的整數(shù)），并將測試成績分為四個等

級：基本合格（60Wx<70）（70^x<80）,良好（80Wx<90）,優(yōu)秀（90WxW100）（部分信息未給出）.

所抽取的學生知識測試成績的頻數(shù)直方圖所抽取的學生知識測試成績的扇形統(tǒng)計圖

（1）求測試成績?yōu)楹细竦膶W生人數(shù)，并補全頻數(shù)分布直方圖.

（2）求扇形統(tǒng)計圖中“良好”所對應的扇形圓心角的度數(shù).

（3）這次測試成績的中位數(shù)是什么等級？

（4）如果全校學生都參加測試，請你根據(jù)抽樣測試的結(jié)果，估計該校獲得優(yōu)秀的學生有多少人？

19.如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，AABC的頂點在格點上.

（2）在網(wǎng)格中找一格點F,使^DEF與△A8C全等，直接寫出滿足條件的所有F點坐

標;

4

（3）利用全等的知識，僅用不帶刻度的直尺，在網(wǎng)格中作出△ABC的高S

20.圖1為科研小組研制的智能機器，水平操作臺為/,底座A8固定，始終與平臺/垂直，連桿長度為

60cm,點、B,C是轉(zhuǎn)動點,與CD始終在同一平面內(nèi)，張角NA8C可在60°與120°之間（可以達到

60°與120°）,CD可以繞點C任意轉(zhuǎn)動.

（1）轉(zhuǎn)動連桿2C,機械臂使張角NABC最大，如圖2,求機械臂臂端。到操作臺/的距離。E的長.

（2）轉(zhuǎn)動連桿8C,機械臂CD要使機械臂端。能碰到操作臺/上的物體M

21.甲，乙兩車從甲地駛向2地，并各自勻速行駛，并且甲在途中休息了0.5〃，如圖是甲（km）與時間尤（〃）

的函數(shù)圖象.

（1）求出根=,a—.

（2）求甲車休息之后的函數(shù)關(guān)系式.

（3）當乙車到達B地時，甲車距B地還有多遠？

（1）若圖象經(jīng)過點（-2,4）,判斷圖象經(jīng)過點（2,4）嗎？請說明理由；

（2）設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標為（m,〃）,當6的值變化時，求他與w的關(guān)系式；

（3）若該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，當-6WxWl時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16

23.根據(jù)以下素材，探索完成任務.

如何確定木板分配方案？

5

素材1我校開展愛心義賣活動，小藝和同學們

打算推銷自己的手工制品.他們以每塊

15元的價格買了100張長方形木板，每

塊木板長和寬分別為80cm

素材2現(xiàn)將部分木板按圖1虛線裁剪，剪去四個邊長相同的小正方形（陰影）.把剩余五個矩

形拼制成無蓋長方體收納盒（陰影是余料），給部分盒子配上蓋子.

圖1_____________________圖2

素材3義賣時的售價如標簽所示：I無蓋收納盒2。元/個||有蓋收納盒28元/個

問題解決

任務1計算盒子高度求出長方體收納盒的高度.

任務2確定分配方案1若制成的有蓋收納盒個數(shù)大于無蓋收納盒，但

不到無蓋收納盒個數(shù)的2倍，木板該如何分

酉己？請給出分配方案.

任務3確定分配方案2為了提高利潤，小藝打算把圖2裁剪下來的余

料（陰影部分）利用起來，并以5元/個的價格

銷售.請確定木板分配方案，使銷售后獲得最

大利潤.

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.(3分)在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=A()

5

A.9B.AC.AD.旦

3354

【解答】解：在中，ZC=90°A,

5

/.sinA=-^-=—,

AB5

6

???設(shè)5c=4〃，AB=2a,

；?AC=VAB2-BC2=V（7a）2-（4a）3=3a'

tanA=區(qū)>=圭=邑，

AC3a3

故選：B.

2.（3分）一圓的半徑為3,圓心到直線的距離為4,則該直線與圓的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.以上都不對

【解答】解：：由題意可知d=4,廠=3,

：.d>丫.

.?.直線與圓相離.

故選：C.

3.（3分）2015年中國高端裝備制造業(yè)銷售收入將超6萬億元，其中6萬億元用科學記數(shù)法可表示為（

A.0.6X1013元B.60X1（）11元

C.6X1012元D.6X1（）13元

【解答】解：將6萬億用科學記數(shù)法表示為：6X1012.

故選：C.

4.（3分）如圖是由五個相同的小立方塊搭成的幾何體，則它的俯視圖是（）

【解答】解：從上面看易得上面一層有3個正方形，下面中間有一個正方形.

故選：A.

5.（3分）某班10名學生的校服尺寸與對應人數(shù)如表所示：

7

尺寸（cm）160165170175180

學生人數(shù)（人）13222

則這10名學生校服尺寸的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）

A.165cm,165cmB.170cm,165cm

C.165cm,170cmD.170cm,170cm

【解答】解：由表格可知，165c機出現(xiàn)了3次，則這10名學生校服尺寸的眾數(shù)是165cm；

這10名學生校服尺寸按從小到大排列是：160、165、165、170、175、180,

則這10名學生校服尺寸的中位數(shù)是170+17°，=170的；

2

故選：C.

6.（3分）能說明命題“對于任何實數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以是（）

A.a=lB.a—y/2C.a——D.a—-2

3

【解答】解：當。=-2時，\a\=-a,

說明命題“對于任何實數(shù)。，是假命題，

故選：D.

7.（3分）如圖，用一個半徑為30c徵，面積為30（）710加2的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓

10cmC.20cmD.5ncm

【解答】解：設(shè)鐵皮扇形的半徑和弧長分別為R、I,圓錐形容器底面半徑為，，

則由題意得R=30,由lR/=300n得/=20TT；

2

由8irr=/得r=10cm；

故選：B.

8.（3分）如圖，在。。中，E是直徑48延長線上一點，若CE=2BE,則NE的余弦值為（）

8

c

\oLE

A.3B.Ac.3D.4

5543

【解答】解：連接。c,

：CE切OO于點E,

：.CE1OC,

：.ZOC￡=90°,

:.od+c醫(yī)=0盧,

?：CE=2BE,

：.BE=1CE,

6

OC=OB=OE-BE=OE-」CE,

2

(OE-且CE)2+CE8=OE2,

2

整理得CE(ACE-OE)=o,

7

VCET^O,

C.1.CE-OE=3

4

：.OE^^-CE,

4

.3=生=畀4

0E旨5

ZE的余弦值為工,

5

故選：B.

9.（3分）如圖，△ABC和都是等邊三角形，點G在CA的延長線上，若BE+CG=10,幽=3,則

BE2

AF的長為（

9

G

BE

A.1B.Ac.9D.2

35

【解答】解：過點G作垂足為點H,

G

設(shè)BE=2x,

?：BE+CG=T3幽=2,

BE8

ACG=10-2x,AG=3x,

：.AC=CG-AG=10-5xf

??,AABC和△CDE都是等邊三角形，

：.BC=AC=IO-5x,CD=DE=CE=BC-BE=10-7x,

?：GB=GE,GHLBE,

:.BH=HE=x,

：.CH=CE+HE=10-6x,

*：ZGHC=90°,ZC=60°,

；?NHGC=3U°,

：.CH=1CG,

2

10

.*.10-5X=A(10-3x),

2

??x=1,

：.AG=3x=2,CG=10-2x=8,

：.GD=CG-0)=4,

/ABC=/DEC,

:,AB〃DE,

:?△GDFSXGDE,

?

??-A-F-----A-G-,

DEDG

即更旦

35

.'.AF=—.

5

故選：C.

10.(3分)已知二次函數(shù)(x+m-1)(x-m)(〃W0)的圖象上有兩點A(xi,yi)和3(12,>2)(其中

X1<X2)?則()

A.若q>0,當xi+x2〈l時，a(yi-")<0

B.若Q>0,當xi+x2〈l時，a(yi-y2)>0

C.若a<Of當xi+x2>-1時，〃(yi-")<0

D.若4V0,當xi+x2>-1時，a(yi-”)>0

【解答】解：?二次函數(shù)(x+m-1)(x-m)(aWO),

??y=4日寸,xi=1一根,17=根,

???二次函數(shù)y=q(x+m-1)(x-m)的對稱軸為直線x=1-—十二=工,

62

當a>2時，當XI+X2<3時，

.勺+'2<1

7~~2

Ayi-y6>0,

(yi-”)>0；

當a<0時，當X6+X2>-1時，

.x5+x2、7

??---------d>

22

ii

當--<—~絲時，V6<y2,

822''

則a(yi-j2)>0；

當上2_上邑>工時，yi>y2,

23

則a(j5-y2)<0；

故選：B.

二.填空題

11.（3分）二次根式J2x+1有意義的條件是—x>1—?

【解答】解：根據(jù)二次根式有意義，得：2x+128,

解得：了2-—.

2

故答案為X2-9.

2

12.（3分）袋中裝有除顏色外其余均相同的5個紅球和3個白球.從袋中任意摸出一個球，則摸出的球是紅

球的概率為8.

一8一

【解答】解：從袋中任意摸出一個球，則摸出的球是紅球的概率=$.

8

故答案為工.

8

13.（3分）如圖，五邊形ABCDE1是。。的內(nèi)接正五邊形，AF是的直徑54°.

【解答】解：尸是OO的直徑,

，盲=命,

,/五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形,

?*-BC=DE-ZBA￡=108°，

??.BF=EF?

AZBAF=AzBAE=54°,

2

12

；./BDF=NBAF=54°,

故答案為：54.

14.（3分）一個正三棱柱的三視圖如圖所示，若這個正三棱柱的表面積為24+8愿，則a的值是2.

主視圖左視圖

a

H—3—*1

【解答】解：???由左視圖知底面正三角形的高為2、笈,

正三角形的邊長為4,

表面積中兩正△的面均為4/3,

?..正三棱柱的表面積為24+373,

；.24=(4+6+4)a,

解得：a—1

故答案為8.

15.（3分）已知點（3,m）,（5,n）在拋物線>=辦2+法（a,6為實數(shù)，a<0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直

線尤=f,若“<0<相—<f<—

-22―

【解答】解：由題意可知，拋物線與x軸的交點坐標為（0,（23

\'a<2,

拋物線開口向下,

?點（3,機），〃）在拋物線（a,b為實數(shù)，n<6<m,

：.3<2t<2,

22

故答案為:旦</<$.

22

16.（3分）如圖，在等邊三角形4BC中，點。，C4上的點，且5D=CE,BE交于點P.連接CP,若CP,

s

A尸時2；設(shè)△ABC的面積為Si,四邊形CAPE的面積為8,則—2=2

—S1—7—

13

B

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAE=ZACZ)=60°,

?：BD=CE,

：.AC-CE=BC-BD,

即AE=CD,

在△ABE和△CA。中，

'AE二CD

<NBAE=NACD，

AB=AC

AAABE^ACAD(SAS),

：.ZCAD=ZABEf

：.ZAPE=/BAP+NABP=ZBAP-^ZR\E=ZBAE=60°,

：.ZDPE=\S0°-ZAPE=180°-60°=120°,

：.ZDPE+ZDCE=nQ°+60°=180°,

???C、D、尸、E四點共圓，

VAPXPC,

：.ZDPC=ZAPC=90°,

即點尸恰好落在以AC為直徑的圓上，點尸也落在以。。為直徑的圓上,

14

B

圖1

VZAPE=60°,

：.ZCPE=3Q°,

如圖1,連接OE

則NCED=90°,ZCDE=ZCPE=30°,

,CD—9

CE

'：AE^CD,

-AE_7

CE

&泌s°;如圖2,過點D作DF//AC,

設(shè)Si=a,

圖2

?/CD=5,

CE

?CD=9

BD

：.BD=1.BC2LBC,

73

?

??Sc/\ADC=—6a

3f

15

同理CE=1AC,

3

?*.S/^CDE=—S^ADC=—X&=^-a,

3339

?.?膽=5,

CE

S/\ADE=2s△CDE=2X_^-6f=^.d,

96

'：DF//AC,

:.△DFPs/\AEP,ADFB^/\CEB.

?DF=BD=1,DP=DF=DF=1

??而BC3"APAE6CEi

?-D?P-_—3J

AD7

SADPE=—SAADE=AX^-a=-^-a,

37963

/.Se=SADPE+S&CDE=-^-a+--^-a,

6377

2

.S4.ya_2

??--.......—,

S〔a7

故答案為：7,2.

7

三、解答題

17.(1)計算：(a+1)2+a(2-a).

(2)解不等式：3尤-5<2(2+3尤).

【解答】解:(1)(a+1)2+fl(2-a)

=cr+2a+6+2a-a2

=8a+l；

（2）3x-7<2（2+8%）

3尤-5<3+6x,

移項得：3x-8x<4+5,

合并同類項，系數(shù)化4得：x>-3.

18.（8分）某學校開展了防疫知識的宣傳教育活動.為了解這次活動的效果，學校從全校1500名學生中隨機

抽取部分學生進行知識測試（測試滿分100分，得分x均為不小于60的整數(shù)），并將測試成績分為四個等

級：基本合格（60Wx<70）（70W尤<80）,良好（80Wx<90）,優(yōu)秀（90WxW100）（部分信息未給出）.

16

所抽取的學生知識測試成績的頻數(shù)直方圖所抽取的學生知識測試成績的扇形統(tǒng)計圖

（1）求測試成績?yōu)楹细竦膶W生人數(shù)，并補全頻數(shù)分布直方圖.

（2）求扇形統(tǒng)計圖中“良好”所對應的扇形圓心角的度數(shù).

（3）這次測試成績的中位數(shù)是什么等級？

（4）如果全校學生都參加測試，請你根據(jù)抽樣測試的結(jié)果，估計該校獲得優(yōu)秀的學生有多少人?

【解答】解：⑴304-15%=200（人），

200-30-80-40=50（人），

（2）“良好”所對應的扇形圓心角的度數(shù)=360°X里=144°.

200

（3）這次測試成績的中位數(shù)是80-90.這次測試成績的中位數(shù)的等級是良好.

（4）1500X＜上=300（人），

200

答：估計該校獲得優(yōu)秀的學生有300人.

19.如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，AABC的頂點在格點上.

17

yjk

（1）寫出△ABC的面積3；

（2）在網(wǎng)格中找一格點F使△OEF與△ABC全等，直接寫出滿足條件的所有廠點坐標（3,-1）,（0,

（3）利用全等的知識，僅用不帶刻度的直尺，在網(wǎng)格中作出△ABC的高CH

【解答】解：（1）AABC的面積為/x（8+2）X4—|-XIX4-X5X2=6_7_2=3.

故答案為：5.

（2）如圖，點尸和尸均滿足題意，

則滿足條件的所有廠點坐標為（3,-1）,2）.

故答案為：（3,-1）,6）.

（3）如圖，CH即為所求.

20.圖1為科研小組研制的智能機器，水平操作臺為/,底座固定，始終與平臺/垂直，連桿長度為

60cm,點、B,C是轉(zhuǎn)動點，與C￡）始終在同一平面內(nèi)，張角NA2C可在60°與120°之間（可以達到

60°與120°）,CD可以繞點C任意轉(zhuǎn)動.

（1）轉(zhuǎn)動連桿BC,機械臂CD,使張角ZABC最大，如圖2,求機械臂臂端D到操作臺I的距離DE的長.

18

(2)轉(zhuǎn)動連桿BC,機械臂CD,要使機械臂端D能碰到操作臺/上的物體M

【解答】解：(1)過點8作垂足為尸,

則AB=￡y=50c〃z,NABF=/BFC=90°,

VZABC=120°,

ZCBF^AABC-ZABF^120°-90°=30°,

在RtZXBCF中，BC=60cm,

：.CF=BC-sm30°=60xA=30(.cm),

2

；.CE=CF+CF=30+50=80(cm),

.\DE=CE-CD=80-40=40(cm),

機械臂臂端D到操作臺/的距離DE的長為40cm；

(2)當N43C=60°時，此時，如圖：

過點C作CG，/,垂足為G,垂足為X,

在RtABHC中，BC=60cm,

BH—BCtcos60°=60*亙=30Cem'),

2

CH=BC?sin60°=60x2^=30%,

3

19

.?.AG=//C=30?cro,

VAB=50cm,

：.AH=AB-BH=50-30=20(cm),

：.CG=AH=20cm,

在RtZkC￡)G中，C￡)=40c〃z,

；?DG=VCD7-CG2=V452-232=20^3，

：.AD=AG-DG=3Q爬-2073(cm),

物體M離底座A的最近距離為10V7cm,

BD=BC+CD=60+40=100(cm),

在RtAABD中，AB50cm,

AD=VBD2-AB2=V1022-532=50M，

物體M離底座A的最遠距離為5072cm.

21.甲，乙兩車從甲地駛向2地，并各自勻速行駛，并且甲在途中休息了0.5/z,如圖是甲(km)與時間x(/i)

的函數(shù)圖象.

(1)求出m=1,a—40.

(2)求甲車休息之后的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當乙車到達3地時，甲車距3地還有多遠？

20

【解答】解：(1)由題意得：

771=1.5-6.5=1.

1204-(5.5-0.4)=40,

?**a=40.

故：a—40,m—1；

(2)設(shè)甲車休息之后的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=fcv+6,

將(1.2,40)和(3.5

[5.5k+b=40

13.3k+b=120，

解得P=4°

Ib=-20

故甲車休息之后的函數(shù)關(guān)系式為：y=40x-20；

(3)設(shè)乙車行駛的路程y與時間尤的關(guān)系為y^ax+m,

將(2,0)和(6.5

(2a+m=2

13.5a+m=120

解得卜=8°,

lm=-160

故乙車的解析式為：y=80x-160,

將y=260代入y=80x-160,

得尸祖，

5

將元=21■代入y=40x-20,

4

得y=190,

甲車距8地：260-190=70初

22.已知函數(shù)y=/+Z?x+3/?(b為常數(shù)).

(1)若圖象經(jīng)過點(-2,4),判斷圖象經(jīng)過點(2,4)嗎？請說明理由；

(2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標為(m,n),當人的值變化時，求相與〃的關(guān)系式；

(3)若該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，當-時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16

【解答】解：(1)把點(-2,4)代入＞=X3+法+3/7中得：

4-8/7+38=4,

解得b=2,

二?此函數(shù)表達式為：

21

當x=2時，y=8,

???圖象經(jīng)過點（2,4）；

（2）?.?拋物線函數(shù)丁=/+灰+3/?（。為常數(shù)）的頂點坐標是（m,幾）,

?_b=m12b-b，

24

:.b=-2m,

22

把b=-8m代入1乙="得〃=一乙4m-cm8_6m.

44

即n關(guān)于m的函數(shù)解析式為n=-m2-7m.

（3）才巴x=0代入>=/+/?%+76得y=3/?,

??,拋物線不經(jīng)過第三象限，

???3心6,即心0,

'：y=jr+bx+Sb=（無+電）2-f+36,

24

,,2

拋物線頂點（-上，-、+5b）,

54

：-two,

2

.?.當-二+3627時，

4

解得6W12,

，0WF2,-6W-2

3

,3

.?.當-6WxWl時，函數(shù)最小值為y=--,

4

把x=-6代入y—x4+bx+3b得y=36-3b,

把x=4代入y=^+bx+3b得y=4+4b,

,5

當36-36-（-2_+36）=16時，

4

解得6=20